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U N I V E R S I D A D DE G U A D A L A J A R A
Sistema de Educación Media Superior
Preparatoria 14 Huentitan.
Presentado por:
JEAN PAUL ANTONIO GONZALEZ RAMIREZ
6 DE MARZO DEL 2011
Cilindro
Para otros usos de este término, véase Cilindro (desambiguación).
Un cilindro circular recto.
Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de
una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficie de revolución, se obtiene mediante el giro de
una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución.
El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también se llamado
cilindro.
En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie
reglada generada por una familia uniparametrica de líneas paralelas.
Contenido

1 Clasificación

2 Superficie cilíndrica
o
2.1 Desarrollo de la superficie cilíndrica
o
2.2 Área de la superficie cilíndrica

3 Volumen del cilindro

4 Cilindro: superficie cónica

5 Enlaces externos
Clasificación
Un cilindro puede ser:

cilindro recto: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases;

cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases;

cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución;

cilindro de revolución recto: si el eje es perpendicular a las bases;

cilindro de revolución oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases.
Superficie cilíndrica
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales
contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. Como superficie de
revolución, la superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje. La
superficie del cilindro es una superficie reglada; pertenece a las denominadas superficies cuádricas.
Las superficies cilíndricas pueden ser

superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,

superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.
Desarrollo de la superficie cilíndrica
La superficie de un cilindro recto de base circular está conformada por un rectángulo de altura
base
y
, siendo dicha superficie:
Además dispone de dos bases circulares, de área
Área de la superficie cilíndrica
El área de la superficie de un cilindro es: la suma de la superficie lateral
dos bases
En un cilindro recto de base circular, es:
más la superficie de las
Volumen del cilindro
El volumen de un cilindro es el producto del área de la base
por la altura del cilindro
.
El volumen de un cilindro de base circular, es:
siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.
Cilindro: superficie cónica
Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que sirviendo de directrices,
originan tres tipos de superficies cilíndricas:
Cilindro elíptico
Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica (que incluye a
los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales).
En un sistema ortogonal de coordenadas, tomando como eje z una recta cuya dirección es paralela a la
generatriz, si se escoge como origen el centro de simetría, la ecuación de la superficie cilíndrica es
similar a la de la superficie cónica correspondiente.
La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:
donde a y b son los semiejes.
Cilindro parabólico
En similares condiciones, la ecuación de una superficie parabólica será de la forma:
Cilindro hiperbólico
En similares condiciones, la ecuación de un superficie hiperbólica es de la forma:
Círculo
Para otros usos de este término, véase Círculo (desambiguación).
Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,
llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que
se encuentran contenidos en una circunferencia.
En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:1 una superficie geométrica plana
contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia2 a
la curvageométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud.
"Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con
el círculo (superficie)."3
Contenido

1 Etimología
o
1.1 Usos del término
círculo

2 Elementos del círculo
o
2.1 Puntos
o
2.2 Segmentos
o
2.3 Rectas
características
o
2.4 Curvas
o
2.5 Superficies
o
2.6 Ángulos
o
2.7 Diámetro

3 Área del círculo

4 Perímetro del Círculo

5 El círculo en topología

Etimología
La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa
"redondez".4 Según otros autores, "cerco".
Usos del término círculo
En lenguaje coloquial, a veces, se utiliza la palabra círculo como sinónimo de circunferencia.5
En castellano, en la gran mayoría de los textos de matemática círculo significa superficie plana limitada
por una circunferencia.
En cartografía se utiliza el término círculo como sinónimo de circunferencia, en expresiones tales
como círculo polar ártico.
Se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto círculo, en textos de topología, una
rama de las matemáticas. En algunos textos de topología que, normalmente, son traducciones del
inglés, se utiliza círculo como sinónimo de circunferencia.
En inglés, la palabra circle6 expresa el concepto de circunferencia (curva cerrada plana equidistante del
centro), mientras que circumference7 significa perímetro del círculo (la longitud de la circunferencia). Sin
embargo, disk8 se asocia al concepto de círculo (superficie plana limitada por una circunferencia).
Elementos del círculo
Archivo:El círculo.svg
El círculo, la circunferencia, y sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, el arco, etc.
El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
Puntos
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los
puntos de esta.
Segmentos
Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el
círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman
un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.
Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
Rectas características
Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.
Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo
extremo es el punto de tangencia.
Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.
Curvas
Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la
circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de
puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.
Superficies
El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:
Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.
Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.
Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.
Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.
Ángulos
Archivo:Angulos del círculo1.svg
Ángulos en el círculo.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el
centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice
están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta
tangente se denomina semi-inscrito.
En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que
subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es
π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.
La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.
Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo
semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).
Diámetro
Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera (segmento) que pasa por el centro y que acaba en
ambas direcciones en la circunferencia del círculo
Área del círculo
Artículo principal: Área de un círculo
Un círculo de radio
, tendrá un área:
; en función del radio (r).
o
; en función del diámetro (d), pues
o
; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),
pues la longitud de dicha circunferencia es:
Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados
El área del círculo:
,
se deduce, sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al
producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es
decir:
.
Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces, el
apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por
tanto:
Perímetro del Círculo
El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:
ó
donde:

es el perímetro

es la constante matemática pi (π = 3.14159265...)

es el radio

es el diámetro del círculo
Para obtener el perímetro de un círculo se multiplica el diámetro
por pi.
[editar]El
círculo en topología
En geometría y topología, un círculo es la región del plano acotado
por una circunferencia. Se llama cerrado o abierto dependiendo si
contiene o no a la circunferencia que lo limita.
En coordenadas cartesianas el círculo abierto con centro (a,b) y
radio R será:
.
El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:
Una esfera es la palabra usada para indicar un objeto
tridimensional consistente en los puntos del espacio
euclídeo
que están a una distancia menor o igual a
una cantidad fija denominada también radio, radio de la
esfera.
Lamentablemente, geómetras y topólogos adoptan
convenios incompatibles para el significado de "n-esfera".
Para los geómetras, la superficie de la esfera es llamada
3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2esfera y la indican como
.9
Triángulo
Para otros usos de este término, véase Triángulo (desambiguación).
El triángulo es un polígono de tres lados.
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se
encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son
los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de
polígonos. Si está contenido en una superficieesférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre
la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Contenido

1 Convención de escritura

2 Clasificación de los triángulos

o
2.1 Por las longitudes de sus lados
o
2.2 Por la amplitud de sus ángulos
o
2.3 Clasificación según los lados y los ángulos
3 Congruencia de triángulos
o
3.1 Postulados de congruencia
o
3.2 Teoremas de congruencia
o

3.3 Congruencias de triángulos rectángulos
4 Semejanza de triángulos
o
4.1 Semejanzas de triángulos rectángulos

5 Propiedades de los triángulos

6 Centros del triángulo

7 Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo
o

7.1 Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

7.1.1 Seno, coseno y tangente

7.1.2 Funciones inversas
8 Elementos notables de un triángulo
o
8.1 Medianas y centro de gravedad
o
8.2 Mediatrices y circunferencia circunscrita
o
8.3 Bisectriz y circunferencia inscrita
o
8.4 Alturas y ortocentro
o
8.5 Recta de Euler
o
8.6 Área de un triángulo

o
8.6.1 Área con fórmula de Herón
8.7 Área de triángulos rectángulos con lados enteros

