Download Actividad 1: CLASIFICACIÓN DE FIGURAS

Título: Triángulos
Autores: Asinari, Marianela – Rodes, Celeste
Profesores: Delgado, Erika - Fregona, Dilma – Parnisari, Marta
Carrera: Profesorado en Matemática
Fecha: 23 de Diciembre de 2010
CLASIFICACIÓN
97 Mathematical education – 51 Geometry
PALABRAS CLAVES
Triángulos
Construcción, clasificación y propiedades
Teorema de Pitágoras
Resumen
En este informe se presentan datos generales de la institución donde se llevaron a
cabo las prácticas, la planificación y el desarrollo de las mismas, los resultados y conclusiones
sobre las evaluaciones y el análisis de una de las experiencias llevadas a cabo.
Información general
Nombre de la Institución: Instituto Obispo Caixal
Dirección: Ana María Janer 1250. Barrio Pueyrredón. Córdoba Capital. Argentina.
Cursos en los cuales se realizaron las prácticas: segundo año “A” y “B”
Profesora a cargo: Mónica García.
Distribución de las practicantes:

Practicante: Asinari, Marianela.

Curso: 2º año “B”.

Cantidad de alumnos: 43

Horarios de clase: Lunes de 10:40 a 12:00.
Martes de 8:20 a 9:00.
Miércoles de 12:15 a 13:35.
 Practicante: Rodes, Celeste.
 Curso: 2º año “A”.
 Cantidad de alumnos: 41
 Horarios de clase: Lunes de 7:40 a 9:00.
Martes de 7:40 a 8:20.
Miércoles de 7:40 a 9:00.
Período de observaciones: Desde el 14 de Junio al 16 de Agosto de 2010.
Período de prácticas: Desde el 17 de Agosto al 5 de Octubre de 2010.
Acerca de la institución y de los cursos observados
El edificio cuenta con tres pisos: planta baja, primer piso y segundo piso, en los cuales
se encuentran las aulas, una biblioteca, una sala de profesores, una capilla, una cantina con
fotocopiadora, una sala de video. También hay dos patios: uno donde los alumnos forman y
otro donde realizan las actividades de gimnasia, un laboratorio, baños para los alumnos y
baños para los profesores.
Esta institución cuenta con Nivel Inicial y Primario, que desarrolla sus actividades en el
turno tarde, y Nivel Secundario, que desarrolla sus actividades en el turno mañana.
En el turno de la mañana el timbre de entrada suena a las 7:30 hs, se cierra la puerta y
los alumnos que llegan más tarde son anotados en un cuaderno que tiene una preceptora y
luego se los sanciona en relación a la asistencia. Una vez que los alumnos están en el colegio
pueden elegir entre formar en el patio para izar la bandera o concurrir a la capilla. Durante el
recreo los alumnos no se pueden quedar en el aula porque el preceptor cierra sus puertas.
Las aulas son amplias, adecuadas a la cantidad de alumnos y tienen buena
iluminación. Cuentan con dos pizarrones grandes, uno de frente a los bancos y otro detrás,
en este último se colocan los trabajos realizados por los alumnos en las distintas asignaturas.
Los bancos son dobles y están organizados en cuatro filas, algunas con cinco bancos y otras
con seis.
De acuerdo a lo que observamos en las clases de matemática, la metodología de
trabajo es la siguiente: el tema a desarrollar se introduce mediante un debate entre la
docente y los alumnos obteniendo conclusiones válidas acerca de dicho tema. Los aspectos
teóricos (definiciones, propiedades que justifican las técnicas de resolución, etc.) se escriben
en el pizarrón y las actividades posteriores (ejercicios y problemas) son dadas a través de
fotocopias. Cada alumno dispone de ese material (elaborado por la profesora) y es resuelto
en clase a medida que lo indica la docente, el alumno que no termina debe hacerlo de tarea.
El modo de corrección es el mismo para todas las actividades: un alumno resuelve un
ejercicio en el pizarrón y explica el procedimiento a sus compañeros tratando siempre de
fundamentarlo teóricamente.
Los alumnos son evaluados durante el transcurso del año lectivo mediante mini
evaluaciones y evaluaciones, algunas veces de manera individual y otras en grupos de a dos.
También la docente lleva un seguimiento de los cuadernos de cada alumno, suma o resta
puntos en las evaluaciones de acuerdo a si están completos o incompletos. Esto es muy
importante ya que al no utilizar libros de texto, el material de estudio de cada alumno es su
cuaderno.
Los temas desarrollados en el período de observaciones son: operaciones con
números enteros y ecuaciones, que corresponden a la unidad nº 1 de la planificación anual.
Planificación y desarrollo de la práctica
Tema: triángulos.
Este contenido corresponde a la unidad dos del programa de la profesora que
específicamente propone:
Unidad Nº 2: Triángulo.
Polígono: Concepto y clasificación según sus lados. Triángulo: concepto y elementos.
