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GOBIERNO DEL
ESTADO DE MÉXICO
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL
ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO
DIVISIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ELABORACIÓN DE CUADERNILLO DE APUNTES:
FISICA 2
ELABORADO POR:
ING. ROSALÍO MARTÍN MARÍN FERNÁNDEZ
LOS REYES, LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO
2009.
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
INDICE
Pág.
Unidad 1
Sistemas Coordenados y Cálculo vectorial.
1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y escalares.
Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y
laplaciano
2
1.2 Coordenadas Cilíndricas: Puntos, campos vectoriales y escalares.
Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y
laplaciano
9
1.3 Coordenadas Esféricas: Puntos, campos vectoriales y escalares.
Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y
laplaciano
18
1.4 Transformación de Coordenadas de un punto a otro.
26
1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema
coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados
1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema
coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
1.5 Diferenciales de longitud, área y volumen en los diferentes sistemas de
coordenadas.
1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnéticos.
37
38
40
41
Unidad 2
Electrostática
2.1 Campos electrostáticos en vacio
46
2.1.1 Ley De Coulomb e intensidad de campo eléctrico
48
2.1.2 Campos Eléctricos debidos a distribuciones continúas de carga
52
2.1.3 Densidad de flujo eléctrico
53
2.1.4 Ley de Gauss (Ecuación de Maxwell). Aplicaciones de esta ley
56
2.1.5 Potencial eléctrico. Relación entre E y V (Ecuación de Maxwell).
59
2.1.6 El dipolo eléctrico
60
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2.1.7 Líneas de flujo eléctrico y superficies equipotenciales
62
2.1.8 Densidad de energía en los campos electrostáticos
64
2.2 Campos electrostáticos en el espacio material
64
2.2.1 Corriente de conducción y corriente de convección
64
2.2.2 Polarización en dieléctricos constante y resistencia dieléctricas
64
2.2.3 Dieléctricos lineales Isotrópicos y Homogéneos
69
2.2.4 Ecuación de continuidad y tiempo de relajación
77
2.2.5 Condiciones de frontera
77
2.3 Problemas valores en frontera en electrostática
78
Unidad 3
Campos magnetostáticos
3.1 Campos magnetostaticos
80
3.1.1 Ley de Biot-Savart
81
3.1.2 Ley de Ampere de los circuitos (Ecuación de Maxwell)
Aplicaciones Ley De Ampere
90
3.1.3 Densidad flujo magnético (Ecuación de Maxwell)
92
3.1.4 Potenciales magnéticos escalares y vectoriales
95
3.2 Fuerzas en materiales y aparatos magnéticos
95
3.2.1 Fuerzas debidas a los campos magnéticos
98
3.2.2 Par de torsión y momento magnéticos
99
3.2.3 El Dipolo magnético, dipolo eléctrico
100
3.2.4 Magnetización de materiales. Clasificación de los materiales
magnéticos
3.2.5 Condiciones de frontera magnética
103
3.2.6 Inductores e Inductancia energía magnética
105
3.2.7 Circuitos magnéticos
107
104
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Unidad 4
Termodinámica
4.1 Ley Cero termodinámica temperatura
109
4.2 Escalas de temperatura
110
4.3 Expansión térmica sólidos y líquidos
112
4.4 Primera ley de termodinámica
113
4.4.1 Sistemas cerrados y abiertos
117
4.4.2 Interacciones calor y trabajo
118
4.4.3 Capacidad calorífica y calor especifico
119
4.4.4 Energía interna y entalpia
123
4.5 Modelo Gas Ideal
4.5.1 Calculo trabajo y de propiedades en procesos
4.6 Segunda ley de termodinámica
124
134
144
4.6.1 Entropía
147
4.6.2 Maquinas térmicas. Ciclo de Carnot
148
4.6.3. Potenciales termodinámicos. Relaciones de Maxwell (aquí no
lleva la
palabra relación es Ecuaciones de Maxwell)
4.6.4 Ecuaciones generales para cambio de Entropía
155
158
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FISICA 2
INDICE
Pág.
Unidad 1
Sistemas Coordenados y Cálculo vectorial.
1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y escalares.
Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y
laplaciano
02
1.2 Coordenadas Cilíndricas: Puntos, campos vectoriales y escalares.
Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y
laplaciano
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1.3 Coordenadas Esféricas: Puntos, campos vectoriales y escalares.
Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y
laplaciano
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1.4 Transformación de Coordenadas de un punto a otro.
26
1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema
coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados
1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema
coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
1.5 Diferenciales de longitud, área y volumen en los diferentes sistemas de
coordenadas.
1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnéticos.
37
1
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FISICA 2
1.1 Coordenadas cartesianas.
Historia
Se denominan plano cartesiano en honor a René Descartes (1596-1650), el
célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento
filosófico en la necesidad de tomar un punto de partida sobre el que edificar todo
el conocimiento. Como creador de la geometría analítica, también comienza
tomando un punto de partida: el sistema de referencia cartesiano, para poder
representar la geometría plana con referencia a dos rectas perpendiculares que se
cortan en origen, ideando las denominadas coordenadas cartesianas. Las
coordenadas cartesianas de un vector son equivalentes a la resolución de sus
vértices
Sistema de coordenadas lineal.
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número
real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El
centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual
definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen),
y un vector unitario en el sentido positivo de las x: .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y puede
aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en
ocasiones también se llama recta real (fig.1.1.)
Fig.1.1.1 Recta
Sistema de coordenadas plano.
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se
cortan en el origen, cada punto del plano puede nombrarse mediante dos
números: (x, y) las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, las
distancias ortogonales a los ejes cartesianos.
2
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FISICA 2
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se
cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina
también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro
cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a
negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas,
mientras que las del punto B serán ambas negativas (fig. 1.2)
Fig. 1.1.2 Sistema de coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del
segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos
paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la
posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector
OA.
La posición del punto A será:
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FISICA 2
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto
como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del
punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d AB entre los puntos A y
B antes calculada.
Sistema de coordenadas espacial.
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre
sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede
nombrarse mediante tres números: (x, y, z) denominados coordenadas del punto,
que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen
las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente (fig. 1.3).
Fig. 1.1.3 Coordenadas cartesianas espaciales
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Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en
ocho octantes en los que como en el caso anterior los signos de las coordenadas
pueden ser positivos o negativos.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata
considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la
posición del punto.
Las coordenadas del punto A serán:
La distancia entre los puntos A y B será:
El segmento AB será:
Operación con Vectores
Para realizar ciertas operaciones con los vectores se tiene que conocer las
propiedades de estos.
Igualdad de dos vectores: Dos vectores A y B pueden definirse como iguales si
tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección. Es decir, A = B, sólo si
A = B y, los dos actúan a lo largo de direcciones paralelas.(fig. 1.4)
Fig. 1.1.4 Como lo podemos observar en esta imagen.
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FISICA 2
Adición: Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas
unidades.
Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se
tienen los siguientes:
El método de adición del triángulo se realiza cuando el vector A se suma al vector
B la resultante R es el vector que va desde el origen de A hasta la punta de B (fig
1.5).
Fig. 1.1.5 Adición del triangulo.
El vector que completa el polígono: Cuando se suman más de dos vectores, por
ejemplo R = A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del
primer vector hasta la punta del último vector, en este caso de A hasta la punta de
D (fig. 1.6).
Fig. 1.1.6 Vector que completa el polígono
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La regla de adición de paralelogramo: En este la construcción en los orígenes de
los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es la diagonal de un
paralelogramo con lados A y B (fig. 1.7)
Fig. 1.1.7 Adición del paralelogramo.
Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes: La
ley conmutativa y la asociativa.
Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual le da origen
a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a continuación:
A+B=B+A
Fig. 1.1.8 Ley conmutativa.
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FISICA 2
Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de la forma en
la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el
nombre de la ley asociativa de la suma (fig. 1.9).
A + (B + C) = (A + B) + C
Fig. 1.1.9 Ley asociativa de la suma.
Negativo de un vector: Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud
pero con diferente sentido, lo cual ocasiona que el resultado de la operación sea
cero, como un ejemplo tenemos A + (-A) = 0.
Sustracción: Es la sustracción de vectores se usa la definición del negativo de un
vector. Esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector - B
sumado al vector A.( A - B = A + (-B) ) (fig. 1.10).
Fig. 1.1.10 Sustracción de vectores
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FISICA 2
Multiplicación de un vector por un escalar: Si el vector A se multiplica por una
cantidad escalar positiva m, el producto mA es un vector que tiene la misma
dirección pero la magnitud es mA. Si es m una cantidad escalar negativa, el vector
mA está dirigido opuesto a A.
1.2 Coordenadas Cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la
posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto
a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en
que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata
de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría
analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien
la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la
proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde
el punto P al plano XY.
Fig. 1.2.1 Coordenadas cilíndricas
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FISICA 2
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La
coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a
alcanzarse el valor 0, a partir de ahí,
ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o
disminuye en π radianes.
Analicemos el punto el punto (x,y,z)
Ahora construyamos un cilindro circular imaginario con eje del cilindro sobre uno
de los ejes, que sin pérdida de generalidad podría ser el eje z
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FISICA 2
Sea
la distancia del origen al punto (x,y,z) y
el ángulo formado entre el eje X
y la proyección, P´, del punto P
Por lo que podemos definir:
La coordenada z al estar asociada con la altura del cilindro no cambia.
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FISICA 2
Analizando esta figura el plano X-Y en la figura, podemos determinar cuáles son
los valores de
:
Observemos que se forma el triángulo rectángulo entre los puntos A, P´ y el origen
por lo que observamos
es la hipotenusa del triángulo
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FISICA 2
También podemos observar que la hipotenusa del triángulo rectángulo es
que del teorema de Pitágoras tenemos:
y el ángulo puede quedar determinado, si conocemos x y y, de esa forma:
Relación con otros sistemas de coordenadas
Relación con las coordenadas cartesianas
13
y
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FISICA 2
Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.
Líneas y superficies coordenadas
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las
coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas,
estas son:
Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.
Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
Líneas coordenadas z: Rectas verticales
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FISICA 2
Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente
cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
Superficies z=cte.: Planos horizontales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a
dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas puede definirse una base vectorial
en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas
coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las
coordenadas cartesianas mediante las relaciones
e inversamente
En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del
vector de posición en estas coordenadas es
Nótese que no aparece un término
oculta en los vectores de la base.
. La dependencia en esta coordenada está
Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas
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FISICA 2
Diferenciales de línea, superficie y volumen
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene
dado por
Diferenciales de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es
complicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q 3 = cte.
el resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie
son
ρ=cte:
φ=cte:
z=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del
jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El
jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas cilíndricas da
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FISICA 2
Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones
particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones
particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
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FISICA 2
Laplaciano
1.3 Coordenadas Esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las
coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto
mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda
representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o
colatitud θ y el azimuth φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud,
en cuyo caso su margen es de 90º a −90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero
el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo
en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360ª (0 aπ2en radianes) o de−180º a
+180º (-π a π). Se debe tener en cuenta
é convención
qu
utiliza un autor
determinado
Forma escalar de la ecuación del momento lineal
A efectos de análisis teóricos y para la predicción numérica del tiempo, es
necesario desarrollar la ecuación vectorial del momento lineal en sus
componentes escalares. Debido a que la desviación de la forma de la Tierra
respecto a una esfera puede despreciarse para los propósitos meteorológicos, es
conveniente también desarrollar las ecuaciones en coordenadas esféricas de
manera que la superficie (nivel) de la Tierra corresponda a una superficie
coordenada. Los ejes de coordenadas serán entonces , y , donde es la
longitud, es la latitud y es la distancia vertical por encima de la superficie
terrestre. Los vectores unitarios se dirigirán respectivamente hacia el este, norte y
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FISICA 2
verticalmente hacia arriba. El sistema de coordenadas definido de esta manera no
es un sistema de coordenadas cartesianas, ya que las direcciones de los vectores
unitarios no son constantes, sino que son función de la posición sobre la esfera
terrestre. Esta dependencia posicional de los vectores unitarios debe tenerse en
cuenta al desarrollar el vector aceleración en sus componentes sobre la esfera.
Como resultado se obtienen las componentes de la ecuación del momento lineal
en las direcciones este, norte y vertical respectivamente:
Los términos proporcionales a 1/a (siendo a la distancia al centro de la Tierra) se
denominan términos de curvatura, pues estos términos surgen como
consecuencia de la curvatura terrestre. Para los movimientos a escala sinóptica en
latitudes medias los términos de curvatura pueden despreciarse (ver el módulo
sobre Análisis de escala de las Ecuaciones).
Las ecuaciones del movimiento son no lineales porque contienen productos de las
componentes de la velocidad y/o de las derivadas de las componentes de la
velocidad, lo cual hace muy difícil resolver las ecuaciones. Los
términos advectivos de la aceleración son de magnitud comparable a la
aceleración local. La presencia de procesos de advección no lineales complica y
dificulta la Meteorología Dinámica, pero también la convierte en apasionante y de
enorme interés
Analicemos el punto el punto (x,y,z)
Fig.1.3.1
ahora construyamos una esfera con centro la coordenada (0,0,0) y de
radio,
la distancia del origen al punto. Sea también
el eje z y el radio.
19
el ángulo formado por
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FISICA 2
Fig. 1.3.2
Analizando su proyección podemos, vemos que se forma un triangulo rectángulo
con vértices el origen, el punto de proyección A y el punto P, con hipotenusa el
radio
Fig.1.3.3
Vemos que debido a que el triángulo descrito es un triangulo rectángulo entonces
la proyección sobre el plano X-Y es:
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FISICA 2
Fig. 1.3.4
Llamemos
proyectemos
al
ángulo
entre
el
eje
X
y la
proyección
sobre el eje X y sobre el eje Y, entonces, tendremos:
Fig. 1.3.5.
Fig. 1.3.6
21
.
Ahora
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Para encontrar cuál es el valor de Z analicemos la proyección de
Z, el cual, como vemos del triángulo rectángulo OPZ.
sobre el eje
Fig. 1.3.7
Luego entonces las transformaciones quedan expresadas como:
Podemos fácilmente ver que como luego entonces las transformaciones quedan
expresadas como el radio de la esfera solo es la distancia del origen al punto
entonces:
De z podemos determinar
Una
vez
despejar
que
hemos
como:
determinado
de x o de y
22
tanto
entonces
podemos
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Coordenadas esféricas
Invención norteamericana
Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por
los matemáticos de Estados Unidos es:
P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen.
φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la
línea que une el origen y el punto P, y
θ (acimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje X positivo y la
línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.
Convención no-norteamericana
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FISICA 2
Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no
norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:
θ la colatitud
φ el acimut.
Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema
internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:
La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a
alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer
π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.
Coordenadas geográficas.
Coordenadas geográficas
Este tipo de coordenadas se usa para nombrar puntos sobre una superficie
esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y
conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los
siguientes formatos:
•
•
•
DD Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500
DM Degree:Minute (Grados:Minutos.Segundos): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00123:30:00
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Otro sistema de coordenadas geográficas habitual es el sistema de coordenadas
UTM.
Gradiente, divergente, rotacional y laplaciano
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado
por
Diferenciales de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es
complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie
coordenada, q 3 = cte. el resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie
son
r=cte:
θ=cte:
φ=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del
jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El
jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas esféricas da
Operadores diferenciales en coordenadas esféricas
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El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones
particulares en coordenadas esféricas. Estas son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
1.4 Transformación de Coordenadas de un punto a otro.
Cambios de coordenadas.
En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del
cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar
las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en
las que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que
permite encontrar la solución con mayor facilidad.
Más formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por un
difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también
diferenciable):
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FISICA 2
Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente
modo:
Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas
coordenadas se usan las leyes de transformación tensorial:
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos
transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un
eje).
Traslación del origen.
Fig. 1.4.1Traslación del origen en coordenadas cartesianas
Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y
Y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:
Dado un segundo sistema de referencia S2
27
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FISICA 2
Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los
ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:
Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los
datos anteriores. Que llamaremos:
Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:
Despejando
Lo que es lo mismo que:
Separando los vectores por coordenadas:
Y ampliándolo a tres dimensiones:
Rotación alrededor del origen.
28
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FISICA 2
1.4.2 Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas
Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:
y una base orto normal de este sistema:
Un punto A del plano, se representara en este sistema según sus coordenadas:
Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo , respecto al
primero:
Y con una basa orto normal:
Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de
referencia, girado respecto al primero, lo llamaremos rotación alrededor del origen,
siendo su representación:
Hay que tener en cuenta que el punto
y
son el mismo punto,
;
empleamos una denominación u otra para indicar el sistema de referencia
29
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FISICA 2
empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema sí que son
diferentes, y es lo que se pretende calcular.
La representación de B1 en B2 es:
Dado que el punto A en B1 es:
Con la transformación anterior tenemos:
Deshaciendo los paréntesis:
Reordenando:
Como:
;
Tenemos que:
Como sabíamos:
Por identificación de términos:
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FISICA 2
Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1
y de .
Cálculo matricial.
Siendo [ T ] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las
componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si
se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios
originales en el sistema de referencia rotado.
Escribir las formulas para transformar las coordenadas de rectangulares a
esféricas, de cilíndricas a esféricas, esféricas a cilíndricas y de esféricas a
rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.
•
Rectangulares a esféricas
•
Cilíndricas a esféricas
•
Esféricas a cilíndricas
•
Esféricas a rectangulares
Ejemplo 1. (Rectangulares a esféricas)
Una ecuación cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya
antes mencionadas esta ecuación se hace directamente sustituyendo.
3x + 2y + 6z = 0
3 Sen Cos + 2 Sen Sen + 6 Cos = 0.
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FISICA 2
Ejemplo 2. (Esféricas a rectangulares)
Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas de la superficie siguiente,
cuya ecuación se ha expresado en coordenadas esféricas, e identifique la
superficie: Cos = 4.
z = 4.
La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades por arriba de este.
Ejemplo 3. (Esféricas a cilíndricas)
Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas cilíndricas.
Ejemplo 4. (Esféricas a rectangulares)
Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas rectangulares.
Ejemplo 1:
Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).
Solución:
Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.
X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2 (√3).
Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2
Z=3
Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( √ 3, 2, 2).
Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas
ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:
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FISICA 2
a. x2 + y2 =4z2
b. y2 = x
Solución a)
Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono
<<de dos hojas>> con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos
su ecuación en cilíndricas.
x2 +y2 =4z2
ecuación en coordenadas rectangulares.
r2 = 4z2
ecuación en coordenadas cilíndricas.
Solución b)
La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z.
Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos:
y2 = x
r2 sen2 ө = r cos ө
ecuación rectangular.
sustituir y por sen ө, x por r cos ө.
r(r sen2 ө –cos ө) = 0
agrupar terminos y factorizar
r sen2 ө –cos ө = 0
dividir los dos mienbros por r
r =cos ө / sen2 ө
despejar r
r cosec ө ctg ө
ecuación en cilíndricas.
Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido
nada al dividir ambos miembros por el factor r.
Ejemplo 3:
Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada
por la ecuación en cilíndricas:
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r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0
Solución:
r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0
ecuación en cilíndricas
r2 (cos2ө – sen2 ө) + z2 = 0
identidad trigonometrica.
r2 cos2 ө – r2 sen2 ө +z2 = -1
X2 – y2 +z2 = -1
Y2 – x2 – z2 = 1
sustituir r cos ө por x y r sen ө por y
ecuación rectangular.
Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.
Coordenadas esféricas.
Es el sistema de coordenadas esféricas cada uno se representa por un trío
ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son
ángulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para
localizar puntos sobre la superficie terrestre.
El sistema de coordenadas esféricas.
Es en sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio
viene representado por un trío ordenado (p, ө, ǿ).
1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0.
2.- ө es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r> 0.
3.- ǿ es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > ǿ < π.
Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.
La relación entre las coordenadas rectangulares y las esféricas. Para separar
uno a otro deben usarse las formas siguientes:
Esféricas a rectangulares:
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FISICA 2
X =p sen Ф cos ө,
y= p sen Ф sen ө, z = p cos Ф.
Rectangulares a esféricas:
P2= x2 + y2 + z2,
tg ө=y/x,
Ф= arcos (z/√ x2 + y2 +z2).
Para cambiar de coordenadas esféricas a cilíndricas, o viceversa, deben
aplicarse las formulas siguientes:
Esféricas a cilíndricas (r > 0):
r2 =p2 sen2 Ф,
ө = ө,
z = p cosФ.
Cilíndricas a esféricas (r> 0):
P= √r2 + z2,
ө = ө,
Ф = arcos (z / √r2 + z2).
Las coordenadas esféricas son especialmente apropiadas para estudiar
superficies que tenga un centro de simetría.
Ejemplo 1:
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas
ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.
a).- cono: x2 + y2 = z2
b).- esfera: -4z = 0
Solución:
a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuación dada se
obtiene:
x2 + y2 = z2
p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф
p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф
p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф
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FISICA 2
sen2 Ф/ cos2 Ф = 1
tg2 Ф = 1
p> 0
Ф = π /4 o Ф = 3π/4
La ecuación Ф = π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuaci
ón Ф =
3π/4 su mitad inferior.
b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma
en coordenadas esféricas.
P2 – 4 p cos Ф = 0 → p (p -4 cos Ф) = 0
Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuación
en esféricas.
P -4 cos Ф = 0
o
p = 4cos Ф
Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a
los otros dos sistemas coordenados.
Coordenadas cilíndricas y esféricas.
Coordenadas cilíndricas.
Ya hemos tenido ocasión de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son
más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas
rectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta sección introducimos
dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema
de coordenadas cilíndricas, es una generalización de las coordenadas polares
en el espacio.
