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A. H. KOJIMOfOPOB, C.
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113,'\ATEllbCTSO
ülA ~KA•
• MOC Kl!A
A. N. KOLMOGOROV
S. V. FOMIN
ELEMENTOS
DE LA TEORIA
DE FUNCIONES
Y DEL ANALISIS
FUNCIONAL
TRADUCIDO DEL RUSO POR
CARLOS VEGA,
<Oltdrdfico dt Maltm4tka$ SupetlottJ
1972
EDITORIAL MIR
MOSCU
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Ocre<:bM rcs~rvarlos
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llCn(lHCK()M J13otkt
IN DICE
PREFACIO
CAl'lTULO 1 • ELEMENTOS
oe
1. .\ TllORIA DE CONJUN"fOS
§ l. Concepto de conjunto. O peraciones sobre conjuntos
J. Dollnlclon•s prlnclpalH ( 13), 2. Operaciones .Obre conJuotos (HJ.
§ 2. Equivalencia de conjuntos. Concepto de. potencia de un conjunto
l. Coojuntos finitos e lnflnllos (! 7), 2: Conjuntos'numenibles (17). 3. Equlva·
lene la dP: conjnnlos (20), 4. tnnume¡.•b!IJdad del conJÜntn de los oúmeroi rea les
(22). 5. Concepto de polencla de un con¡unlo (2•1. 6. T•orema de CanlorBernsteln (2G).
§ 3. Aplicaciones. Partición. .en clases
1. Apllc.aclooes de. ~oujuntos. Coni;.epto gc.nenl de función (28). 2. PMt1dón tn
Relacl611 de Cflul ....alencla (30).
tl~~e~.
§ 4. Conjuntos ordenados. Números transfinitos
l. Conjuntos parcialmente ordenados (33). 2. Apl lcacJ one..~ que con.!C1~·en el
orden (34). 3. Conjuntos ordenados. Ttpos ordlnaic¡ (3.f). • · .Surna or<le.n•de d~
conjunto$ ordenadM (35). 5. Conjuntos blen ordenado$. Números trnn$flnltos (36) ,
6. ComparitcfVn de números ordln1tles (38). 7. Axioma dt elección. teorema de
7.crmelo y otrns propu.\kioncs t<111lvalentu ;i ~llos (41 ), 8. lnduc.:lón tram·
finttt1 <"2).
§ 5. Sistemas de conjuntos
l. Anillo do c<io¡unlos C•.3 ). 2 . Semlanlllo <le conjuntos (45). 3. Anlllo engcndradu
por un scmhmtllo (47). 4. Alg("bus de- Boret (<f8). $ . Sbtemas de conjunto~ y
apllca<lone• (49) .
CAl'ITUl.O ti · ESPAClOS i\\ETIHCOS Y TOPOLÓGICOS
§ l. Concepto de espado rnófrlco
l. l>dlnictón y ~lc.mp1os pr1ncl(Hile.s {5J). 2. Apll(:,.C.lonts conthrnas e.Je espacios
mHrlco.s. lsontelrta (59) .
§ 2. Convergencia. Conjuntos abiertos y cerrados
l. J>unfos de acumulación. Adherenci• {60). 2. Cnnvergencta (62). 3. Su~~onJun ­
tC)S dtnsos (63). 4. Conjuntos abiertos y cerradQs (6-1). 5. Gonluntos <1biertus y
cerrildos sobre la recta (66).
§ 3. Espacios m~trieos compl~los
l. Definición y eJemp1o:=; de e.q:>:rclos métricos compl etos {71). !? . Principio de
bolas t nC&jadas {74). 3. Tcorctnd de Ba1r-e (75). 4. Complelecióti dt' un cspa·
cio (76) .
§ 4. Principio de aplicaciones conlraidas y sus aplicaciones
1. Principio de apllc~dones c:onfrafd;'1$ (79) . 2. AplJcaclonn elemeotulc.o;: del
principio de aplkorJones contraidils (61). 3. Tcortmas de t.xtstench y unicidad
de ecuacloncs dUereocfafes (83). 4. ApHc0tcl6n dl•l 1)rh1dpto de 3pllc.aclooC$COn ·
trai das a ecuacl()t'H!·~ ln legra l t~ (86).