Clasificación de los triángulos según sus lados y según sus ángulos. Propiedad de los ángulos
interiores de un triángulo. Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo. Propiedad de
los lados de un triángulo. Construcción de triángulos. Teorema de Pitágoras. Resolución de
situaciones problemáticas.
La secuenciación de esos contenidos en el desarrollo de la práctica es la siguiente:
Polígono: Caracterización y clasificación según sus lados.
Triángulo: Concepto y elementos. Clasificación según sus lados y sus ángulos.
Construcción de triángulos. Propiedad de los ángulos interiores. Propiedad de los ángulos
exteriores. Propiedad de los lados. Teorema de Pitágoras. Resolución de situaciones
problemáticas.
La modalidad de trabajo en el aula es similar a la utilizada por la profesora titular y los
materiales que utilizan los alumnos son: el cuaderno de matemática, fotocopias de
actividades y elementos de geometría (regla, compás y transportador).
Objetivos generales:
Lograr que los alumnos sean capaces de:
 Trabajar cooperativa y activamente, respetando el pensamiento ajeno desde una
actitud crítica y constructiva, por el desarrollo personal y social.
 Dar significado al concepto de clasificación en matemática.
 Interpretar y utilizar las definiciones en su quehacer matemático.
 Trabajar en grupo y comunicar sus ideas con confianza.
 Aceptar el error como un mecanismo para el aprendizaje.
 Organizar su tarea, sus registros, sus formas de estudio, etc.
Objetivos específicos:
Lograr que los alumnos sean capaces de:
 Caracterizar polígonos a través del juego de clasificación de figuras.
 Clasificar polígonos teniendo en cuenta la cantidad de lados.
 Reconocer y clasificar triángulos según sus lados y sus ángulos.
 Explorar a través de construcciones los datos que permiten construir un único
triángulo, ninguno o infinitos.
 Distinguir qué datos son necesarios y suficientes para construir un triangulo.
 Utilizar los elementos de geometría convenientes para la construcción de triángulos.
 Conocer las características de los triángulos y las propiedades de sus ángulos
interiores y exteriores, de sus lados y utilizarlas para resolver problemas.
 Interpretar la demostración de la propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo
planteada desde un punto de vista algebraico.
 Valorar la importancia de una demostración como herramienta de generalización.
 Interpretar la relación enunciada en el Teorema de Pitágoras y modelizar situaciones
reales.
POLÍGONOS
En grupos de a dos (por banco), los alumnos reciben diferentes figuras de cartulina
recortadas1, con una letra que identifica a cada una, que deben agrupar de acuerdo al criterio
que les parece conveniente (todas las figuras son del mismo color).
Observación: a partir de aquí, destacamos con color azul las actividades que
entregamos a los alumnos en fotocopias, y con letra cursiva las definiciones y propiedades
que los alumnos copian del pizarrón.
Actividad:
Agrupar las figuras que tengan alguna característica en común y escribir por qué las
agruparon de esa manera. (No es válido utilizar las letras como criterio de agrupamiento).
1
Ver anexo.
Una vez que todos terminan esta actividad, preguntamos a varios grupos cuál es el
criterio elegido, lo escriben en el pizarrón y luego preguntamos a toda la clase si están de
acuerdo o no, promoviendo un debate entre todos.
Si no surge un criterio de clasificación conveniente para llegar a la conclusión deseada
(figuras con todos sus lados rectos y figuras que no tienen todos sus lados rectos),
proponemos, entre otros, los siguientes:
Poner juntas las figuras que tienen por lo menos un ángulo recto.
Poner juntas las figuras que tienen todos los lados rectos.
Luego discutimos las soluciones en el pizarrón, y llegamos a la conclusión de que los
polígonos tienen todos sus lados rectos.
Actividades:
1) Dibujar en el cuadro las figuras de la actividad anterior.
POLIGONOS
NO POLIGONOS
2) Completa con los números que corresponda:
Llamamos:
Triángulo
al polígono que tiene………..lados.
Cuadrilátero
al polígono que tiene………..lados.
Pentágono
al polígono que tiene………..lados.
Hexágono
al polígono que tiene………..lados.
Heptágono
al polígono que tiene………..lados.
Octógono
al polígono que tiene………..lados.
Eneágono
al polígono que tiene………..lados.
Decágono
al polígono que tiene………..lados.
Undecágono
al polígono que tiene………..lados.
Dodecágono
al polígono que tiene………..lados.
Recordar que el
prefijo
correspondiente
te ayudará a no
olvidar su
nombre.
3) Escribe en el cuadro anterior el nombre de cada polígono según el número de
lados.
Luego de clasificar las figuras en polígonos y no polígonos, pegamos en el pizarrón un
afiche con el cuadro anterior completo y los alumnos dibujan en la fotocopia las figuras
correspondientes.
El cuadro queda completo de la siguiente manera:
POLIGONOS
NO POLIGONOS
TRIÁNGULOS
Elementos
Proponemos a los alumnos que dibujen en el pizarrón varios triángulos y que
marquen en ellos sus elementos: vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.