El sistema de coordenadas cilíndricas.
En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se
representa por un trío ordenado (r, ө, z).
1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).
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FISICA 2
Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes
formulas de conversión.
Cilíndricas a rectangulares.
X = r cos ө,
y = r sen ө,
z=z
Rectangulares a cilindricas:
R2 =x2 + y2,
tg ө =y/x,
z = z.
El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto
en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.
1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado,
transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
Campos escalares
Representa a una magnitud física que requiere de sólo un número para su
identificación. Se trata de un concepto que data del siglo XIX. Su aplicación está
orientada a la descripción de fenómenos relacionados con la distribución de
temperaturas dentro de un cuerpo, con las presiones en el interior de fluidos, con
el potencial electroestático o con la energía potencial en un sistema gravitacional.
Las funciones de estos fenómenos no se pueden modelar en un gráfico, por
requerirse cuatro dimensiones, y por eso mismo dan pie para estudiar el «espacio
curvo» en el cual cohabitamos. Son también las herramientas optimizantes para
aquellos casos donde intervienen distintas variables.
Matemáticamente, un campo escalar es una función, cuyo valor depende del
punto del espacio en que se considere, y se expresa de la siguiente manera:
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FISICA 2
En que es un vector de coordenadas (cartesianas) (x, y, z), que representa la
posición del observador en el espacio.
Un ejemplo recurrente e intuitivo, son las curvas de los mapas bidimensionales de
los topógrafos que representan topográficamente a una región. El campo escalar
que corresponde es el campo de altura H (x, y), de una región de la superficie de
la tierra, en función de la posición de puntos sobre un plano proyectivo.
Evidentemente, se trata de un campo escalar en el espacio bidimensional, en que
la altura de un punto está dada por z = H (x, y).
1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema coordenado
transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
Campos vectoriales
Un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector
a cada punto en el espacio euclídeo.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo,
modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la
intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o la
gravitatoria, pues cambian punto a punto.
En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en
variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.
Rn → Rn que ⊂ Un campo vectorial es en Rn es una aplicación F : A asigna a
cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial
en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.
Visualizar “F” adhiriendo una flecha a cada punto. En Rn
→ R que asigna un
número a cada punto es un ⊂contraste, una aplicación f : A campo escalar. Un
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FISICA 2
campo vectorial F (x, y, z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2
y F3, así que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).
De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, … , Fn. Si
cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de
clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase
C1, a no ser que se diga lo contrario.
Fig. Visualizar “F” con una flecha.
La siguiente definición presenta uno de los campos vectoriales más importantes
de la física.
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FISICA 2
1.5 Diferenciales de longitud, área y volumen en los diferentes
sistemas de coordenadas.
Diferenciales de línea, superficie y volumen
Diferencial de línea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene
dado por
Diferenciales de superficie
La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es
complicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q 3 = cte.
el resultado es
y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie
son
ρ=cte:
φ=cte:
z=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del
jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El
jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
40
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FISICA 2
que para coordenadas cilíndricas da
1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnéticos.
Gradiente
El gradiente de un campo escalar en un punto es un vector, definido como el único
que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como siendo un
vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de, que informa de la
tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que,
multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo
escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca.
El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
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FISICA 2
En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, los cuales
representan valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente
se aprecia por flechas azules.
Divergencia
Divergencia de un campo mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse
en o a converger hacia ciertos puntos. La divergencia de un campo vectorial es un
campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de
volumen:
Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El
símbolo representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo.
Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el
campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene
sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la
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FISICA 2
divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las
negativas sumideros del campo eléctrico.
Magnitudes Escalares:
Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un valor numérico,
acompañado de la unidad de medida correspondiente. (Ver ejemplo).
Magnitudes Vectoriales:
Son aquellas en las que, además de un valor numérico, se necesitan otros
detalles. Dirección, sentido y módulo son los requisitos necesarios para
definirlas.(Ver ejemplo).
Ejemplo de magnitud escalar: Masa, tiempo, temperatura.
Ejemplo de magnitud vectorial: Velocidad, aceleración, fuerza.
Se llaman fuentes escalares del campo
de la divergencia de
al campo escalar que se obtiene a partir
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema
de Gauss o teorema de la divergencia. Cuando la definición de divergencia se
aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas.
El resultado es sencillo
Sin embargo, para un caso más general de coordenadas curvilíneas, como las
cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los
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FISICA 2
vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas
ortogonales es:
Donde los hi son los factores de escala del sistema. Esta fórmula general, para el
caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la expresión
anterior. Para coordenadas cilíndricas (
) resulta
Para coordenadas esféricas (
) resulta
44
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FISICA 2
Unidad 2
Electrostática
2.1 Campos electrostáticos en vacio
46
2.1.1 Ley De Coulomb e intensidad de campo eléctrico
48
2.1.2 Campos Eléctricos debidos a distribuciones continúas de carga
52
2.1.3 Densidad de flujo eléctrico
53
2.1.4 Ley de Gauss (Ecuación de Maxwell). Aplicaciones de esta ley
56
2.1.5 Potencial eléctrico. Relación entre E y V (Ecuación de Maxwell). 59
2.1.6 El dipolo eléctrico
60
2.1.7 Líneas de flujo eléctrico y superficies equipotenciales
62
2.1.8 Densidad de energía en los campos electrostáticos
64
2.2 Campos electrostáticos en el espacio material
64
2.2.1 Corriente de conducción y corriente de convección
64
2.2.2 Polarización en dieléctricos constante y resistencia dieléctricas
64
2.2.3 Dieléctricos lineales Isotrópicos y Homogéneos
69
2.2.4 Ecuación de continuidad y tiempo de relajación
77
2.2.5 Condiciones de frontera
77
2.3 Problemas valores en frontera en electrostática
45
78
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FISICA 2
2.1 CAMPOS ELECTROSTATICOS EN EL VACIO.
Campo electrostático
Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para influir entre ellas
y por ello las fuerzas eléctricas son consideradas fuerzas de acción a distancia. En
virtud de ello se recurre al concepto de campo electrostático para facilitar la
descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas ejercen
sobre el espacio que las rodea.
El concepto de campo
El concepto de campo surge ante la necesidad de explicar la forma de interacción
entre cuerpos en ausencia de contacto físico y sin medios de sustentación para las
posibles interacciones. La acción a distancia se explica, entonces, mediante
efectos provocados por la entidad causante de la interacción, sobre el espacio
mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles.
Así, será posible hacer corresponder a cada punto del espacio valores que
dependerán de la magnitud de la propiedad del cuerpo que provoca la interacción
y de la ubicación del punto que se considera.
El campo eléctrico representa, en cada punto del espacio afectado por la carga,
una propiedad local asociada al mismo. Una vez conocido el campo en un punto
no es necesario saber qué lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otra
propiedad relacionada con él.
Así, si se coloca una carga de prueba en un punto cualquiera del espacio en
donde está definido un campo eléctrico, se observará la aparición de atracciones o
de repulsiones sobre ella. Una forma de describir las propiedades de este campo
sería indicar la fuerza que se ejercería sobre una carga determinada si se
trasladara de un punto a otro del espacio. Al utilizar la misma carga de prueba es
posible comparar la intensidad de las atracciones o repulsiones en los distintos
puntos del campo. La carga de referencia más simple, a efectos de operaciones,
es la carga unidad positiva. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del
campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de
comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa
por la letra E. Por tratarse de una fuerza, la intensidad del campo eléctrico es una
magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido.
Interacciones entre dos cargas Q y q
46
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FISICA 2
Interacciones entre Q y q.
Fig.2.1.1
Considérese una carga Q fija en una determinada posición (ver figura 2.1.1). Si se
coloca otra carga q en un punto P 1 , a cierta distancia de Q, aparecerá una fuerza
eléctrica actuando sobre q.
Si la carga q se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como P 2 , P 3 etc.,
evidentemente, en cada uno de ellos, también estaría actuando sobre q una
fuerza eléctrica, producida por Q. Para describir este hecho, se dice que en
cualquier punto del espacio en torno a Q existe un campo eléctrico originado por
esta carga.
Obsérvese en la figura que el campo eléctrico es originado en los puntos P 1 , P 2 ,
P 3 etc., por Q, la cual, naturalmente, podrá ser tanto positiva (la de la figura) como
negativa. La carga q que es trasladada de un punto a otro, para verificar si en ellos
existe, o no, un campo eléctrico, se denomina carga de prueba.
El campo eléctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector,
usualmente simbolizado por y que se denomina vector campo eléctrico.
El módulo del vector en un punto dado se denomina intensidad del campo
eléctrico en ese punto. Para definir este módulo, considérese la carga Q de la
figura, generando un campo eléctrico en el espacio que la rodea. Colocando una
carga de prueba q en un punto P 1 , se verá que sobre ella actúa una fuerza
eléctrica. La intensidad del campo eléctrico en P 1 estará dada, por definición, por
la expresión:
La expresión anterior permite determinar la intensidad del campo eléctrico en
cualquier otro punto, tales como P 2 , P 3 , etc. El valor de E será diferente para cada
uno de ellos.
47
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FISICA 2
De
obtenemos
, lo cual significa que si se conoce la intensidad
del campo eléctrico en un punto, es posible calcular, usando la expresión anterior,
el módulo de la fuerza que actúa sobre una carga cualquiera ubicada en aquél
punto.
2.1.1 ley de coulomb e intensidad del campo
Conforme a la ley de Coulomb la fuerza de interacción de dos cargas eléctricas
puntiformes es directamente proporcional al producto de la cantidad de
electricidad en estas cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre ellas y depende del medio en el cual se hallan las cargas,
F
= q1 . q2
4πε a r2
siendo
F la fuerza de interacción de las cargas puntiformes,
en N *;
q 1 y q 2 , la cantidad de electricidad en las cargas, en C**
r la distancia entre las cargas, en m;
ε a la permitividad absoluta del medio, en F/m.
La magnitud ε a = εε 0 , siendo ε la permitividad relativa: una
adimensional.
ε o una constante eléctrica igual a la permisividad absoluta del vacío,
magnitud
ε o = 8,86. 10-12 F/m.
La permitividad relativa ε = ε a
ε0
puede calcularse por la fórmula
ε = F vac
F med
Siendo Fvac la fuerza de interacción de las cargas eléctricas en el vacío, en N;
48
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Fmed
N.
la fuerza de interacción de las cargas eléctricas en cualquier medio, en
Permitividad relativa de los materiales
Aire ............................... 1
Aire ............................ 1
Mármol ...................7,5-10
Parafina..................2, 1-2,2
Mica .......................... 6-7
Ebonita...................2,5-3
Papel parafinado... .... 2,2
Porcelana...............5,5-6.5
Poliestireno ............. 1,05
Micalex. . . . . . . . . . . . . 7 - 9
Baquelita. . . . . . . . . . . . 3,8 - 5
Micarta A y B ........... 7-8
C-irbolito.................. 3-5
Batista barnizada . . 3, 5 - 5
Vidrio orgánico ..... 3.2-3,6
Goma en hojas ...... 2,6-3,5
Vidrio ..................... 5,5-10
* 1 N= 102 gf
** 1 C=6,3 . 1018 cargas de electrón.
La razón del trabajo consumido al transportar una carga eléctrica de 1 C desde un
punto dado del campo eléctrico hasta el infinito, se llama potencial en este punto:
ϕ=A
q’
Siendo ϕ = el potencial, en V;
A= el trabajo, en J:
q = la cantidad de electricidad, en C.
Al transportar una carga eléctrica desde un punto de un campo con potencial V 1
hasta un punto de otro campo con potencial V 2 se realiza el trabajo
A = q (ϕ 1 - ϕ 2 ).
Siendo ϕ = la diferencia de potenciales, en V
- la intensidad de un campo eléctrico se define como la razón de la fuerza con
la que el campo actúa sobre la carga eléctrica insertada en sus límites, a la
magnitud de esta carga:
E=F
q’
Siendo E la Intensidad del campo eléctrico, en V/m;
49
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FISICA 2
F la fuerza con la que el campo actúa sobre la carga en N
q la cantidad de electricidad, en C.
La resistencia eléctrica que caracteriza al poder del dieléctrico de oponer
resistencia a la perforación, se determina de acuerdo con la fórmula
Eresist = U
d’
Siendo Eresist = la resistencia eléctrica, en V/m;
d = el espesor del dieléctrico, en m;
U= la tensión, a la cual se perfora el dieléctrico, en V.
Resistencia eléctrica de los dieléctricos
Resistencia eléctrica del dieléctrico, en kv/m
3000
6 0009 000
2 0003 000
15000- 50000
120 000-200 000
6 000- 10 000
10 000- 40 000
Dieléctrico
Aire. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. ...
Papel para cable......................
Mármol...................................
Parafina..................................
Mica.......................................
Porcelana................................
Vidrio.....................................
Intensidad de Campo Eléctrico
La intensidad de campo eléctrico E, es la fuerza por unidad de carga que va a
operar sobre un punto cargado positivamente.
50
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FISICA 2
E = F/q (4)
Despejando la fuerza de la (4), para una q 1 :
F = q 1 .E (5)
Si de (1) tenemos:
F = k.q 1 .q 2 /d ² (1)
Reemplazando (5) en (1):
q 1 .E = k.q 1 .q 2 /d ² entonces E = k.q 2 /d ² (6)
Ejemplo:
E B = k 0 .q/d ² ; E B = 9.109 N.m ².1 C/(1 m) ².C ² : E B = 9.109 N/C
E C = k 0 .q/d ² ; E C = 9.109 N.m ².1 C/(2 m) ².C ² : E C = 9.109 N/4 C
E C = E B /4 # Ley de variación en función de la distancia, en un campo eléctrico.
Supongamos que A emite 9.109 líneas de campo eléctrico, como B es esfera, la
superficie es:
4.π.r ² = 4.π.m ²
Entonces:
En B sería: 9.109 líneas.4.π.m ² = 3,6.109.π.m ² líneas
En C sería: 9.109 líneas.16.π.m ² = 1,44.1010.π.m ² líneas
El número de líneas N que pasa por cualquier superficie esférica es:
N = 4.π.r ²/4.π. ε 0 .r ²
51
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FISICA 2
N = 4.π.r ².k 0 .q/r ² como k 0 = 1/4.π. ε
0
N = 4.π.r ²q/4.π. ε 0 .r ²
N = q/ ε 0 = 4.π.k0.q (Ley de Gauss)
El número de líneas no se pierde, es siempre el mismo y vale para cualquier
geometría cerrada.
Formas de campos eléctricos
Se visualizan a través de líneas de fuerza.
2.1.2 campos eléctricos debido a distribución continua de cargas.
El concepto de campo electrostático facilita la descripción, en términos físicos, de
la influencia que una o más cargas eléctricas ejercen sobre el espacio que les
rodea. Para una distribución continua lineal de carga puede ser calculado cómo
se indica.
Si se dispone de una distribución lineal continua de carga, el campo producido en
un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos
infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d E que produce cada elemento
en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas. La magnitud de d E
está dada por:
52
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FISICA 2
El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es,
integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,
Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad lineal de
carga
, entonces
.
Por lo tanto,
2.1.3Densidad de flujo eléctrico
En electromagnetismo el desplazamiento eléctrico es un campo vectorial
= D(r,t), en función de la posición en el espacio
= r y del tiempo t, o
también
= D(r,ω) en función de la posición en el espacio = r y la
frecuencia ω, que aparece en las ecuaciones de Maxwell. Es una generalización
del campo eléctrico en presencia de un dieléctrico. A veces también se denomina
como campo de desplazamiento eléctrico o densidad de flujo eléctrico.
En la mayor parte de los materiales
puede ser calculado como
donde es la permitividad eléctrica del material, que en un medio lineal, no
isotrópico es un tensor de segundo orden (una matriz).
Flujo del campo eléctrico
El flujo del campo eléctrico es una medida del número de líneas de fuerza que
atraviesan una superficie dada.
53
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FISICA 2
Como ya sabemos, toda superficie puede representarse mediante un vector S,
perpendicular a ella y cuyo módulo sea el área (Interpretación geométrica del
producto vectorial).
El n° de líneas que atraviesan una superficie depende de la orientación relativa de
la superficie respecto al campo. Si el campo es perpendicular a la superficie (y por
tanto E paralelo a S el flujo es máximo y si son paralelos (E perpendicular a S) es
nulo.
Estos resultados coinciden con la definición de producto escalar Φ = E.S Nm²/C.
Esta explicación es válida si el campo E es uniforme. Si no es así, hay que dividir
la superficie en elementos diferenciales dS con carácter infinitesimal de forma que
E se pueda considerar constante. Por tanto dΦ = E.dS.
Se define el flujo como Φ = ∫S E.dS
Densidad de carga eléctrica.
A pesar de que las cargas eléctricas son cuantizadas y, por ende, múltiplos de una
carga elemental, en ocasiones las cargas eléctricas en un cuerpo están tan
cercanas entre sí, que se puede suponer que están distribuidas de manera
uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La característica principal de estos
cuerpos es que se los puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace más
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FISICA 2
fácil, sin perder generalidad, su tratamiento. Se distinguen tres tipos de densidad
de carga eléctrica: lineal, superficial y volumétrico.8
Densidad de carga lineal.
Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.
Donde Q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema Internacional de
Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).
Densidad de carga superficial.
Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el
papel de aluminio.
Donde Q es la carga del cuerpo y S es la superficie. En el SI se mide en C/m2
(culombios por metro cuadrado).
Densidad de carga volumétrica.
Se emplea para cuerpos que tienen volumen.
donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el SI se mide en C/m3
(culombios por metro cúbico).
55
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FISICA 2
2.1.4 LEY DE GAUSS (ECUACION DE MAXELL) APLICASION DE
ESTA LEY.
En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a
través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie.
De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la
densidad de carga.
El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una
superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el
flujo (
) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir a
con precisión considérese la figura, que muestra una superficie
cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales
, cada uno de
los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado
plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores
,
cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido
hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo
eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede
considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y
caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura
muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
O sea:
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FISICA 2
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie
cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada dentro de la superficie.
La constante de proporcionalidad es la permitividad del vacío.
Matemáticamente, la ley de Gauss toma la forma de una ecuación integral:
Alternativamente, en forma diferencial, la ecuación es
La Ley de Gauss
Esta ley fue establecida por Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855), y establece que el
flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta
de la superficie dividida por la permitividad eléctrica del medio (Figura 3):
(11)
Donde:
E: vector campo eléctrico, N/m
dS: vector diferencial de superficie, m2
q: carga encerrada en la superficie Gaussiana, Coul
: permitividad eléctrica del medio, 8,85 x 10-12
Figura 3. Superficie Gaussiana en donde se percibe el vector diferencial de área y
el vector campo eléctrico. Detalle como dentro de la superficie se encuentra una
carga eléctrica.
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FISICA 2
Potencial eléctrico
Se refiere a la energía potencial por unidad de carga.
Potencial debido a una carga puntual
(12)
Donde:
V: potencial eléctrico, Voltio
q: carga eléctrica, Coulomb
r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio, m
: constante de permitividad eléctrica del medio,
Potencial debido a una distribución discreta
(13)
Donde:
V: potencial eléctrico, Voltio
qi: carga eléctrica del elemento i, Coulomb
r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio i, m
: constante de permitividad eléctrica del medio,
Potencial eléctrico debido a una distribución continua
(14)
Donde:
V: potencial eléctrico, Voltio
dq: elemento diferencial de carga, Coulomb
r: distancia entre la carga generadora del campo y el diferencial de carga, m
: constante de permitividad eléctrica del medio,
El potencial eléctrico se relaciona con el campo eléctrico por:
58
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FISICA 2
(15)
Donde:
Vab: diferencia de potencial entre dos puntos a y b, Voltios
E: vector campo eléctrico, N/m
dx: vector desplazamiento, m
2.1.5 POTENCIAL ELECTRICO. RELACION ENTRE E Y V.
El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza
eléctrica (ley de Coulomb) para mover una carga positiva "q" desde el infinito
(donde el potencial es cero) hasta ese punto. Dicho de otra forma, es el trabajo
que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria "q" desde el
infinito hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica.
Matemáticamente se expresa por:
Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el
mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba
localizada a una
distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es:
De manera equivalente, el potencial eléctrico es
=
Diferencia de potencial y potencial en el campo eléctrico.
V1 - V2 = (Ep1 - Diferencia de potencial es la variación de la energía
59
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FISICA 2
Ep2)/q2
potencial por unidad de carga positiva.
La referencia para tomar los potenciales la tomamos en el
∞, y por tanto el potencial en un punto V1 = q1/4.π.σ1
Trabajo que se realiza para llevar la unidad de carga más al
∞
W = q2.(V1 - V2)
Podemos escribir
Ep = -∫ F.dr; F = - dEp/dr. Si dividimos por q2, F/q2 = -dEp/q2.dr; F/q2 = -dV/dr
E = -dV/dr. En forma vectorial E = - (dV/dr)uF
dV = -E.dr; V2 - V1 = -∫ E.dr; V1 - V2 = ∫ E.dr
Si el campo es uniforme d = r2 - r1
W
=
q2.(V1
V2) q2.(V1 - V2) = q2•Ed
E = (F/q2)  F = E.q2  W = E•
q2•d V1 - V2 = Ed = E.(r2 - r1)
2.1.6 EL DIPOLO ELÉCTRICO
DIPOLOS Y POLARIZACION
Fenómeno superficial que se presenta en los aisladores o materia eléctricamente
neutra.