§ 5. Espacios topológicos
l. Dclinlclón y ejemplos de espacios topoló¡¡lcos (89). 2. Compo.raclón d• l<1pologlas (91). 3. S.Jstemos determinantes de veclndad-s. Base. /\xlomu d• numt·
en 1' (96). 5. Axlortu\i\ de ~po.nil>l--
[abiltdsd (92). 4. SHC'>'~h')l'lt' !l convergentes
Ir-DICE
6
llded (97¡. 6. Apllc1cinnes continuas. Homeomorlhmo ( 100). 7. ()fstlntos
mUodos de definic ión de topologfas en un ~.<pac t o. Melrlzabllld•d (103).
§ 6. Compacidad
l. Concepto de compacldod CIOH. 2. Apltcaciones continuas de espaclo< compectos (106). 3. Comp•cldad numerable (107) . 4. Conjuntos relativamente com·
pactos (11 0).
§ 7. Compacidad en espacios métricos
J. Acotación lota! (1 1 O). 2. Compacidad y acolaclon tol•l (112). 3. Compacidod
rela tiva de subconjuntos en un ~'pacio mNrlco ( 114). 4 . TPOrema de An.ehl (l l 5).
6. Tcorern.o de Peano (117). ó . Teorema genen1lb.<Jdo de Arzt'lá (l 19).
§ 8. Funciones reales sobre espacios métricos y topológicos
f. Functones y
funclon~les
conllnuas y uniformemente conlinua& (121). 2 . Fun-
ctoncs continuas y scmtco ntinuas sobro especlos compacfo5 (123).
§ 9. Curvas continuas en espacios métricos ( 125)
CAPI TULO 11 1 •
l' SP.~C lOS
LINEAi.ES NORMADOS Y 'T OPO LúCI COS
§ l. Espacios lineales
l. Definición y •Jemplos de espacios llneales (130). 2. Oepcndoncia lineal (l 32J .
3. Subespoclos ( 133). 4. Espacios cocientes (134) . 6. Funcionales ttneales ( 13 5¡.
6. Jnterpretacl6n
gcom~trfca
de una funclonal linea l (J 37).
§ 2. Conjuntos convexos y luncion:iles convexas. Teorema de Halm Banach
l . Conjuntos. convexos y cuerpos convexos (140 ), 2 . .Funcionales con v tx.~~ ( 1-t'J).
3. funcional de Mlnkowskl (1•3) . 4. Teorema ¡de Habn- Oanach ( 1 4~) . 5. ~­
pJrabtlld11d de conjunto!. conve xos en es pacios llncal~s ( 147).
§ 3. Espacios normados
1. Definición y eJemplos de esp•clos normados (149) . 2. Subespaclo• de un
e spado normado ( 151 ).
§ 4. Espacios euclldeos
l. Definición de ..r>• clos cuclldeos (152). 2. Ejemplos (!S i). 3. Existencia de
bases ortogonales, or togonallzaclón (156). 4. !Desigualdad de Bessel. Slstem•s
ortogonales Cerudos O 69). S. Bsp1tclos eucltdeos cornJ)letos. Teorema de Rleszl'hh•r ( 162). 6. Espac io de Hltl>ert. Teorema .obre el lsomorlismo ( 16 5 ).
7. Subespaclos. complemen tos ortogonale., >uma d irecta (168). 8. Propiedad ca •
ractetlstlco d~ los espacios euclldeos (172) . 9, Esp•clos euclldcos complejos ( 175).
§ 5. Espacios topológicos 11 nea les
~u~::!il;~órilt)!emplos (177) . 2. Conve<ldad local ( 180). 3. Espacios norma dos
CAPI TULO IV • FUNCIONA LES LINEALES Y OPcf<ADORES LIN EALES
§ l. Funcionales linea les continuas
1. Funcionales lineales conllnu::i.& sobre t spados topológlco.s l lneales ( t 85).
2. Relación entre Ja conttnuldad d& una functonal lineal y su acot ación sob re
conjuntos acotados (186). 3. Funcionales Unealcs continuas sobré t ·s paelos normados (187). o\. Teorema de Hahn-Banach en un .,spaclo normado (190).
6. Funcionales Une.ates en e.$pactos normados numen bl es (191 ). 6 . E:c:tstencia
de un número suffc1ente de funeconaJcs lincAles contlmHJ$ ( 192).
INDICE
§ 2. Espacio dua l
l. De finición de csp.,cio d u.,J (193). 2. Espacio dual a un e1p11c1onormado_{l,94).