En el pizarrón acordamos cómo vamos a nombrar los elementos y los alumnos copian
en sus cuadernos lo siguiente:
Vértices: puntos a, b, c
c
a
Lados: segmentos
,
,
Ángulos interiores:
, ,
Ángulos exteriores:
,
.
ó c b, a c, b a.
, .
b
Para definir ángulos exteriores introducimos el concepto de ángulos adyacentes:
Definición: Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y los otros
dos lados son semirrectas opuestas.
Discutimos esta definición analizando qué entienden por “lado en común” y
“semirrectas opuestas”.
Luego, retomamos la definición de ángulos exteriores utilizando el concepto de
ángulos adyacentes.
Angulo exterior: es el ángulo adyacente al ángulo interior.
Clasificación según sus lados y sus ángulos.
Discutimos entre todos si se acuerdan de estas clasificaciones.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Según sus lados:
 Triángulo escaleno: tiene todos sus lados distintos.
 Triángulo isósceles: tiene al menos dos lados congruentes.
 Triángulo equilátero: tiene sus tres lados congruentes.
Según sus ángulos:
 Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto.
 Triángulo acutángulo: tiene sus tres ángulos agudos.
 Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Actividades:
1) Clasifica los siguientes triángulos teniendo en cuenta sus lados y sus ángulos.
a)
c)
b)
………………………………
………………………………
d)
e)
…………………………………
.........…………………………
f)
..…..…………………………
…….…………………………
2) Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones, justificando la
respuesta.
a) Todo triángulo isósceles es equilátero.
b) Un triángulo escaleno puede ser isósceles.
c) Todo triángulo isósceles es un triángulo acutángulo.
d) Todo triángulo rectángulo es escaleno.
e) Todo triángulo acutángulo es isósceles o es equilátero.
f) Todo triangulo equilátero es isósceles.
Construcción de triángulos
Damos la siguiente actividad para que los alumnos construyan triángulos con los
elementos de geometría que ellos prefieran.
1) a) Dados dos segmentos de 6 cm y 4 cm. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos?
¿Cuántos distintos puede haber?
Pasan algunos chicos al pizarrón a dibujar uno de los triángulos que construyeron en
sus cuadernos (los que pusieron como base el lado de 6 cm) y comprobamos que cumplen las
hipótesis del ejercicio, vemos que sí se pueden dibujar dos triángulos distintos y que existen
infinitos.
Como la mayoría de los alumnos utilizó únicamente la regla para hacer esta
construcción, consideramos necesario explicar el uso del compás.
Suponiendo que los siguientes triángulos son los que están dibujados en el pizarrón:
c
a
6 cm
b
6 cm
6 cm
Tomamos el triángulo abc, y trasladamos los segmentos
y
sobre el vértice a
(extremo común de los segmentos
y
) y vemos que los extremos de ,
y
forman
un arco de circunferencia con centro en a y radio ≈ ≈ .
A continuación se muestra gráficamente la explicación anterior:
b) Dados tres segmentos de 5 cm, 3 cm y 4 cm. ¿Puedes dibujar dos triángulos
distintos? ¿Cuántos distintos puede haber?
Pasamos por los bancos y vemos si el ejercicio está bien hecho, superponiendo el
triángulo construido por nosotras (en una hoja de calcar) con el que dibujó cada alumno en
su cuaderno.
c) Dados tres segmentos de 8 cm, 4 cm y 4 cm. ¿Puedes dibujar un triángulo con
estos datos? ¿Por qué?
Algunos chicos construyen triángulos “achatados” y otros dicen que no existe un
triángulo que tenga como lados esos segmentos.
Para aclarar la idea, en el pizarrón mostramos que la unión de los dos segmentos de 4
cm forma el lado de 8 cm.
d) Dados tres segmentos de 7 cm, 3 cm y 2 cm. ¿Puedes dibujar un triángulo con
estos datos? ¿Por qué?
Sugerimos a los chicos que tengan en cuenta lo que explicamos en el inciso a)
respecto del uso del compás, para ver que las circunferencias no se cortan, es decir que no se
puede construir un triángulo con esos datos.
2) Construye un triángulo dados los siguientes segmentos:
a) 5 cm, 6 cm y 4 cm.
b) 4 cm, 4 cm y 7 cm.
3) a) Dados dos segmentos de 4 cm y 5 cm, y el ángulo comprendido entre ellos de
. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos distintos puede haber?
Para corregir este ejercicio, entregamos a los chicos varios ejemplares del triángulo
construido en papel de calcar para que ellos mismos lo superpongan con el suyo, de esta
manera se dan cuenta que a veces hay que rotar o dar vuelta el papel y que si se superponen
entonces son congruentes.
b) Dado un segmento de 5 cm, y los ángulos adyacentes de 50° y de 60°. ¿Puedes
dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos distintos puede haber?
