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TALLER N:1 TEMA :SISTEMA SEXAGESIMAL 1. 2. Convertir y verificar la respuesta con la calculadora: a) 52º a ’ b) 123’ a º c) 28,95’ a ’’ d) 35229’’ a ’ e) 43º a ’’ f) 54000’’ a º g) 38º 57’ 29’’ a º h) 24,75º a º ’ ’’ i) 48,953º a º ’ ’’ Hallar el valor de los ángulos desconocidos: a) b f b) C a d 50º e y z u t x w v 3. 50º Realizar las siguientes operaciones: a) 38º 27’ 43’’ + 24º 32’ 51’’ b) 12º 53’ 45’’+ 29º 47’’+ 128º 46’ 59’’ c) 26º 37’ 16’’ – 11º 12’ 13’’ d) 15º 13’ 19’’ – 9º 54’ 57’’ e) 28º 37’’ - 16º 14’ 7(11º 15’ 21’’) 3 g) (20º 18’ 36’’) 2 5 h) (32º 11’ 13’’) 4 4. Usando transportador graficar los siguientes ángulos: f) 45º, 70º, 90º, 150º, 180º, 230º, 270º, 300º, 360º, 400º, 500º, 1150º, 3973º. 5. Convertir: 2 a. Rad a º 3 7 b. Rad a º 4 c. 2 Rad a º d. Rad a º 5 e. 2 Rad a º f. 330º a Rad g. 135º a Rad h. 480º a Rad 5 i. Rad a vueltas 6 1 j. vuelta a Rad 2 k. 400º a vueltas l. 3 vueltas a º 6. Graficar: a. Rad 4 7 b. Rad 3 7. ¿Cuál es la medida en grados de un ángulo central que subtiende un arco de 7 360 de la circunferencia de un circulo? 8. Si el radio de un círculo es de 5m, encuentre la medida en radianes de un ángulo central que subtiende un arco de 25m y exprese también la respuesta en grados 9. Encuentra el radio de un círculo si un ángulo central de 3 rad subtiende un arco de 21m. 10. En un círculo de radio igual a 5 cm, encuentra la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 4 rad. 11. La rueda de una bicicleta tiene 120 cm de diámetro. Calcula la distancia recorrida por la bicicleta, cuando la rueda ha dado 100 vueltas (recuerda que en una vuelta la rueda recorre 2𝜋𝑟 cm) 12. El minutero del reloj de la figura 2 mide 15.24 cm de largo. ¿Cuántos centímetros se desplaza su punta en un cuarto de hora? ¿Cuántos centímetros se desplaza en 30 min? 13. El péndulo de un reloj mide 75 cm y al balancearse se desplaza 12º a cada lado de la vertical. ¿Cuál es la longitud del arco que describe? 14. La distancia entre dos punto A y B sobre la tierra se mide sobre una circunferencia que tiene su centro en C en el centro del planeta, y cuyo radio es igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro de la tierra es aproximadamente 8.000 millas y los puntos A y B están a 500 millas de distancia, expresa el ángulo ∢ACB en radianes y en grados. TALLER N: 2 TEMA: TEOREMA DE PITÁGORAS- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1. Hallar el valor del lado desconocido: A. 28 cm C=? 21 cm B. 40 cm 2 0 cm C =? C. 48 10 cm a=? D. 12 5cm X-2 1 XX Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas para el ángulo y el triángulo correspondiente. 2. 27 cm cm 36 µ 45cm Ca ß 3 cm 8 6cm 35 1 5cm Co 5 6cm Dada la razón trigonométrica correspondiente, hallar las demás razones trigonométricas: 3. 1 4 2 , Sen = , Sen = 2 5 4 3 10 3. Sec 5, Sec = , Sec= 2 2 3 2 3 4. Tan , Tan =4, Tan = 5 9 2. Sen TALLER N: 3 TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CON RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Hallar el valor de las siguientes expresiones (Sin usar calculadora): Sen2 60º Cos 2 60º a) 2Sen30º Tan45º 4Tan60º 5Sec 2 45º Csc30º b) Sen3 30º Cos 4 45º 2. Encontrar el valor de la incógnita en cada triángulo. 1. 980 cm Z 30º 60º h 80 C 0m 20 B 30º a H 45º x A C B 30º 400 m x H 45º A 50 0 cm C B 60º H 45º A x C x B x 135º 45º 60º 78 cm A 30º 100 0 2m 3. Resolver el triángulo ABC rectángulo en B, con los datos suministrados en cada numeral TALLER N 4: TEMA: ANGULOS DE DEPRESIÓN Y ELEVACIÓN 1. Hallar la altura de la torre de electricidad. 105m 43°20' En parque dos jóvenes se encuentran separados por una distancia de 180 metros. Si una de ellos ve un globo elevado, exactamente arriba de él, y el otro lo ve con un ángulo de elevación de 63º, ¿Cuál es la altura del globo?. 2. 