Dipolo antes de aplicar un campo eléctrico
Dipolo luego de aplicar un campo eléctrico
60
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FISICA 2
Hay dipolos que al retirar el campo eléctrico quedan
permanentemente y otros en cambio pierden la polarización.
polarizados
Los dipolos se utilizan entre las placas de los capacitores.
Al colocar un dipolo entre dos placas de un capacitor, se requiere menos trabajo
para transportar una carga y, por lo tanto aumenta la capacidad de este.
Colocando mercurio entre las placas:
E=0
ΔV =
C≡
Si colocamos aceite entre las placas:
Habrá distribución superficial.
E≠0
ΔV =
C
Constante dieléctrica
K = C/C0
K: constante dieléctrica.
C0: capacidad en el vacío.
C: capacidad con dipolo.
61
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FISICA 2
C = Κ. ε 0.A/s
Para aplicar la ecuación, el dipolo, ante un campo eléctrico, debe comportarse
igual en todas direcciones, tener en cuenta deformaciones de bordes.
2.1.7 LINEAS DE FLUJO ELECTRICO Y SUPERFICIES
EQUIPOTENCIALES.
Nagelschmidt verificó cómo el flujo de estas corrientes en el interior del organismo
escoge siempre el camino más breve, ya que de esta forma se vencen mejor las
resistencias que los tejidos ejercen a su paso.
Las líneas a través de las cuales la corriente se dirige de una electroplaca a la otra
han sido denominadas por los físicos líneas de flujo eléctrico. En función del
diámetro de las electroplacas, las líneas de flujo eléctrico que se crean serán más
o menos compactas, así como el calor que se genera será más o menos intenso.
Concretamente, se generará más temperatura en la parte que corresponde a la
electroplaca pequeña respecto a la que la que se genera en la electroplaca
grande.
Suponiendo que los tejidos tratados sean homogéneos, las líneas del flujo se
reparten en función del posicionamiento de las placas.
Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de un campo
escalar en los cuales el potencial de campo es constante. Las superficies
equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuación de Poisson.
El caso más sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el que hay una
masa puntual: las superficies equipotenciales son esferas concéntricas alrededor
de dicho punto. El trabajo realizado por esa masa siendo el potencial constante,
será pues, por definición, cero. En el caso del campo magnético generado por un
conductor rectilíneo, las superficies equipotenciales serán cilindros concéntricos
cuyo eje será precisamente el del conductor. Las curvas de nivel de estos cilindros
son las que generan las Línea equipotenciales en el plano x-y.
62
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FISICA 2
Superficies equipotenciales
Son superficies que en todos sus puntos tienen el mismo
potencial.
Si r = cte y ε = cte entonces V = cte. Todas las superficies
equipotenciales son esféricas (Si solo hay una carga)
Propiedades
a) Dos superficies equiescalares no se pueden cortar.
b) El trabajo para desplazar una carga dq a lo largo de una superficie
equipotencial es 0.
dW = dq (V1-V2) V1=V2 dW = 0
c) El campo eléctrico ( vector campo ) es perpendicular en todos su puntos a una
superficie equipotencial.
dW = F.dr = dq.E.dr.cos α.
Por propiedad b) el W = 0
dq•E•dr• cos α
 cos [Ey.dr] = 0 y por ta nto E perpendicular a dr
0=
#0
=0
Campo, potencial y carga en el interior de un conductor cargado en
equilibrio eléctrico y en su superficie.
Como ya vimos, el campo en el interior de un conductor en
equilibrio debe ser 0, ya que si no fuera así sus cargas no
estarían en reposo, no estaría en equilibrio. Toda la carga
está en su superficie. E = 0.
Potencial V1-V2= E•d = 0  V1 = V2
Esto es porque V1- V2 = E•d = 0
63
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FISICA 2
Todos los puntos del conductor cargado y en equilibrio están siempre en el mismo
potencial. Si todos los puntos están al mismo potencial, la superficie es
equipotencial.
2.1.8 DENSIDAD DE ENERGIA EN LOS CAMPOS
ELECTROSTÁTICOS.
Si consideramos un sistema cerrado constituido por un campo electromagnético y
un conjunto de partículas inmerso en el mismo, se mantiene constante en el
tiempo la energía total del sistema, suma de la energía de las partículas y la
energía del propio campo. ¿Cómo podemos calcular la energía del campo
electromagnético en dicho sistema cerrado?. Veamos que, partiendo de las
ecuaciones de Maxwell, es posible la determinación sencilla de dicha energía por
unidad de volumen, es decir, la densidad de energía del campo.
2.2 Campos electrostáticos en el espacio material
2.2.1 Corriente de conducción y corriente de convección
2.2.2 Polarización
dieléctricas
en
dieléctricos
constante
y
resistencia
Existen dos tipos de moléculas las moléculas polares y las moléculas no polares.
Las moléculas polares son aquellas en las que no coincide el centro de
distribución de cargas positivas y el de las negativas, el ejemplo más significativo
es el agua. Los iones hidrógeno no están alineados y dispuestos simétricamente a
uno y otro lado del ión oxígeno, sino que tienen una disposición triangular.
Las moléculas no polares son aquellas en las que coincide el centro de
distribución de las cargas positivas y negativas. Las moléculas de oxígeno,
nitrógeno, compuestas por dos átomos iguales pertenecen a esta categoría.
Las moléculas polares bajo la acción de un campo eléctrico experimentan un par
de fuerzas que tienden a orientarlas en el sentido del campo. Las moléculas no
polares, se hacen polares en presencia de un campo eléctrico, ya que las fuerzas
sobre cada tipo de carga son iguales y de sentido contrario.
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FISICA 2
Los dieléctricos se emplean en los condensadores para separar físicamente sus
placas y para incrementar su capacidad al disminuir el campo eléctrico y por tanto,
la diferencia de potencial entre las mismas. La constante dieléctrica es la
propiedad que describe el comportamiento de un dieléctrico en un campo eléctrico
y permite explicar, tanto el aumento de la capacidad de un condensador como el
índice de refracción de un material transparente.
Con el programa interactivo de esta página, experimentaremos con un modelo de
sustancia dieléctrica consistente en un número pequeño, pero suficiente de
moléculas. Distinguiremos entre el comportamiento individual de cada molécula, y
el comportamiento de la muestra en su conjunto. Veremos como este
comportamiento se ajusta a la denominada ley de Langevin, deducida para un
número muy grande de moléculas.
Descripción
Un dipolo eléctrico es un sistema formado por dos cargas iguales q y de signo
contrario, separadas una distancia d. Se define el momento dipolar p, como un
vector cuyo módulo es el producto de la carga q por la separación entre cargas d,
de dirección la recta que las une, y de sentido de la negativa a la positiva.
Los momentos dipolares de algunas moléculas se recogen en la siguiente tabla:
Moléculas
Agua
Nitrobenceno
Fenol
Clorhídrico
Bromhídrico
Iodhídrico
Momento dipolar ·10-30 C·m
6.2
13.2
5.2
3.5
2.6
1.3
65
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FISICA 2
Sobre un dipolo situado en un campo eléctrico actúa un par
fuerzas cuyo momento tiende a orientar al dipolo en la
dirección del campo. Sin embargo, esta tendencia está
contrarrestada por la agitación térmica de las moléculas.
Para cada campo y cada temperatura, tendremos una
orientación media resultado del compromiso entre ambas
tendencias contrapuestas.
La energía de un dipolo en un campo eléctrico E es U= -p·E= -pEcosq
La polarización de la sustancia es P=Np<cosq>, donde N es el número de
moléculas y p<cosq> es el valor medio de la componente del momento dipolar en
la dirección del campo. De acuerdo con la fórmula de la estadística clásica
donde exp(-U/kT) es la probabilidad de que un dipolo esté orientado según un
ángulo sólido comprendido entre W y W+dW. El área sombreada de la figura, es
dW=2π·sinθ·dθ. La integración conduce a la siguiente función conocida como ley
de Langevin
Casos particulares:
66
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FISICA 2
•
Cuando u<<1 la polarización P se puede aproximar a la función
La polarización es una función lineal del cociente campo/temperatura. Esta
fórmula es análoga a la ley de Curie para los materiales paramagnéticos
•
Cuando u>>1, es decir, para grandes valores del campo o bajas temperaturas,
P=Np
P tiende hacia un valor constante que es su valor máximo.
Los materiales dieléctricos están formados por dipolos eléctricos. Un dipolo
eléctrico, véase la figura, es un sistema formado por dos cargas iguales y de signo
contrario, separadas una distancia d. Se define el momento dipolar, como un
vector cuyo módulo es el producto de la carga por la separación entre las mismas,
cuya dirección es la recta que las une, y cuyo sentido es la flecha que va de la
carga negativa a la positiva.
Si colocamos el dipolo en un campo eléctrico E, actúan sobre él un par de fuerzas,
cuyo momento tiende a orientar al dipolo en la dirección del campo. Sin embargo,
esta tendencia estará contrarrestada por la agitación térmica de las moléculas.
Para cada campo y temperatura tendremos una orientación media resultado del
compromiso entre ambas tendencias contrapuestas. La energía del dipolo en el
campo eléctrico es
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FISICA 2
Como el ángulo q puede tener cualquier valor entre 0 y p, las energías de los
estados disponibles no son discretas sino que varían de forma continua. La
probabilidad P(q) de que el vector momento dipolar p apunte según un ángulo
comprendido entre q y q +dq es proporcional a
La constante de proporcionalidad se determina a partir de la condición de que los
dipolos con dicha energía apuntan con sus vectores momento dipolar en todas las
direcciones del espacio cuyos ángulos están comprendidos entre q y q +dq. En la
última figura, se representa el ángulo sólido dW correspondiente a dicha apertura
angular.
La polarización de la sustancia dieléctrica será
Siendo N el número de moléculas y el resto de la fórmula, la componente media
del momento dipolar en la dirección del campo. La integración conduce a la
conocida ecuación de Langevin
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FISICA 2
En el caso límite u<<<1, es decir, para campos eléctricos débiles o temperaturas
elevadas dicha función se puede aproximar a la recta
la polarización es una función lineal del cociente campo/temperatura, esta fórmula
es análoga a la expresión de la ley de Curie para los materiales paramagnéticos.
Cuando u es grande la ecuación de Langevin tiende hacia un valor límite
constante. Para campos eléctricos intensos o bajas temperaturas los dipolos están
alineados, es decir, predomina el efecto orientador del campo.
Para aplicar el método de Montecarlo hemos de transformar la variable aleatoria
angular continua q, distribuida con probabilidad P(q) en el intervalo [0, p) en una
variable aleatoria uniformemente distribuida g en el intervalo [0, 1), véase el
apartado variable aleatoria continua. La fórmula de transformación es
Despejamos de la fórmula anterior cos(q).
2.2.3 Dieléctricos lineales Isotrópicos y Homogéneos
Los materiales dieléctricos pueden ser definidos como aquellos que no poseen
electrones libres en su estructura; en otras palabras, son aquellos que tienen sus
electrones fuertemente ligados a los núcleos y que, por lo tanto, requerirían de un
gran suministro de energía externa para desplazarlos de un átomo a otro. Para los
propósitos de este curso, esta definición implica que los dieléctricos pueden
mantener fija una cierta distribución de carga, que puede ser una distribución
volumétrica
y/o una distribución superficial
, aún cuando se aplique sobre él un campo eléctrico externo de moderada
intensidad; a diferencia de un cuerpo conductor en equilibrio electrostático que
69
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FISICA 2
sólo puede poseer una densidad superficial de cargas
. Sin embargo, es probable que un material dieléctrico responda a la acción de un
campo eléctrico externo con desplazamientos relativos infinitesimales de su carga
positiva respecto de la carga negativa, generándose un conjunto alineado de
dipolos eléctricos en la muestra dieléctrica, fenómeno denominado polarización.
La polarización del dieléctrico tiene como consecuencia inmediata la modificación
del campo eléctrico externo que la produjo. Esta contribución proviene de la
superposición de los campos producido por cada uno de los dipolos eléctricos en
puntos lejanos. Sin embargo, como se verá más adelante, resulta conveniente
visualizar macroscópicamente la polarización del dieléctrico en términos de una
carga equivalente de polarización, que se agrega a la carga libre existente. Para
obtener dicha carga equivalente de polarización, es conveniente analizar
primeramente el potencial eléctrico y el campo eléctrico producido por un dipolo
eléctrico. Así, posteriormente, se obtiene el efecto de polarización resultante
mediante superposición de los campos anteriormente calculados.
DIPOLO ELECTRICO.
El dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas puntuales de igual valor, signos
contrarios, y separados una distancia d relativamente pequeña(Fig. 3.1). El dipolo
se representa mediante una cantidad vectorial denominada momento dipolar
eléctrico:
donde
es un versor que tiene una dirección coincidente con la recta que une a las dos
cargas y un sentido que, convencionalmente, apunta desde la carga negativa a la
carga positiva.
Para simplificar el cálculo, se elige un sistema de referencia cartesiano XY tal que
el origen esté centrado en el dipolo y el eje X coincida con la dirección del versor
. Se determina el potencial eléctrico resultante en un punto definido por el vector
posición
como la suma algebraica de los potenciales debido a cada una de las cargas , y
luego se aplica la condición de dipolo(d<<
):
70
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FISICA 2
donde r+ y r- se pueden escribir, aplicando el teorema del coseno, como:
y reemplazando en la expresión anterior da:
Ahora bien, por condición de dipolo se puede despreciar el término
y aplicar una expansión binomial a las expresiones
y
71
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FISICA 2
, conservando sólo los términos lineales; se obtiene así la siguiente expresión para
el potencial de un dipolo:
o bien, expresada vectorialmente en función del momento dipolar eléctrico:
(3.1)
El campo eléctrico producido por el dipolo eléctrico se determina aplicando el
operador gradiente en coordenadas polares al potencial eléctrico, dando como
resultado una componente radial y una componente azimutal:
(3.2)
De la expresión (3.2) se observa que el campo decae más fuertemente en la
dirección radial comparado con el campo eléctrico generado por una carga
puntual. Además, se registra una línea de potencial nulo( para puntos que
satisfacen la condición dipolar) a lo largo de la simetral del dipolo(eje Y en la figura
1).
DENSIDAD DE CARGA DE POLARIZACION.
Sea una muestra dieléctrica, inicialmente neutra, sometida a un campo eléctrico
externo
. Este campo produce una polarización en el dieléctrico, generándose una gran
cantidad de dipolos eléctricos orientados de modo que sus momento dipolares
sean paralelos entre sí(figura 3.2). Este alineamiento de los dipolos eléctricos
puede ser visualizado en términos de una densidad superficial de cargas
equivalente de polarización(p) en la superficie frontera de la muestra, y de una
densidad volumétrica equivalente de carga de polarización(p) en el volumen de
la muestra.
72
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FISICA 2
Dada la gran cantidad de dipolos eléctricos que se pueden generar en la muestra
como consecuencia del campo eléctrico externo aplicado, resulta más conveniente
definir el vector polarización
como el momento dipolar eléctrico por unidad de volumen:
(3.3)
donde
es la cantidad de dipolos eléctricos contenidos en el volumen
. Así, este vector polarización es paralelo al vector momento dipolar eléctrico, pero
caracteriza macroscópicamente el fenómeno de polarización de la muestra
dieléctrica.
Para efectos de establecer la relación existente entre las densidades de carga de
polarización y el vector polarización, se integra el potencial debido a un dipolo
eléctrico a todo el volumen de la muestra dieléctrica. Previamente se reescribe la
expresión (3.1) para el caso de un sistema de referencia con origen externo al
dipolo:
En consecuencia, el potencial debido al dieléctrico polarizado queda como:
y que de acuerdo con la expresión (3.3) da la siguiente relación para el potencial
en función del vector polarización:
Esta integral se puede modificar empleando sucesivamente las identidades
vectoriales,
73
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FISICA 2
Entonces el potencial se reduce a:
si además, se aplica a la primera integral el teorema de Gauss
(
) se obtiene finalmente:
Al comparar esta última expresión con el potencial de una distribución continua de
cargas,
, se deducen las densidades de carga de polarización:
(3.4)
siendo
un versor normal a la superficie de dieléctrico en todos sus puntos.
Cabe destacar que la polarización del dieléctrico de manera alguna altera la
neutralidad de la carga que inicialmente presentaba la muestra; en efecto,
donde la segunda integral se modifica aplicándole el teorema de Gauss para dar,
74
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FISICA 2
LEY DE GAUSS PARA UN DIELECTRICO.
Una consecuencia inmediata asociada al fenómeno de la polarización de un
dieléctrico es la reformulación de la ley de Gauss, dado que ahora hay que
considerar, además de la carga libre, la carga equivalente de polarización.
Supóngase un sistema de cuerpos conductores, con cargas qi distribuidas en sus
superficies Si ( en la figura se muestra dos de estos conductores), inmersos en un
medio dieléctrico de extensión infinita. Sea S.G. una superficie gaussiana que
contiene a los cuerpos conductores, entonces aplicando la ley de Gauss se tiene:
donde la carga equivalente de polarización es,
es claro, que la integral de superficie comprende las superficies de los
conductores, y excluye la superficie gaussiana pues esta no es, necesariamente,
frontera del dieléctrico. Entonces, aplicándole el teorema de Gauss a la segunda
integral, se obtiene:
dando como resultado final,
con lo cual, la ley de Gauss se puede escribir como,
y que indica que el flujo de un nuevo vector, denominado vector desplazamiento
eléctrico
75
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FISICA 2
, es directamente proporcional a la carga libre encerrada por la superficie
gaussiana (similarmente al caso del vacío, el vector desplazamiento eléctrico
calculado es el resultante o neto, o sea, el generado por toda la carga libre
existente, mientras que respecto de la carga sólo se considera la carga encerrada
por la superficie gaussiana).
Así entonces, se concluye que para un medio dieléctrico, la forma generalizada de
la ley de Gauss se expresa como,
(3.5)
donde la carga libre encerrada por la superficie gaussiana toma una forma general
si se escribe como,
y se tiene la ley de Gauss en forma integral:
(3.6)
Si a la integral del lado izquierdo de la relación (3.6) se aplica el teorema de
Gauss, se obtiene la forma diferencial de la Ley de Gauss generalizada:
(3.7)
SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA, PERMITIVIDAD ELECTRICA Y CONSTANTE
DIELECTRICA.
El vector desplazamiento eléctrico,
, establece una relación lineal con el campo eléctrico en regiones vacías del
espacio, por cuanto, en estos puntos
y, por consiguiente,
(3.8)
76
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FISICA 2
de (3.8) se puede ver que ambos vectores son paralelos entre sí y difieren sólo en
magnitud, siendo la constante de proporcionalidad la permitividad eléctrica del
vacío(0 = 8,85*10-12 C2/Nm2).
Es deseable obtener para medios dieléctricos una relación de dependencia similar
entre estos dos campos. En efecto, para materiales dieléctricos isotrópicos
(aquellos con iguales propiedades en todas las direcciones) la polarización tiene el
mismo sentido que el campo eléctrico que la genera, cumpliéndose la siguiente
relación:
(3.9)
donde la constante de proporcionalidad se denomina susceptibilidad eléctrica
del material. Si ahora se reemplaza la relación (3.9) en la expresión encontrada
para el vector desplazamiento eléctrico
, se obtiene:
(3.10)
donde se define el escalar
y se denomina la permitividad eléctrica del medio, con lo cual se puede escribir
una relación lineal entre los campos para regiones pertenecientes al medio
material,
(3.11)
Una mayor simplificación se obtiene considerando materiales dieléctricos lineales,
para los cuales la susceptibilidad eléctrica y la permitividad eléctrica son
independientes del campo eléctrico generador. Así entonces,
con lo cual se tiene que,
2.2.4 Ecuación de continuidad y tiempo de relajación
2.2.5 Condiciones de frontera
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FISICA 2
2.3 Problemas valores en frontera en electrostática
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FISICA 2
INDICE
Unidad 3
Campos magnetostáticos
3.1 Campos magnetostaticos
80
3.1.1 Ley de Biot-Savart
81
3.1.2 Ley de Ampere de los circuitos (Ecuación de Maxwell)
Aplicaciones Ley De Ampere
90
3.1.3 Densidad flujo magnético (Ecuación de Maxwell)
92
3.1.4 Potenciales magnéticos escalares y vectoriales
95
3.2 Fuerzas en materiales y aparatos magnéticos
95
3.2.1 Fuerzas debidas a los campos magnéticos
98
3.2.2 Par de torsión y momento magnéticos
99
3.2.3 El Dipolo magnético, dipolo eléctrico
100
3.2.4 Magnetización de materiales. Clasificación de los materiales 103
magnéticos
3.2.5 Condiciones de frontera magnética
104
3.2.6 Inductores e inductancia de energía magnética
105
3.2.7 Circuitos magnéticos
107
79
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FISICA 2
3.1 Campos magnetostáticos
La magnetostática es el estudio de todos los fenómenos físicos en los que
intervienen campos magnéticos constantes en el tiempo.
magnetostática f. Fís. Estudio de los fenómenos magnéticos que no varían con el
tiempo.
La magnetostática abarca desde la atracción que ejercen los imanes y los
electroimanes sobre los metales ferro magnéticos, como el hierro, hasta los
campos magnéticos creados por corrientes eléctricas estacionarias. De hecho
ambos fenómenos están estrechamente relacionados, ya que las corrientes
eléctricas crean un campo magnético proporcional a la intensidad de corriente y
que disminuye con la distancia.
