Download Tema 13: Cálculo diferencial de funciones de varias variables
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TRIGONOMETRÍA: MATEMÁTICAS I 1º bac Ángulo mitad Sabemos que para cualquier ángulo se verifica 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 = 1 1 = 𝑠𝑒𝑛2 En particular: 𝑎 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 Y teniendo en cuenta que: cos 𝑎 = cos 2 Sumando ambas expresiones obtenemos: 1 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 2 𝑎 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 2 2 __________________________ 𝑎 1 + cos 𝑎 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 (2 ) cos 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 1 + cos(𝑎) 𝑐𝑜𝑠 =± 2 2 𝑎 2 𝑎 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 2 Restando ambas expresiones obtenemos: 1 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 2 𝑎 2 𝑠𝑒𝑛2 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 𝑎 + 2 2 __________________________ 𝑎 1 − cos 𝑎 = 2 𝑠𝑒𝑛2 (2 ) − cos 𝑎 = −𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 1 − cos(𝑎) 𝑠𝑒𝑛 =± 2 2 Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado MATEMÁTICAS I 1º bac TRIGONOMETRÍA: 𝑡𝑎𝑛 𝑎 2 = Ángulo mitad 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑎 2 𝑎 2 = ± 1−cos(𝑎) 2 ± 1+cos(𝑎) 2 =± 1−cos(𝑎) 1+cos(𝑎) EJEMPLO: Calcula las razones trigonométricas de 15 sen 15 = sen 30 2 =± 1−cos 30 2 =+ 1− 2 cos 15 = cos 30 1 + cos 30 =± =+ 2 2 tan 15 = 𝑡𝑎𝑛 30 1 − cos 30 =± = 2 1 + cos 30 3 2 =+ 1− 2 3 2 = 2− 3 2 3 3 1+ 2 =+ 2 = 2 2 1+ 2− 3 2+ 3 Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado 2+ 3 2 MATEMÁTICAS I 1ºbac Teorema del seno «Existe proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos» (Esta constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo) Demostración: Sea ABC un triángulo cualquiera en A este triángulo trazaremos dos alturas que nos dividirán ABC en dos triángulos rectángulos en los que se puede aplicar la definición del seno. Trazamos h c b : B A c b C En ADC : 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = h D a C B En ADB : 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = ℎ 𝑏 ℎ 𝑐 ; ℎ = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 ; ℎ = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 B Igualamos y obtenemos : 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 (1) MATEMÁTICAS I 1ºbac Trazamos h´ : A c En AEC : 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = b En CEB : 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = B ; ℎ′ = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 A ; ℎ′ = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 B Igualamos y obtenemos : 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵 a C ℎ´ 𝑏 ℎ´ 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 A = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴 (2) E b De (1) y (2) obtenemos : h’ C a B 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 MATEMÁTICAS I 1ºbac Determinación de la constante del teorema del seno En una circunferencia de radio r inscribimos un triángulo cualquiera ABC A’=A son ángulos que abarcan arcos iguales BC Aplicando el teorema del seno en ABC: 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴 C A 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 Aplicando el teorema del seno en A’BC : A’ = 𝑎 a 𝑠𝑒𝑛𝐴′ = 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 90 ⟹ 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 90 = 2𝑟 2r Por tanto: B 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶 Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado = 2𝑟 MATEMÁTICAS I 1º bac Teorema del coseno «En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo que forman» 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 Demostración: Sea ABC un triángulo cualquiera A 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 − 𝐶𝐴 Si realizamos el producto escalar 𝐴𝐵. 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 − 𝐶𝐴 . 𝐶𝐵 − 𝐶𝐴 = = 𝐶𝐵. 𝐶𝐵 − 𝐶𝐵. 𝐶𝐴 − 𝐶𝐴. 𝐶𝐵 + 𝐶𝐴. 𝐶𝐴 𝐴𝐵 2 = 𝐶𝐵 2 + 𝐶𝐴 2 b − 2 𝐶𝐵. 𝐶𝐴 , es decir, C 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 + 𝐶𝐴 − 2 𝐶𝐵 . 𝐶𝐴 . cos C y sustituyendo, a 2 2 2 obtenemos: 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 (idem 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵) 2 2 c 2 Profesora: Mª Remedios Navarro Adelantado B