;,, Ejemplos de espacio' duAle:s (190) . 4. estructura dtl tspt1cio dual 11 un espa·
~ .. Topolo¡¡la en el espoclo duol (202). 6. Segundo
clo normado numerable (200),
••poclo clu:tl (203).
§ 3. Topología debil y wriwrgencla débil
l . Topologla dóbll •n un Hp•c lo topo1'.,100 lineal (205). 2 . ConV"1ftnelo d~bll
12001- a. Topologla débil y converwenela déb il en el c&paclo du• I (2111- 4. To·
potoef• • ·d.i bil en C'OnJunhu :acoudos (213).
§ 4. Fum:íooes generalizadas
l. Ampllac16n del conctplo do fun<lón (216). 2. C•paclo de lunclonH bhlc••
3. Funcione~ gen~ralli adu (2 l 9) . <l. Operaelopcs c.on luncfon~ generalt•
udu (220). S. Su!lclencln del C'>nlunlo de func ion es bhle., (224). 6.• 'R.cons•
truc:clón de una fondón por s u d@rl vada. l?c;u&Jcione& diferenciales tn la ctllse de
h1n don~s gcnculiz.acJ.u (225) 7. Alguna$ gé!nctalliaclonu (228).
(:? 18).
§ S. Operadores lineales
f . Definición y •l•mplos de op<ndores llneot.. (232). 2. Conllnuldod ., acotación
1230). 3. Sumo y producto de OP"radorcs (238). 4. Opttador lnv...so. ¡tnvttslbl ·
lldad (239). S . Operador.. <onJu11a d0& (2H). 6. Operador conjug•do en un esps·
CJo euclídeo. Operari(.)re$ iu1Cocon)URldO$ (246). 7. E:ipcctro de un opet"\dor.
~t '\olvc nte- (247>
§ G. Operadores totalmente continuos
t . Dertntclón y tijemplo$ de operadoru totalmente cont inuos (260), 2. Propteda·
tfd µrlnclpalcs de opeudorea to lu1mcnie contlnuos (25:1). 3 . V•lore$ proplo5 de
un operador lotalmcnte continuo (258). 4. Opcndores \otalmentt- conunuos en
un C"Jpu:lo d~ Hllbcrl (259). b. Oper111dorPS :tuloconJui::ado.s y totalmente contf·
n1101 en H (260).
CAPITU LO V · L:l. E o\\ ENTOS llEL CALCU LO Ulf'ERENCIAL
EN ESPACIOS LINEALES
§ l. Oilerencjación en cspucios lineales
l. Dllerencl al fuerte (dfferenclal de Frichol) (2ijo). 2. Ollerencl•I débll (dlle·
rencf~l de Oato). (267). 3. l'órmulo de lnccemcnto finito (268). •.Relación enlre
la• dllcrenclabllld•des dfbll y fuerte (269). s. Funclonnl•• dllorenclables (271).
6. F unclone.s abstraet u (27 1). 7 , Integral (271). 8. Oerlvodas dt órdenes supe·
rloru (274). 9. 0Uerenc:1alc1 <1e w d,n ~UJ)('TIOt (27 6). 1o. FórmulA d~ Taylor (271).
§ 2. Problemas extremt1l<.'S
t. Condicl(,n m:ce.sarla de ~'<trem o l~i" 8 ). 2 . St-gunda diftrendal. Condlclonts
'uflclrnlcs de Clttremo lle una funclonal (23~) .
§ 3 Método de Newton
CAP I TULO VI · Ml!DIOA. FUNCIONES MEDllll. US. INTEGRAL
§ l. Medida de conjuntos planos
l.
Medida de conJunlos olcrnenl nles (290) . 2. Medida de Lcbes¡ue de conjuntos
p lAnot (2911). 3 . Prop led"dct prtnclp• les de h 11'\td1da de 1..ebos¡uc y de los con·
juntos m~dlb)es (29.Sl. it . A1f:Un~s supl tmentQs y gtncull:uclonH (3 04).
INf)ICE
8
§ 2. Concepto genera l de med ida . Prolongacióu di.' una medida de un
semianil lo a un anillo. Adit ividad y o-ad itividad
J. Otflnfcfón d• medida (306). 2 . Prolongació n de u n a modld• en un semlanlllo
at onfllo jt'tn•f"do (308) . 3. AdHl\'fdod num<rab lc (:109) .
