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Geometría Analítica
Enero 2016
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos
I.- Halle el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos dados
1)
( 3, 3), ( -1, -3), ( 4, 0)
2)
(-2, 5), (4, 3), (7, -2)
II.- Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.
1)
( 3, 4) , ( 5, 2) , ( 7, 6)
2)
( -3, -2) , ( -6, 1) , ( -8, -3)
III.- Demuestre que los puntos dados forman un triángulo rectángulo y calcule su área.
1)
( 4, 4) , ( 1, 3) , ( 2, 0)
2)
( -3, -5) ,( -7, 3) , (-7, -6)
IV.- Determine si los puntos dados son colineales.
1)
( 0, 6) , ( 2, 7) , (-2, 3)
2)
( 3, 7) , (-3, -5) , ( 0, 1)
3)
(1,2), (-3, 10), (4, -4)
V.- Halle las coordenadas del punto que equidista de los tres puntos dados.
1)
( 5, 0) , ( -3, 0) , ( 0, -1)
2)
(4, 3), (2, 7), (-3, -8)
VI.- Resuelva.
1)
Sea A( 0, 4), B( 0, -2), encuentre el punto C de ordenada 2, tal que su distancia al punto A
es la mitad de la distancia del punto B al C.
2)
Halle el valor de “k” tal que el punto (-5, 3k) sea colineal a los puntos ( 0, 1), ( 5, 5)
3)
Encuentre el punto A(x, -x/8) tal que la distancia que hay del punto B al C es el doble de
la distancia que hay del punto A al punto B, siendo B( -5, -3) y C( 3, 3).
4)
Encuentre el punto A(x,y) tal que junto con los puntos B(6,1) y C(4,5) formen un triangulo
isósceles.
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Laboratorio #2 Pendiente y razón
I.- Halle la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos dados.
1) ( 2 , 4 ) , ( −2 , 4 )
2) ( 4 , 2 ) , ( 0 , 1 )
5)
3) ( 6 , 3 ) , ( −1 , 0 )
6)
4) ( 1 , 1 ) , ( −4 , 3 )
II.- Halle los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados.
1) ( 4 , 2 ) , ( 0 , 1 ) , ( 6 , −1 )
2) ( 1 , 5 ) , ( 5 , −1 ) , ( 9 , 6 )
III.- Determine si las rectas dadas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:
𝑙1 : 2𝑦 − 3𝑥 = 5
𝑙2 ∶ 6𝑥 − 4𝑦 = 2
𝑙1 ∶ 𝑦 = 4𝑥 + 5
𝑙2 ∶ −4𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
𝑙1 ∶ 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
1
𝑙2 ∶ 𝑦 = 2 − 2 𝑥
IV.- Resuelva los siguientes problemas
1)Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo son (3, 2), (-1, -2) y
(5, -4). Halle las coordenadas de sus vértices.
2)Halle la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la recta que pasa por los
puntos (2, -1) y (5, 3).
3)La recta l´ forma un ángulo de 60° con la recta l. Si la pendiente de la recta l es 1, halle la
pendiente de l´.
4) Demuestre que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes del
cuadrilátero
A(-3, 2), B(5, 4), C(7, -6), D(-5, -4) forman otro cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la suma
de las longitudes de las diagonales del primero.
5)Los puntos A, B, C, D forman un cuadrado. Si A( 1, 5) y C( 7, 3) mientras que los puntos
medios entre B y C es ( 5, 2), y el punto medio entre A y D es ( 3, 6). Pruebe que la figura
formada es, posiblemente, un cuadrado cuya área es la mitad del cuadrado formado por ABCD.
V.- Halle las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento determinado por
y
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝑃
𝑃
1
en la razón 𝑟 = 𝑃𝑃
.
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
2
1) 𝑃1 (−2,3), 𝑃2 (3, −2) ;
2
𝑟=5
2) 𝑃1 (−5, 2)𝑃2 (1, 4) ;
3
𝑟 = −5
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Laboratorio #3 Gráficas de funciones
I.- Determinando intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, extensiones y asíntotas, trace
la gráfica de la ecuación dada.