Serie de fenómenos físicos que incluye la atracción que sobre el hierro y otros
metales ejercen el imán y los electroimanes; estos fenómenos, que se consideran
estrechamente relacionados con la electricidad, se caracterizan por la creación de
un campo de fuerza (campo magnético) alrededor del cuerpo magnetizado, cuya
intensidad disminuye en razón de la distancia; todo cuerpo que entra en un campo
magnético toma una imantación que depende de su naturaleza, y que
generalmente pierde al retirarse de ese campo; algunos aceros conservan parte
del magnetismo inducido (magnetismo remanente); hay cuerpos paramagnéticos o
que son atraídos por los imanes (hierro, níquel, cobalto, etc.), y cuerpos
diamagnéticos, que son repelidos por ellos.
Además todo cuerpo que entra en un campo magnético toma una imantación que
depende de su naturaleza, y que generalmente pierde al retirarse de ese campo;
algunos aceros conservan parte del magnetismo inducido o magnetismo
remanente.
Hay cuerpos paramagnéticos que son atraídos por los imanes (hierro, níquel,
cobalto, etc.), y cuerpos diamagnéticos, que son repelidos por ellos.
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FISICA 2
3.1.1 Ley de Biot-Savart
Campo magnético. Ley de Biot-Savart
La descripción formal del campo magnético puede realizarse, sin recurrir a imanes
o dipolos magnéticos, mediante modelos que expliquen dichos campos como fruto
de las perturbaciones que provocan en el espacio circundante las cargas
eléctricas móviles o, de forma equivalente, las corrientes eléctricas. La ley de BiotSavart sirve de base teórica para la definición de los campos magnéticos.
La densidad de flujo magnético
Todo elemento infinitesimal de corriente por el que circula una intensidad I
engendra en el espacio circundante un campo magnético cuya magnitud
depende del valor de la corriente y de la distancia a la que se mide la perturbación.
Este campo viene definido por una magnitud vectorial llamada densidad de flujo
magnético infinitesimal y, cuyo símbolo es .
Campo magnético engendrado en un punto P por un elemento de corriente, por el
que circula una intensidad eléctrica I.
Ley de Biot-Savart
La densidad de flujo magnético infinitesimal permite calcular el valor total del
campo magnético asociado a una corriente eléctrica que fluye por un circuito a
partir de una simple operación de suma de los elementos infinitesimales de
corriente.
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FISICA 2
Matemáticamente, esta suma se expresa como una integral extendida a todo el
circuito C, por lo que la densidad de flujo magnético asociada a una corriente
viene dada por:
Esta ley fue definida, de forma aún rudimentaria, por los físicos franceses JeanBaptiste Biot (1774-1862) y Félix Savart (1791-1841).
Fuerzas de Laplace y Lorentz
Una vez establecido el valor del campo magnético asociado a un circuito de
corriente eléctrica, es posible determinar su efecto sobre un segundo hilo
conductor recorrido por otra corriente eléctrica.
A escala infinitesimal, el valor de la fuerza que genera el campo inducido por la
primera corriente en un elemento de corriente del segundo circuito se denomina
fuerza de Laplace y se expresa como:
En el plano macroscópico, extendido a todo el circuito, la interacción se llama
fuerza de Lorentz y se indica como:
siendo la velocidad del conductor dentro de un campo magnético.
Estas fuerzas deben su nombre a los físicos francés Pierre-Simon de Laplace
(1749-1827) y el neerlandés Hendrik A. Lorentz (1853-1928), respectivamente.
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FISICA 2
Fuerza entre dos elementos de corriente, explicada a través de los campos
magnéticos inducidos.
Campo magnético de una corriente rectilínea
Una aplicación sencilla de la ley de Biot-Savart se refiere al campo magnético que
genera una corriente rectilínea en el espacio que la rodea.
A partir de la resolución de la integral de campo de la ley de Biot-Savart para este
caso particular, se concluye que:
•
•
•
El modulo del campo magnético total en un punto
cualquiera es inversamente proporcional a la
distancia a que se encuentra del conductor.
La dirección del campo es perpendicular al
conductor.
Su sentido se determina según la regla de la mano
derecha, y coincide con el del giro de un tornillo
con rosca a derechas, que avanzara en el sentido
de la corriente.
Campo magnético engendrado por un conductor rectilíneo ilimitado por el que
circula corriente.
«« Fuerzas entre corrientes eléctricas. Primera ley de Ampère
Fuerza de Lorentz »»
Magnitudes de campo magnético
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FISICA 2
Para la descripción del campo magnético se utilizan varias magnitudes físicas
relacionadas. La intensidad del campo magnético (simbolizada por ), mide el
campo producido por las corrientes que circulan por hilos conductores. Por su
parte, la densidad de flujo magnético , añade a la anterior los efectos derivados
de las propiedades magnéticas del material, mediante un coeficiente denominado
permeabilidad magnética m. Finalmente, la polarización magnética , ofrece una
medida del momento intrínseco dipolar de los cuerpos, sin considerar los campos
exteriores. Estas tres magnitudes están relacionadas por la siguiente expresión
matemática:
Unidades de campo magnético
La unidad de medida de la densidad de flujo magnético en el Sistema
Internacional es el tesla (símbolo T).También se usa con frecuencia su
equivalencia en el sistema CGS, el gauss (símbolo G), con la siguiente
equivalencia: 1 T = 104 G.
T = wb / m2
Dirección de la densidad de flujo magnético
Según la ley de Biot-Savart, la densidad de flujo magnético es perpendicular al
plano formado por la dirección de la corriente y el punto considerado, y su sentido
sigue la regla de la mano derecha: hacia arriba, si para llegar del conductor al
vector de posición del punto se gira a la izquierda, y hacia abajo, en caso
contrario.
Nikola Tesla
(1856-1943), investigador e inventor estadounidense de origen croata, fue el
descubridor del campo magnético rotatorio en el que se basan los dispositivos
actuales de corriente alterna. En su honor se llamó tesla a la unidad de densidad
de flujo magnético en el Sistema Internacional.
Ley de Biot-Savart
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FISICA 2
Poco tiempo despues del descubrimiento de Oersted en 1819, donde la aguja de
la brújula se desviaba a causa de la presencia de un conductor portador de
corriente, Jean Baptiste Biot y Felix Savart informaron que un conductor de
corriente estable produce fuerzas sobre un imán. De sus resultados
experimentales, Biot y Savart fueron capaces de llegar a una expresión de la que
se obtiene el campo magnético en un punto dado del espacio en términos de la
corriente que produce el campo.
Fig. 5.3. El campo magnético dB en el punto P debido a un elemento de corriente
ds
está
dado
por
la
ley
de
Biot-Savart.
La ley de Biot-Savart establece que si un alambre conduce una corriente
constante I, el campo magnético dB en un punto P debido a un elemento ds
(Figura. 5.3.) tiene las siguientes propiedades :
1. El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la dirección de la
corriente) como al vector unitario ê dirigido desde el elemento hasta el punto P.
2. La magnitud dB es inversamente proporcional a r², donde r es la distancia
desde el elemento hasta el punto p.
3. La magnitud de dB es proporcional a la corriente y la longitud ds del elemento.
4. La magnitud de dB es proporcional a sen
vector ds y ê.
, donde
es el ángulo entre el
La ley de Biot-Savart puede ser resumida en la siguiente fórmula :
85
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FISICA 2
donde Km es una constante que en SI de unidades es exactamente 10¯7
Wb/A*m. La constante Km es por lo general escrita como µ0/4 , donde µ0 es
otra constante, llamada permeabilidad del espacio libre. Es decir,
µ0 = 4 Km = 4 X 10¯7 Wb/A*m
Por lo que la ley de Biot-Savart, también puede escribirse como :
Es importante hacer notar que la ley de Biot-Savart proporciona el campo
magnético en un punto dado para un pequeño elemento del conductor. Para
encontrar el campo magnético total B en algún punto debido a un conductor para
tamaño finito, se deben sumar las contribuciones de todos los elementos de
corriente que constituyen el conductor. Esto es, se debe evaluarse B por la
integración de la ecuación anterior :
donde la integral se evalúa sobre todo el conductor, Esta expresión debe ser
manejada con especial cuidado desde el momento que el integrando es una
cantidad vectorial.
Se presentan rasgos similares entre la ley de Biot-Savart del magnetismo y la ley
de Coulomb de la electrostá tica. Es decir, el elemento de corriente I ds produce
un campo magnético, mientras que una carga puntual q produce un campo
eléctrico. Además, la magnitud del campo magnético es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia desde el elemento de la corriente, como lo
hace el campo eléctrico debido a una carga puntual.
Sin embargo, las direcciones de los dos campos son muy diferentes. El campo
eléctrico debido a una carga puntual es radial. En el caso de una carga puntual
positiva, E está dirigido desde la carga hacia el punto del campo. Por otro lado, el
campo magnético debido a un elemento de corriente es perpendicular tanto al
elemento de corriente como al vector. Por lo que, si el conductor se encuentra en
el plano del papel, como en la figura 5.3, dB está dirigido hacia afuera del papel en
el punto P
y hacia adentro del papel en el punto P�.
Ejemplo 5.2. Campo magnético de un conductor delgado rectilíneo.
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FISICA 2
Considérese un alambre conductor recto, muy delgado, que lleva una corriente I
colocado a lo largo del eje x como en la figura 5.4. Se calculará el campo
magnético en el punto P localizado a una distancia a del alambre.
Solución.
El elemento ds está a un a distancia r de P. La dirección del campo en P debida a
este elemento es hacia afuera del papel, ya que ds X r está hacia afuera del
papel. De hecho, todos los elementos dan una contribución dirigida hacia afuera
del papel en P.
Fig.5.4. a). Un segmento de alambre recto lleva una corriente I. El campo
magnético en P debido a cada elemento ds está dirigido hacia afuera del papel, y
por lo tanto el campo total también está dirigido hacia afuera del papel. b). Los
ángulos
límite
1
y
2
para
esta
geometría.
Por lo tanto, se tiene que determinar sólo la magnitud del campo en P. Ahora, si
se considera O como el origen y P situado sobre el eje y positivo, con k siendo el
vector unitario dirigido hacia afuera del papel, se ve que
sustituyendo, dado que dB=kdB, con
Para integrar esta expresión, se deben relacionar de alguna manera las
variables
, x y r. Una forma de lograrlo es expresar x y r en términos de
.
De la geometría en la figura 5.4a y una simple diferenciación, se obtiene la
siguiente relación :
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FISICA 2
Ya que tan
= -a/x del triángulo rectángulo de la figura 5.4a,
Por consiguiente, se ha logrado reducir la expresión a una que implica sólo a la
varible . Ahora se puede obtener el campo magnético total en el punto P
integrando sobre todos los elementos que subtienden ángulos comprendidos
entre
1y
2 definidos como en la figura 5.4b. Esto da
Puede aplicarse este resultado para determinar el campo magnético de cualquier
alambre recto si se conoce su geometría y también los ángulos
1y
2.
Considérese el caso especial de un alambre conductor delgado, infinitamente
largo. En este caso,
segmentos
1=0y 2=
que
x = hasta x = +.. Como (cos
ecuación se convierte en
, como puede verse en la figura 5.4b, para
van
desde
11 - cos
2) = (cos 0 - cos
) = 2, la
Ejercicio 1.
Calcúlese el campo magnético de un alambre recto que lleva una corriente de 5A,
a una distancia de 4cm del alambre.
Respuesta.
2.5X10-5 T
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FISICA 2
Ley biot savart.
El objetivo de esta experiencia es comprobar la validez de la ley de BiotSavart. Para ello se mide el campo magnético a lo largo del eje de un
solenoide con un teslámetro (sonda Hall) y se estudia la relación entre el
valor del campo magnético en el centro del solenoide y la intensidad de
corriente eléctrica que circula por el mismo.
A principios del otoño de 1820, los científicos franceses Biot y Savart
miden la dirección de las oscilaciones de una aguja imantada según la
distancia a una corriente eléctrica rectilínea, comprobando empíricamente
que la fuerza producida por dicha corriente eléctrica es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia y directamente proporcional a la
intensidad de la misma. Basándose en estos resultados, Laplace dedujo
matemáticamente la ley de Biot-Savart, que por lo tanto es conocida
también como ley de Laplace, y que permite calcular el campo magnético
creado por un elemento de corriente de un conductor por el que circula
una corriente de una determinada intensidad, en un punto a una cierta
distancia del conductor.
En esta práctica, se comprobará la veracidad de la ley de Biot-Savart para
el caso especial de un solenoide uniformemente arrollado de una
determinada longitud, radio y número de vueltas. Para ello se utiliza u na
fuente de alimentación que nos permite seleccionar (con ayuda de un
polímetro empleado como amperímetro) una corriente eléctrica que
hacemos pasar a través de dicho solenoide.
Con la fuente de alimentación apagada, se alinean la sonda y el
solenoide, de forma que la sonda pueda desplazarse por el interior del
solenoide siguiendo una regla-guía. Posteriormente, desplazando la
sonda a lo largo de la regla de forma que el extremo de dicha sonda
recorra el solenoide de un lado a otro podemos ir viendo en el teslámetro
como cambia el valor del campo magnético.
A continuación se sitúa el extremo de la sonda Hall en el centro
geométrico del solenoide. Posteriormente, utilizando el potenciómetro de
la fuente de alimentación vamos variando la intensidad de corriente
eléctrica I que circula por el mismo (el valor exacto de la intensidad que
circula por el solenoide se mide con el amperímetro) y comprobamos
como el valor del campo magnético B , medido en el teslámetro, va
cambiando de forma directamente proporcional al valor de dicha
intensidad de corriente. Se toma nota en una tabla los valores de
intensidad de corriente eléctrica y campo magnético. Se representan
gráficamente estos valores y se realiza un ajuste por el método de los
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FISICA 2
mínimos cuadrados obteniendo la pendiente de la recta con su error.
Por último comprobamos que al invertir la polaridad de la fuente de
alimentación, intercambiando el cable rojo por el azul a la salida de la
fuente (es decir de una intensidad de corriente I pasamos a una
intensidad de corriente – I ) el signo del campo magnético registrado con
el teslámetro digital pasa de ser positivo a negativo.
3.1.2 Ley de Ampere de los circuitos (Ecuación de Maxwell)
Aplicaciones Ley De Ampere
La ley de Ampère
Si suponemos que el solenoide es muy largo y estrecho, el campo es
aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide, y es nulo
fuera del solenoide. En esta aproximación es aplicable la ley de Ampère.
El primer miembro, es la circulación del campo magnético a lo largo de un camino
cerrado, y en el segundo miembro el término I se refiere a la intensidad que
atraviesa dicho camino cerrado.
90
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FISICA 2
Para determinar el campo magnético, aplicando la ley de Ampère, tomamos un
camino cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulación es la
suma de cuatro contribuciones, una por cada lado.
Examinaremos, ahora cada una de las contribuciones a la circulación:
1. Como vemos en la figura la contribución a la circulación del lado AB es cero
ya que bien y
son perpendiculares, o bien es nulo en el exterior del
solenoide.
2. Lo mismo ocurre en el lado CD.
3. En el lado DA la contribución es cero, ya que el campo en el exterior al
solenoide es cero.
4. En el lado BC, el campo es constante y paralelo al lado, la contribución a la
circulación es Bx, siendo x la longitud del lado.
La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fácilmente:
Si hay N espiras en la longitud L del solenoide en la longitud x habrá Nx/L espiras
por las que circula una intensidad I. Por tanto, la ley de Ampère se escribe para el
solenoide.
En el laboratorio, se emplean limaduras de hierro para hacer visibles las líneas del
campo magnético, este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado
por parte del experimentador.
En el programa de ordenador se calcula, aplicando la ley de Biot-Savart, el campo
magnético producido por cada espira en un punto de su plano meridiano, mediante
procedimientos numéricos. Posteriormente, determina el campo magnético
resultante, sumando vectorialmente el campo producido por cada espira en dicho
punto. Posteriormente, se trazan las líneas del campo magnético que pasan por
puntos equidistantes a lo largo del diámetro del solenoide.
Podemos ver el mapa de las líneas del campo magnético de:
•
Una espira circular
91
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FISICA 2
•
•
Dos espiras, esta disposición simula las denominadas bobinas de
Helmholtz, utilizadas en el laboratorio para producir campos magnéticos
aproximadamente uniformes en la región entre las dos bobinas.
Muchas espiras iguales y equidistantes, que simula el solenoide.
3.1.3 Densidad flujo magnético (Ecuación de Maxwell)
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen
por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James
Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados
experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros,
introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando
los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo
electromagnético.1
Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenómenos
electromagnéticos, aquí se muestra la inducción magnética por medio de una
corriente eléctrica.
ECUACIONES DE MAXWELL
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas
anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:
92
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FISICA 2
Nombre
Forma diferencial
Forma integral
Ley de
Gauss:
Ley de
Gauss para
el campo
magnético:
Ley de
Faraday:
Ley de
Ampère
generalizada:
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican
cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de
Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo
de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la.
Además Maxwell descubrió que la cantidad
era simplemente la
velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación
electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz,
la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:
93
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FISICA 2
Símbolo
Nombre
Valor numérico
Unidad de medida SI
Tipo
Velocidad de la luz
metros por segundo
definido
Permitividad
faradios por metro
derivado
Permeabilidad magnética
henrios por metro
definido
Ecuaciones originales de Maxwell
Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial
así:
Denominación
Nombre
Ecuación
A
Ley de corrientes totales
B
Definición de
magnético
C
Ley circuital de Ampère
D
Fuerza de Lorentz
E
Ecuación de electricidad elástica
vector
potencial
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FISICA 2
F
Ley de Ohm
G
Ley de Gauss
Donde :
es el campo magnético (llamado por Maxwell como intensidad
magnética),
es la densidad de corriente eléctrica y
es la corriente total
incluida la corriente de desplazamiento,
es el campo desplazamiento
es la densidad de carga libre (cantidad libre de
(desplazamiento eléctrico),
electricidad),
es el vector potencial magnético (impulso magnético),
es el
campo eléctrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definición de
fuerza electromotriz)), es el potencial eléctrico y es la conductividad eléctrica
(resistencia específica, ahora solo resistencia).
Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial
usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, isotrópicos y no
dispersos, a pesar que también se las puede usar en medios anisotrópicos.
Maxwell incluyó el término
en la expresión de la fuerza electromotriz de la
ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por unidad de carga en un
conductor que se mueve a una velocidad . Esto significa que la ecuación D es
otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció como la
ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la
publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de
las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional
fundamental en el electromagnetismo.
3.1.4 Potenciales magnéticos escalares y vectoriales
3.2 Fuerzas en materiales y aparatos magnéticos
Cuando movemos un imán permanente por el interior de una bobina solenoide
formada por un enrollado de alambre de cobre con núcleo de aire, el campo
magnético del imán provoca en las espiras del alambre la aparición de una fuerza
electromotriz (FEM) o flujo de corriente de electrones. Este fenómeno se conoce
como “inducción magnética”. La existencia de ese flujo de electrones o corriente
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FISICA 2
eléctrica circulando por las espiras del alambre se puede comprobar instalando un
galvanómetro (G) en el circuito de la bobina solenoide, tal como se muestra a
continuación.
Cuando movemos un imán permanente por el interior de las espiras de alambre de
cobre de una bobina. Solenoide, se induce una fuerza electromotriz (FEM) o flujo
de corriente eléctrica producida por el campo. Magnético que movemos
manualmente. Por medio de un instrumento denominado galvanómetro (G).
Conectado al circuito de la bobina solenoide, se puede comprobar la existencia de
esa fuerza. Electromotriz o corriente eléctrica circulando por las espiras del
alambre de cobre. El galvanómetro. Constituye un instrumento destinado a medir
corrientes eléctricas de muy poca tensión e intensidad.
En la ilustración de la izquierda se puede apreciar que al introducir un imán
permanente por el interior de la bobina solenoide (A), con el polo norte (N) hacia
abajo, la aguja del galvanómetro (G) se desvía hacía la derecha. Pero si
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FISICA 2
invertimos la polaridad del imán e introducimos su polo sur dentro de las espiras
de la bobina, tal como se puede observar en la parte derecha de la misma
ilustración, veremos que la aguja se desvía hacia el lado contrario, debido a que el
sentido del movimiento del flujo de electrones por el alambre de cobre cambia al
invertirse la polaridad del imán.
Si dejamos de mover el imán no se producirá inducción magnética alguna y la
aguja del galvanómetro se detiene en “0”, indicando que tampoco hay flujo de
corriente. Eso demuestra que para que exista inducción magnética y se genere
una fuerza electromotriz (FEM) o corriente eléctrica en el enrollado de una bobina,
no sólo se precisa la existencia de un campo magnético, sino que éste se
encuentre en movimiento, para lo cual será necesario que el imán se desplace
continuamente por el interior del enrollado de la bobina.
Si a continuación sustituimos el galvanómetro en el circuito de la bobina (A) e
instalamos en su lugar otra bobina solenoide (B) y movemos de nuevo el imán por
el interior de (A), se creará un campo “electromagnético” en (B), provocado por la
corriente eléctrica que fluye ahora por las espiras de esa segunda bobina.
La generación de la corriente eléctrica o fuerza electromotriz que se produce. Por
“inducción magnética” cuando movemos un imán por el interior de la. Bobina
solenoide (A), provoca la circulación de corriente eléctrica por la. Bobina (B) y la
aparición a su alrededor de un “campo electromagnético”. Durante todo el tiempo
que mantengamos moviendo el imán por el interior de. La bobina (A).
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FISICA 2
3.2.1 Fuerzas debidas a los campos magnéticos
FUERZAS Y MOMENTO SOBRE LAS ESPIRAS
Calcularemos la fuerza que ejerce un campo magnético radial sobre cada uno de
los lados de una espira rectangular.