§ 3. Prolong11ci6n de Lebesgue de una med ida
1. Prolon¡aclón de Lebesguo de unA mcdtda deflnJda t.u un ttm lnnlllo con v.n tdad (313) .
~-
Proloni;r3C:ión d e ufto medida deClnlda en un kmh1 nillo :sin uni-
dad (3 17). 3. Prolongación d t una mtdlda seglln Jord•n (3 19). 4, Unicidad de
prolongación d.- una mod lda (321¡.
§ 4. Funciones medibles
l . O.llnfclón y p roptedadts prfnclp•I•• d• luocloncs m•dlbtos (322). 2 . Funclo·
n u •lmplts (324). 3, Oper1clonc1 arllmHJcas co n runctoncs m•dlbles {326>.
4. l!qu l\'Alt nclA (327). ¡¡, Convtrgcncla • n casi tod°" l os punto• (328). 6. Teorema
de l!a«irov (32R) . 7. Convorgenclo en medida (330¡. 8. Tcorem• d e t"zfn .
e-propiedad (3:12).
§ 5. lnte¡¡-ra l de Leoosgue
l. 1111caral de Lebesgue P••• lunclon•• olrnples (333) . 2 . l nlegra l d• l.ebcsgue en
conJunlos de m•dld• IJnlla (335). 3. a -a dltlvl dad y con tinuidad absolula de la
ln lt11r•I do l.ebt3gu" (338). 4 . Paso al !Imite bs)o el almo de ta integral dt
tebt'CU< (34 3). 5. Integral d• Lebt51fUt en un conj unto d e medid• infinita (3 47).
6. Cornpatarlón de la lntogrol d e Leboagut con Is lntoar•l d e R iemann (3 0 ) .
§ 6. Productos directos de slsfpmns de conjuntos y de medidas. Teorema de f'ubini
l. l'roduclos de s is e.mas de con)unlos (362). 2. l'ro duclos d o n•edld•s (353),
3. Repr•sent•clón de I• medida plana en términos de lu lnt•rra l de la medid•
lineal de secciones y dellnlclún geomofrlca de I• ln te¡¡rnl de Lebosgue (3 55) .
4. Too remo de Fublni (359).
CA PJTU l.0 Vil · lNT EC~A t INDEFIKll>A DI! tEBl!SGl'. E .
TF.OR I A OE D IFERENCtACl(>N
§ l. Funciones monótonos. Dlferenciabi!idad de l a in legrn l respecto al
extremo superior
l . J>ropledadK lundaonentoles de !unciones monó tono• (364). 2. Dlltrtnctabllldod
de uno función monótona (30). 3. Derivad• de lo lntoaral N>sp•cto •I extremo
1uporlor (374).
§ 2. Funciones de variación acotada (374)
§ 3. Derivada de la integral Indefinida de Lebesguc (379)
§ 4.
~e<:onstrucción de una función a partir de su derivada. Punci ones
absolutamente continuas (381)
§ 5. Integral de Lebesg ue como función de conjunto. Teorema de
~adon-Nikodym
De-~omposlcl ón de Hahn y d~~mpos l clót1 de Jordan (392 ). 2. Prtn·
clpolu llpos do <U8u> (396). 3. C•rK•• absolutamente conllnuas. Teoremo de
Rodon-Nlkodym (396).
L Cara••·
§ 6. Integral de Stiel ljcs
l. Med!Hos de Stl•llJea (399). 2. Integro! de L•h'ft'UC - S t lett)•• (401). 3. AIQ"U•
nos opllcaclones d• la lnl•ll'r• I do l.ehug110-Stl•llJcs P.n la tcorln d e prolrn~lll ·
1,.;01CE
9
dadu (•03). 4. lnlo¡¡ral de Rlemann-Stl<l lju (406). S. P aso 11 Umlle bojo el
&l¡¡no do h tnte¡¡ul d• Stlc l\Je• (409). 6. R,presentacl ón 1eneral de luntlonales
HnH le' cont lnn(is en el t •P"clo de runciones continuas (H3)
CAPl TULO Vlfl · ESPACIOS DE FUNCIONE S Sl,IMAB l.ES
§ 1. Espacio L1
l. Dellnlc1ón 'i prop lcdodu lundamen\al .. del espoclo L , (4 15). 2. Con Juntos
t:D L, <•l9).
siempre: den$0.$
§ 2. Espacio L.,,
1. Dtllnlelóa y propl•d>d os l11nd•mco\1les ( 423). 2 . Cuo de medida lnllnlto (428),
3, Conjun•o.s siempre. c.ft0 1iOS en ~ •. Teorem? sobre el ftomorflamo (428). 4. ~apa •
cto complelo L, <429). 5 Con\'eraencl a cuadr6ticn y su reloclón con otros Upo'
rle eon\1er¡enc1n de snceslonts lunclon1les (430).