1)
𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
2) 4𝑥 2 − 9𝑦 2 + 36 = 0
3) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 9𝑦 + 17 = 0
4) 𝑦(𝑥 + 2)(𝑥 − 4) − 8 = 0
5) 𝑥𝑦 − 3𝑦 − 𝑥 = 0
II.- En el mismo eje de coordenadas trace la gráfica de las ecuaciones dadas. Resuelva
el sistema algebraicamente.
1) 4𝑦 − 𝑥 2 = 0,
𝑥 2 𝑦 + 4𝑦 − 8 = 0
2) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 20 = 0, 𝑦 2 − 2𝑥 − 12 = 0
3) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 8 = 0, 3𝑥 − 𝑦 − 8 = 0
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Laboratorio #4 Lugar Geométrico
I.- Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que:
1)
Su distancia al punto fijo (-2, 3) es siempre igual a 4.
2)
La diferencia de sus distancias a los puntos fijos (3, 2) y (-5, 2) es igual a 6.
3)
La suma de los cuadrados de sus distancias a los ejes coordenados es igual al
cuadrado de su distancia al origen.
4)
Equidistan de (-7, 1) y (0, 2).
5)
La distancia del punto P(x, y) al punto P(1, 1) es el doble de la distancia del
punto Q(2x, 2y) al punto P( 3, 3).
6)
El producto de la distancia del punto P(x,y) a los ejes coordenados es siempre
igual a 10.
7)
El producto de las pendientes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC, dado
que los puntos son A (0, -2) , B( 0,4) y C (0,0).
8)
La pendiente de PA sea el reciproco y de signo contrario de la pendiente de
PB, si A(-2,3) y B(3,2) .
9)
La suma de los cuadrados de la suma de las distancias entre el punto P(x, y) al
punto (3, 5) y de P a (-4, 2) es igual a 30.
10) Que el producto de las distancia del punto P(x, y) al punto (1, 1) y del punto
P(x, y) al punto (-1, -1), es siempre igual a 1.
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Laboratorio #5 Línea Recta
1) Determine la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésela
en la forma general.
a) Pasa por (5, 1⁄2) y (1, 3⁄4)
b) m = − 1⁄2 y pasa por (– 2, 5)
c) m = 6, b = − 3⁄2 (ordenada en el origen)
d) Intercepciones con el eje X y el eje Y, respectivamente − 1⁄2 y 3⁄4
2) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y es paralela a la recta 2𝑥 −
3𝑦 = 5
3) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y cuya abscisa al origen es
igual al doble de su ordenada al origen.
4) Halle el punto de la recta 3 x + y + 4 =0 que equidista de los puntos
(- 5, 6) y (3, 2).
5) Halle el valor de “k” tal que 𝑘𝑥 + (2𝑘 − 3)𝑦 = −𝑘 2 sea perpendicular a 4x-3y=8.
6) Halle el valor de k en la ecuación 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑘 = 0 de forma que dicha recta
determine con los ejes coordenados un triangulo rectángulo de área 27 unidades
cuadradas.
7) Dada la recta 𝑙1 : 𝑎𝑥 + (2 − 𝑏)𝑦 = 23 y 𝑙2 : (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑏𝑦 + 15 = 0. Halle “a“ y “b“
tal que las dos rectas pasen por ( 2, -3).
8) Halle el ángulo formado por las rectas 4𝑥 − 9𝑦 + 11 = 0 y 3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0.
9) Para el triángulo cuyos vértices son los puntos (-6, 6) (1, 5) (-1, -3)
Halle:
a)
b)
c)
d)
Las ecuaciones de sus alturas.
Las ecuaciones de sus medianas.
Las ecuaciones de sus mediatrices.
Demuestre que los puntos de intersección de las alturas, medianas y
mediatrices son colineales.