9 En el espacio

10 Historia

Convención de escritura
Un triángulo llamado ABC
Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas
mayúsculas: A, B, C, ...
Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC.
En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles
corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.
Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula
latina: a para BC, b para AC, c para AB.
La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es
También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por un acento circunflejo (en rigor, los
ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos
nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía
puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un
acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:
Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices
A
B
C
Lados (com
BC
AC
AB
a
b
c
o segmento)
Lados (com
o longitud)
Ángulos
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
Por las longitudes de sus lados
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
 como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden
60 grados ó
radianes.)
 como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos
lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto,
filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación
entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales1 ), y
 como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo
escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
(Clasificación por amplitud de sus ángulos)
Rectángulos
Triángulos
Obtusángulos
Oblicuángulos
Acutángulos
 Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les
denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
 Triángulo oblicuángulo : cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos
obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son
agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es
un caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Oblicuángulos
Clasificación según los lados y los ángulos
Los triángulos acutángulos pueden ser:
 Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este
triángulo es simétrico respecto de su altura.
 Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.
 Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de
simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).
Los triángulos rectángulos pueden ser:
 Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son
iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto
a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.
 Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos pueden ser:
 Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo
obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.
 Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
Triángulo equilátero
isósceles
escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
Congruencia de triángulos
Artículo principal: Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice
y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.
Postulados de congruencia
Triángulo
Postulados de congruencia
Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)
Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos
lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la
misma medida.
Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos
tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos
ángulos es el lado común a ellos).
Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)
Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que
los correspondientes del otro triángulo.
Teoremas de congruencia
Triángulo
Teoremas de congruencia
Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen
la misma medida y longitud, respectivamente.
Congruencias de triángulos rectángulos
 Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno
de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
 Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos
tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
 Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo
agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
 Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el
adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Semejanza de triángulos
Artículo principal: Triángulos semejantes
 Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes
 Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es
congruente.
 Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.
Semejanzas de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:
 Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
 Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
 Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.
Propiedades de los triángulos
Un cuadrilátero con sus diagonales.
Un tetraedro.
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un
triángulo (tanto en el plano como en el espacio).
Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos
como el de la figura de la izquierda. En cambio si éste cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se
obtiene un tetraedro que es el Poliedro más simple y está comformado por 4 caras triángulares.
Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El
número mínimo de triángulos necesarios para ésta división es n − 2, donde n es el número de lados del polígono. El
estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración
del Teorema de Pick.
La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180° lo que equivale a π radianes, en geometría
euclidiana.2
La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.
Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: trazamos la
paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos
iguales, codificados en color rojo en la figura de al lado (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos
codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del
vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es
un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.
Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.
 La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
 El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad
del lado paralelo.
 Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
El teorema de Pitágoras gráficamente.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado
es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el
coseno del ángulo comprendido»:

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa
mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:
(1)
De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
Centros del triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y
equivale al centro de gravedad

Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los
tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de
los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección
de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a
los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de
los ángulos.

Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersecciónn de las alturas.

Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que
son tangentes a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de
una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de losángulos.
El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un
triángulo equilátero.
Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo
En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida
de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los
valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más
complejas.
Para resolver triángulos utilizamos generalmente el Teorema de Pitágoras cuando son
triángulos rectángulos, o los Teoremas del seno y del coseno.
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
Artículo principal: Funciones trigonométricas
Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí
etiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas
especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de
un triángulo rectángulo.
En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente
pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos.
Los lados del triángulo son encontrados como sigue:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definida como el lado más largo
de un triángulo rectángulo, en este caso h.

El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que estamos interesados, en este
caso a.

El cateto adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo en que estamos
interesados y el de ángulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el cateto
adyacente es b.
Seno, coseno y tangente
El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto con la longitud de
la hipotenusa. En nuestro caso
El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado
adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso
La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto
y la longitud del cateto adyacente. En nuestro caso
Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no
depende del tamaño del triángulo rectángulo, mientras contenga el
ángulo A, puesto que todos esos triángulos son semejantes.
Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos
cocientes.
Funciones inversas
Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para
calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la
longitud de dos lados cualesquiera.
Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la
longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.
Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo
con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.
Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un
ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto
adyacente.
En los cursos introductorios de geometría y
trigonometría, la notación sin−1, cos−1, etc., es
frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos,
etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos,
etc., es estándar en matemáticas superiores
donde las funciones trigonométricas son
comúnmente elevadas a potencias, pues esto
evita la confusión entre el inverso multiplicativo y
el inverso compositivo.
Elementos notables de un
triángulo
Medianas y centro de
gravedad
Artículo principal: Mediana (geometría)
Medianas y centro de gravedad de un
triángulo.
El segmento de recta que va de un vértice al
punto medio del lado opuesto se llama mediana.
Las tres medianas de un triángulo concurren en
un punto, G en la figura,
llamado centroide o baricentro del triángulo. Si
éste es de densidad homogénea, entonces el
centroideG es el centro de masas del triángulo.3
Cada una de las tres medianas dividen el
triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La
distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3
de la longitud de la mediana.
Las tres medianas dividen al triángulo en 6
triángulos de áreas iguales. Demostración: por
simetría, para un triángulo equilátero. Un triángulo
cualquiera con sus tres medianas puede
transformarse en un triángulo equilátero con su
tres medianas mediante una transformación
afín o una transformación lineal. El jacobiano (el
factor por el que aumentan o disminuyen las
áreas) de una transformación afín es el mismo en
cualquier punto, de lo que se deduce la
proposición que encabeza este párrafo.
Mediatrices y circunferencia
circunscrita
Mediatrices ycircunferencia circunscrita de un
triángulo.
Se llama mediatriz de un triángulo a cada una de
las mediatrices de sus lados [AB], [AC] y [BC].
Las tres mediatrices de un triángulo son
concurrentes en un punto O equidistante de los
tres vértices. La circunferencia de centro O y
radio OA que pasa por cada uno de los tres
vértices del triángulo es la circunferencia
circunscrita al triángulo, y su centro se
denomina circuncentro.4