Ya hemos deducido la expresión de la fuerza que ejerce un campo magnético
sobre una porción L de corriente rectilínea.
donde, u t es un vector unitario que nos señala la dirección y el sentido en el que
se mueven los portadores de carga positivos.
La fuerza F sobre cada uno de los lados de longitud a, está señalada en la figura y
su módulo vale
F=i·1·B·a·sen90º=iBa.
Como vimos en la página anterior la fuerza que ejerce el campo magnético
sobre cada uno de los lados de longitud b, no afecta al movimiento de la
espira.
El momento de las fuerzas sobre la espira respecto del eje de rotación es
M=2F(b/2)=i·ab·B
Si la bobina está formada por N espiras iguales, el momento total es
M=Ni·S·B
Siendo S=ab el área de cada una de las espiras.
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FISICA 2
3.2.2 Par de torsión y momento magnéticos
PAR DE TORSIÓN Y MOMENTOS MAGNÉTICOS
La experiencia de Oersted como se ha mencionado, fue fundamental en la
historia del electromagnetismo. También la podemos considerar como la
precursora de los aparatos de medida de la corriente eléctrica. Se coloca una
aguja imantada debajo de un hilo conductor por el cual circula una corriente cuya
intensidad se desea medir. El hilo conductor y la aguja están alineados con la
dirección norte-sur cuando no pasa corriente por el conductor (figura de la
izquierda). La desviación de la aguja constituye una medida de la intensidad de la
corriente que circula por el hilo conductor (figura de la derecha).
Hemos visto que el momento producido por un campo magnético sobre una
espira es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que circula por
ella. Este hecho explica el funcionamiento del galvanómetro.
Actualmente, los galvanómetros utilizados son del tipo D’Arsonval de cuadro móvil
formado por un conjunto de espiras que pueden girar alrededor de un eje. Las
espiras forman una pequeña bobina rectangular montada sobre un cilindro de
hierro dulce.
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FISICA 2
Las espiras están situadas entre los polos de un potente imán. El imán está
diseñado de modo que el campo magnético en la región en que las espiras giran
tiene dirección radial. El eje de rotación puede ser vertical con las espiras
suspendidas de un hilo de torsión, o bien, el eje de rotación puede ser horizontal
unido a un muelle helicoidal.
3.2.3 El Dipolo magnético, dipolo eléctrico
El dipolo magnético
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta
frecuentemente como veremos en la página dedicada a los dieléctricos.
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa Q del mismo valor, separadas una distancia d.
Dipolo eléctrico
El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de la carga +Q es
Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición del punto P expresada
en coordenadas polares.
Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena
aproximación empleando el desarrollo en serie
para expresar de forma aproximada los cocientes r/r1 y r/r2.
Despreciando los términos de orden superior a d2/r2
El potencial se expresa en función de r y θ
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FISICA 2
Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la
inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual
disminuye con la inversa de r.
Componentes del campo eléctrico Las componentes de E en coordenadas polares
se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares
Las componentes del campo eléctrico E son
La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.
Definimos momento dipolar al vector p, cuyo módulo es p=Qd, el producto de la
carga Q por la separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.
Dipolo magnético
Si r“<<r en este circuito, entonces se puede utilizar la aproximación dipolar para el
campo que el circuito genera en r
Un dipolo magnético es una aproximación que se hace al campo generado por un
circuito cuando la distancia al circuito es mucho mayor a las dimensiones del
mismo.
Momento dipolar magnético
Si por un circuito C circula una corriente I, se define el momento dipolar magnético
como:
En el caso que el circuito es plano se tendrá que:
donde S es el área de la superficie plana cuyo borde es C.
Campo magnético creado por un dipolo
Se define el potencial magnético dipolar generado por este circuito como:
101
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FISICA 2
y el campo magnético dipolar será:
Dipolos magnéticos
Se puede ver una muy común fuente de campo magnético en la naturaleza, un
dipolo. Éste tiene un "polo sur" y un "polo norte", sus nombres se deben a que
antes se usaban los magnetos como brújulas, que interactuaban con el campo
magnético terrestre, para indicar el norte y el sur del globo.
Un campo magnético contiene energía y sistemas físicos que se estabilizan con
configuraciones de menor energía. Por lo tanto, cuando se encuentra en un campo
magnético, un dipolo magnético tiende a alinearse solo con una polaridad diferente
a la del campo, lo que cancela al campo lo máximo posible y disminuye la energía
recolectada en el campo al mínimo. Por ejemplo, dos barras magnéticas idénticas
pueden estar una a lado de otra normalmente alineadas de norte a sur, resultando
en un campo magnético más pequeño y resiste cualquier intento de reorientar
todos sus puntos en una misma dirección. La energía requerida para reorientarlos
en esa configuración es entonces recolectada en el campo magnético resultante,
que es el doble de la magnitud del campo de un magneto individual. (Esto es
porque un magneto usado como brújula interactúa con el campo magnético
terrestre para indicar Norte y Sur)
Una alternativa formulada, equivalente, que es fácil de aplicar pero ofrece una
menor visión, es que un dipolo magnético en un campo magnético experimenta un
torque y una fuerza que puede ser expresada en términos de un campo y de la
magnitud del dipolo (p.e. sería el momento magnético dipolar). Para ver estas
ecuaciones véase dipolo magnético.
Dipolos magnéticos atómicos
La causa física del magnetismo en los cuerpos, distinto a la corriente eléctrica, es
por los dipolos atómicos magnéticos. Dipolos magnéticos o momentos
magnéticos, en escala atómica resultan de dos tipos diferentes del movimiento de
electrones. El primero es el movimiento orbital del electrón sobre su núcleo
atómico; este movimiento puede ser considerado como una corriente de bucles,
resultando en el momento dipolar magnético del orbital. La segunda, más fuerte,
fuente de momento electrónico magnético es debido a las propiedades cuánticas
llamadas momento de spin del dipolo magnético (aunque la teoría mecánica
cuántica actual dice que los electrones no giran físicamente, ni orbitan el núcleo).
El momento magnético general de un átomo es la suma neta de todos los
momentos magnéticos de los electrones individuales. Por la tendencia de los
dipolos magnéticos a oponerse entre ellos se reduce la energía neta, en un átomo
los momentos magnéticos opuestos de algunos pares de electrones se cancelan
102
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FISICA 2
entre ellos, ambos en un movimiento orbital y en momentos magnéticos de espín.
Así, en el caso de un átomo con orbitales electrónicos o suborbitales electrónicos
completamente llenos, el momento magnético normalmente se cancela
completamente entre ellos y solo los átomos con orbitales electrónicos semillenos
tienen un momento magnético, su fuerza depende del número de electrones
impares.
La diferencia en la configuración de los electrones en varios elementos determina
la naturaleza y magnitud de los momentos atómicos magnéticos, lo que a su vez
determina la diferencia entre las propiedades magnéticas de varios materiales.
Existen muchas formas de comportamiento magnético o tipos de magnetismo: el
ferromagnetismo, el diamagnetismo y el paramagnetismo; esto se debe
precisamente a las propiedades magnéticas de los materiales, por eso se ha
estipulado una clasificación respectiva de estos, según su comportamiento ante un
campo magnético inducido, como sigue:
3.2.4 Magnetización de materiales. Clasificación de los materiales
Magnéticos
Clasificación de los Materiales Magnéticos
Tipo de Material
No magnético
Diamagnético
Paramagnético
Ferromagnético
Antiferromagnético
Características
No facilita o permite el paso de las líneas de Campo
magnético.
Ejemplo: el Vacío.
Material débilmente magnético. Si se sitúa una barra
magnética
cerca
de
él,
esta
lo
repele.
Ejemplo: Bismuto (Bi), Plata (Ag), Plomo (Pb), Agua.
Presenta un magnetismo significativo. Atraído por la barra
magnética.
Ejemplo: Aire, Aluminio (Al), Paladio (Pd), Magneto
Molecular.
Magnético por excelencia o fuertemente magnético. Atraído
por
la
barra
magnética.
Paramagnético por encima de la temperatura de Curie
(La temperatura de Curie del hierro metálico es
aproximadamente
unos
770
°C).
Ejemplo: Hierro (Fe), Cobalto (Co), Níquel (Ni), Acero
suave.
No magnético aun bajo acción de un campo magnético
inducido.
Ejemplo: Óxido de Manganeso (MnO 2 ).
103
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FISICA 2
Ferrimagnético
Menor
grado
magnético
que
los
materiales
ferromagnéticos.
Ejemplo: Ferrita de Hierro.
Superparamagnético Materiales ferromagnéticos suspendidos en una matriz
dieléctrica.
Ejemplo: Materiales utilizados en cintas de audio y video.
Ferritas
Ferrimagnético
de
baja
conductividad
eléctrica.
Ejemplo: Utilizado como núcleo inductores para
aplicaciones de corriente alterna.
3.2.5 Condiciones de frontera magnética
Condiciones en la frontera para campos magnetostáticos
Para resolver problemas relacionados con campos magnéticos en medios que
tienen propiedades físicas diferentes, es necesario estudiar las condiciones que
deben satisfacer los vectores B y H en las superficies de separación de los
distintos medios.
A partir de la divergencia nula del campo B podemos llegar a la conclusión de que
la componente normal de B es continua a través de una superficie de separación ;
es decir
La componente tangencial de un campo magnético no será continua si hay una
corriente superficial por la superficie de separación.
104
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FISICA 2
Podemos derivar una condición en la frontera de las componentes tangenciales de
H aplicando la ecuación de Ampere a una trayectoria cerrada en la superficie de
separación de dos medios, como se ilustra en la figura.
Al dejar que los lados bc = da = h se aproximen a cero , tenemos
H . dl = H 1 .
w + H 2 . (-
w) = I s
o
H 1t - H 2t = J s
J s es en general igual a cero y la componente tangencial de H es continua a través
de la frontera de casi todos los medios físicos ; es discontinua únicamente cuando
se supone la superficie de separación con un conductor ideal perfecto o con un
superconductor. De esta manera normalmente tenemos
H 1t = H 2t
3.2.6 Inductores e inductancia de energía magnética
INDUCTORES
Cuando la corriente fluye en un conductor (o una bobina), se desarrolla un campo
magnético en torno al alambre (o la bobina). Cuando se incrementa la corriente, el
flujo aumenta. Un incremento en el flujo magnético genera un voltaje en el alambre
o el devanado con una polaridad que se opone al cambio de flujo. La capacidad da
una bobina para oponerse a ese cambio se denomina auto inductancia, o bien, de
modo mas común, inductancia; las bobinas se llaman inductores.
Cuanto mayor sea el flujo, tanto mayor será la inductancia. Puesto que las bobinas
de núcleo de hierro desarrollan más flujo, su inductancia es más alta que la de las
bobinas de núcleo de aire.
Puesto que la cantidad de flujo en el hierro se determina por la región del lazo de
histéresis que se atraviesa, la inductancia de las bobinas de núcleo magnético
depende de muchos factores y es variable.
105
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FISICA 2
Cuando dos bobinas se enlazan mediante un campo magnético común
(transformador), la medida de la interacción de flujo magnético entre las dos
bobinas se denomina inductancia mutua. La unidad de inductancia (L) es el Henry
(H); son muy comunes inductores de mili Henry (mH) y micro Henry ( H).
En el comercio existen inductores de muchos tipos y diversas formas. Los valores
pequeños de inductancia se pueden conseguir en componentes de la forma y el
tamaño aproximado de los resistores de composición de 1 W. Su inductancia en
microhenrys se indica por medio de un código de colores idéntico al utilizado para
los resistores de composición. Para valores elevados de inductancia. Existen
bobinas de núcleo de hierro en polvo. Para valores todavía más altos de
inductancia, empleados en las líneas de potencia a frecuencias bajas, se utilizan
bobinas con núcleos laminados de acero.
Los inductores variables tienen núcleos móviles de hierro en polvo que se pueden
desplazar mediante un instrumento o un brazo de ajuste.
ELECCIÓN DE INDUCTORES
Al escoger inductores, es preciso tomar en consideración los factores siguientes:
1. Valor de inductancia
2. Tamaño y requisitos de montaje
3. Q, Factor de calidad de una bobina
4. Gama de frecuencias
5. Composición del núcleo (aire o hierro)
6. Nivel de corriente continua y magnitud de corriente alterna en bobinas de hierro
7. Efectos de capacitancia parásita y frecuencia autor resonante
8. Para bobinas acopladas razón de vueltas, inductancia mutua y acoplamiento
capacitivo entre devanados
106
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FISICA 2
9.
Factores ambientales: temperatura.
aislamiento, altitud y ciclos térmicos
Humedad,
choques,
vibraciones,
10. Disipación de potencia
11. Protección
12. Fijos o variables
3.2.7 Circuitos magnéticos
Se denomina circuito magnético a un dispositivo en el que las líneas de fuerza
del campo magnético están canalizadas en un camino cerrado. Se basa en que
los materiales ferromagnéticos tienen una permeabilidad mucho más alta que el
aire o el espacio y por tanto el campo magnético tiende a quedarse dentro del
material.
Un circuito magnético sencillo es un anillo o toro de una material ferromagnético
con un arrollamiento por el que circula una corriente. Esta última crea un flujo en el
anillo cuyo valor viene dado por:
Donde Φ is el flujo magnético,
es la fuerza magnetomotriz, definida como el
producto del número de espiras N por la corriente I (
) y
es la
reluctancia.
Los circuitos magnéticos son importantes en electrotecnia, pues son la base de
transformadores, motores eléctricos, muchos interruptores automáticos, relés, etc.
Clases de circuitos magnéticos
•
Homogéneos: una sola sustancia, sección uniforme y sometido a igual
inducción en todo su recorrido.
•
Heterogéneos: varias sustancias, distintas secciones o inducciones, o
coincidencia de estas condiciones.
Analogías con los circuitos eléctricos
107
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FISICA 2
Las leyes de los circuitos magnéticos son formalmente similares a las de los
circuitos eléctricos, aunque al contrario que en este último, no hay nada material
que circule.
Circuito magnético Análogo en circuito eléctrico
Fuerza magnetomotriz Fuerza electromotriz
Flujo
Corriente
Reluctancia
Resistencia
Densidad de flujo
Densidad de corriente
Permeabilidad
Conductividad
Excitación magnética Campo eléctrico
108
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INDICE
Unidad 4
Termodinámica
4.1 Ley Cero termodinámica temperatura
109
4.2 Escalas de temperatura
110
4.3 Expansión térmica sólidos y líquidos
112
4.4 Primera ley de termodinámica
113
4.4.1 Sistemas cerrados y abiertos
117
4.4.2 Interacciones calor y trabajo
118
4.4.3 Capacidad calorífica y calor especifico
119
4.4.4 Energía interna y entalpia
123
4.5 Modelo Gas Ideal
124
4.5.1 Calculo trabajo y de propiedades en procesos
4.6 Segunda ley de termodinámica
134
144
4.6.1 Entropía
147
4.6.2 Maquinas térmicas. Ciclo de Carnot
148
4.6.3. Potenciales termodinámicos. Relaciones de Maxwell (aquí no
lleva la
palabra relación es Ecuaciones de Maxwell)
4.6.4 Ecuaciones generales para cambio de Entropía
155
108
158
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4.1 Ley Cero de la termodinámica
Con el material que hemos discutido hasta ahora, estamos preparados para
describir la Ley de Cero de la Termodinámica. Como las otras leyes de la
termodinámica que veremos, la Ley de Cero se basa en la observación y en su
comprobación experimental. Consideremos dos observaciones como punto de
partida:
1. Si dos cuerpos están en contacto térmico por un tiempo los suficientemente
largo, ningún cambio futuro observable toma lugar y se dice que el equilibrio
térmico prevalece.
2. Dos sistemas que están individualmente en equilibrio térmico con un tercero,
estos dos están en equilibrio térmico uno con el otro; los tres sistemas tienen el
mismo valor de la propiedad llamada temperatura.
Estas ideas que relacionan la temperatura y del equilibrio térmico se expresan
formalmente en la Ley Cero de la Termodinámica:
Ley Cero: Existe para cada sistema termodinámico en equilibrio una propiedad
llamada temperatura. La igualdad de la temperatura es una condición necesaria y
suficiente para el equilibrio térmico.
La Ley Cero define
comportamiento.
así
una
propiedad
(temperatura)
y
describe
su
Es importante observar que esta ley es verdadera sin importar cómo medimos la
propiedad temperatura.
Si bien las escalas de temperaturas empíricas y la temperatura termodinámica son
discutidas más adelante, presentamos las dos escalas absolutas utilizadas
actualmente. La escala Kelvin
donde
son los grados centígrados y la escala Rankine
donde
son los grados Fahrenheit
109
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La escala de temperaturas será discutida posteriormente.
La Ley del Cero se representa esquemáticamente en la figura
Figure 4.1.1: Representación esquemática de la Ley Cero de la Termodinámica
4.2 ESCALAS DE TEMPERATURA
Fahrenheit
Daniel Gabriel Fahrenheit (1686–1736) era un físico Alemán que inventó el
termómetro de alcohol en 1709 y el termómetro de mercurio en 1714. La escala de
temperatura Fahrenheit fue desarrollada en 1724. Fahrenheit originalmente
estableció una escala en la que la temperatura de una mezcla de hielo-agua-sal
estaba fijada a 0 grados. La temperatura de una mezcla de hielo-agua (sin sal)
estaba fijada a 30 grados y la temperatura del cuerpo humano a 96 grados.
Fahrenheit midió la temperatura del agua hirviendo a 32°F, haciendo que el
intervalo entre el punto de ebullición y congelamiento del agua fuera de 180
grados (y haciendo que la temperatura del cuerpo fuese 98.6°F). La escala
Fahrenheit es comúnmente usada en Estados Unidos.
Celsius
110
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Anders Celsius (1701–1744) fue un astrónomo suizo que inventó la escala
centígrada en 1742. Celsius escogió el punto de fusión del hielo y el punto de
ebullición del agua como sus dos temperaturas de referencia para dar con un
método simple y consistente de un termómetro de calibración. Celsius dividió la
diferencia en la temperatura entre el punto de congelamiento y de ebullición del
agua en 100 grados (de ahí el nombre centi, que quiere decir cien, y grado).
Después de la muerte de Celsius, la escala centigrada fue llamanda escala
Celsius y el punto de congelamiento del agua se fijo en 0°C y el punto de
ebullición del agua en 100°C. La escala Celsius toma precedencia sobre la escala
Fahrenheit en la investigación científica porque es más compatible con el formato
basado en los decimales del Sistema Internacional (SI) del sistema métrico.
Además, la escala de temperatura Celsius es comúnmente usada en la mayoría
de paises en el mundo, aparte de Estados Unidos.
Kelvin
La tercera escala para medir la temperatura es comúnmente llamada Kelvin (K).
Lord William Kelvin (1824–1907) fue un físico Escocés que inventó la escala en
1854. La escala Kelvin está basada en la idea del cero absoluto, la temperatura
teorética en la que todo el movimiento molecular se para y no se puede detectar
ninguna energía (ver la Lección de Movimiento). En teoría, el punto cero de la
escala Kelvin es la temperatura más baja que existe en el universo: −273.15ºC. La
escala Kelvin usa la misma unidad de división que la escala Celsius. Sin embargo
vuelve a colocar el punto zero en el cero absoluto: −273.15ºC. Es así que el punto
de congelamiento del agua es 273.15 Kelvins (las graduaciones son llamadas
Kelvins en la escala y no usa ni el término grado ni el símbolo º) y 373.15 K es el
punto de ebullición del agua. La escala Kelvin, como la escala Celsius, es una
unidad de medida estándar del SI, usada comúnmente en las medidas científicas.
Puesto que no hay números negativos en la escala Kelvin (porque teóricamente
nada puede ser más frío que el cero absoluto), es muy conveniente usar la escala
Kelvin en la investigación científica cuando se mide temperatura extremadamente
baja.
ESCALAS DE TEMPERATURA
Partiendo de la diferencia de nivel que el mercurio toma, cuando se toma el
termómetro en el hielo fundente y cuando lo está entre agua en ebullición en
111
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condiciones normales de presión, por convención, esta longitud por así decirlo se
expresa con distintas divisiones que dan origen a las diferentes escalas
termométricas. En la actualidad se emplean diferentes escalas de temperatura;
entre ellas está la escala Celsius también conocida como escala centígrada, la
escala Fahrenheit, la escala Kelvin, la escala Ranking o la escala termodinámica
internacional. En la escala Celsius, el punto de congelación del agua equivale a
0°C, y su punto de ebullición a 100 °C. Esta escala se utiliza en todo el mundo, en
particular en el trabajo científico. La escala Fahrenheit se emplea en los países
anglosajones para medidas no científicas y en ella el punto de congelación del
agua se define como 32 °F y su punto de ebullición como 212 °F. En la escala
Kelvin, la escala termodinámica de temperaturas más empleada, el cero se define
como el cero absoluto de temperatura, es decir,−273,15 °C. La magnitud de su
unidad, llamada kelvin y simbolizada por K, se define como igual a un grado
Celsius. Otra escala que emplea el cero absoluto como punto más bajo es la
escala Ranking, en la que cada grado de temperatura equivale a un grado en la
escala Fahrenheit. En la escala Ranking, el punto de congelación del agua
equivale a 492 °R, y su punto de ebullición a 672 °R. En la escala Reaumur
también se pone 0 en el punto de fusión del hielo, pero en el punto de ebullición
del agua se pone 80.