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10) Determine si los siguientes pares de rectas son: paralelas, perpendiculares,
coincidentes o se cortan en un punto.
a) 𝑙1 : 5𝑥 − 𝑦 − 11 = 0
𝑙2 : 𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
c) 𝑙1 : 3𝑥 − 6𝑦 − 9 = 0
𝑙2 : 2𝑥 − 4𝑦 = 6
b) 𝑙1 : 3𝑥 − 𝑦 = 5
𝑙2 : 6𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
d) 𝑙1 : 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
𝑙2 : 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
11) Halle la pendiente, la ordenada en el origen y la gráfica de cada una de las siguientes
rectas.
a) 𝑙1 ∶ 8𝑥 + 4𝑦 = −16
b) 𝑙2 ∶ −2𝑥 + 5𝑦 = 3
c) 𝑙3 ∶ 4𝑥 − 𝑦 = 11
d) 𝑙4 ∶ 4𝑥 − 7𝑦 + 28 = 0
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Laboratorio #6 Forma normal y Familias de rectas
1) Halle la forma normal de las siguientes rectas.
a) 4 x  y  16  0
c) 5x  12 y  4  0
b) 3x  4 y  10  0
d) 2 x  3 y  0
2) Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (- 6, 6), (1, 5) y (-1, -3).
3) Determine el valor de “k” para que la distancia del origen a
sea 2.
4) Escriba la ecuación de la familia de rectas que cumplen con la condición dada.
a) Tienen pendiente igual a
b) Pasan por el punto (-3, 2)
c) La ordenada al origen es -4
d) La suma de las coordenadas al
origen sea 6
e) De abscisa al origen igual a
5) Sin obtener el punto de intersección de las rectas.
a) Halle la ecuación de la perpendicular a la recta 4𝑥 + 𝑦 = 1 que pase por el
punto de intersección de las rectas 2𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0 𝑦 𝑥 − 3𝑦 = 7.
b) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 y 2𝑥 + 5𝑦 − 9 = 0 cuya distancia al origen es 2.
6)
a) Halle la ecuación de la familia que pasa por el punto de intersección de las rectas
2x  y  2  0 y x  y  1  0 .
b) Halle el elemento de la familia que es paralelo a la recta 4 x  3 y  5  0 .
c) Halle el elemento de la familia que es perpendicular a la recta 3x  2 y  5 .
d) Halle el elemento de la familia que pase por el punto (– 1 , 3).
e) Halla el elemento de la familia cuya distancia al origen sea 1.
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Laboratorio #7 Circunferencia
I.- Determine si la ecuación dada representa o no una circunferencia. Si lo es, halle el
centro, el radio y su gráfica.
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑦 = 0
13𝑥 2 + 13𝑦 2 + 24𝑥 − 68𝑦 − 30 = 0
4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 16𝑥 + 48𝑦 + 160 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 6𝑦 + 23 = 0
1)
2)
3)
4)
II.- Halle la ecuación de la circunferencia descrita por las condiciones dadas.
1)
Es tangente a las rectas 5x-12y+5=0, 4x+3y-3=0 y tiene su centro sobre la recta
7x-2y-1=0.
2)
Pasa por los puntos (5, 3), (6, 2), (3, -1).
3)
Tiene radio 10, pasa por el origen y la abscisa del centro es – 6.
4)
Pasa por el punto (-2,1) y es tangente a la recta 3x-2y-6=0 en el punto (4, 3)
5)
Un diámetro es el segmento determinado por los puntos (5, -1) y (-3, 7).
6)
Pasa por el punto (7, 4) y el centro está en (4, 2).
III.- Resuelva los siguientes problemas.
1) Halle la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por las intersecciones
de las circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 17 = 0 y 𝑥 2 + 𝑦 2 − 18𝑥 − 4𝑦 + 67 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
Halle el elemento de la familia que pasa por el punto (-8, 5).
Halle el elemento de la familia cuyo centro está sobre el eje Y.
Halle el elemento de la familia cuyo centro está sobre el eje X.
Halle el elemento de la familia cuyo centro está en la recta y = x.
Halle el eje radical.