§ 3. Sistemas ortogonal es de (unciones en L,. S~ries respecto a siste•
.
mns ortogonales
Serle trl~on omi:trJc~ de Fo urler (43S). 2. Sistemas
en el segmento 10. "l (436). 3 . Forrna oomplcJa de la «rlo de
Fourltr (436). 4. P olinomios de Lqendre (438). S. S!slemu orto¡onalu en pro.
duetos Sttit-S mú lUplH de Fuurltr (44 0). 6 . Poflnomlos or·t oaonafn r especto
:\un núcleo dado (44:l). 7. 8 1'\C o rto¡onal en ti espnlo L , ( -•. •l· Functonts
d t JfcrmUe ( 44f). ~. Voltnom lo" orto¡o n alt~ respecto a un n t)clto discreto ( 445).
1. Si.doma
trfgon o m ~t rlco.
trl~onomHrlcos
CAPlTl..iLO IX • SHRIES TRIOON0~1€1'RICAS
TllAN SFORM ,\ Clc'lN DE FOUlll!lR
§ 1. Condiciones el~ conver¡ienciu de la serie de Fouricr
1,
Cond ~cJ o nP.s
~.
CcmdfclonC$ rk tmwc-Ntcnd u u ril fo r mc d e lt !it.rle de: P'o11rlcr <-156).
!.uiicier>lc$. de \.'onver1rcnci• de l;i, $1!ric 4C! r:ourlct en un punto (1•9>.
§ 2. Teorema de Fejér
1. T tore:na de Fejü H59) 2. Cmnplteud d d sis\t m:\ hlionornHrico. Tcortma
dt" \Vo1trs h -'SS l-162). 3. TCo-'\t<'•n ft dt!: F't-jtir rn ti cuo del espado L , ('463).
§ 3 . l nle[lra 1 de F ouricr
1.
T ~o rcma hind amc n t~ I
t·•ft ll 2. Forma cornplr ja de la t nleitntl de Pouricr (46 7).
§ 4. Translormación de rourier, sus propi~dadcs y sus aplicaciones
t. Tronsíorm•ci6n de Fourler y fórm ula de inv•r$16n (468). 2. Proplodade• !un•
damenlales de la trondormución de Po ur1" (472). 3. Complllud dft las lunclon ..
de Hermltt y de Leguorre (475). 4. Trans!ormaclón de Fourl•r d~ !unelones
l" dcftotdacnentc díluencfables y dpfdamtnté decrecientes (470). S. Tran!>forrna·
c l6n de Fourie.r y COO\'Olucl<m de lunclones (4 18t. 6. Apllucl6r\ de la lnnsfor..
mtcl6n de Fourk r • la rtsoluclótt d• Ja C"Cuaclón de. ronducclóo del uJor (.f79).
1. Translorm(fc\Ón d~ Four ler de fun< lonu de v¡ ria& vartablts (.t 82).
§ 5. Trans!ormactón de
1.
T~or cm ¡i d.t
Fouri~r
P llllnch••ret (4 8.f)
§ 6. Transíormación de
2.
en el espacio L. (- co , co)
f'unclo n~s
de Hcrmltt. (-187).
1.n pl ~ce
~· pror>icd"tlr.s fun dn.menl •lles de 1'1 trM1sfnrm11clUn <le Lapl1ee (<191 ).
l. /\pllt.oclón d <' fo H an1form ucló11 <lo Lnploe~ a fo t oluclf\n de OCHllc lonc~ dHa...
1 r>ellnición
•f' 0(' 1 td('~ (m(.\l)t1o OJ><.' PIC.' l r; m 1U (-19!!).
IN DIC E
10
§ 7. Transformación de Fourler-Stfelljes
l. Oelln l clón de la truu formaclón de Po~rler- S llcll)M (494) 2 . Aplicación dc
le lr•ns!orrneclón de Fourler- Sllellles a la !corlo de probabllld•do.s <•96).