63° 180m 1.7m El cordón de una cometa se encuentra tensionado y forma un ángulo de 54º20' con la horizontal. Encontrar la altura aproximada de la cometa, respecto al suelo, si el cordón mide 100 metros y el extremo del cordón se sostiene a 15 metros del suelo. 3. Una caja tiene las dimensiones que se muestran en la siguiente figura. Encontrar la longitud de la diagonal entre los extremos P y Q. ¿Cuál es el valor del ángulo formado entre la diagonal y la parte inferior de la caja?. 4. P µ 3 Q 4 3 Unos observadores en dos pueblos distintos, A y B, en cada lado de la montaña de 12.000 pies, miden los ángulos de elevación entre el suelo y la cima de la montaña (véase la figura siguiente). Asumiendo que los pueblos están sobre el mismo plano vertical, encuentre la distancia horizontal entre ellos. 5. 12.000 pies 28° A 46° B Un hombre parado a 50 pies de una casa de 20 pies de altura, mira hacia la antena de televisión localizada arriba, en el borde del techo. Si el ángulo, entre su línea de visibilidad al borde del techo y su línea de visibilidad a la cima de la antena es de 12º. ¿Cuál es la altura de la antena?. 7. Una escalera esta reclinada en un edificio. Si la escalera forma un ángulo de 63º con el suelo y llega al edificio a una altura de 16 metros, ¿a qué distancia del edificio se encuentra el pie de la escalera?. 6. 8. Para medir la altura de las nubes sobre un aeropuerto, se enfoca verticalmente un reflector para iluminarlas. A un kilometro de distancia un asistente provisto de un teodolito encuentra que las nubes iluminadas se observan bajo un ángulo de 20° respecto a la horizontal. ¿Cuál es la altura de las nubes que se encuentran sobre el aeropuerto? 9. Con los datos del dibujo que se encuentra a continuación redacta un problema que dé cuenta de lo que sucede y donde se calcule la altura del rascacielos. 10. Un helicóptero de patrulla que se dedica a controlar el tráfico desde el aire, se encuentra en el punto C de la figura y desde ahí detecto un vehiculo en el punto A. Un minuto después, el vehiculo se encuentra en el punto B. Si los puntos A, B y C están en el mismo plano vertical, determina la velocidad del vehiculo en kilómetros por hora (Km/h) 11. Una persona calcula los ángulos de elevación ( 28° 𝑦 46°) a la cima de una montaña de 12000 pies de altura, situada en los parques de dos pueblos que quedan a lados distintos de la montaña, determinar la distancia que separa los parques de estos dos pueblos. 12. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 m del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: La parte superior, con un ángulo de elevación de 30° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45°. Determinar la altura del edificio de enfrente. 13. Un ingeniero va en un avión que vuela sobre el mar a 800m de altura y observa dos barcos 𝐵1 𝑦 𝐵2 con ángulos de depresión de 34° 𝑦 62° respectivamente. Determinar la distancia entre los barcos. 14. Con los datos del dibujo que se encuentra a continuación redacta un problema que dé cuenta de lo que sucede y donde se calcule la altura del globo. 15. Determinar la longitud que presenta la sombra de un árbol de 6 metros de altura cuando la inclinación de los rayos de sol es de 40° 16. Hallar el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que uno de sus ángulos iguales mide 40° y uno de sus lados iguales mide 5 cm. 17. Hallar el perímetro y el área de un rectángulo en el que uno de sus lados mide 10 cm y forma con la diagonal un ángulo de 20°35`. 18. En cierto tramo de la autopista hay una subida del 12% (al avanzar 100m horizontalmente se suben 12m). Como se considera una pendiente excesiva, se reducirá al 8%. Hallar el ángulo que formará la nueva autopista con la vieja. 