2) Dada la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5, halle los valores de k para los cuales las
rectas de la familia 𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 = 0,
a) Cortan a la circunferencia en dos puntos distintos.
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b) Son tangentes.
c) No se intersectan con la circunferencia.
3)
Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en
y pasa por
las intersecciones de las circunferencias
𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 4 = 0 y 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0.
4)
Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las
circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 y 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0 y tiene su
centro sobre la recta y= x.
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Laboratorio #8 Traslación de coordenadas
I.- Determine las coordenadas del punto P cuando los ejes coordenados son trasladados al nuevo
origen O.
1)
𝑃(−3, 2); 𝑂′ (4, 1)
2)
𝑃(4, −3); 𝑂′ (−3, −6)
3)
𝑃(3√2, √2); 𝑂′ (1 + 3√2, −1 + √2)
II.- Halle la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados son trasladados al
nuevo origen O´ indicado.
1)
𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0; 𝑂′ (3, −2)
2)
2𝑦 2 + 3𝑥 2 + 8𝑦 + 8 = 0; 𝑂′ (−2,1)
3)
2𝑥 + 2𝑦 + 7 = 8; 𝑂′ (1, 2)
1
III.- Transforme la ecuación dada en otra que no contenga términos de primer grado utilizando
una traslación de ejes.
1)
𝑥 2 + 4𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 5 = 0
2)
2𝑥 2 − 3𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0
3)
𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 = 0
4)
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
5)
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 8𝑦 − 32 = 0
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Laboratorio #9 Parábola
I.- Reduzca la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la parábola. Halle
sus elementos y trace el lugar geométrico correspondiente.
1)
𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 64 = 0
2)
4𝑦 2 − 𝑥 − 48𝑦 + 147 = 0
3)
4)
42 − 48𝑦 − 29𝑥 = 71
𝑦 2 − 5𝑦 + 4 − 𝑥 = 0
5)
𝑥 2 − 6𝑥 − 4𝑦 = −17
II.- Halle la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
F(-3, -2), V(-3, -5)
F(1, 4), V(0, 4)
3
𝑉 (3, 5) y directriz la recta y-2=0.
V(3, 2), F(3, 4)
V(3, 1) La directriz es la recta
F(2, 2), la directriz es la recta
V(3, -4), eje paralelo al eje x, y pasa por (2, -5).
III.1)
Halle la ecuación de la recta tangente a la parábola y 2  2 x  2 y  3  0 que es
perpendicular a la recta 2 x  y  7  0 .
2) Con referencia a la parábola 𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 encuentre los valores de “ k “
para los cuales las rectas de la familia 3𝑥 + 𝑦 = 2𝑘 cumplen con las condiciones
requeridas:
a) Cortan a la parábola en dos puntos diferentes.
b) Son tangentes a la parábola.
3)
Resuelva la siguiente desigualdad utilizando la gráfica de una parábola.
a) 6 + 𝑥 − 𝑥 2 < 0
b) 𝑥 2 − 7𝑥 − 60 > 0
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Laboratorio #10 Elipse
I.- Reduzca la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, halle sus
elementos y trace la gráfica correspondiente.
1)
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 90𝑥 − 24𝑦 + 255 = 0
2)
27𝑥 2 + 𝑦 2 + 108𝑥 − 10𝑦 + 52 = 0
3)
16𝑥 2 + 25𝑦 2 + 32𝑥 − 100𝑦 = 284
4)
9𝑥 2 + 𝑦 2 − 18𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
II.- Halle la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones dadas.
1)
Sus vértices son los puntos (-4, 0), (4, 0) y pasa por el punto (1, 3).
2)
𝑒 = 6 , 𝑉 (3, − 2) , 𝐶(3, −1)
3)
𝐹1 (0, √7) y 𝐹2 (0, −√7), longitud del eje menor √3.
5)
1
5
,
, y pasa por
.
6)
Pasa por los puntos (2, 1) (-1, 3) (2, 5) (5, 3) y sus ejes son paralelos a
los ejes coordenados.