En un triángulo acutángulo, el centro de la
circunferencia circunscrita está dentro del
triángulo.

En un triángulo obtusángulo, el centro de la
circunferencia circunscrita está fuera del
triángulo.

En un triángulo rectángulo, el centro de la
circunferencia circunscrita es el punto medio
de la hipotenusa.
Propiedad
Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de
su circunferencia circunscrita es el punto medio
de su hipotenusa.
Bisectriz y circunferencia
inscrita
Bisectrices ycircunferencia inscrita de un
triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las
tres bisectrices de sus ángulos internos.
Las tres bisectrices de un triángulo son
concurrentes en un punto O. La circunferencia
inscrita del triángulo es la única circunferencia
tangente a los tres lados del triángulo y es interior
al triángulo. Tiene por punto central el incentro,
que es el centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo.5
Alturas y ortocentro
Artículo principal: Ortocentro
Alturas y ortocentro de un triángulo.
Se llama altura de un triángulo a cada una de las
tres rectas que pasan por un vértice del triángulo
y que son perpendiculares al lado opuesto del
vértice. La intersección de la altura y el lado
opuesto se denomina «pie» de la altura.6
Estas 3 alturas se cortan en un punto
único H llamado ortocentro del triángulo.7
Notas:

Un triángulo es rectángulo si y sólo si su
ortocentro es el vértices recto del triángulo.

Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su
ortocentro se encuentra fuera del triángulo.

Un triángulo es acutángulo si y sólo si su
ortocentro está dentro del triángulo.
Recta de Euler
Artículo principal: Recta de Euler
Recta de Euler de un triángulo.
Los tres puntos H, G y O están alineados en una
línea recta llamada recta de Euler del triángulo y
verifica la relación de Euler:8 9
Los puntos medios de los tres lados, los
tres pies de las alturas y los puntos medios
de los segmentos [AH], [BH] y [CH] están
en una misma circunferencia llamada
circunferencia de Euler o circunferencia de
los nueve puntos del triángulo.
Área de un triángulo
El área de un triángulo suele expresarse
por una fórmula de lo más sencilla: es igual
al semiproducto de la base por la altura:
Esto vale para cualquier triángulo plano.
Área con fórmula de Herón
Conociendo la longitud de los tres lados se
puede calcular el área para cualquier
triángulo euclideo.
En las dos fórmulas anterioriores A es el
área, a, b y c son las longitudes de los
lados y s es el llamado semiperímetro.
Polígono
Este artículo trata sobre el término geométrico. Para otros usos de este término, véase Polígono
(desambiguación).
Un polígono es una figura geométrica cerrada, formada por segmentos rectos consecutivos y no
alineados, llamados lados.
Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.
Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. Un polígono en tres
dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se
denominapolitopo.
Contenido
[ocultar]

1 Etimología

2 Elementos de un polígono

3 Clasificación

4 Poligonal

[editar]Etimología
La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polýgonon), de πολύ (polí)"muchos" y
γωνία (goná) "ángulo".
[editar]Elementos
de un polígono
En un polígono podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.

Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.

Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

Ángulo interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de
180 grados sexagesimales el ángulo central.

Este se determina dividiendo 360º por el numero de lados del polígono.

Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten
del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º por el numero de lados del
polígono, y el angulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o
podemos aplicar 180º - ángulo interno.
En un polígono regular podemos distinguir, además:

Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.

Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a
dicho lado.