19. Se va a excavar un túnel rectilíneo y horizontal a través de una montaña de 300 metros de altura, como se muestra en la figura. Desde los puntos A y B de entrada al túnel la cima de la montaña se observa respecto a la horizontal bajo ángulos de 36°50` 𝑦 45°, respectivamente. Calcula la longitud del túnel AB con una precisión de metros. TALLER N:5 TEMA :FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. los valores de las 6 funciones trigonométricas en cada punto . a) P(6,8), Q(2,4), M(3,2), N(1,7) b) P(-2,3), Q(-4,10),M(-5,4),N(-3,3) c) P(-4,-2), Q(-8,-1),M(-6,-6),N(-7,-6) d) P(4,-5),Q(3,-4), M(9,-8)N(11,-3) Dada la función trigonométrica y el ángulo correspondiente, hallar los valores de las demás funciones. 3 5 a) Sen , I C b) Cos , I C 4 6 3 2 c) Sen d) Tan , II C , II C 4 6 2 5 , III C e) Cos f) Csc 3, IV C 9 2. TALLER N: 6 TEMA: ANGULOS DE REFERENCIA Hallar los valores de las funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos en el cuadrante correspondiente. 1. 135º, 150º, 170º, 180º. b) 210º, 225º, 240º, 250º, 270º. c) 290º, 300º, 310º, 315º, 330º, 360º. 2. Sin usar calculadora, hallar el valor de las siguientes expresiones: Sen 45º Cos 30º a) a) 2Tan 45º 5Csc 2 30º 7Sec 3 45º b) 2Cot 60º 9Cos 30º Sen315º 8Cos135º 4Tan330º c) 2 Cot 2 225º 6Sec 120º 3 3. Usando calculadora, hallar el valor de: Sen70º Cos160º 5Sec200º a) 4Csc 310º 11 4 1 Sec10º b) Sen3 100º Cot 207º 5 2 Cos28º TALLER N:7 TEMA :IDENTIDADES DERIVADAS I. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas 1. (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2. 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑡𝜃 3. 4. 𝑡𝑎𝑛2 𝜃+1 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑐𝑜𝑡𝜃 1 5. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃 6. 𝑐𝑜𝑠4 𝜃−𝑠𝑒𝑛4 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 7. 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 8. 1 1+𝑐𝑜𝑠𝜃 2 1+𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 = 𝑐𝑠𝑐 𝜃 − 𝑐𝑠𝑐𝜃𝑐𝑜𝑡𝜃 9. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛2 𝜃𝑠𝑒𝑛2 𝜃 10. 𝑐𝑜𝑡𝜃+2𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 2𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃+1 11. 𝑠𝑒𝑐𝜃−1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 12. 1−𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1−𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 13. 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 1−2𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 14. 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑐𝜃) = 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1 𝑠𝑒𝑐𝑥 15. 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 16. 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 1 17. (1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)(1 − 𝑡𝑎𝑛𝑥) = 2 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 18. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 19. 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 1 20. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 21. 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑐𝑠𝑐𝜃 22. 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃−1 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑐𝑠𝑐𝜃 1 23. 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 24. 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛4 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 25. 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 1 𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 26. 1−𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 27. 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑡𝜃 61. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 4 28. 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃−1 62. 𝑐𝑠𝑐𝜃 29. 1−𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 63. 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 30. 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃) + 2(1−𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝒔𝒆𝒏𝒙+𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙+𝒄𝒔𝒄𝒙 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏+𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 64. 𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏+𝒄𝒔𝒄𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 =𝟎 31. 