Download Tema 13: Cálculo diferencial de funciones de varias variables

TRIGONOMETRÍA:
MATEMÁTICAS I
1º bac
Ángulo mitad
 Sabemos que para cualquier ángulo se verifica
𝑠𝑒𝑛2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 = 1
1 = 𝑠𝑒𝑛2
En particular:
𝑎
2
+ 𝑐𝑜𝑠 2
Y teniendo en cuenta que:
cos 𝑎 = cos 2
Sumando ambas expresiones obtenemos:
1 = 𝑠𝑒𝑛2
𝑎
2
+ 𝑐𝑜𝑠 2
𝑎
2
𝑎
𝑎
− 𝑠𝑒𝑛2
2
2
__________________________
𝑎
1 + cos 𝑎 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 (2 )
cos 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2
𝑎
1 + cos(𝑎)
𝑐𝑜𝑠
=±
2
2
𝑎
2
𝑎
2
= 𝑐𝑜𝑠 2
𝑎
2
− 𝑠𝑒𝑛2
𝑎
2
Restando ambas expresiones obtenemos:
1 = 𝑠𝑒𝑛2
𝑎
2
𝑎
2
𝑠𝑒𝑛2
+ 𝑐𝑜𝑠 2
𝑎
𝑎
+
2
2
__________________________
𝑎
1 − cos 𝑎 = 2 𝑠𝑒𝑛2 (2 )
− cos 𝑎 = −𝑐𝑜𝑠 2
𝑎
1 − cos(𝑎)
𝑠𝑒𝑛
=±
2
2
Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado
MATEMÁTICAS I
1º bac
TRIGONOMETRÍA:
𝑡𝑎𝑛
𝑎
2
=
Ángulo mitad
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
𝑎
2
𝑎
2
=
±
1−cos(𝑎)
2
±
1+cos(𝑎)
2
=±
1−cos(𝑎)
1+cos(𝑎)
EJEMPLO: Calcula las razones trigonométricas de 15
sen 15 = sen
30
2
=±
1−cos 30
2
=+
1−
2
cos 15 = cos
30
1 + cos 30
=±
=+
2
2
tan 15 = 𝑡𝑎𝑛
30
1 − cos 30
=±
=
2
1 + cos 30
3
2
=+
1−
2
3
2
=
2− 3
2
3
3
1+
2 =+
2 =
2
2
1+
2− 3
2+ 3
Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado
2+ 3
2
MATEMÁTICAS I
1ºbac
Teorema del seno
«Existe proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de
los ángulos opuestos»
(Esta constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo)
 Demostración: Sea ABC un triángulo cualquiera en
A
este triángulo trazaremos dos alturas que nos dividirán
ABC en dos triángulos rectángulos en los que se
puede aplicar la definición del seno.
Trazamos h
c
b
:
B
A
c
b
C
En ADC : 𝑠𝑒𝑛 𝐶 =
h
D
a
C
B
En ADB : 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
ℎ
𝑏
ℎ
𝑐
; ℎ = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
; ℎ = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 B
Igualamos y obtenemos : 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
(1)
MATEMÁTICAS I
1ºbac
Trazamos h´
:
A
c
En AEC : 𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
b
En CEB : 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
B
; ℎ′ = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 A
; ℎ′ = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 B
Igualamos y obtenemos : 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵
a
C
ℎ´
𝑏
ℎ´
𝑎
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
A
=
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
(2)
E
b
De (1) y (2) obtenemos :
h’
C
a
B
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
MATEMÁTICAS I
1ºbac
Determinación de la constante del teorema del seno
 En una circunferencia de radio r inscribimos un triángulo
cualquiera ABC
A’=A son ángulos que abarcan arcos iguales BC
Aplicando el teorema del seno en ABC:
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
C

A
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
Aplicando el teorema del seno en A’BC :


A’
=
𝑎
a
𝑠𝑒𝑛𝐴′
=
2𝑟
𝑠𝑒𝑛 90
⟹
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
2𝑟
𝑠𝑒𝑛 90
= 2𝑟
2r
Por tanto:
B
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado
= 2𝑟
MATEMÁTICAS I
1º bac
Teorema del coseno
«En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados
de los otros lados menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo
que forman»
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
 Demostración: Sea
ABC un triángulo cualquiera
A
𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 − 𝐶𝐴
Si realizamos el producto escalar
𝐴𝐵. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 − 𝐶𝐴 . 𝐶𝐵 − 𝐶𝐴 =
= 𝐶𝐵. 𝐶𝐵 − 𝐶𝐵. 𝐶𝐴 − 𝐶𝐴. 𝐶𝐵 + 𝐶𝐴. 𝐶𝐴
𝐴𝐵
2
= 𝐶𝐵
2
+ 𝐶𝐴
2
b
− 2 𝐶𝐵. 𝐶𝐴 , es decir,
C
𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 + 𝐶𝐴 − 2 𝐶𝐵 . 𝐶𝐴 . cos C y sustituyendo,
a
2
2
2
obtenemos: 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
(idem 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵)
2
2
c
2
Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado
B