Diagonales totales,
, donde
[editar]Clasificación
Clasificación de polígonos
según el número de lados
Nombre
trígono, triángulo
nº lados
3
tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero 4
pentágono
5
hexágono
6
heptágono
7
octágono
8
es el numero de lados del polígono.
eneágono
9
decágono
10
endecágono
11
dodecágono
12
tridecágono
13
tetradecágono
14
pentadecágono
15
hexadecágono
16
heptadecágono
17
octodecágono
18
eneadecágono
19
isodecágono, icoságono
20
triacontágono
30
tetracontágono
40
pentacontágono
50
hexacontágono
60
heptacontágono
70
octacontágono
80
eneacontágono
90
hectágono
100
chiliágono
1.000
miriágono
10.000
decemiriágono
100.000
hecatomiriágono, megágono
1.000.000
Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples, convexos,
equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos.
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta.
Se clasifican por la forma de su contorno:
Convexo
Polígono
Simple
Regular
Irregular
Cóncavo
Complejo
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:

simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan),

complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan;

convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos,

cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;

regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales,

irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales;

equilátero, el que tiene todos sus lados iguales,

equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.

polígono simple, concavo, irregular.

polígono complejo, cóncavo, irregular.

polígono convexo, regular (equilátero y equiángulo).
Los polígonos ortogonales o isotéticos, son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman
los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus
aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.
Poligonal
Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos
coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una línea poligonal
cerrada.
Cuadrado
Para otros usos de este término, véase Cuadrado (desambiguación).
Relación de los cuadrados con los demás paralelogramos.
En geometría euclidiana, un cuadrado es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y
además sus cuatro ángulos son iguales y rectos.
Propiedades
Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es
un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial
de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo.
Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó π / 2radianes, y la suma de todos ellos es 360°
ó 2π radianes. Cada ángulo externo del cuadrado mide 270° ó 3π / 2 radianes.
[editar]Ecuaciones
y elementos
Cuadrado con círculos inscrito y circunscrito.
Si un cuadrado C tiene lados que miden L, entonces, el perímetro es igual a 4L, pues los cuatro lados
son iguales.
La longitud de la diagonal se puede calcular mediante el Teorema de Pitágoras:
El área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud del lado:
Siendo A el área y L el lado.
Si inscribimos un círculo en un cuadrado de lado L, el radio será la mitad del lado: r = L/2. El
área de dicho círculo es: π/4 ≈ 0,785 veces el área del cuadrado.
Por otro lado, si consideramos un círculo circunscrito, el radio será la mitad de la diagonal, y
el área del círculo será: π/2 ≈ 1,57 veces el área del cuadrado.
Rectángulo
Rectángulo ABCD.
En geometría plana, un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos
rectos entre sí.
El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados.
El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos.
Propiedades

Sus lados paralelos son iguales, dos a dos.

Sus dos diagonales son iguales, y se cortan en partes iguales (esta característica
también lo define)

Se puede pavimentar el plano, repitiendo infinitos rectángulos.
El cuerpo de revolución generado por un rectángulo, respecto de un eje que contenga a un
lado, es un cilindro.
[editar]Rectángulos
con nombre propio
Rectángulo áureo.

El cuadrado se puede considerar un caso particular del rectángulo, en el que todos sus
lados tienen la misma longitud.

El rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el
rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para
construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M
de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, unacircunferencia que pase
por uno de los vértices C del lado opuesto.
Véase también: Número áureo
representación gráfica de un rectángulo tridimensional.

Rectángulo
(rectángulo raíz de 2), aquel cuya relación entre base y altura es igual
a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h =
. El interés de este
rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos
nuevos rectángulos obtenidos mantienen exactamente la misma proporción que el
original, o sea que son también rectángulos raíz de 2. Es por ello que, entre otros usos,
es el formato utilizado para dimensionar las hojas de papel según las normas DIN
476 e ISO 216. Construcción partiendo del cuadrado: de forma similar al rectángulo
áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice
opuesto C.