7)
C(-2, -1) un vértice (3, -1) y LR=4
1)
Halle la ecuación de la recta que pasa por el centro de la elipse 4𝑥 2 +
𝑦 2 + 8𝑥 + 2𝑦 − 31 = 0 y pasa por el punto (1, 3).
2)
Halle la ecuación de la parábola con vértice en el centro de la elipse
3𝑥 2 + 2𝑦 2 + 24𝑥 − 32𝑦 + 17 = 0, se abre hacia abajo y pasa por el
punto (-2, 0).
3)
Halle la ecuación de la recta tangente a la elipse 4𝑥 2 + 5𝑦 2 = 8 que es
paralela a la recta 2𝑥 − 𝑦 = 2.
III.-
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4)
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Con referencia a la elipse 3𝑥 2 + 16𝑦 2 = 91 halle los valores de “k” para
los cuales las rectas de la familia 𝑥 + 𝑘𝑦 = 13 cumpla con lo siguiente:
1) Cortan a la elipse en dos puntos diferentes.
2) Son tangentes a la elipse en dos puntos diferentes.
3) No cortan a la elipse.
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Laboratorio #11
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Hipérbola
I.- Reduzca la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola,
halle sus elementos y trace su gráfica.
1)
𝑥 2 − 4𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 69 = 0
2)
4𝑦 2 − 9𝑥 2 + 8𝑦 − 54𝑦 − 81 = 0
3)
𝑥(𝑥 − 4) = 𝑦(𝑦 − 2)
4)
9𝑥 2 − 𝑦 2 − 36𝑥 − 2𝑦 + 4
II.- Halle la ecuación de la hipérbola que satisface:
1)
vértices en (4, -2), (0, -2) y pasa por el punto (6, 3√3 − 2).
2)
vértices (1, 7), (1, -3) y focos (1, 9), (1, -5).
3)
𝑉(−4, 3), 𝐶(−4, 5), 𝑒 = 4
4)
Vértices en (0, -3), (0, 3), distancia focal igual a 7.
5)
Vértices (-2, -3), (-2, 7), una de sus asíntotas es la recta 𝑥 + 5𝑦 = 8
6)
Tiene C(2, 2), 𝐹1 (10, 2) y 𝑉1 (5, 2).
1)
Halle la ecuación de la recta tangente a la hipérbola
7𝑥 2 − 12𝑦 2 = −80 que es perpendicular a la recta 6𝑥 − 𝑦 = 4
2)
Determine los valores de m para los que la recta 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑚,
III.-
5
5
1) corta a la hipérbola
𝑥2
9
𝑦2
− 36 = 1
2) es tangente a ella.
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Laboratorio #12 Rotación de ejes y Ecuación General de Segundo Grado
I.- Halle la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados se giran el
ángulo indicado.
1)
𝑥√3 − 𝑦 = 4; 𝜃 = 60°
2)
41𝑥 2 − 18𝑥𝑦 + 41 = 80; 𝜃 =
3)
2𝑥 2 + 𝑦 2 + √3𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 = 2; 𝜃 =
4)
4𝑥 2 − 3𝑦 2 + 24𝑥𝑦 − 2652 = 0; 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 (5)
𝜋
4
𝜋
6
3
II.- Mediante una rotación de los ejes coordenados transforme la ecuación dada en
otra que no contenga termino en x’ y’.
1)
𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 𝑥 + 𝑦 = 0
2)
3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 − 11𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 = 11
3)
7𝑥 2 + 5𝑦 2 + 2√3𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2 + 20 = 0
4)
2𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦 2 + 2𝑥 + 3𝑦 = 18
𝑦
III.- Identifique el tipo de cónica representado por la ecuación dada. Reduzca la
ecuación a su forma canónica y trace la gráfica correspondiente.
1)
2𝑥𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
2)
𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦 2 + 4𝑥 + 1 = 2𝑦
3)
𝑥2 − 𝑦2 + 4 = 0
4)
9𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 𝑦 = 0
5)
7
2
7
𝑥 2 + 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 + √2𝑥 − √2𝑦 −
143
12
=0
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