Al momento de plantear el ejercicio, verificamos si los chicos tienen clara la idea de
cuándo un ángulo es adyacente a un lado. (Hacemos notar la diferencia entre dos ángulos
adyacentes y un ángulo adyacente a un lado).
4) Construye un triángulo, sabiendo que:
a) dos lados miden 4 cm y 2 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 60°.
b) dos lados miden 6 cm y el ángulo comprendido entre ellos es de 75°.
c) un lado mide 8 cm y los ángulos adyacentes a él son de 45° y 65°.
d) un lado mide 4 cm y los ángulos adyacentes a él son de 120° y 55°.
5) a) Dados dos ángulos de 45° y 60°. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos?
¿Cuántos distintos puede haber?
b) Dados tres ángulos de 100°, 30° y 50°. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos?
¿Cuántos distintos puede haber?
6) Construye un triángulo dados los siguientes ángulos:
a) 50°,60° y 70°
b) 30°, 120° y 30°
Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo
Entregamos a cada alumno dos rectángulos de cartulina de aproximadamente 10 x
11cm (uno por vez) para que en cada uno de ellos dibujen y recorten un triángulo distinto (un
acutángulo y un obtusángulo).
La siguiente consigna fue copiada en el pizarrón:
En el cuadrado de cartulina:
- Construye un triángulo acutángulo (obtusángulo).
- Luego recórtalo.
- Nombra sus ángulos interiores.
- En tu cuaderno marca el contorno del triángulo.
Una vez que todos terminan, proponemos que corten los ángulos del triángulo y
hacemos la siguiente pregunta:
¿Cómo puedo hacer para ver que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
180°? Utilicen los ángulos que recortaron para ayudarse.
A continuación mostramos la secuencia del trabajo que realizaron los alumnos con
respecto a esta actividad:
Paso 1:
α
α
β
δ
β
δ
Paso 2:
δ
α
β
α
δ
β
Una vez que finalizamos esta actividad, enunciamos la siguiente propiedad en el
pizarrón:
PROPIEDAD: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es
igual a 180°”
Aclaración: la propuesta era entregar tres rectángulos de cartulina para que
verifiquen la propiedad en los tres tipos de triángulos (acutángulo, obtusángulo y rectángulo)
pero como los alumnos ya conocían esta propiedad decidimos no darles el tercer rectángulo,
pero explicitamos que la propiedad se cumple en todos los triángulos.
Actividades:
1) Calcula la medida de α en los siguientes triángulos:
(a)
(b)
α
30°
45°
45°
α
120°
……..0e los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°”
30°
(d)
(c)
30°
α
50°
80°
α
2) Clasifica los triángulos del inciso 1) según sus ángulos.
3) Sabiendo que aec es un triángulo rectángulo en â (es decir que â es recto) y que ê
mide 35°, calcula el valor de ĉ.
Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo
Para dar esta propiedad, retomamos la actividad del triángulo de cartulina de la
propiedad anterior.
La consigna es que los alumnos dibujen un ángulo exterior al triángulo pegado en sus
cuadernos, la actividad consiste en que ellos descubran cuánto mide ese ángulo. Nosotras
pasamos por los bancos guiándolos para que lleguen a “descubrir” la propiedad.
α
β
α
δ
β
Se realiza una puesta en común sobre las conclusiones obtenidas y escribimos en el
pizarrón la siguiente propiedad y luego una demostración de la misma:
PROPIEDAD: “En todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de
los ángulos interiores no adyacentes a él”
Demostración:
Dado el siguiente triángulo:
e
a
α
c
Por la propiedad de los ángulos interiores sabemos que â + ĉ + ê = 180°
Como α y ĉ son adyacentes, entonces α + ĉ = 180°
Entonces, me queda
â+ĉ+ê=α+ĉ
Aplicando la ley cancelativa de la adición tenemos que
â+ĉ+ê=α+ĉ
entonces â + ê = α.
Actividades:
1) Calcula el valor de los ángulos marcados en los siguientes triángulos.
(A)
(B)
β
105° ε
α 148°
π
52°
α
2) En el triangulo AGC, α= 108° es exterior a  y δ= 132° es exterior a ^C. ¿Cuánto
mide el ángulo interior G?
3) ¿Cuáles de estas ternas de ángulos no se pueden utilizar para construir un triángulo?
¿Por qué?
a) â = 100°
b) α = 45°
c) ê = 60°
d) δ = 72°
ĉ = 35°
β = 45°
ĉ = 28°
ε = 43°
ŷ = 50°
γ = 90°
ŝ = 30°
π = 65°
Actividades:
1) Calcula el valor de los ángulos marcados en los siguientes triángulos:
a) â = 3x+15
b) π = 5x-10
ĉ = 2x+10°
â
π
α = 2x+16°
ĉ
35°
α
2) En el triángulo aec, α =110° es exterior a ĉ y β =140° es exterior a â. ¿Cuánto mide
el ángulo interior ê? ¿Y cuanto el ángulo π exterior a ê?