Doble cuadrado
Ángulo
Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).
Un ángulo positivo de 45°.
Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de
origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica).
Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dossemiplanos cuyo origen común es una
recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño
aparente.
Contenido
[ocultar]

1 Definiciones
o
1.1 Definiciones clásicas

2 Las unidades de medida de ángulos

3 Clasificación de ángulos
o
3.1 Ángulos convexo y cóncavo

4 Ángulos relacionados

5 Ángulos de un polígono

6 Ángulos respecto de una circunferencia

7 Trisección del ángulo

8 Ángulos tridimensionales
o
8.1 Coordenadas angulares tridimensionales

9 Ángulos en el espacio vectorial

10 Galería de ángulos

11 Véase también

12 Referencias

13 Enlaces externos
Definiciones
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que
concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por
dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas
tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en
torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una
posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el
ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas
del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un
plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una
relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una
línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas
que se intersectaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos,
agudos, y obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Transportador de ángulos.
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

Grado centesimal

Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la
ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Clasificación de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
Las manijas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, unángulo agudo.
Tipo
Ángulo nulo
Descripción
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es
nula, o sea de 0°.
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor
Ángulo agudo
de
rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de
100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a
rad
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a
rad y menor a
rad
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de
200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o
colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de
rad
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de
rad
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre
dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1
Tipo
Ángulo convexo
o saliente
Descripción
Es el que mide menos de
rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de
200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante
Es el que mide más de
rad y menos de
rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de
400g centesimales).
Ángulos relacionados
En función de su posición, se denominan:

ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior
común,

ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,

ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
En función de su amplitud, se denominan:

ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,

ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,

ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,

ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.
Ángulos de un polígono
En función de su posición, se denominan:

ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,

ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del
adyacente.
Ángulos respecto de una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es
tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que
abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus
lados sobre dicha circunferencia.
Trisección del ángulo
Artículo principal: Trisección del ángulo
La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un
ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. Es
imposible de resolver con esas condiciones.
Ángulos tridimensionales

El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas
por dos semiplanos que parten de una recta común,

El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie
cónica.
Combustión
Combustión de materia orgánica.
La combustión es una reacción química en la cual generalmente se desprende una gran cantidad
de calor y luz.
En toda combustión existe un elemento que arde (combustible) y otro que produce la combustión
(comburente), generalmente oxígeno en forma de O2 gaseoso. Losexplosivos tienen oxígeno ligado
químicamente por lo que no necesitan el oxígeno del aire para realizar la combustión.
Los tipos más frecuentes de combustible son los materiales orgánicos que
contienen carbono e hidrógeno. En una reacción completa todos los elementos tienen el mayor estado
de oxidación. Los productos que se forman son el dióxido de carbono (CO2) y el agua, el dióxido de
azufre (SO2) (si el combustible contiene azufre) y pueden aparecer óxidos de nitrógeno (NOx),
dependiendo de la temperatura de reacción.
En la combustión incompleta los productos que se queman pueden no reaccionar con el mayor estado
de oxidación, debido a que el comburente y el combustible no están en la proporción adecuada, dando
como resultado compuestos como el monóxido de carbono (CO). Además, pueden generarse cenizas.
El proceso de destruir materiales por combustión se conoce como incineración.
Para iniciar la combustión de cualquier combustible, es necesario alcanzar una temperatura mínima,
llamada temperatura de ignición, que se define como, en °C y a 1 atm, temperatura a la que
los vapores de un combustible arden espontáneamente.
La temperatura de inflamación, en °C y a 1 atm es aquella que, una vez encendidos los vapores del
combustible, éstos continúan por si mismos el proceso de combustión.
La combustión es el conjunto de procesos físico-químicos por los cuales se libera
controladamente parte de la energía interna del combustible. Una parte de esa energía se va a a
manifestar en forma de calor y es la que a nosotros nos interesa.
La reacción de un elemento químico con el oxígeno sabemos que se llamaoxidación. La
combustión no es más que una reacción de oxidación, en la que normalmente se va a liberar una
gran cantidad de calor.
Los combustibles tienen en su composición unos elementos principales, combustibles (C, H, S) y
otros no combustibles, como el V, Ni, Na, Si,…
El comburente más habitual usado en la combustión es el aire (21% O, 73% N2(inerte)).
Se llama calor de combustión a la disminución de entalpía de un cuerpo en C/N de presión y a
una temperatura definida. Será entonces el calor que se libera cuando el combustible arde en
una llama o cuando los componentes principales reaccionan con el oxígeno. En la combustión,
cada uno de los componentes combustibles del combustible va a sufrir la reacción de oxidación
correspondiente.
Reacción de combustión
Se trata de una reacción de oxidación con la particularidad de que se realiza muy rápidamente,
es exotérmica. Esta reacción se produce entre los elementos combustibles de un combustible y
el oxígeno del comburente. Para que un combustible sufra la combustión, es necesario que
alcance su temperatura de ignición. Se define el punto de ignición de un combustible como la
temperatura a la cual, una vez iniciada la llama, esta ya no se extingue. Es esta temperatura de
20 a 60ºC más alta que la temperatura de inflamación.
En una reacción de oxidacción tendremos
Primer Miembro
Combustible + comburente
Segundo Miembro
Gases de combustión +
calor
Combustible: Toda sustancia capaz de arder
Comburente: Sustancia que aporta el oxígeno para que el combustible sufra oxidación
Los combustibles industriales suelen estar constituídos por mezclas de pocos elementos, ya que
esto simplifica en gran medida el proceso. Los componentes de un combustible se pueden
clasificar en:

Combustibles

Inertes. Estos hay que eliminarlos y por lo tanto resultan perjudiciales
Fases de la reacción de combustión
Se pueden distinguir tres fases en la reacción de combustión:

Fase de prerreacción (formación de radicales). Los compuestos hidrocarbonados se
descomponen dando lugar a la formación de radicales, que son unos compuestos intermedios
inestables y muy activos, para que de este modo el carbono y el hidrógeno puedan reaccionar
con el oxígeno.

Fase de Oxidación: En esta fase se produce la combinación entre los elementos y el oxígeno.
Es una fase muy exotérmica y es cuando tiene lugar la propagación de la llama.

Fase de Terminación: Aquí es cuando se forman los compuestos estables. El conjunto de estos
compuestos es lo que llamamos gases de combustión.
Es necesario que se produzca una gran coordinación entre la 1ª y la 2ª fase, ya que si no podría
llegar a producirse una explosión, por acumulación de radicales. La explosión es la onda que se
produce y transmite por la masa reaccionante a una velocidad de 1500-2500 m/s, pudiendo
producirse más de una detonación di después de la primera queda producto que aún pueda
reaccionar violentamente.4.- CLASES DE REACCIONES DE COMBUSTIÓN Las reacciones se
pueden clasificar según el modo en el cual transcurran de la siguiente manera:

Combustión NEUTRA o estequiométrica

Combustión INCOMPLETA o imperfecta

Combustión COMPLETA
Combustión neutra
Es aquélla que se produce cuando el aire empleado aporat la cantidad justa de oxígeno para que
todos los reactivos de transformen en productos. Para que la estequiometría se cumpla, hay que
considerar TODOS los elementos que sufren la reacción de combustión en el combustible.
Cuando la reacción tenga lugar totalmente, entonces no habrá H, O, S y C, que se transformarán
en productos correspondientes que irán en los gases de combustión. Como inertes aparecerá,
por lo menos, el nitrógeno.
A veces, a los gases de combustión se les llama poder comburívoro o poder fumígeno. Se define
éste como los gases húmedos tótales procedentes de unacombustión neutra o
estequiométrica (de todos los elementos combustibles e inertes también)
Combustión incompleta
Es aquélla en la que por defecto en el suministro de aire no hay oxígeno necesario para que se
produzca la oxidación total del carbono. Esto quiere decir que no todo el carbono se va a
transformar en CO2 y aparecerá como producto de combustión de CO. Aparecen entonces los
inquemados. Los inquemados también se pueden producir por defecto en el aparato quemador.
Los inquemadosse definen como la materia combustible que ha quedado sin quemar o
parcialmente quemada. Pueden ser de dos clases:

Sólidos: Carbono (hollín). Provocan un ennegrecimiento de los humos de combustión