§ 8. Transformación de Four ler de funciones general ludas (499)
CAPlTULO X • EC U ACIONES INTJi OR ALES 1..IN HALES
§ 1. Definiciones fundamentales. A lgunos problemas que ll evan a ecua·
ciones integra les
l.
a
Tipos de e<u1cl onu Integrales (502). 2 . Efemplo.s de prob lt•mas q ..e ll•v• n
~uacl onu
tnletrr.:tlet ( 504).
§ 2. Ecuaciones Int egrales de Fredhol m
l. Operador l nle¡ral de Fre dholm (507). Ecuaclon<4 de nuclee> slmN rtco (510) .
3. Teoremas de Frcdhol m. Coso do núcleo dqcn<r•do (51 2). 4, Teoremas de
Fttdholm p ata ecuaciones de nClcteos no dege·n erados (504) . S. Ecuaciones de
Vollerra (5 19). 6. Ecuaciones lnl<lrf'ale< de primera Hp<c.tc 1520).
§ 3. Ecuacionu In tegra les con par ámetro. 1\iélo.do de Fredholm
t . Espectro de un o pe.rador to ta lmente contin uo en 11 t52t) . 2 . Represcnbclóh
M l a 10Juclón en lorma de una serle de potcacl as de 1... Oeterm l n11nlrui de Fred·
holm (5 22) .
Bibl iografía (528)
Indice alfabético (530)
PREFACIO
La primera edición rusa de Elementos de la toorla de funcio·
nes y del ar1álisis funcional apareció en dos fascículos en 1954
y 1960. La publicación de estos dos fascículos se debió a que,
a finales de la década del 40, fue incluido en el programa de
la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad de
Moscú el curso de A11álisis 111 que comprendía elementos de la
teoría de med ida y de la leerla de funciones, ecuaciones inte·
grales, nociones del aná!!sis funcional y, más larde, cálculo de
variaciones. Este curso, dictado en la Universidad de Moscú
primero por Andréi Kolmogórov y luego por otros profesores,
entre ellos Serguéi Fomin, integró posteriormente también los
programas de otras U niversidades. Debido a su reducida tirada,
la edición de nuestro li bro se agotó rápidamente y hace tiempo
c¡ue surgió Ja necesi dad de reeditarlo.
La sustitución de Jos cursos de la teoría de funciones de
variable real, de ecuaciones integrales y de cálculo de varia·
ciones por el curso unificado de Análisis 11 I en la Uni versidad
de Moscú, dio lugar a grandes discusiones en su tiempo. El
curso tenía por objeto habituar a los estudiantes a una visión
doble: por una parte, seguir la lógica interna del desarrollo de
la leerla de conjuntos, de la teoría general de aplicaciones continuas en espacios métricos y topológicos, de la teoría general
de espacios lineales y de íuncionales y operadores en ellos y de
la teoría pura de medida e integración en «espacios generales
provistos de med ida», y por otra parte, no perder de vista los
problemas del anál isis clásico y del aplicaclo, a los que prestan
servicio estas ramas mas abstractas de las Matemáticas.
12
Pll E FAC!O
Para resolver esta tarea, en la planificación del libro damos
preferencia a la línea abstracta de estructuración del curso. De
la teoria general de conjuntos (capitulo I) se puede pasar o bien
a los espacios métricos y topológicos y sus aplicaciones continuas
(capítulo JI), o bien, directamente, a Jos espacios (Jrovistos de
medida (sin topología) y a la integración en ellos {capítulo VI).
En los capítulos III y IV se estudian Jos espacios lineales y lo!i
funcionales y operadores lineales en ellos. De estos capítulos :;e
puede pasar directamente al capillllo V (operadores y funcionales
diferencia bles no lineales). En el capítulo VI 11 se estudian los
espacios lineales de funciones sumables. Solamente en los capi·
tulos VII y l X se concentra, de hecho, la atención en las
funciones de variable real. La exposición de la teoría de ecuaciones integra les en el capítulo X está formalmente v inculada
con el segmento [a, b]; pero, se le puede dar, sin modificacione!i
esenciales, una forma más general.
Aunque en nuestro libro se exponen, en primer lugar, los
conceptos generales de la leorla de funciones y del análisis funcional, el lector podrá advertir, en casi todos los capítulos, la
atención que 'se presta a los problemas clásicos contiguos. El
haber incluido en nuestro libro los capítulos VII (teoría de di·
ferenciaci'ón), IX {series trigonométricas e integral de Fourier)
y X (ecuaciones integrales lineales) hace que abarque ahora todo
el programa del curso de Análisis I 1l adoptado en la Universidad de Moscú, menos el cálculo de variaciones. No hemos
incluido este último en nuestro libro, limitándonos a exponer
en el capítulo V los rudimentos del análisis funcional no lineal.