3) En el triángulo mno, α =110° es exterior m y β =140° es exterior a ô. ¿Cuánto mide
el ángulo interior n?
Propiedad de los lados de un triángulo
Actividad:
Elijan tres números a, b y c naturales mayores que 2 y menores que 10 y los anotan;
elijan otros tres y anótenlos. Repitan esto hasta obtener cinco ternas diferentes de números.
Consideren que cada una de esas ternas son las medidas en cm de los lados de un triángulo y
construyan la figura que corresponde.
a) ¿Es siempre posible construir un triángulo cuyos lados midan los tres números
elegidos?
b) ¿Con qué ternas pudieron construir los triángulos y con cuáles no?
c) ¿Qué diferencia encuentran entre las ternas con las que construyeron los
triángulos y con las que no?
La finalidad de esta actividad es que los alumnos puedan deducir la propiedad a
través de la comparación de los lados con los que pudieron construir el triángulo y con los
que no pudieron.
PROPIEDAD: “En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos.”
Actividad:
1) Indica con cuáles de las siguientes ternas es posible construir un triángulo. (Sin
realizar la construcción)
a) a= 2 cm; b= 6 cm; c= 7 cm
b) a= 3 cm; b= 4 cm; c= 8 cm
c) a= 4 cm; b= 4 cm; c= 2 cm
d) a= 4 cm; b= 4 cm; c= 7 cm
e) a= 4 cm; b= 4 cm; c= 8 cm
Teorema de Pitágoras
Actividad:
1) Dadas las siguientes ternas de segmentos, construye el triángulo correspondiente.
¿Qué triángulos resultan ser según sus ángulos? Realiza la construcción con regla y compás.
a) a=3 cm, b=2 cm, c=4 cm
b) a=3 cm, b=4 cm, c=5 cm
c) a=6 cm, b=6 cm, c=6 cm
d) a=6 cm, b=8 cm, c=10 cm
2) Determina en cuáles de las ternas anteriores se cumple la siguiente relación:
“El cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados”.
3) ¿Qué tipos de triángulos de la actividad 1) cumplen la relación del inciso 2)?
Definición: En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman
catetos (a y b) y el tercer lado hipotenusa (c).
TEOREMA DE PITÁGORAS: “En todo
triángulo rectángulo, la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa.
En símbolos: a² + b² = c².”
c
a
b
Actividades:
1) Calcula la medida del lado desconocido en cada triángulo rectángulo.
a)
b)
c
12 cm
c)
a
10 cm
b
9 cm
5 cm
15 cm
8 cm
2) Calcula la medida de la diagonal del siguiente rectángulo.
d
7 cm
24 cm
3) Un árbol de 12 m de altura proyecta una sombra de 9 m. ¿Cuál es la distancia que
hay entre el extremo superior de la copa del árbol y el extremo de la sombra?
4) Una muralla tiene una altura de 12 m y al pie del muro hay un foso de 4 m de
ancho. ¿A qué distancia del foso está apoyada una escalera de 13 m que llega hasta el borde
superior de la muralla?
5) Sea el trapecio rectángulo de vértices M, N, P, Q. Calcula el perímetro del área
sombreada.
N
P
5 cm
4 cm
M
8 cm
R
Q
6) Cuando se dice que un televisor es de 14 pulgadas, es porque la diagonal de la
pantalla mide 14 pulgadas (1 pulgada = 2,54 cm).
¿Cuántas pulgadas mide, aproximadamente, el lado horizontal de la pantalla de un
televisor de 29 pulgadas si el lado vertical mide aproximadamente 16 pulgadas?
7) Una antena, de 45 m de altura, se encuentra sujeta por un cable de 53 m. Calcula la
distancia que existe entre la base de la antena y el extremo del cable que está en el piso.
Evaluaciones
En el transcurso de nuestras prácticas tuvimos dos instancias de evaluación, la
primera fue dada antes de que culminara el segundo trimestre porque la profesora titular
necesitaba una nota más para cerrar el promedio, por eso evaluamos los temas que
habíamos dado hasta ese momento: polígonos y triángulos: elementos, construcción y la
propiedad de los ángulos interiores.
La segunda evaluación fue tomada al finalizar la unidad y los alumnos pudieron
utilizar los machetes elaborados en las clases anteriores. En la misma se evaluaron todos los
temas de la unidad.
Al lado de cada consigna detallamos el puntaje correspondiente.
Aspectos que tuvimos en cuenta para acreditar las evaluaciones
Al momento de corregir tuvimos en cuenta que el alumno:
 reconozca los distintos tipos de triángulos de acuerdo a las clasificaciones
estudiadas e identifique sus elementos,
 utilice los elementos de geometría necesarios para construir los triángulos,
 aplique correctamente las propiedades,
 utilice el teorema de Pitágoras para la resolución de problemas.
A continuación se muestran los dos modelos de evaluación.
EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA 2º AÑO
8 de Septiembre de 2010
Nombre y Apellido:………………………………………………………
(0.5p) 1) Escribe la definición de triángulo.
(1.5p)
2) Dibuja un triángulo rectángulo escaleno, señala y nombra: los vértices, los lados, los
ángulos interiores (de color azul) y los ángulos exteriores (de color rojo).
(3p)
3) Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones, justificando la
respuesta.
a) Todo triángulo equilátero es isósceles.
b) Todo triángulo isósceles es escaleno.
c) Los lados de un triángulo equilátero de 42 cm de perímetro miden 13 cm.
d) Existen triángulos isósceles obtusángulos.
e)
(3p)
Es posible dibujar un triángulo que tenga dos ángulos interiores obtusos.
4) Construye en cada caso el triángulo correspondiente según los datos que se indican y
utilizando los útiles de geometría apropiados:
a) tres lados que miden 5 cm, 8 cm y 11 cm.
b) dos lados que miden 5 cm y 7 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 120°.
c) un lado que mide 6 cm y los ángulos adyacentes a él son de 45° y 55°.
(2p) 5) Plantea la ecuación y resuelve. Escribe la respuesta.
a) En un triángulo la suma de dos ángulos interiores es de 125°, ¿cuánto mide el otro
ángulo?
b) En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide 36°, ¿cuánto mide el otro
ángulo agudo?
EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA 2º AÑO
4 de Octubre de 2010
Nombre y Apellido: …………………………………………………….
(2p) 1) Construye en cada caso el triángulo correspondiente según los datos que se indican
utilizando los útiles de geometría apropiados.
a) Un lado que mide 5 cm y los ángulos adyacentes a él son de 100° y 30°.
b) Dos lados que miden 6 cm y 7 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 50°.
(2p) 2) Calcula el valor de los ángulos marcados en el siguiente triángulo. Indica y enuncia qué
propiedades utilizaste.
124°
α
79°
π
ε
(1p) 3) Indica con cuáles de las siguientes ternas es posible construir un triángulo, sin realizar la
construcción. Justifica cada respuesta.
a) a = 7 cm; b = 3 cm; c = 10 cm.
b) a = 8 cm; b = 5 cm; c = 2 cm.
c) a = 6 cm; b = 9 cm; c = 12 cm.
(2p) 4) Completa las frases con: “a veces”, “siempre” o “nunca” según corresponda en cada caso.
Justifica en cada caso.
a)…………..en un triangulo cada lado es mayor que la suma de los otros dos.
b)…………..en un triángulo la suma de un ángulo interior y su respectivo ángulo exterior es 180°.
c)……………un triángulo rectángulo tiene un ángulo obtuso.
d)……………en cualquier triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los
cuadrados de los otros lados.
(1,5p) 5) Para sujetar una antena de 12 m de alto, se proyecta colocar un cable de acero. Si se
desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 5 m de la base de la
antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán? Realiza el dibujo correspondiente. Plantea
la ecuación y resuelve.
(1,5p) 6) En un árbol de 8 m de altura la distancia entre el extremo superior de la copa y el
extremo de la sombra es de 10 m. Si la sombra que proyecta el tronco del árbol es de 4 m
¿Cuánto mide la sombra que proyecta la copa? Realiza el dibujo correspondiente. Plantea
la ecuación y resuelve.
Resultados de las evaluaciones
Análisis de un problema desde un marco teórico
Uno de los problemas que enfrentan las clases de matemática en la escuela
media es el modo de estudiar de los alumnos. Por lo general estudian sólo antes de
una evaluación y de manera independiente, “no siempre disponen de espacios
extraescolares donde estudiar, no siempre acceden a libros de matemática, y no
siempre se encuentran respaldados por algún adulto que pueda ayudarlos en esta
tarea”2.
El desafío es generar espacios dentro de la clase en los cuales los alumnos
estudien matemática ya que “estudiar matemática” va más allá de prepararse sólo
para la prueba. Estudiar matemática supone resolver problemas, construir estrategias
de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar
sobre el propio aprendizaje3. Es decir que el alumno debe incluir todas estas acciones
(repasar, reflexionar, validar, etc.) en el proceso de estudio.
Frente a esta situación una de las propuestas que presenta el documento de
apoyo ya citado, es que los estudiantes aprendan a elaborar un “machete” para
repasar los contenidos dados en clase. De esta manera los alumnos toman parte activa
en el repaso y pueden reflexionar acerca de cuáles son los aspectos más importantes
para recordar y cuáles son los errores más comunes que cada uno comete.
En nuestras prácticas decidimos implementar este método como una forma de
estudio. Luego de trabajar algunos contenidos, propusimos a los alumnos elaborar en
clase un glosario de los temas estudiados y un machete que les sirva de ayuda en la
evaluación4.
La clase se organizó en grupos de dos alumnos cada uno, y cada grupo debía
elaborar su propio glosario y su propio machete.