Gaseosos: CO, H2
Cuando aparecen inquemados es señal de que no se ha aprovechado bien el combustible, por lo
que la combustión que se está realizando es mala y se deberían tomar medidas de algún tipo
para mejorarla.
Combustión completa
Para que se produzca una combustión completa se hace necesario aportar un exceso de aire, es
decir, de oxígeno. El exceso se realiza sobre la cantidad estequiométricamente necesaria para
que todos los productos combustibles sufran la oxidación (tanto el C como el O ó el H). En este
caso no se van a producir inquemados. En la práctica se hace difícil conseguir la combustión
completa. Por ello es necesario aportar un exceso de aire. El exceso de aire se define como la
cantidad de aire por encima del teórico que hay que aportar para que se realice la combustión
completa del combustible
Productos resultantes de la reacción de combustión
En general, los productos de combustión se llaman humos. Se definen éstos como la masa de
compuestos que resultan de un proceso de combustión. Mayoritariamente están formados por
óxidos de los elementos combustibles de un combustible, además de por los elementos del
combustible que no sufren reacción, donde hay que incluir el N2 del aire que no va a reaccionar
con el oxígeno.
Otros elementos que pueden aparecer en los humos pueden ser pequeñas proporciones de
elementos en suspensión, como carbón u hollín (que se define como una sustancia alquitranosa
de coquización).
Los humos pueden clasificarse en secos (sin agua) o húmedos (con agua).
PROTOCOLO CIENTIFICO
Cualquier investigación se origina en una duda, inquie‐tud o pregunta sobre un tema
que interese al investiga‐dor, o bien porque hay un problema que no puede serresuelto
con los elementos científicos actuales. Éste esel primer paso de una investigación. Un
problema deinvestigación no es más que el cuestionamiento a laexistencia de un
fenómeno determinado. Los problemasde investigación surgen cuando hay “...un vacío
en lainformación respecto del objeto de estudio, el descono‐cimiento de un aspecto,
una inconsistencia entre teoríay práctica o una información contradictoria; sin
descar‐tar como problema de investigación el repetir un estu‐dio que se efectuó
anteriormente con otros recursos oen otras condiciones” (García Córdoba, 1998: 30).
Aun‐que parece difícil, cualquier estudiante con sentidocrítico y de observación
encontrará situaciones y pro‐blemas diariamente. Así, la investigación científica
tienecomo objetivos más generales dar respuestas inteligi‐bles, confiables y válidas, a
preguntas específicas o pro‐blemas de investigación. Las respuestas se dan de ma‐nera
regular en términos de qué (o cómo), dónde,cuándo, de dónde y porqué. Sin embargo, la
realidad nose presenta de una manera uniforme, ni todos losfenómenos y procesos
están al mismo nivel de profun‐didad, por ello no toda investigación tiene como
propó‐sito responder a todas las interrogantes; existe la posibi‐lidad de que se trate
de responder solamente a algunade ellas. Por eso mismo, la investigación se puede
llevara cabo en diferentes niveles de profundidad.
Si en un principio los intereses del investigador puedenser muy amplios, es necesario
tener bien claro qué es loque se está buscan doy el tipo de estudio que dará
res‐puesta a sus preguntas para concretar la investigación.Por ejemplo, el investigador
puede tener como áreadeinterés general aspectos vinculados al turismo alternati‐vo, e
imponerse como objetivos buscar la resolución aalgunas interrogantes sobre sus
características, su con‐texto, su funcionalidad, etc. Pero para los propósitos dela
investigación, el problema tiene que ser formulado demanera más específica, buscando
las respuestas al nivelde las interrogantes arriba mencionadas. Hay que plan‐tear
preguntas tales como: ¿qué es el turismo alternati‐vo?, ¿qué características posee?,
¿a qué necesidadesresponde?, ¿cuántos tipos hay?, etcétera.
En la bibliografía especializada (Padua, 1979; GarcíaAvilés, 1997) se acostumbra
diferenciar los estudios odiseños de investigación, según el tipo de pregunta quese
plantee, en estudios exploratorios, descriptivos, ex‐plicativos y predictivos.
Los estudios exploratorios son preponderantes en áreaso disciplinas en donde las
problemáticas no están sufi‐cientemente desarrolladas, con ello se tiene
unaaproximación a determinado aspecto o fragmento de larealidad (Padua, 1997).
Las investigaciones de carácter exploratorio consistenen caracterizar un fenómeno o
situación concreta, indi‐cando sus rasgos más peculiares o diferenciadores, paraello la
estrategia de investigación consiste en buscar lamayor dispersión posible en las
observaciones.