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Liceo N°1 Javiera Carrera, Bachillerato Matemática, Nivel Séptimo básico Guía Nº 6 “Cuadriláteros” Nombre: __________________________________ Curso : ____________ CUADRILÁTERO Definición: Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados. Clasificación Los cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos. Estos últimos se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides. Propiedades La suma de los ángulos interiores es 360º. La suma de los ángulos exteriores es 360º. 1. PARALELÓGRAMOS. Definición: Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos. Clasificación: Los paralelogramos se clasifican en: paralelogramos rectos y paralelogramos oblicuos. Los paralelogramos rectos son aquellos cuyos ángulos interiores son todos rectos. Los paralelogramos oblicuos son aquellos cuyos ángulos interiores no son rectos. Paralelogramos rectos son el cuadrado y el rectángulo. Paralelogramos oblicuos son el rombo y el romboide. Propiedades: Lados opuestos congruentes Ángulos opuestos congruentes. Ángulos contiguos suplementarios. Las diagonales se dimidian. Observación: Si un cuadrilátero cumple con a lo menos una de estas propiedades, entonces necesariamente es un paralelogramo. 1.1 PARALELÓGRAMOS RECTOS 1.1.1. CUADRADO Definición: Cuadrado es aquel paralelogramo recto de lados congruentes. Propiedades: Además de las cuatro propiedades generales de los paralelogramos, los cuadrados tienen estas otras tres propiedades: Diagonales congruentes. Diagonales perpendiculares. Diagonales bisectrices. 1.1.2. RECTÁNGULO Definición: Rectángulo es aquel paralelogramo recto de lados contiguos desiguales. Propiedades: Además de las cuatro propiedades generales de los paralelogramos, los rectángulos tienen la siguiente propiedad: Diagonales congruentes Observación: Las diagonales de los rectángulos no son perpendiculares ni son bisectrices. Página 1 1.2 PARALELÓGRAMOS OBLICUOS 1.2.1. ROMBO Definición: Rombo es aquel paralelogramo oblicuo de lados congruentes. Propiedades: Además de las cuatro propiedades generales de los paralelogramos, los rombos tienen estas dos propiedades: Diagonales perpendiculares Diagonales bisectrices Observación: Las diagonales de los rombos son desiguales. 1.2.2. ROMBOIDE Definición: Romboide es aquel paralelogramo oblicuo de lados contiguos desiguales. Propiedades: Los romboides sólo tienen las cuatro propiedades generales de los paralelogramos. Observación: Las diagonales de los romboides no son iguales, no son bisectrices ni son perpendiculares. 2. TRAPECIO Definición: Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases. Clasificación: Los trapecios se clasifican en trapecios isósceles, trapecios rectángulos y trapecios escalenos. Propiedades: En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases (AB y DC) son suplementarios. En todo trapecio la mediana m es igual a la semisuma de las bases. 180 180 F y G puntos medios de los lados AD y BC respectivamente. 2.1. TRAPECIO ISÓSCELES Definición: Trapecios isósceles son aquellos que tienen los lados no paralelos iguales. Propiedades: Además de las propiedades generales de los trapecios, los isósceles tienen las siguientes propiedades: Diagonales congruentes. Ángulos basales congruentes. Ángulos opuestos suplementarios. 2.2 TRAPECIO RECTÁNGULO. Definición: Trapecio rectángulo o recto es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso. Propiedades: Sólo tienen las dos propiedades generales de los trapecios. Página 2 2.3. TRAPECIO ESCALENO Definición: Los trapecios escalenos son aquellos que tienen los lados no paralelos desiguales. Propiedades: Sólo tienen las dos propiedades generales de los trapecios. 3. TRAPEZOIDE Definición: Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. Clasificación: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos. 3.1. TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO Definición: Tiene sus cuatro lados desiguales. Propiedades: No posee propiedades especiales. 3.2 TRAPEZOIDE SIMÉTRICO O DELTOIDE Definición: Posee dos pares de lados iguales pero no paralelos, es decir: AB AD y CD CB Propiedades: Diagonales perpendiculares. Una diagonal es bisectriz. La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral de la otra diagonal. EJERCICIOS 1) ABCD trapezoide x + y + w = 290º; z=? A 2) ABCD trapezoide, x = ? D C z D w x y x A C 110 50 B B 3) ABCD trapezoide, x =? D c 30 4) PQRS cuadrado; x + y = ? S C y R x A b a B P x Q Página 3 5) ABCD trapecio, x + y = ? D x 6) ABCD rombo; = ? D α C y 110 60 A 7) MNOP rectángulo, <PMO = 60º, x = ? O P B 8) ABCD trapecio; CE altura, <DCB = 110º, x - y = ? D x x A M β C A 110 B C y y N 9) PQRS rombo, SQ UT; x=? S 10) ABCD trapecio isósceles, <DAB = ? D U x T P 135 B E R A C 4x -5 3x +10 B Q 11) ABCD cuadrado, AD // EF, 12) ABCD rombo, 1 , = ? 4 <1 + <2 + <3 = ? D α C F D 3 Aβ C 2 1 A B E 13) PQRS rombo, <PSQ = 20º, <TRQ = ? B 14) MNOP trapecio, PM = OQ = QN, <MPO = 110º. <MNO = ? S P P T O R M x Q N Q Página 4 EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. En el cuadrilátero ABCD, ¿cuánto mide el ángulo exterior EBC? A) 36º B) 72º C) 108º D) 126º E) N.A 2. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo? 3. En el paralelogramo RSTU, las medidas de α y β son respectivamente: A) 40º y 35º B) 50º y 75º C) 50º y 45º D) 70º y 95º E) N.A 4. Los puntos B y C del cuadrado ABCD pertenecen a los lados EF y HG del cuadrado EFGH. Si <CBF = 70º , entonces <ACH = A) 15º B) 20º C) 22,5º D) 25º E) N.A 5. En el rectángulo ABCD, EB = BC y <ECA = 10º. ¿Cuánto mide el <AMB? A) 130º B) 110º C) 100º D) 70º E) N.A 6. DEFG es un rombo. ¿Cuánto mide el ángulo HFD? A) 22,5º B) 67,5º C) 112,5º D) 122,5º E) N.A Página 5 7. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) necesariamente verdadera(s) en un paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD? I) Si AC ⊥ BD y AC ≠ BD, entonces ABCD es un rombo. II) Si AC ⊥ BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado. III) Si AC ≠ BD y AB ≠ BC , entonces ABCD es un romboide. A) B) C) D) E) Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III N.A 8. En el trapecio ABCD, AB // DC y AD = DC. Si el <ADC = 100º, entonces el <DAB mide: A) B) C) D) E) 40º 50º 60º 80º N.A 9. En el trapecio ABCD, AD = DC = CB y <ABC = 76º. ¿Cuánto mide el <DCA? A) B) C) D) E) 38º 66º 76º 104º N.A 10. DEFG es un deltoide con GD = DE y GF = EF. Si <FED = 130º y <GDE = 20º, entonces el <FGE mide A) B) C) D) E) 75º 65º 55º 50º N.A 11. En el deltoide ABCD, DC = BC y DA = BA. Si <ACB = 25º y <CBA = 115º, ¿cuánto mide <DAC? A) B) C) D) E) 25º 32,5º 40º 65º N.A Página 6