La finalidad de esta tarea es lograr que los alumnos exploren sus cuadernos y
reconozcan los temas que se desarrollaron a lo largo de la unidad a través de la
elaboración del glosario, y que seleccionen los contenidos más importantes, los que les
resultaron más dificultosos, los que menos recuerden, que elijan ejemplos, desarrollos
de ejercicios que consideren difíciles o que piensan que no se acordarán en el
momento de la evaluación, para escribirlos en el machete.
Luego de realizar esta actividad se creó un espacio para hacer público lo
producido: cada alumno comentaba lo que había elegido para escribir en su trabajo e
indicaba qué ejercicio o problema creía conveniente incluir en su machete. De esta
manera los demás estudiantes evaluaban si era importante o no agregar a sus trabajos
lo que su compañero comentó, y así crear un momento de reflexión en el que los
alumnos pudieran identificar los objetos matemáticos estudiados y el modo de
tratarlos.
Esta actividad se llevó a cabo durante una clase de 80 minutos, y al concluir la
misma los alumnos nos entregaron sus trabajos para que nosotras los “corrijamos”.
Esta corrección consistió sólo en marcar los errores que los alumnos cometieron al
copiar los temas de su cuaderno, la intención era que ellos confeccionaran el machete
de acuerdo a su propio criterio.
2
Ver “El abecé de la Matemática escolar. Las prácticas de enseñanza en el aula”. (2009) Horacio
Itzcovich. Ed: Aique.
3
Ver “Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio”. (2005) Bs.As.: GCBA. Secretaría
de Educación.
4
La actividad se realizó antes de comenzar el tema Teorema de Pitágoras.
Durante las clases siguientes seguimos con la planificación de la unidad. Luego
de culminar el tema Teorema de Pitágoras entregamos los machetes a cada alumno
para que lo complete con lo que quisiera agregar de este tema. Otra vez recolectamos
todos los trabajos, los corregimos y los devolvimos el día de la evaluación para que lo
utilicen como herramienta.
En las páginas siguientes mostramos a modo de ejemplo dos machetes
elaborados por los alumnos junto con sus correspondientes evaluaciones.
El primer trabajo es de Evelyn, alumna de 2º B. Los dos primeros escaneos
corresponden a su machete y los otros tres son de su evaluación.
En este machete la alumna reprodujo el desarrollo de uno de los ejercicios que
les dimos en una clase (calcular la medida de algunos ángulos de un triángulo) y que
ella aseguraba que no lo entendía y que no le salía. Se puede observar en la evaluación
que esto le ayudó a resolver el ejercicio 2). Además transcribió una de las propiedades
de los triángulos y un ejercicio (de las actividades realizadas en clase) para aplicar dicha
propiedad, el cual le sirvió de modelo para hacer el ejercicio 3) de la prueba.
También escribió el teorema de Pitágoras y un ejemplo de su aplicación.
Podemos ver en el ejercicio 2) de la evaluación, que la alumna lo resolvió sin
inconvenientes pero a la hora de escribir las propiedades utilizadas no las enunció, y
éstas no están escritas en el machete.
El segundo trabajo es de Luis, alumno de 2º A. Los dos primeros escaneos
corresponden a su machete y los otros tres son de su evaluación.
En este caso el alumno en su machete escribió solo algunas cosas “teóricas”,
según su criterio las más importantes. Además agregó algunas aclaraciones respecto
de lo que tenía escrito y de algunos temas que mencionamos en clase (lo podemos ver
en la clasificación de los triángulos y en el enunciado del teorema de Pitágoras).
Si miramos en la evaluación el ejercicio 2), a simple vista apreciamos que en el
mismo el machete no se utilizó pues encontró bien la amplitud de los ángulos pero no
enunció las propiedades, que eran las que aparecían en su machete. Podemos suponer
que no entendió el enunciado del ejercicio, que se olvidó de hacer esa parte o que
quizás no entiende la relación entre la definición de la propiedad y la aplicación.
Conclusión
Cuando analizamos los machetes de ambos cursos encontramos una diferencia
importante; en segundo “A” la mayoría de los machetes contenía teoría y ejercicios
prácticos, en cambio en segundo “B” la mayoría de los alumnos escribió sólo teórico.
De los resultados de la evaluación es evidente que la utilización del machete no
favoreció a los estudiantes. Si bien fue logrado el desafío de generar un espacio en el
aula para ayudar a los alumnos a repasar los contenidos, a reflexionar acerca de cuáles
son los aspectos más importantes para destacar o cuáles los errores más comunes que
se pueden cometer, no resultó tan efectivo como esperábamos.
Desde nuestro punto de vista los machetes no fueron utilizados como tales, es
decir, si bien la mayoría de los chicos lograron distinguir cuáles eran los temas que
tenían que poner no supieron cómo usarlos en la evaluación. Pensamos que esto
sucede porque no tienen totalmente incorporado la relación que existe entre el
enunciado de una propiedad y su respectiva aplicación.