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1+𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 65. 32. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 66. 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑠𝑒𝑛𝜃 33. 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 36. (𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 37. 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 = 1+𝑠𝑒𝑛𝑥 38. 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑐𝑜𝑡 2 𝜃𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1 39. 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑡𝜃 40. 𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 1 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 (1−𝑐𝑜𝑡 2 𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 1 45. 𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1−𝑡𝑎𝑛𝑥 46. 𝑠𝑒𝑐 6 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛6 𝜃 = 1 − 3𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑡𝑎𝑛2 𝜃 48. 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃(1 − 𝑠𝑒𝑛4 𝜃) − 2𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 1 50. (𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥)2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 4 51. 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛4 𝜃 𝒔𝒆𝒄𝒙 71. 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙+𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝟒𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙+𝒔𝒆𝒏𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙 2 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙 76. 1 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 77. (1−𝑐𝑜𝑡 2 𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑡𝑎𝑛−𝑠𝑒𝑐𝜃 2 2 𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝑐𝑠𝑐𝜃 78. 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = (1 − 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥)𝑠𝑒𝑐 4 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 80. 𝑠𝑒𝑐𝑥−𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 56. 𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙(𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒔𝒆𝒏𝒙 57. 𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 −𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑐𝑠𝑐𝑥 82. 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 52. 𝒄𝒐𝒕𝒙(𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒙) = 𝒄𝒔𝒄 𝒙 53. (𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒙)𝟐 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 54. (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)(𝟏 + 𝒔𝒆𝒄𝒙)𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 55. 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙 58. 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝒙 81. 𝑐𝑠𝑐𝑥−1 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 83. 𝑐𝑠𝑐𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝟐 𝟏 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝟐𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒕𝒙 79. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 2𝑡𝑎𝑛𝑥 47. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1−𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥−1 = 𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙)+𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝑥 𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙 75. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 1 𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 70. = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙−𝟏 𝒕𝒂𝒏𝒙−𝟏 (𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟏)𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟐 1 44. 1−𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1−𝑡𝑎𝑛𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 69. 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 74. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃−𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 43. 1 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 73. 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 1−𝑐𝑜𝑠𝜃 49. 68. 72. 41. (𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃)2 = 1+𝑐𝑜𝑠𝜃 42. 1+𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝟏 67. 𝒄𝒔𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒕𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙+𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 2 34. (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃)(1 + 𝑡𝑎𝑛 𝜃) = 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 35. 1 − 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 84. 𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1+𝑐𝑜𝑠𝜃 85. 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 = (𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑡𝜃 86. 𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 1−𝑡𝑎𝑛2 𝑥 87. 1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 88. 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 89. 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 90. (𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 2 1−𝑐𝑜𝑠𝜃 59. 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 91. √1+𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥 60. 𝒔𝒆𝒄𝒙 − 92. (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑥)2 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 3 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝑠𝑒𝑛𝑥 93. 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 99. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 100. + 1−𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑐𝑠𝑐𝑥 94. 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 95. √1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 96. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 97. 𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 1 98. √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑥 II. Complete la siguiente tabla expresando cada función en términos de las otras funciones. senθ senθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ senθ cosθ tanθ Cotθ secθ cscθ 1-cos 2 cosθ tanθ Cotθ secθ cscθ TALLER N: 8 TEMA:IDENTIDADES i) sen -7π 12 DE LA DIFERENCIA DE j) tan 17π 12 ¿Cuál de los siguientes valores es el valor exacto de sen75º?. Justifique. a) 2 √6 2 k) cos -5π 12 SUMA Y ANGULOS 1. b) c) d) 2 + √6 2 √2 - √6 2 √2 + √6 2 2. Utilice la fórmula de la suma o de la diferencia más apropiada para hallar el valor exacto de la expresión: a) cosπ 2 b) sen -π 2 c) sen 11π 12 d) e) f) g) h) cos105º m) tan225º n) sen 7π 6 l) cos165º tan165º sen195º cos345º cos13π 12 o) tan 3π 4 3. Utilice la fórmula más apropiada de la suma o de la diferencia de ángulos para verificar la identidad a) cos(t + 2π) = cost b) sen(t + 2π) = sent c) sen t + π = cost 2 d) cos t + π = -sent 2 cos(π - t) = -cost f) tan(π - t) = -tant e) Si senα = 3 y cosβ = 12 , donde 0≤α≤ π y0≤β≤ π. a) sen(α + β) b) cos(α + β) c) tan(α - β) 6. Si θ es un ángulo del cuadrante II, α es un ángulo del cuadrante III, senθ =1/2 y tanα = 4 4. 7. Si cosθ = 3/7, θ Є IV C, hallar sen2θ y sen3θ Hallar: a) b) c) d) e) f) sen(θ + α) sen(θ - α) cos(θ + α) cos(θ - α) tan(θ + α) sen(θ - α) 8. Si tanθ = 1 , θ Є III C, hallar cos4θ TALLER N: 9 TEMA :IDENTIDADES DEL ANGULO MEDIO Y EL ANGULO DOBLE 1. Si sent =,√2/2, t Є II C, hallar cos2t y tan2t √3 2. Si cost = , t 3 cos2t y tan2t 9. Encuentre el calor exacto de la expresión dada a) cos(π/12) b) sen(π/8) c) sen(3π/8) d) tan105º e) csc(13π/12) f) sec(-3π/8) Demostrar las siguientes identidades: a) 1 sen2x = senxcosx 2 10. Є IV C, hallar b) (senx + cosx)2 – sen2x = 1 d) cotx – tanx = 2cot2x c) 3. Si cscα = -3, α Є III C, hallar sen2α y tan2α 4. Si tan2θ =√5, θ Є I C, hallar tanθ 5. Si cotα= 4, α Є I C, hallar sen2α y cos2α Use la información dada para t t t hallar: cos , sen y tan 2 2 2 a) sent = 1 , t Є II C. 3 11. b) 6. Si sect= -13, t Є II C, hallar cos2t y tan2t cos2x = 2cot2x senxcosx cost = 4 , t Є IV C. 5 tanθ= 2, θ Є III C. d) cscθ= 9, θ Є I C. c) e) sect = 3 , t Є I C. 2 6. tan cot f) cotψ = -1 , ψ Є II C. 4 7. 