En 1933, científicos de treinta y una naciones adoptaron una nueva escala
internacional de temperaturas, con puntos fijos de temperatura adicionales
basados en la escala Kelvin y en principios termodinámicos. La escala
internacional emplea como patrón un termómetro de resistencia de platino (cable
de platino) para Temperaturas entre −190 °C y 660 °C. Desde los 660 °C hasta el
punto de fusión del oro (1.063 °C) se emplea un termopar patrón: los termopares
son dispositivos que miden la temperatura a partir de la tensión producida entre
dos alambres de metales diferentes. Más allá del punto de fusión del oro las
temperaturas se miden mediante el llamado pirómetro óptico, que se basa en la
intensidad de la luz de una frecuencia determinada que emite un cuerpo caliente.
4.3 Expansión térmica sólidos y líquidos.
Expansión Térmica de sólidos y líquidos
112
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Nuestro estudio del termómetro líquido aprovecha uno de los cambios más
conocidos que ocurren en una sustancia: conforme aumenta su temperatura
aumenta su volumen. (En algunas sustancias ocurre al revés, pero en la mayoría
no). Este fenómeno es conocido como Expansión Térmica, y desempeña un papel
muy importante en las aplicaciones de la ingeniería.
Por ejemplo, las uniones de expansión térmica deben incluirse en puentes y en
algunas otras estructuras para compensar los cambios en las dimensiones con las
variaciones de temperatura.
La expansión térmica total de un cuerpo es una consecuencia del cambio en la
separación promedio entre sus átomos o moléculas constituyentes.
Por ejemplo a temperaturas ordinarias los átomos vibran en torno de sus
posiciones de equilibrio con una amplitud de aproximadamente 10^−11 m y a una
frecuencia cercana a 10^13 Hz. El esparcimiento promedio entre los átomos es
casi de 10 a la−10m. A medida que la temperatura aumenta, el átomo vibra con
amplitudes más grandes y se incrementa la separación promedio entre ellos. En
consecuencia el sólido se expande.
Nota: El símbolo ^ significa “Elevado a X potencia, donde X es el numero que lo
sucede”
4.4 Primera ley de termodinámica
La Primera Ley de la Termodinámica o Primer Principio de la Termodinámica
se postula a partir del siguiente hecho experimental:
En un sistema cerrado adiabático que evoluciona de un estado inicial A a
otro estado final B, el trabajo realizado no depende ni del tipo de trabajo ni
del proceso seguido.
Este enunciado supone formalmente definido el concepto de trabajo
termodinámico, y sabido que los sistemas termodinámicos sólo pueden
interaccionar de tres formas diferentes (interacción material, interacción en forma
de trabajo e interacción térmica). En general, el trabajo es una magnitud física que
no es una variable de estado del sistema, dado que depende del proceso seguido
113
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
por dicho sistema. Este hecho experimental, por el contrario, muestra que para los
sistemas cerrados adiabáticos, el trabajo no va a depender del proceso, sino tan
solo de los estados inicial y final. En consecuencia, podrá ser identificado con la
variación de una nueva variable de estado de dichos sistemas, definida como
Energía.
Se define entonces la Energía, E, como una variable de estado cuya variación en
un proceso adiabático es el trabajo intercambiado por el sistema:
Cuando el sistema cerrado evoluciona del estado inicial A al estado final B pero
por un proceso no adiabático, la variación de la Energía debe ser la misma, sin
embargo, ahora, el trabajo intercambiado será diferente del trabajo adiabático
anterior. La diferencia entre ambos trabajos debe haberse realizado por medio de
interacción térmica. Se define entonces la cantidad de energía térmica
intercambiada Q (calor) como:
Esta definición suele identificarse con la ley de la conservación de la energía y, a
su vez, identifica el calor como una transferencia de energía. Es por ello que la ley
de la conservación de la energía se utilice, fundamentalmente por simplicidad,
como uno de los enunciados de la primera ley de la termodinámica:
La variación de energía de un sistema termodinámico cerrado es igual a la
diferencia entre la cantidad de calor y la cantidad de trabajo intercambiados por el
sistema con sus alrededores.
En su forma matemática más sencilla se puede escribir para cualquier sistema
cerrado:
Donde ΔE es la variación de energía del sistema, Q es el calor intercambiado por
el sistema, y W es el trabajo intercambiado por el sistema a sus alrededores.
Véase también: Criterio de signos termodinámico
El primer principio de la termodinámica es una ley empírica que no puede
demostrarse teóricamente.
Historia
114
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
Durante la década de 1840, varios físicos entre los que se encontraban Joule,
Helmholtz y Meyer, fueron desarrollando esta ley. Sin embargo, fueron primero
Clausius en 1850 y Thomson (Lord Kelvin) un año después quienes escribieron los
primeros enunciados más formales.1 2
Descripción
La forma de transferencia de energía común para todas las ramas de la física -y
ampliamente estudiada por éstas- es el trabajo.
Dependiendo de la delimitación de los sistemas a estudiar y del enfoque
considerado, el trabajo puede ser caracterizado como mecánico, eléctrico, etc.
pero su característica principal es el hecho de transmitir energía y que, en general,
la cantidad de energía transferida no depende solamente de los estados iníciales y
finales, sino también de la forma concreta en la que se lleven a cabo los procesos.
El calor es la forma de transferencia de un tipo de energía particular, propiamente
termodinámica, que es debida únicamente a que los sistemas se encuentren a
distintas temperaturas (es algo común en la termodinámica catalogar el trabajo
como toda trasferencia de energía que no sea en forma de calor). Los hechos
experimentales corroboran que este tipo de transferencia también depende del
proceso y no sólo de los estados inicial y final.
Sin embargo, lo que los experimentos sí demuestran es que dado cualquier
proceso de cualquier tipo que lleve a un sistema termodinámico de un estado A a
otro B, la suma de la energía transferida en forma de trabajo y la energía
transferida en forma de calor siempre es la misma y se invierte en aumentar la
energía interna del sistema. Es decir, que la variación de energía interna del
sistema es independiente del proceso que haya sufrido. En forma de ecuación y
teniendo en cuenta el criterio de signos termodinámico esta ley queda de la forma:
Así, la Primera Ley (o Primer Principio) de la termodinámica relaciona magnitudes
de proceso (dependientes de éste) como son el trabajo y el calor, con una variable
de estado (independiente del proceso) tal como lo es la energía interna.
Aplicaciones de la Primera Ley
•
Sistemas cerrados:
Un sistema cerrado es uno que no tiene intercambio de masa con el resto del
universo termodinámico. También es conocido como masa de control.
115
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
El sistema cerrado puede tener interacciones de trabajo y calor con sus
alrededores, así como puede realizar trabajo a través de su frontera.
La ecuación general para un sistema cerrado (despreciando energía cinética y
potencial y teniendo en cuenta el criterio de signos termodinámico) es:
ΔU = Q − W
Donde Q es la cantidad total de transferencia de calor hacia o desde el sistema, W
es el trabajo total e incluye trabajo eléctrico, mecánico y de frontera; y U es la
energía interna del sistema.
•
Sistemas abiertos
Un sistema abierto es aquel que tiene entrada y/o salida de masa, así como
interacciones de trabajo y calor con sus alrededores, también puede realizar
trabajo de frontera.
La ecuación general para un sistema abierto en un intervalo de tiempo es:
O igualmente:
Q−W+
∑m
in
in θ in
−
∑m
out θ out
= ΔE sistema
out
Donde:
in representa todas las entradas de masa al sistema.
out representa todas las salidas de masa desde el sistema.
θ es la energ
ía por unidad de masa del flujo y comprende la
energía potencial y energía cinética:
La energía del sistema es:
116
entalpía,
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La variación de energía del sistema en el intervalo de tiempo considerado
(entre t 0 y t) es:
•
Sistemas abiertos en estado estacionario
El balance de energía se simplifica considerablemente para sistemas en estado
estacionario (también conocido como estado estable). En estado estacionario se
tiene ΔE sistema = 0, por lo que el balance de energía queda:
•
Sistema Aislado
Es aquel sistema en el cual no hay intercambio ni de masa ni de energía con el
exterior.
4.4.1 Sistemas cerrados y abiertos
Sistemas Cerrados Y Abiertos
a) Sistemas cerrados: Son los sistemas que no presentan intercambio con el
medio ambiente que los rodea, pues son herméticos a cualquier influencia
ambiental. Así, los sistemas cerrados no reciben ninguna influencia del ambiente,
y por otro lado tampoco influencian al ambiente. No reciben ningún recurso
externo y nada producen la acepción exacta del término. Los autores han dado el
nombre de sistema cerrado a aquellos sistemas cuyo comportamiento es
totalmente determinístico y programado y que operan con muy pequeño
intercambio de materia y energía con el medio ambiente.
117
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
El término también es utilizado para los sistemas completamente estructurados,
donde los elementos y relaciones se combinan de una manera peculiar y rígida
produciendo una salida invariable. Son los llamados sistemas mecánicos, como
las máquinas.
b) Sistemas abiertos: son los sistemas que presentan relaciones de intercambio
con el ambiente, a través de entradas y salidas. Los sistemas abiertos
intercambian materia y energía regularmente con el medio ambiente. Son
eminentemente adaptativos, esto es, para sobrevivir deben reajustarse
constantemente a las condiciones del medio.
Mantienen un juego recíproco con las fuerzas del ambiente y la calidad de su
estructura es óptima cuando el conjunto de elementos del sistema se organiza,
aproximándose a una operación adaptativa. La adaptabilidad es un continuo
proceso de aprendizaje y de auto-organización. Los sistemas abiertos no pueden
vivir aislados. Los sistemas cerrados-esto es, los sistemas que están aislados de
su medio ambiente- cumplen el segundo principio de la termodinámica que dice
que “una cierta cantidad, llamada entropía, tiende a aumentar a un máximo”.
La conclusión es que existe una “tendencia general de los eventos en la
naturaleza física en dirección a un estado de máximo desorden”. Sin embargo, un
sistema abierto “mantiene así mismo, un continuo flujo de entrada y salida, un
mantenimiento y sustentación de los componentes, no estando a lo largo de su
vida en un estado de equilibrio químico y termodinámico, obtenido a través de un
estado firme llamado homeostasis”. Los sistemas abiertos, por lo tanto, “evitan el
aumento de la entropía y pueden desarrollarse en dirección a un estado
decreciente orden y organización” (entropía negativa).
A través de la interacción ambiental, los sistemas abiertos” restauran su propia
energía y raparan pérdidas en su propia organización”. El concepto de sistema
abierto puede ser aplicado a diversos niveles de enfoque: al nivel del individuo, al
nivel del grupo, al nivel de la organización y al nivel de la sociedad, yendo desde
un microsistema hasta un supra sistema en términos más amplios, va de la célula
al universo.
4.4.2 Interacciones calor y trabajo
118
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
Interacción Calor y Trabajo
Ni el calor ni el trabajo son propiedades de un cuerpo en el sentido de poder
asignarle un valor a la cantidad “contenida” en el sistema. El trabajo es una
medida de la energía trasferida por medios mecánicos mientras que el calor, en
cambio, es una medida de la energía transferida por medio de una diferencia de
temperatura.
La Termodinámica estudia la transferencia de energía que ocurre cuando un
sistema sufre un determinado proceso (termodinámico) que produce un cambio
llevando de un estado a otro del sistema.
Si aplicamos una fuerza sobre una superficie obtendremos una presión sobre ese
lugar. La fuerza aplicada, al provocar un desplazamiento, genera trabajo
mecánico. En el caso de la presión, que actúa sobre las paredes de un cuerpo
extensible, el ensanchamiento de este produce variación de volumen, el que está
asociado con el trabajo mecánico también.
4.4.3 Capacidad calorífica y calor específico.
Calorimetría. Capacidad calorífica y calor específico
En un sentido amplio, la calorimetría se desarrolló históricamente como una
técnica destinada a fabricar aparatos y procedimientos que permitieran medir la
cantidad de calor desprendida o absorbida en una reacción mecánica, eléctrica,
química o de otra índole. Esta disciplina, encuadrada dentro de la termodinámica,
se ha especializado sobre todo, con el paso del tiempo, en la determinación del
calor específico de los cuerpos y los sistemas físicos.
Capacidad calorífica
Como regla general, y salvo algunas excepciones puntuales, la temperatura de un
cuerpo aumenta cuando se le aporta energía en forma de calor. El cociente entre
la energía calorífica Q de un cuerpo y el incremento de temperatura T obtenido
recibe el nombre de capacidad calorífica del cuerpo, que se expresa como:
119
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
La capacidad calorífica es un valor característico de los cuerpos, y está
relacionado con otra magnitud fundamental de la calorimetría, el calor
específico.
Para elevar la temperatura de 1 g de agua en 1 ºC es necesario aportar una
cantidad de calor igual a una caloría. Por tanto, la capacidad calorífica de 1 g de
agua es igual a 1 cal/K.
Calor específico
El valor de la capacidad calorífica por unidad de masa se conoce como calor
específico. En términos matemáticos, esta relación se expresa como:
donde c es el calor específico del cuerpo, m su masa, C la capacidad calorífica, Q
el calor aportado y T e l incre me nto de temperatura.
El calor específico es característico para cada sustancia y, en el Sistema
Internacional, se mide en julios por kilogramo y kelvin (J/(kg·K)). A título de
ejemplo, el calor específico del agua es igual a:
Del estudio del calor específico del agua se obtuvo, históricamente, el valor del
equivalente mecánico del calor, ya que:
Calorimetría
120
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
La determinación del calor específico de los cuerpos constituye uno de los fines
primordiales de la calorimetría.
El procedimiento más habitual para medir calores específicos consiste en sumergir
una cantidad del cuerpo sometido a medición en un baño de agua de temperatura
conocida. Suponiendo que el sistema está aislado, cuando se alcance el equilibrio
térmico se cumplirá que el calor cedido por el cuerpo será igual al absorbido por el
agua, o a la inversa.
Método de medida de calores específicos. Al sumergir un cuerpo en agua de
temperatura conocida, cuando se alcanza el equilibrio térmico, el calor cedido por
el cuerpo es igual al absorbido por el agua.
Como la energía calorífica cedida ha de ser igual a la absorbida, se cumple que:
siendo m la masa del cuerpo sumergido, c su calor específico, T la temperatura
inicial del cuerpo, m a la masa de agua, c a el calor específico del agua, T a la
temperatura inicial del agua y T f la temperatura final de equilibrio. Todos los
valores de la anterior expresión son conocidos, excepto el calor específico del
cuerpo, que puede por tanto deducirse y calcularse de la misma.
Calor específico de los gases
En el caso de los gases, ha de distinguirse entre calor específico a volumen
constante (c v ) y a presión constante (c p ). Por el primer principio de la
termodinámica, y dado que el calentamiento de un gas a volumen constante no
produce trabajo, se tiene que:
121
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En el caso particular de gases diluidos, la vinculación entre el calor específico a
presión y a volumen constante sigue la llamada relación de J. R. Mayer (18141878):
siendo N m el número de moles por unidad de masa y R la constante universal de
los gases perfectos.
«« Escalas de temperatura
Cambios de estado. Calores latentes »»
Tabla de calores específicos
Poder calorífico
Se llama poder calorífico al calor que se libera en el proceso de combustión de un
cuerpo, llamado combustible. El poder calorífico se mide como la cantidad de
calorías o kilocalorías que se desprenden en la combustión de 1 kg de masa del
material combustible.
Tabla de poderes caloríficos
122
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4.4.4 Energía interna y entalpia
Energía interna
La energía interna es una función de estado. No puede conocerse su valor
absoluto, sino sólo la variación que experimenta entre el estado inicial y el final del
sistema.
Aplicación a las reacciones químicas. Las aplicaciones fundamentales son:
Transferencia de calor a volumen constante:
DE = Q - W = Q - PDV = Qv
Transferencia de calor a presión constante:
DE = Q - W = Qp - PDV
Entalpía
123
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En las reacciones químicas que transcurren a presión constante, se establece
que:
Qp = H2 - H1 = DH
Donde H es la magnitud energética denominada entalpía.
La entalpía es una función de estado. No puede conocerse su valor absoluto, sino
solo la diferencia entre el estado inicial y final.
4.5 Modelo Gas Ideal
En física y química, una ecuación de estado es una ecuación constitutiva para
sistemas hidrostáticos que describe el estado de agregación de la materia como
una relación funcional entre la temperatura, la presión, el volumen, la densidad, la
energía interna y posiblemente otras funciones de estado asociadas con la
materia.
Las ecuaciones de estado son útiles para describir las propiedades de los fluidos,
mezclas, sólidos o incluso del interior de las estrellas. Cada substancia o sistema
hidrostático tiene una ecuación de estado característica dependiente de los niveles
de energía moleculares y sus energías relativas, tal como se deduce de la
mecánica estadística.
El uso más importante de una ecuación de estado es para predecir el estado de
gases y líquidos. Una de las ecuaciones de estado más simples para este
propósito es la ecuación de estado del gas ideal, que es aproximable al
comportamiento de los gases a bajas presiones y temperaturas mayores a la
temperatura crítica. Sin embargo, esta ecuación pierde mucha exactitud a altas
presiones y bajas temperaturas, y no es capaz de predecir la condensación de gas
en líquido. Por ello, existe una serie de ecuaciones de estado más precisas para
gases y líquidos. Entre las ecuaciones de estado más empleadas sobresalen las
ecuaciones cúbicas de estado. De ellas, las más conocidas y utilizadas son la
ecuación de Peng-Robinson (PR) y la ecuación de Redlich-Kwong-Soave (RKS).
Hasta ahora no se ha encontrado ninguna ecuación de estado que prediga
correctamente el comportamiento de todas las sustancias en todas las
condiciones.
Además de predecir el comportamiento de gases y líquidos, también hay
ecuaciones de estado que predicen el volumen de los sólidos, incluyendo la
124
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transición de los sólidos entre los diferentes estados cristalinos. Hay ecuaciones
que modelan el interior de las estrellas, incluyendo las estrellas de neutrones. Un
concepto relacionado es la ecuación de estado del fluido perfecto, usada en
Cosmología.
Modelo Matemático de estado más usado
Analizando el comportamiento de los gases que se puede observar en los
diagramas PνT o Pν, se han propuesto muchos modelos matem
áticos distintos
que se aproximan a dicho comportamiento. Sin embargo, estos modelos no
pueden predecir el comportamiento real de los gases para todo el amplio espectro
de presiones y temperaturas, sino que sirven para distintos rangos y distintas
sustancias. Es por eso que, según las condiciones con las cuales se esté
trabajando, conviene usar uno u otro modelo matemático.
En las siguientes ecuaciones las variables están definidas como aparece a
continuación; se puede usar cualquier sistema de unidades aunque se prefieren
las unidades del Sistema Internacional de Unidades:
P = Presión (atmósferas)
V = Volumen
n = Número de moles
ν = V/n = Volumen molar, el volumen de un gmol de gas o líquido
T = Temperatura (K)
R = constante de los gases (8,314472 J/mol·K) o (0,0821 atm·L/gmol·K)
Modelo Matemático Ideal - Ley del gas ideal
Artículo principal: Ley de los gases ideales
La ecuación de los gases ideales realiza las siguientes aproximaciones:
1. Considera que las moléculas del gas son puntuales, es decir que no
ocupan volumen.
2. Considera despreciables a las fuerzas de atracción-repulsión entre las
moléculas.
Tomando las aproximaciones anteriores, la ley de los gases ideales puede
escribirse
125
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ν es el volumen espec
ífico, que se define como el volumen total sobre la masa
(con unidades en gramos, kilogramos, libras, etc.) o como el volumen total sobre la
cantidad de materia (medida en gramos moles, libras moles, etc.). El primero se
denomina volumen específico másico y el segundo volumen específico molar.
Para la expresión anterior se utiliza el volumen específico molar. Si se quiere
expresar en función del volumen total, se tiene
PV = nRT
Además, puede expresarse de este modo
donde ρ es la densidad, γíndice
el
adiabático y
u la energía interna. Esta
expresión está en función de magnitudes intensivas y es útil para simular las
ecuaciones de Euler dado que expresa la relación entre la energía interna y otras
formas de energía (como la cinética), permitiendo así simulaciones que obedecen
a la Primera Ley.
Restricciones del modelo ideal
La ecuación de los gases ideales no tiene buena correlación con el
comportamiento de los gases reales. Al considerar el volumen molecular y las
fuerzas de atracción-repulsión despreciables, no es fiable cuando el volumen es
pequeño o la temperatura es baja, ya que los factores que se despreciaron
influyen más. Es por eso que se la utiliza a altas temperaturas (la energía cinética
de las moléculas es alta comparada con las fuerzas de atracción-repulsión) y
bajas presiones (el volumen es muy grande comparado con el volumen de las
moléculas del gas). En general el criterio utilizado es que se puede utilizar dicha
ecuación cuando la temperatura a la que se está trabajando (o el rango de
temperaturas) es superior a dos veces la temperatura crítica del compuesto.
En la gráfica Pν, la zona de temperaturas superior a dos veces la temperatura
crítica corresponde a las isotermas que superan a la isoterma crítica. Al estar tan
lejos de la campana húmeda del gráfico, las curvas isotérmicas se aproximan a la
forma que tienen en el gráfico νP para los gases ideales. En dichoáfico,
gr la
pendiente de las curvas isotérmicas se puede sacar haciendo la derivada parcial
de la presión en función del volumen específico molar, quedando lo siguiente:
Teniendo en cuenta el módulo de la derivada, y
considerando sólo el primer cuadrante, nos quedan isotermas similares a las de la
imagen a continuación
126
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Gráfico Pv utilizando el modelo ideal.