Pero no debemos hacer únicos responsables a los alumnos. Ellos deben saber
cuáles son los errores más comunes que cometen o qué temas son más importantes
que otros, pero esto no pueden hacerlo solos. Es aquí cuando entra en juego el rol del
docente para ayudarlos a identificar estas cuestiones. Esto pudimos comprobarlo
cuando, al momento de hacer la devolución de los resultados de las evaluaciones,
algunos alumnos nos manifestaron que no supieron cómo ni cuándo utilizar el
machete.
Por último, concluimos en que hay que tener en cuenta los resultados de la
evaluación, no solo para evaluar al alumno sino también al curriculum y a la eficacia de
la acción del docente. En “El ABC de la tarea docente: curriculum y enseñanza.” (Gvirzt
y Palamidessi, 1998: cap. 8) leemos que “la evaluación sirve para retroalimentar la
tarea de enseñanza, ejerce una influencia formativa muy importante sobre la labor del
desarrollo, tanto de la planificación inicial como de las revisiones que se van haciendo
sobre la marcha”.
Pensamos que sería útil repetir la experiencia con este curso, con otros temas y
hacerla extensiva a todos los cursos del Nivel Secundario, profundizando la relación
entre el alumno y un texto, siempre con la colaboración del docente para favorecer la
formación matemática y personal de los estudiantes.
Reflexión final
Consideramos que la planificación fue una herramienta fundamental para
realizar las prácticas, pues fue la guía que utilizamos para llevar a cabo las clases,
prácticamente no hicimos modificaciones. Nos ayudó el hecho de haber observado a
los alumnos un tiempo prolongado y poder ver cómo se desempeñaban en el aula.
Pudimos concretar la mayoría de los objetivos que nos propusimos, los alumnos
respondieron ante todas las propuestas de trabajo que planteamos: el juego de
clasificación de figuras, las exposiciones orales, los trabajos en grupo, el desafío de
introducir la demostración como herramienta matemática.
En las prácticas pudimos ver que muchas veces los tiempos con que cuenta el
docente en el aula condicionan su tarea pues debe dar todos los temas que aparecen
en el curriculum y además plantear estrategias y actividades que puedan orientar el
estudio personal de los alumnos.
Con las actividades que propusimos en las prácticas pretendimos hacer del aula
un espacio en el que los alumnos puedan trabajar en grupo, comunicar sus ideas con
confianza y familiarizarse con conceptos que ya aprendieron.
Queremos agradecer a la profesora del curso Mónica García por el apoyo y los
consejos brindados, la predisposición que tuvo en todo momento y por compartir su
conocimiento con nosotras e inspirarnos mucha admiración. A las profesoras de
práctica Dilma Fregona, Marta Parnisari y Erika Delgado quienes nos asesoraron a lo
largo de las prácticas y acompañaron en este camino que hoy culmina en el presente
trabajo. Finalmente al Instituto Obispo Caixal por abrirnos sus puertas y hacernos
sentir parte de él.
Anexo
Aquí se presentan las figuras entregadas a los alumnos en la actividad de clasificación
de figuras.
A
B
C
D
F
E
G
H
I
J
K
L
L
N
M
O
P
Q
Bibliografía
Itzcovich, Horacio; R. de Moreno, Beatriz; Novembre, Andrea y Becerril, María M
(2009). El abece de la Matemática escolar. Bs. As.: Aique.
Gvirzt, Sivina y Palamidessi, Mariano (1998). El ABC de la tarea docente: curriculum y
enseñanza. Bs. As.: Aique.
Documentos y textos escolares
Documento N.º 2 Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio.
(2005): Bs. As.: Dirección general de planeamiento.
Programa de Matemática. Primer año (2002). Bs. As.: GCBA. Secretaría de Educación.
Dirección General de planeamiento.
De Larotonda, Julia S; Wykowski, Ana R y Ferrarini, Graciela (1996). Matemática 7. Bs.
As.: Kapelusz.
De Cortés, Graciela D. (1994). Matemática 1. Primer año Ciclo Básico Común y Escuelas
Nacionales de Comercio. Bs. As.: Stella.
Sadovsky, Patricia; Melguizo, María P y Rubinstein de Waldman, Clara L (1988).
Matemática 1. Bs. As.: Santillana.
Latorre, María L; Spivak, Laura; Kaczor, Pablo J y L. de Elizondo, María C (1997).
Matemática 8. Bs. As.: Santillana.
Amenedo, Mariana B; Carranza, Susana G; Diñeiro, María T; Grau, Jorge E y Latorre,
María L (1995). Matemática 1. Bs. As.: Santillana.
Canteros, Laura I; Felissia, Ana M y Fregona, Dilma (1997). El libro de la Matemática 7.
Bs. As.: Estrada.
Chorny, Fernando; Krimker, Gustavo y Salpeter, Claudia (2003). Pitágoras 7. Bs. As.:
sm.