2 cos x 3 sec x 5 8. sen 4 x 2sen 2 x 1 0 9. sec xsen 2 x tan x 10. tan3 x 4,24 tan2 x 0 2cos2A - cosA = 1 2 11. 1 cot csc tanx = cscx - cotx 2 12. 12. Verificar las siguientes identidades: a) 2sen π cosπ = senπ 2 2 b) c) senx cos x 0 TALLER N:10 TEMA: ECUACIONES 13. cos cos 0 14. cos 1 tan2 1 TRIGONOMÉTRICAS Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas: 1. 15. 3(tan x cot x ) 4 2senx 3 0 Encontrar todas las soluciones de: 2. 3 tan 2 x 1 0 16. 3. sen2x 0 sen 2 x 2 senx 0 17. 2 cos 2x 2sen 2 x 0 2 4. 5. 1 2senx 1 2 csc csc sec 2 x x cos 0 2 2 18. senx cos x sen 19. tan 2x cot x 0 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. cos2x – 1 = 0 cscx + 3 = 6 cos2x + 2 = 3cosx tan2θ = tanθ 2sent = sentcost senx = cosh cosw – secw = 0 senx + 3 = -2cscx 2cos2x – senx –1 = 0 tan2x – sec2x = 5 cot2α – cscα = 1 2sen2x – 3senx + 1 = 0 3sec2x = secx tan2α + (√3 – 1)tanα - √3 = 0 cot2θ + cotθ = 0 2sec2α + (2 - √3 )senα - √3 = 0 2sen3θ = 1 cot x = 1 2 sen2x + senx = 0 39. cos2θ = senθ 40. sen2θ + 2senθ – 2cosθ = 2 41. tan4θ – 2sec2θ + 3 = 0 42. senx + √senx = 0 43. 1 + cosθ = 2 Cosθ 38. TALLER N:11 TEMA :GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Graficar las siguientes funciones trigonométricas. Determinar el dominio, el rango y periodo de cada función. 1. 1 + cosx 2 -1 + senx -senx -cosx -(3 +cosx) sen(x- ) a) y= b) f) y= y= y= y= y= g) y = cos(x - c) d) e) h) i) j) k) l) m) n) o) p) ) 4 y = 2 + tanx y = 1 - tan x 2 y = -cotx y = -secx 6 y = -csc(x+ ) 5 y =-2 + cot x 6 y =cosx - senx y = x - tanx y = senx + cosx +1 Investigar las técnicas de traslación, reflexión y suma de coordenadas para graficar funciones. 2. Taller n°12 TEMA:LEY DEL SENO Resuelva el triángulo indicado teniendo en cuenta la posición relativa de , , , a, b y c que se muestra en la siguiente figura: 1. A b c B a C β = 60º, γ = 15º, a = 30 cm b) α = 38º, β = 53º, b = 6 cm c) α = 18º, γ = 32,5º, c = 35 cm d) α = 72º, a = 12Hm, b = 6Hm e) β = 150º, b = 50cm, c = 8cm f) β = 62º, a = 7cm, b = 4cm g) α = 20º, b = 9m, c = 4m h) β = 65º, b = 10cm, c = 12cm i) α = 13º 12', β = 102º, c = 9cm j) β = 125º, b = 15mm, c = 10mm k) β = 135º, γ = 18º, a = 12dm l) γ = 33º, a = 8m, c = 10m 2. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una distancia uno del otro de 15 km en los puntos A y B, y divisan un bote que se esta hundiendo situado en el punto C. Si el salvavidas en A mide un ángulo CAB igual a 79,3º y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43,6º, ¿a qué distancia esta el bote de cada salvavidas?¿A qué distancia esta el bote de la costa?. 3. Una persona situada en un punto A se dirige en línea recta hacia un punto C. Otra persona hace mismo desde un punto B. Si la distancia entre A y B es de 8 km, el ángulo CAB es de 75º y el ángulo CBA es de 45º, ¿qué distancia tendrá que recorrer cada persona?. a) TALLER n°13 TEMA: TEOREMA DEL DE COSENO Resuelva el triángulo indicado teniendo en cuenta las posiciones relativas de α, β, γ, a, b y c que se muestra en la siguiente figura: a) α = 60º, b = 14dm, c = 10dm A b) α = 75º, b = 7cm, c = 12cm c) β = 120º, a = 8m, c = 10m d) a = 7, b = 5km, c = 6km e) a = 3, b = 6cm, c = 12cm c b f) a = 19,1, b = 12,2m, c = 23,8m g) a = 11,5, b = 7,8 cm, c = 14,08cm B h) γ = 22º, a = 9mm, b = 3mm a C i) γ = 130º, a = 9Hm, b = 13Hm j) α = 97º 15', b = 3Dm, c = 6Dm k) a = 6, b = 12m, c = 8m l) a = 13,5, b = 18,6cm, c = 25,2cm 1. 2. Un terreno triangular tiene lados de longitud 35, 40 y 60 metros respectivamente. Encuentre el ángulo interior mas grande del triángulo. 3. Un rombo tiene lados de 12 cm de longitud. Si el ángulo de uno de sus vértices es 55º, encuentre las longitudes de las diagonales. 