El factor de compresibilidad z
Si bien hay muchos modelos matemáticos distintos, todos de pueden generalizar
mediante la siguiente expresión:
z es lo que se denomina factor de compresibilidad, que representa cuán alejado
estamos del modelo ideal de los gases. Si z vale 1, entonces el modelo ideal es
aplicable. Sin embargo, los valores de z pueden variar entre 0 y 1, e incluso puede
tomar valores mayores a 1. La desviación z se puede calcular con cualquiera de
los modelos matemáticos. De la ecuación anterior sale que
Si se resuelve lo anterior para los distintos modelos, se puede hallar z. Según qué
modelo estemos usando, el z expresará la desviación de ese modelo respecto al
modelo ideal. Si estamos trabajando a cierta presión y temperatura, tendremos
cierto valor de volumen específico. Si tenemos una medición experimental del
volumen específico, podemos expresar
donde ν i es el volumen
específico molar ideal y ν r el volumen específico molar real (medido). La expresión
anterior sirve también para hallar z usando el volumen específico calculado con el
modelo ideal y el calculado con otro de los modelos matemáticos.
Modelo Matemático de Van der Waals
La ecuación de Van der Waals es una ecuación que generaliza la ecuación de los
gases ideales, haciendo entrar en consideración tanto el volumen finito de las
127
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moléculas de gas como otros efectos que afectan al término de presiones. Tiene la
forma:
Nótese que ν es el volumen molar. En esta expresión, a, b y R son constantes que
dependen de la sustancia en cuestión. Pueden calcularse a partir de las
propiedades críticas de este modo: De la gráfica PV, podemos observar que el
punto crítico (para cada compuesto) presenta las siguientes características:
1. Es un máximo, ya que es el punto mayor de la campana, por lo que la
derivada primera en ese punto, al tratarse de un extremo, debe ser cero.
2. Es un punto de inflexión de la isoterma crítica, ya que en ese punto dicha
isoterma cambia de concavidad, por lo que la derivada segunda en ese
punto debe ser cero.
De las dos condiciones de arriba, y como el punto crítico pertenece tanto a la
campana como a la isoterma crítica, podemos sacar dos ecuaciones:
ambas evaluadas en el punto crítico, o sea usando valores de temperatura,
presión y volumen específico críticos. De esta forma podemos despejas a y b de
las ecuaciones, ya que tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas (conocemos las
propiedades críticas de los compuestos). Si resolvemos, nos queda lo siguiente:
Si además usamos la siguiente ecuación, que es válida en utilizando las
propiedades críticas para hallar el z crítico, cuyo valor coincide para la misma
familia de gases,
128
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Si reemplazamos el volumen crítico por la relación de arriba, llegamos a las
ecuaciones de a y b:
La ecuación de Van der Waals fue una de las primeras que describía el
comportamiento de los gases visiblemente mejor que la ley del gas ideal. En esta
ecuación a se denomina el parámetro de atracción y b el parámetro de repulsión o
el volumen molar efectivo. Mientras que la ecuación es muy superior a la ley del
gas ideal y predice la formación de una fase líquida, sólo concuerda con los datos
experimentales en las condiciones en las que el líquido se forma. Mientras que la
ecuación de Van der Waals se suele apuntar en los libros de texto y en la
documentación por razones históricas, hoy en día está obsoleta. Otras ecuaciones
modernas sólo un poco más difíciles son mucho más precisas.
La ecuación de Van der Waals puede ser considerada como la "ley del gas ideal
mejorada", por las siguientes razones:
1. Trata a las moléculas como partículas con volumen, no como puntos en el
espacio. Por ello V no puede ser demasiado pequeño, y se trabaja con (V b) en lugar de V.
2. Mientras que las moléculas del gas ideal no interaccionan, Van der Waals
considera que unas moléculas atraen a otras dentro de una distancia
equivalente al radio de varias moléculas. No provoca efectos dentro del
gas, pero las moléculas de la superficie se ven atraídas hacia el interior. Se
ve esto al disminuir la presión exterior (usada en la ley del gas ideal), y por
ello se escribe (P + algo) en lugar de P. Para evaluar este 'algo', se
examina la fuerza de atracción actuando en un elemento de la superficie del
gas. Mientras que la fuerza que actúa sobre cada molécula superficial es
~ρ, la resultante sobre el elemento completo es ~ρ2~
Modelo Matemático del Virial
129
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Aunque generalmente no es la ecuación de estado más conveniente, la ecuación
del Virial es importante dado que puede ser obtenida directamente por mecánica
estadística. Si se hacen las suposiciones apropiadas sobre la forma matemática
de las fuerzas intermoleculares, se pueden desarrollar expresiones teóricas para
cada uno de los coeficientes. En este caso B corresponde a interacciones entre
pares de moléculas, C a grupos de tres, y así sucesivamente.
Modelo Matemático de Redlich-Kwong
R = constante de los gases (8.31451 J/mol·K)
Introducida en 1949, la ecuación de Redlich-Kwong fue una mejora considerable
sobre las otras ecuaciones de la época. Aún goza de bastante interés debido a su
expresión relativamente simple. Aunque es mejor que la ecuación de Van der
Waals, no da buenos resultados sobre la fase líquida y por ello no puede usarse
para calcular precisamente los equilibrios líquido-vapor. Sin embargo, puede
usarse conjuntamente con expresiones concretas para la fase líquida en tal caso.
La ecuación de Redlich-Kwong es adecuada para calcular las propiedades de la
fase gaseosa cuando el cociente entre la presión y la presión crítica es menor que
la mitad del cociente entre la temperatura y la temperatura crítica.
Modelo Matemático de Soave
R = Constante de los gases (8,31451 J/(K·mol))
130
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en donde ω es el factor acéntrico del compuesto.
para el hidrógeno:
En 1972 Soave reemplazó el término a/√(T) de la ecuación de Redlich-Kwong por
una expresión α(T,ω) función de la temperatura y del factor acéntrico. La función α
fue concebida para cuadrar con los datos de las presiones de vapor de los
hidrocarburos; esta ecuación describe acertadamente el comportamiento de estas
sustancias.
Modelo Matemático de Peng-Robinson
R = constante de los gases (8,31451 J/mol·K)
Donde ω es el factor acéntrico del compuesto.
La ecuación de Peng-Robinson fue desarrollada en 1976 para cumplir los
siguientes objetivos:
1. Los parámetros habían de poder ser expresados en función de las
propiedades críticas y el factor acéntrico.
131
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2. El modelo debía ser razonablemente preciso cerca del punto crítico,
particularmente para cálculos del factor de compresibilidad y la densidad
líquida.
3. Las reglas de mezclado no debían emplear más que un parámetro sobre
las interacciones binarias, que debía ser independiente de la presión,
temperatura y composición.
4. La ecuación debía ser aplicable a todos los cálculos de todas las
propiedades de los fluidos en procesos naturales de gases.
Generalmente la ecuación de Peng-Robinson da unos resultados similares a la de
Soave, aunque es bastante mejor para predecir las densidades de muchos
compuestos en fase líquida, especialmente los apolares.
Modelo Matemático de Beattie-Bridgeman
Este es un modelo de 5 constantes, cuyas ecuaciones son las siguientes
Por consiguiente, las 5 constantes son
Ecuación de Benedict-Webb-Rubin
Esta modelización realizada en 1940 especialmente para hidrocarburos livianos y
las mezclas de los mismos también es denominada ecuación BWR.
La modelización matemática BWR aproxima al comportamiento real de los gases
cuando la densidad es menor que 2,5 veces la densidad reducida: δ < 2,5δ r ó ρ <
2,5ρ r , siendo ρ ó δ la inversa del volumen específico ν de la ecuación. Es por eso
que también se la puede encontrar de la siguiente forma:
La
modelización BWR es una ampliación de la Modelización Beattie-Bridgeman que
plantea una ecuación de 5 constantes. La ecuación BWR tiene 8 constantes:
132
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Ecuación de BWRS
ρ = densidad molar
Los valores de los parámetros para quince sustancias pueden encontrarse en:
K.E. Starling, Fluid Properties for Light Petroleum Systems. Gulf Publishing
Company (1973).
Elliott, Suresh, Donohue
La ecuación de estado de Elliott, Suresh, y Donohue (ESD) fue propuesta en
1990. Pretende corregir una desviación de la ecuación de estado de PengRobinson, en la cual existe una imprecisión en el término de repulsión de van der
Waals. La ecuación tiene en cuenta el efecto de la forma de las moléculas
apolares y puede extenderse a polímeros añadiendo un término extra (no se
muestra). La ecuación fue desarrollada a partir de simulaciones informáticas y
comprende la física esencial del tamaño, forma y puente de hidrógeno.
Donde:
Ecuación de Bose ideal
133
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La ecuación de estado para un gas de Bose ideal es
donde α es un exponente específico del sistema (por ejemplo, en ausencia de un
campo de potencia, α=3/2), z es exp(μ/kT) donde μ es el potencial químico, Li es
el polilogaritmo, ζ es la función zeta de Riemann y T c es la temperatura crítica a la
cual el condensado de Bose-Einstein empieza a formarse.
4.5.1 Calculo trabajo y de propiedades en procesos
TRABAJO
El trabajo en termodinámica se define
de la misma forma que en mecánica
clásica: Cuando una parte del medio
ejerce una fuerza sobre el sistema y
este se mueve una distancia dx desde
el punto de aplicación de la fuerza,
entonces el medio ha realizado un
trabajo sobre el sistema dw = F dx, F
puede ser una fuerza mecánica,
eléctrica o magnética.
Considérese el ejemplo que se muestra
a continuación. Supongamos que la
presión interna es igual a la presión
externa y el sistema está en equilibrio
mecánico. Si aumentamos la presión
externa una cantidad infinitesimal, se
producirá un desequilibrio infinitesimal
de fuerzas y el pistón se moverá hacia
abajo, disminuyendo el volumen del
sistema. El trabajo que los alrededores
han realizado sobre nuestro sistema
será dw = F dx, la fuerza que hemos
realizado es la presión por unidad de
134
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área y esta vendrá dada por F = P A, si
el pistón se mueve una distancia x el
cambio de volumen será dV = A dx
Sustituyendo estas dos expresiones en la del trabajo nos quedará como:
dw alrededores = P ext dV
dw sistema = -P ext dV siendo P la presión externa
aplicada.
Observar que el cambio de signo es debido a que nos referimos al W realizado por
el sistema, y por tanto en la compresión del ejemplo, la fuerza que realizaría el
sistema es de sentido contrario al desplazamiento del émbolo.
Si queremos saber que cantidad de trabajo se ha desarrollado, tendremos que
integrar la expresión anterior
.
Por definición el trabajo realizado sobre el sistema es positivo, y el
trabajo realizado por el sistema es negativo.
El trabajo no es una función de estado, su valor depende de la trayectoria del
proceso. El trabajo se expresa en Julios (J).
135
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Calculo del trabajo en procesos sencillos de sistemas cerrados
•
Expansión frente a una Pext constante
Si la expansión tiene lugar frente a una presión externa constante, P2, para
calcular el trabajo deberemos integrar entre el estado inicial, 1, y el estado final 2.
La presión por ser constante sale fuera de la integral:
Si este mismo proceso se realiza en dos etapas: desde el estado inicial 1 al
estado 1', frente a una presión externa constante, P'1, y desde este estado 1' al
estado final 2, frente a una presión externa constante, P2, el trabajo vendrá dado
por :
El trabajo es la suma de las dos áreas rectangulares.
136
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•
Expansión reversible.
Si la presión externa no es constante, pero el proceso es reversible, el sistema
varía de forma infinitesimal alcanzando infinitos estados de equilibrio con lo que
P ext = P int ± dP,
es necesario conocer la ecuación de estado
para resolver la integral, ya que la P in t es
función del V
Así, si el sistema es un gas ideal, su
ecuación de estado es PV=nRT
Pero T es función de V, por lo que tampoco se puede integrar directamente.
Sin embargo si el proceso es reversible, el sistema es un gas ideal, y el proceso
es isotérmico
137
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Calor
El calor representa la cantidad de energía que un cuerpo transfiere a otro como
consecuencia de una diferencia de temperatura. Aun cuando no sea posible
determinar el contenido total de energía calorífica de un cuerpo, puede medirse la
cantidad que se toma o se cede al ponerlo en contacto con otro a diferente
temperatura. Esta cantidad de energía en transito de los cuerpos de mayor
temperatura a los de menor temperatura es lo que se entiende por calor.
Por definición calor cedido desde los alrededores al sistema es positivo,
el calor cedido por el sistema a los alrededores es negativo
La cantidad de calor tomada o cedida por un cuerpo para variar en una cantidad
, donde
su temperatura es directamente proporcional a su masa.
Q representa la cantidad de energía transferida en forma de calor, m la masa del
cuerpo T f y T i las temperaturas final e inicial. C es una constante de
proporcionalidad y su valor es característico del tipo de sustancia que constituye el
cuerpo, se le denomina calor específico. Si los despejamos de la ecuación
anterior, tenemos que
Luego el calor específico de una
sustancia, equivale a la cantidad de energía que hay que suministrar por
unidad de masa para elevar la temperatura del sistema un grado.
En realidad el calor específico de una sustancia es función de la P y de la T, que
deben ser especificadas.
El calor se expresa en unidades de energía, es decir Julios (J), aunque
tradicionalmente se han empleado las calorías (cal). Siendo 1 cal=4,184 J
Primer Principio
Un sistema termodinámico posee una cierta energía que llamamos energía
interna (U), debida a la propia constitución de la materia (enlaces de la moléculas,
interacciones entre ellas, choques térmicos....). Por lo tanto, la energía total de un
sistema es la suma de su energía interna, su energía potencial, su energía
cinética, y la debida al hecho de encontrarse sometido a la acción de cualquier
campo. (No obstante consideraremos sistemas sencillos que no se encuentran
sometidos a ningún campo externo, ni siquiera el gravitatorio).
138
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Puesto que la energía interna del sistema se debe a su propia naturaleza, a las
partículas que lo constituyen y la interacción entre ellas, la energía interna es una
propiedad extensiva del sistema. Sus unidades son unidades de energía, el
Julio.
La energía interna de un sistema se puede modificar de varias maneras
equivalentes, realizando un trabajo o transfiriendo energía en forma de calor.
Si variamos la energía interna de nuestro sistema, la primera ley de la
termodinámica nos dice, que esta variación viene acompañada por la misma
variación de energía, pero de signo contrario en los alrededores. De modo que la
energía total del sistema más el entorno, permanece constante. La energía del
Universo permanece constante. La energía ni se crea ni se destruye, sólo se
transforma.
La forma de expresar esta ley, centrándonos en el estudio del sistema, es :
La energía interna es una función de estado
; y como tal su
variación solo depende del estado inicial y del estado final y no de la trayectoria o
camino seguido para realizarlo.
Importante
La energía interna de un sistema es una función de estado, pero el calor y el
trabajo no lo son. El calor y el trabajo desarrollados en un proceso son función de
la trayectoria que siga el proceso. Calor y trabajo no son propiedades del sistema,
son solo formas de modificar la energía del mismo.
139
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Entalpía
La mayoría de los procesos se realizan a presión constante, por lo que resulta
adecuado definir una nueva función de estado, la entalpía (H), que se define
según la ecuación;
De la definición se deduce que sus unidades son unidades de energía, el Julio. La
entalpía es una propiedad extensiva del sistema, puesto que la energía interna
y el volumen lo son. La entalpía es una función de estado, y como tal depende
de la P y la T, su variación sólo depende del estado inicial y final, y no de la
trayectoria seguida por el sistema en el proceso termodinámico.
Según el Primer Principio en
forma diferencial:
•
si el proceso ocurre a V
constante
•
si el proceso ocurre a P
constante
Luego, la variación de entalpía para un sistema que realiza un proceso a presión
constante, es el calor absorbido o cedido por el sistema.
Capacidades caloríficas
La capacidad calorífica de un sistema cerrado en un proceso infinitesimal se
define como
. La capacidad calorífica depende de la P y T de trabajo.
Como el calor no es una función de estado, habrá que definir que tipo de proceso
se realiza cuando queramos saber que transferencia de energía en forma de calor
es necesaria para variar la temperatura del sistema.
140
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•
Si el proceso se realiza a presión constante se define la capacidad
•
calorífica a presión constante como:
Si el proceso se realiza a volumen constante se define la capacidad
calorífica a volumen constante como:
Puesto que
y
se tiene que
y
Cálculo de la variación de energía interna y de entalpía en procesos sencillos
de sistemas cerrados
Ni la energía interna ni la entalpía son variables termodinámicas cuyo valor pueda
ser medido de modo absoluto o relativo, en el laboratorio. Sin embargo es posible
calcular su variación en un proceso termodinámico, a partir del cambio que se
produce en magnitudes fácilmente medibles como la presión, la temperatura o el
volumen, ya que la energía interna y la entalpía son función de estas y viceversa.
En general, y aunque se pueden elegir otras expresiones, se suele escribir la
energía interna en función de la temperatura y el volumen del sistema, y la
entalpía en función de la temperatura y la presión. Así cualquier cambio medible
de temperatura, presión o volumen, nos permitirá conocer el cambio en la energía
interna y/o en la entalpía:
Si
escribimos
tendremos
que
Si
escribimos
tendremos
que
Luego son fundamentalmente estas expresiones junto con la definición del Primer
Principio (dU=q+w), y la definición de entalpía (H=U+PV) las que emplearemos de
forma general para calcular ΔU y ΔH, independientemente del tipo de proceso y de
la naturaleza del sistema estudiado. Sin embargo podemos ver en algunos casos
sencillos como se simplifican estas expresiones por anularse alguno de los
términos:
141
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
•
Proceso Cíclico
•
En un proceso cíclico el estado final es el inicial, luego las funciones
de estado no varían en el proceso.
•
Cambio de Fase a T y P constantes
Algunos ejemplos de cambio de fase son la fusión de un sólido, la
condensación de un gas, el cambio en la estructura cristalina de un
sólido.... etc. (Ir a Tema 5).
De la definición que se ha dado anteriormente de que es la energía interna:
la energía debida a la propia constitución de la materia (enlaces de la
moléculas, interacciones entre ellas, choques térmicos....) se desprende
que no será la misma para una cierta cantidad de sustancia si esta se
presenta por ejemplo como un sólido o como un gas. Por tanto todo cambio
de fase lleva asociado un cambio en la energía interna del sistema, para
calcularlo hay que emplear la definición dU=q+w y evaluar la variación
entre el estado inicial (fase 1) y el final (fase 2) :
En un cambio de fase se produce una transferencia de energía como
calor entre el sistema y los alrededores, y por ser un proceso a P
constante ese calor es igual al cambio de entalpía.
•
Calentamiento a P constante sin cambio de fase
Se puede calcular en primer lugar la variación de entalpía
,a
continuación el trabajo desarrollado en el proceso
y
finalmente la variación de energía interna
sustituyendo el valor de ΔH por el calculado anteriormente.
,
142
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México
•
Calentamiento a V constante sin cambio de fase
Se puede calcular en primer lugar la variación de energía interna
,
y
de
la
definición
de
entalpía,
su
variación:
.
•
Cambio de estado de un gas ideal
El gas ideal es un modelo muy sencillo en el que el sistema está formado
por partículas que no interaccionan entre sí, y que además no ocupan
volumen. Evidentemente el gas ideal no existe, pero como modelo sirve
para describir el comportamiento de los gases a bajas P y altas T.
Para un gas ideal la energía interna no depende del volumen ni de la
presión puesto que las moléculas son independientes entre sí. Tampoco
depende la entalpía ni de la presión ni del volumen, y por tanto:
y
, y si el rango de T es pequeño, las
capacidades caloríficas se pueden considerar constantes, y por tanto:
y
Además en el caso de gases ideales se cumple que
Un caso particular es el proceso isotérmico del gas ideal, en el que por
ser ΔT=0, la energía interna y la entalpía permanecen constantes ΔU=0,
ΔH=0.
Si además estamos interesados en calcular el trabajo y el calor transferido
en el proceso experimentado por el gas ideal:
o
Una vez conocido ΔU, calcularemos
, lo que en
algunos casos es sencillo:
 Proceso isobárico o irreversible frente a una P ext constante

Proceso reversible
donde
hemos sustituido el valor de la P por la ecuación de estado del
gas ideal, ya que en el proceso reversible la P cambia cuando
cambia el V. Sin embargo, la integral no es inmediata ya que
la T también es función del V.
143
Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México

o
Si además de ser un proceso reversible es isotérmico
A continuación se obtiene Q de la relación:
Otro caso particular es el proceso adiabático del gas ideal, en el que por ser
Q=0, dU=w.
•
Proceso adiabático irreversible de un gas ideal frente a una P ext constante
•
, de donde podemos
necesitaremos para calcular ΔH
Proceso
adiabático
reversible
de
obtener
un
la
gas
ΔT
que
ideal
, y si reagrupamos términos ya que la T
es función del V,
, lo que al integrar nos permite obtener o
y de ahí ΔU, ΔH y W
la T final o el V final ,
Es frecuente expresar la última ecuación como:
, que es
equivalente a decir que en un proceso adiabático reversible de un gas ideal
, donde
(coeficiente adiabático (γ))
4.6 Segunda ley de termodinámica
Segunda ley de la termodinámica
La segunda ley de la termodinámica o segundo principio de la
termodinámica expresa, en una forma concisa, que "La cantidad de entropía de
cualquier sistema aislado termodinámicamente tiende a incrementarse con el
tiempo". Más sencillamente, cuando una parte de un sistema cerrado interacciona
con otra parte, la energía tiende a dividirse por igual, hasta que el sistema alcanza
un equilibrio térmico.