4. Dos autos parten de la intersección de dos carreteras rectas y viajan a lo largo de ella a 80 km/h y 100 km/h respectivamente. Si el ángulo de intersección de las carreteras es 80º, ¿qué tan separados están los automóviles al cabo de 45 minutos?. 5. Dos estaciones de radar se sitúan a 3,5 km la una de la otra. Un helicóptero pasa directamente sobre la línea entre las dos estaciones. En ese instante la distancia entre las estaciones y el helicóptero es de 1,8 km y 2,5 km. Encuentre la altitud del helicóptero. 6. Para la cometa que se muestra en la siguiente figura encuentre la longitud de cada vara de alineación requerida para los soportes de las diagonales. 8cm 70° 12cm 8cm 12cm 45,54° TALLER n°13 TEMA:LEY DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO .COMPLEMENTARIO Utilice la información dada para determinar las partes faltantes de triángulo ABC. 1. a) b) c) d) e) f) 2. A = 80º, B = 35º, a = 12m A = 72º, a = 24cm, b = 15cm a = 6cm, b = 9cm, c = 10cm B = 110º, C = 25º, c = 16dm a = 15, b = 12km, c = 5km A = 80º, C = 41º, b = 30m Aplicaciones 1. Un topógrafo desea medir la distancia entre dos puntos A y B en las orillas opuestas de un río como indica la figura siguiente. El topógrafo mide 200 metros de distancia entre los puntos A y C, utiliza un instrumento llamado transitó para determinar que m(B) = 63,8º y m(C )= 84,2º. Determine la distancia entre A y B. C 84,2° A 200 cm 63,8° B La torre inclinada de Pisa tiene 179 pies de longitud, pero debido al terreno inestable, se inclina cada año con respecto de la perpendicular, de modo que se inclina con un cierto Angulo , como se indica en la figura siguiente. A una distancia de 100 pies desde el centro de la base de la torre, el Angulo de elevación a la parte superior de la torre es de 64,7º. a) Aproxime el Angulo . b) Aproxime la distancia de inclinación d de la torre con respecto de la perpendicular. d 2. 179 3. 100 64.7° Un método común que se utiliza para medir la altura de un árbol o una montaña es determinar dos ángulos de elevación del objeto desde dos puntos diferentes, a lo largo de la misma línea de visión, llamada línea de base. Utilice la información de la figura siguiente para estimar la altura de un árbol de secoya en California. P Q 24.2° 200 pies R 38° S 4. Se desea cercar un terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hilos de alambre. Si la diagonal mayor de dicha figura tiene una longitud de 230 m y forma con los lados adyacentes ángulos de 38° y 40°, ¿Qué cantidad de alambre se necesitará para llevar a cabo esta labor? 5. Dos vias de ferrocarril se cruzan formando un ángulo de 75°. En un instante pasa por el cruce un tren con una velocidad de 70 Km/h. Transcurridos 15 minutos cruza por el mensionado punto otro tren que va por la otra via a una velocidad de 130 Km/h. Determina la distancia que separa los dos trenes 15 minutos despues del paso del segundo tren por el punto de cruce. 6. Un barco es rastreado por dos estaciones de radar P y Q que se encuentran en línea norte sur y 6.000 m una de la otra. La estación P lo localiza en la dirección N 34°E y la estación Q hace lo mismo en la dirección N 48°E ¿A qué distancia está el barco en la estación P? 7. Un topógrafo situado en un punto C localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C está a 5 kilómetros de A y a 8 Kilómetros de B, y además el ángulo C mide 36°. Calcula el ancho del lago. 8. Dos personas, A Y B, se encuentran a una distandia de 400 metros una de la otra. Cuando un avión pasa por el plano vertical d las mencionadas personas, éstas lo ven simultáneamente con ángulos de elevación de 35° y 48°, respectivamente. Calcula la altura del avión en este instante. 9. Una casa mide 45 pies de adelante hacia atrás. El techo mide 32 pies, desde la parte delantera de la casa hasta la punta del techo y 18 pies desde la punta del techo hasta la parte trasera de la casa. Encuentre los ángulos de elevación de las partes delantera y trasera de la casa.