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Descripción general
En un sentido general, la segunda ley de la termodinámica afirma que las
diferencias entre un sistema y sus alrededores tienden a igualarse. Las diferencias
de presión, densidad y, particularmente, las diferencias de temperatura tienden a
igualarse. Esto significa que un sistema aislado llegará a alcanzar una temperatura
uniforme. Una máquina térmica es aquella que provee de trabajo eficaz gracias la
diferencia de temperaturas de dos cuerpos. Dado que cualquier máquina
termodinámica requiere una diferencia de temperatura, se deriva pues que ningún
trabajo útil puede extraerse de un sistema aislado en equilibrio térmico, esto es,
requerirá de la alimentación de energía del exterior. La segunda ley se usa a
menudo como la razón por la cual no se puede crear una máquina de movimiento
perpetuo.
La segunda ley de la termodinámica ha sido expresada de muchas maneras
diferentes. Sucintamente, se puede expresar así:
•
Es imposible un proceso cuyo único resultado sea la transferencia de
energía en forma de calor de un cuerpo de menor temperatura a otro de
mayor temperatura. Enunciado de Clausius.
•
Es imposible todo proceso cíclico cuyo único resultado sea la absorción de
energía en forma de calor procedente de un foco térmico (o reservorio o
depósito térmico), y la conversión de toda ésta energía en forma de calor en
energía en forma de trabajo. Enunciado de Kelvin-Planck.
•
En un sistema aislado, ningún proceso puede ocurrir si a él se asocia una
disminución de la entropía total del sistema.
•
Nada es gratis, lo dice la segunda ley de la termodinámica. Enunciado de
Genaro Peña.
Gráficamente se puede expresar imaginando una caldera de un barco de vapor.
Ésta no podría producir trabajo si no fuese porque el vapor se encuentra a
temperaturas y presión elevadas comparados con el medio que la rodea.
Matemáticamente, se expresa así:
donde S es la entropía y el símbolo de igualdad sólo existe cuando la entropía se
encuentra en su valor máximo (en equilibrio).
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Una malinterpretación común es que la segunda ley indica que la entropía de un
sistema jamás decrece. Realmente, indica sólo una tendencia, esto es, sólo indica
que es extremadamente improbable que la entropía de un sistema cerrado
decrezca en un instante dado.
Entropía en mecánica estadística
Si para un sistema de partículas en equilibrio térmico se conoce la función de
partición Z, dada por los métodos de la mecánica estadística clásica se puede
calcular la entropía mediante:
Donde k B es la constante de Boltzmann, T la temperatura y las probabilidades P j
que aparecen en el sumatorio vienen dadas por la temperatura y la energía de los
microniveles de energía del sistema:
Entropía de Von Neumann en mecánica cuántica
En el siglo XIX el concepto de entropía fue aplicado a sistemas formados por
muchas partículas que se comportan clásicamente, a principios del siglo XX Von
Neumann generalizó el concepto de entropía para sistemas de partículas
cuánticas, definiendo para un estados mezcla caracterizado por una matriz
densidad ρ la entropía cuántica de Von Neumann como la magnitud escalar:
Entropía generalizada en Relatividad general
El intento de extender el análisis termodinámico convencional al universo entero,
llevó a examinar a principios de los 70 el comportamiento termodinámico de
estructuras como los agujeros negros. El resultado preliminar de dicho análisis
reveló algo muy interesante, que la segunda ley tal como había sido formulada
convencionalmente para sistemas clásicos y cuánticos podría ser violada en
presencia de agujeros negros. Sin embargo, los trabajos de Jacob D. Bekenstein
sobre teoría de la información y agujeros negros sugirieron que la segunda ley
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seguiría siendo válida si se introducía una entropía generalizada (S gen ) que
sumara a la entropía convencional (S conv ), la entropía atribuible a los agujeros
negros que depende del área total (A) de agujeros negros en el universo.
Concretamente esta entropía generalizada debe definirse como:
Donde, k es la constante de Boltzmann, c es la velocidad de la luz, G es la
constante de gravitación universal y es la constante de Planck racionalizada.
4.6.1 Entropía
El término Entropía (tendencia natural de la pérdida del orden) puede referirse a:
•
En física y química a:
o Entropía termodinámica, una magnitud que mide la parte de la
energía que no puede utilizarse para producir un trabajo; es el grado
de desorden que poseen las moléculas que integran un cuerpo, o
también el grado de irreversibilidad alcanzada después de un
proceso que implique transformación de energía.
o Entropía de formación, la diferencia de entropía en el proceso de
formación de sustancias a partir de sus elementos constituyentes.
o Entropía de Kolmogórov objeto o dimensión estudiado en la física y
matemáticas a partir de las homotecias.
•
En astrofísica y cosmología a:
o Entropía de los agujeros negros
•
En lingüística (y especialmente en semiótica) a:
o Entropía, el nivel o grado de información discursiva frecuentemente
ponderado por la cantidad de lexemas, así se considera que un
discurso con muchos neologismos es más entrópico que uno con
pocos neologismos (notar que el mayor grado de neologismos puede
aportar más información pero también -si es exagerado- caos en la
información).
En teoría de la información a:
o Entropía en la información, el grado de incertidumbre que existe
sobre un conjunto de datos.
 Entropía de Shannon
•
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

Entropía de Alfred Rényi
Entropía condicional
•
En matemáticas a:
o Entropía topológica, la correspondiente a la cantidad real asociada
a todo sistema topológicamente dinámico.
o Entropía métrica, la correspondiente a la cantidad real asociada a
todo sistema dinámico mensurable.
•
En ecología a:
o La entropía es una medida asociada a la biodiversidad.
•
En música a:
o Entropia, álbum del grupo sueco Pain of Salvation
4.6.2 Maquinas térmicas. Ciclo de Carnot
.
Esquema de una máquina de Carnot. La máquina absorbe calor desde la fuente
caliente T 1 y cede calor a la fría T 2 produciendo trabajo.
El Ciclo de Carnot es un ciclo termodinámico ideal reversible entre dos fuentes de
temperatura y cuatro procesos, en el cual el rendimiento es máximo. Fue
estudiado por Sadi Carnot en su trabajo.
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Una máquina térmica que realiza este ciclo se denomina máquina de Carnot.
Trabaja absorbiendo una cantidad de calor Q 1 de la fuente de alta temperatura y
cede un calor Q 2 a la de baja temperatura produciendo un trabajo sobre el
exterior. El rendimiento viene definido, como en todo ciclo, por
y, como se verá adelante, es mayor que cualquier máquina que funcione
cíclicamente entre las mismas fuentes de temperatura.
Como todos los procesos que tienen lugar en el ciclo ideal son reversibles, el ciclo
puede invertirse. Entonces la máquina absorbe calor de la fuente fría y cede calor
a la fuente caliente, teniendo que suministrar trabajo a la máquina. Si el objetivo
de esta máquina es extraer calor de la fuente fría se denomina máquina frigorífica,
y si es aportar calor a la fuente caliente bomba de calor.
El ciclo de Carnot
Diagrama del ciclo de Carnot en función de la presión y el volumen.
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Diagrama del ciclo de Carnot en función de la temperatura y la entropía.
El ciclo de Carnot consta de cuatro etapas: dos procesos isotermos (a temperatura
constante) y dos adiabáticos (aislados térmicamente). Las aplicaciones del Primer
principio de la termodinámica están escritos acorde con el Criterio de signos
termodinámico.
1. Expansión isoterma: (proceso 1→ 2 en el diagrama) Se parte de una
situación en que el gas se encuentra al mínimo volumen del ciclo y a
temperatura T 1 de la fuente caliente. En este estado se transfiere calor al
cilindro desde la fuente de temperatura T 1 , haciendo que el gas se
expanda. Al expandirse, el gas tiende a enfriarse, pero absorbe calor de T 1
y mantiene su temperatura constante. Al tratarse de un gas ideal, al no
cambiar la temperatura tampoco lo hace su energía interna, y despreciando
los cambios en la energía potencial y la cinética, a partir de la 1ª ley de la
termodinámica vemos que todo el calor transferido es convertido en trabajo:
Desde el punto de vista de la entropía, ésta aumenta en este proceso: por
definición, una variación de entropía viene dada por el cociente entre el
calor transferido y la temperatura de la fuente en un proceso reversible:
. Como el proceso es efectivamente reversible, la entropía
aumentará
2. Expansión adiabática: (2 → 3) La expansión isoterma termina en un punto
tal que el resto de la expansión pueda realizarse sin intercambio de calor. A
partir de aquí el sistema se aísla térmicamente, con lo que no hay
transferencia de calor con el exterior. Esta expansión adiabática hace que
el gas se enfríe hasta alcanzar exactamente la temperatura T 2 en el
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momento en que el gas alcanza su volumen máximo. Al enfriarse disminuye
su energía interna, con lo que utilizando un razonamiento análogo al
anterior
proceso:
Esta vez, al no haber transferencia de calor, la entropía se mantiene
constante:
3. Compresión isoterma: (3 → 4) Se pone en contacto con el sistema la
fuente de calor de temperatura T 2 y el gas comienza a comprimirse, pero no
aumenta su temperatura porque va cediendo calor a la fuente fría. Al no
cambiar la temperatura tampoco lo hace la energía interna, y la cesión de
calor implica que hay que hacer un trabajo sobre el sistema:
Al ser el calor negativo, la entropía disminuye:
4. Compresión adiabática: (4 → 1) Aislado térmicamente, el sistema
evoluciona comprimiéndose y aumentando su temperatura hasta el estado
inicial. La energía interna aumenta y el calor es nulo, habiendo que
comunicar
un
trabajo
al
sistema:
Al ser un proceso adiabático, no hay transferencia de calor, por lo tanto la
entropía no varía:
Trabajo del ciclo
Por convención de signos, un signo negativo significa lo contrario. Es decir, un
trabajo negativo significa que el trabajo es realizado sobre el sistema.
Con este convenio de signos el trabajo obtenido deberá ser, por lo tanto, negativo.
Tal como está definido, y despreciando los cambios en energía mecánica, a partir
de la primera ley:
Como dU (diferencial de la energía interna) es una diferencial exacta, el valor de U
es el mismo al inicio y al final del ciclo, y es independiente del camino, por lo tanto
la integral de dU vale cero, con lo que queda
Por lo tanto, en el ciclo el sistema ha realizado un trabajo sobre el exterior.
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Teoremas de Carnot
1. No puede existir una máquina térmica que funcionando entre dos fuentes
térmicas dadas tenga mayor rendimiento que una de Carnot.
Para demostrarlo supondremos que no se cumple el teorema, y se verá que
el no cumplimiento transgrede la segunda ley de la termodinámica.
Tenemos pues dos máquinas, una llamada X y otra, de Carnot, R,
operando entre las mismas fuentes térmicas y absorbiendo el mismo calor
de la caliente. Como suponemos que
, y por definición
, donde
y
denotan el trabajo producido y el calor cedido a la fuente fría
respectivamente, y los subíndices la máquina a la que se refieren.
Como R es reversible, se le puede hacer funcionar como máquina
frigorífica. Como
, la máquina X puede suministrar a R el
trabajo
que necesita para funcionar como máquina frigorífica, y X
producirá un trabajo neto
. Al funcionar en sentido inverso, R
está absorbiendo calor
de la fuente fría y está cediendo calor
a la
caliente.
El sistema formado por las dos máquinas funciona cíclicamente realizando
un trabajo
e intercambiando un calor
con una
única fuente térmica, lo cual va en contra del segundo principio de la
termodinámica. Por lo tanto:
2. Dos máquinas reversibles operando entre las mismas fuentes térmicas tienen el
mismo rendimiento.
Igual que antes, suponemos que no se cumple el teorema y veremos que
se violará el segundo principio. Sean R 1 y R 2 dos máquinas reversibles,
operando entre las mismas fuentes térmicas y absorbiendo el mismo calor
de la caliente, con distintos rendimientos. Si es R 1 la de menor rendimiento,
entonces
.
Invirtiendo R 1 , la máquina R 2 puede suministrale el trabajo
para que
trabaje como máquina frigorífica, y R 2 producirá un trabajo
.
El sistema formado por las dos máquinas funciona cíclicamente realizando
un trabajo
e intercambiando un calor
con una
única fuente térmica, lo cual va en contra de la segunda ley. Por lo tanto:
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Rendimiento
A partir del segundo teorema de Carnot se puede decir que, como dos máquinas
reversibles tienen el mismo rendimiento, este será independiente de la sustancia
de trabajo de las máquinas, las propiedades o la forma en la que se realice el
ciclo. Tan solo dependerá de las temperaturas de las fuentes entre las que trabaje.
Si tenemos una máquina que trabaja entre fuentes a temperatura T 1 y T 2 , el
rendimiento será una función de las dos como variables:
Por lo tanto, el cociente entre los calores transferidos es función de las
temperaturas de las fuentes. Nótese que como, por la segunda ley de la
termodinámica, el rendimiento nunca pude ser igual a la unidad, la función f está
siempre definida.
Consideremos ahora tres máquinas que trabajan entre fuentes a temperaturas
tales que T 1 > T 3 > T 2 . La primera máquina trabaja entre las fuentes 1 y 2, la
segunda entre 1 y 3, y la tercera entre 3 y 2, de modo que desde cada fuente se
intercambia el mismo calor con las máquinas que actúan sobre ella. Es decir, tanto
la primera máquina como la segunda absorben un calor Q 1 , la segunda y la
tercera ceden y absorben Q 2 respectivamente y la primera y la tercera ceden Q 3 .
De la ecuación anterior podemos poner, aplicada a cada máquina:
Aplicando relaciones matemáticas:
Como el primer miembro es función solamente de T 1 y T 2 , también lo será el
segundo miembro, independientemente de T 3 . Para que eso se cumpla f debe ser
de la forma
De las distintas funciones que satisfacen esa condición, la más sencilla es la
propuesta por Kelvin, Φ(T) = T, con lo que el cociente entre calores queda
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y trasladando este cociente a la definición de rendimiento:
Otra forma de llegar a este resultado es por medio de la entropía, definida como
→ 2 y 3 → 4:
. De ahí se puede sacar los calores transferidos en los procesos 1
Como puede observarse, el calor transferido con la primera fuente es positivo y
con la segunda negativo, por el convenio de signos adoptado.
Teniendo en cuenta que para calcular el rendimiento de un ciclo se utilizan los
valores absolutos de los trabajos y calores,
Tenemos finalmente el resultado deseado:
Ciclo real
Todos los procesos reales tienen alguna irreversibilidad, ya sea mecánica por
rozamiento, térmica o de otro tipo. Sin embargo, las irreversibilidades se pueden
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reducir, pudiéndose considerar reversible un proceso cuasiestático y sin efectos
disipativos. Los efectos disipativos se reducen minimizando el rozamiento entre las
distintas partes del sistema y los gradientes de temperatura; el proceso es
cuasiestático si la desviación del equilibrio termodinámico es a lo sumo
infinitesimal, esto es, si el tiempo característico del proceso es mucho mayor que
el tiempo de relajación (el tiempo que transcurre entre que se altera el equilibrio
hasta que se recupera). Por ejemplo, si la velocidad con la que se desplaza un
émbolo es pequeña comparada con la del sonido del gas, se puede considerar
que las propiedades son uniformes espacialmente, ya que el tiempo de relajación
mecánico es del orden de V1/3/a (donde V es el volumen del cilindro y a la
velocidad del sonido), tiempo de propagación de las ondas de presión, mucho más
pequeño que el tiempo característico del proceso, V1/3/w (donde w es la velocidad
del émbolo), y se pueden despreciar las irreversibilidades.
Si se hace que los procesos adiabáticos del ciclo sean lentos para minimizar las
irreversibilidades se hace imposible frenar la transferencia de calor. Como las
paredes reales del sistema no pueden ser completamente adiabáticas, el
aislamiento térmico es imposible, sobre todo si el tiempo característico del proceso
es largo. Además, en los procesos isotermos del ciclo existen irreversibilidades
inherentes a la transferencia de calor. Por lo tanto, es imposible conseguir un ciclo
real libre de irreversibilidades, y por el primer teorema de Carnot la eficiencia será
menor que un ciclo ideal.
4.6.3. Potenciales termodinámicos. Relaciones de Maxwell
En termodinámica, un potencial termodinámico es una variable de estado
asociada a un sistema termodinámico que tiene dimensiones de energía. El
calificativo de «potencial» se debe a que en cierto sentido describe la cantidad de
energía potencial disponible en el sistema termodinámico sujeta a ciertas
restricciones (relacionadas con las variables naturales del potencial). Además los
potenciales sirven para predecir bajo las restricciones impuestas que cambios
termodinámicos serán espontáneos y cuales necesitarán aporte energético.
Así los diferentes potenciales corresponden a diferentes tipos de restricciones
sobre el sistema. Los cuatro potenciales más comunes son:
Nombre
Fórmula
Variables naturales
Energía interna
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Energía libre de Helmholtz
Entalpía
Energía libre de Gibbs
donde T = temperatura, S = entropía, P = presión, V = volumen, N i es el número
de partículas.
La energía libre de Helmholtz se representa frecuentemente por F (particularmente
en física), aunque la IUPAC prefiere el símbolo A (que se usa fundamentalmente
en química).
Puede demostrarse que el conocimiento de uno de los potenciales
termodinámicos en función de sus variables naturales permite obtener todas las
variables termódinámicas del sistema. Esto es posible mediante la utilización de
las cuatro relaciones de Maxwell para la termodinámica, ecuaciones en derivadas
parciales que relacionan las variables de estado con potenciales termodinámicos.
Relaciones de Maxwell
Al comienzo de este curso habíamos visto que como
es función de estado, sus
derivadas segundas no deben depender del orden que se escoja para derivar. En
particular, habíamos notado que
Las identidades de este tipo se conocen como relaciones de Maxwell. Aunque
existen reglas mnemotécnicas para recordar estas relaciones, siempre se originan
de la derivada segunda de algún potencial termodinámico, de modo que esto es lo
que en realidad debemos tener presente.
Si por ejemplo nos interesa estudiar
, conviene empezar notando
que las variables independientes en principio son
y
, lo que sugiere
pensar en el potencial termodinámico para el cual ésas son las variables
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naturales. No es necesario recordar nada de memoria, sino fijar la atención en el
hecho de que partiendo de la representación energía se transformó en este caso
y
. Habíamos definido esta transformación como potencial de
Gibbs
para el cual la expresión diferencial resulta
de manera que
Está claro que cuando la derivada que se desea analizar es
o
o
no habrá ninguna relación de este tipo, ya que estamos derivando siempre
una variable intensiva respecto de la correspondiente extensiva o viceversa, y las
relaciones de Maxwell sólo pueden establecerse para variables que se
``entrecruzan''.
Hay algunas derivadas que a primera vista no parecen tener sustitución, como
, ya que
y
no pueden ser variables naturales de ningún
potencial termodinámico. Sin embargo,
y ahora sí reconocemos
y
como las variables propias de la energía libre
de Helmholtz, para el cual la expresión diferencial toma la forma
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de donde se obtiene
de manera que
Vale la pena notar que todas las relaciones de Maxwell pueden obtenerse a partir
del formalismo que conocíamos de Física II. Lo que hemos hecho ahora no ha
sido agregar información: simplemente hemos introducido herramientas que nos
permiten agilizar las cuentas.
4.6.4 Ecuaciones generales para cambio de Entropía
Ecuaciones
Esta idea de desorden termodinámico fue plasmada mediante una función ideada
por Rudolf Clausius a partir de un proceso cíclico reversible. En todo proceso
reversible la integral curvilínea de
sólo depende de los estados inicial y final,
con independencia del camino seguido (δQ es la cantidad de calor absorbida en el
proceso en cuestión y T es la temperatura absoluta). Por tanto ha de existir una
f(x) del estado del sistema, S=f(P,V,T), denominada entropía, cuya variación en un
proceso reversible entre los estados 1 y 2 es:
Téngase en cuenta que como el calor no es una función de estado se usa δQ en
lugar de dQ.
La entropía física, en su forma clásica, está definida por la ecuación
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o más simplemente, cuando no se produce variación de temperatura (proceso
isotérmico):
la cantidad de calor intercambiado entre el sistema
donde S es la entropía,
y el entorno y T la temperatura absoluta en kelvin). Los números 1 y 2 se refieren
a los estados iniciales y finales de un sistema termodinámico.
El significado de esta ecuación es el siguiente:
Cuando un sistema termodinámico pasa, en un proceso reversible e
isotérmico, del estado 1 al estado 2, el cambio en su entropía es igual a la
cantidad de calor intercambiado entre el sistema y el medio dividido por su
temperatura absoluta.
De acuerdo con la ecuación, si el calor se transfiere al sistema, también lo hará el
grado de entropía. Si la temperatura aumenta, la entropía disminuye. Y viceversa.
Las unidades de la entropía, en el Sistema Internacional, son el J/K (o Clausius)
definido como la variación de entropía que experimenta un sistema cuando
absorbe el calor de 1 Julio (unidad) a la temperatura de 1 Kelvin.
Cuando el sistema evoluciona irreversiblemente, la ecuación de Clausius se
convierte en una inecuación:
Siendo el sumatorio de las i fuentes de calor de las que recibe o transfiere calor el
sistema y la temperatura de las fuentes. No obstante, sumando un término positivo
al segundo miembro, podemos transformar de nuevo la expresión en una
ecuación:
Al termino σ p , siempre positivo, se le denomina producción de entropía y es nulo
cuando el proceso es reversible salvo irreversibilidades fruto de transferencias de
calor con fuentes externas al sistema. En el caso de darse un proceso reversible y
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adiabático, según la ecuación, dS=0, es decir, el valor de la Entropía es constante
y además constituye un proceso isoentrópico.
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