En la nueva edición, lo mismo que en la primera, ocupa un
lugar considerable la teoría gen{'ral de medida. En los últimos
tiempos han aparecido varias exposiciones de la teoría de integración a base del esquema de Daniel!, que no utiliza' el aparato
de la teoría de medida. Consideramos, sin e.mbargo, que la
teor'!a de medida tiene por sí sola suficiente importancia,
Independientemente de si se introduce o no el concepto de
integral, y merece ser incluida en el curso universitario.
Al revisar el libro e incluir en él nuevas secciones hemos
procurado, sin embargo, conservar el es ti lo rela livamente elemental de exposición que, según nos parece, tenla la primera
edición. Esperamos que éste hallará su lugar natural en la ense·ñanza universitaria a la par de otros textos.
A. Kotmogórou
S. Fomí11
CAPITULO
1
ELEMENTOS DE LA TEORIA
DE CONJUNTOS
§ l. C<>NC:E PTO DE. C:ON .1 UNTO.
OPERACIONES SOBR,C CON.JUNTOS
1°. Definiciones pri ncipales. En las Matemáticas tropezamos
constantemente con distintos conjuntos. Podemos hablar del
conjunto de facetas de un poliedro, de. puntos de una recta, del
conjunto de n(nne~os naturales, etc. El concepto de conjunto es
tan amplio que resu lta difícil darle una definición que no se
reduzca a sustituir simplemente Ja palabra «conjunto» por cxpr<.'·
sione-s sinónimas: cúmulo, colección de el emento~. etc.
El cont-epto' de· conjunto desempefla en las Matemáticas mo·
dcrnas un papel de extraordinaria importancia no sülo porque la
propia teoría de conjunt0-~ ha pasado a ser en la actualidad una
disciplina sumamente vasta y enjundiosa. sino, principalmente,
en virtud de la influencia que la teoría de conjuntos. nacida a
fines del siglo pasado, ha ejercido y ejerce sobre todas las Ma·
temátícas. Vamos a enunciar aquí las notaciones fundamentales
y a exponer tirevemente los conceptos primarios de la teoría de
conjuntos que serán utilizados en tos capít-ulos sucesivos.
Designaremos los conjuntos con letras mayúsculas A, 8, ...
y sus elementos con minúsculas a, ú, .. . L11 afirmación de que
«el elemento a pertenece al conjunto A» se denota simbólica·
mente así: aEA o bien A~a; aEA (o bien A~a)significaqut>
el elemento a no pertenece a /\. Si lodos los elementos que com·
ponen el conjunto A pertenece11 también al conjunto B (con la
particularidad de que el caso A= B no está excluido), decimos
que A t'S subconjurito de l conjunto 8 y escribimos A e B. Por
eíemplo, los números enteros forman un subconjunto tlel conjunto
de lodos los números reales.
A veces no sabemos de anl~mano :;i un conju11lo tpor ejemplo,
t>l ninjunto de hi!>. r11íccs de una c-cuación) conlienl' o no por lo
H
CAP. l. E LE"\~ NTOS DE LA TEOl{I A Ulo GO NJUNTOS
e,
menos un elemento. De ahí, la conveniencia de introducir
llamado conjunto vacío, es decir, el conjunto que no contiene 'n:
un elemento. Lo designaremos con el símbolo 0. Cualquier con.
junto contiene 0 como subconjunto.
2°. Operaciones sobre conjuntos. Sean A y B conjuntos arbitrarios; se llama suma o unión A U B de estos conjuntos al conjunto compuesto de todos Jos elementos pertenecientes por Jo
menos a uno de los conjuntos A ó B (fig. 1).
De manera análoga se define la suma de cu a 1quier número
(finito o infinito) de conjuntos: si A. son conjuntos arbi trarios,
es la colección de elementos, cada uno de los
su suma
UA.
a
cua les pertenece por lo menos a uno de los conjuntos A •.
A
ll
C•AnB
FIG. 1
FIG. 2
Llamaremos intersección A íl B de los conjuntos A y /3 al
conjunto compuesto por todos los elementos pertenecientes tanto
al conjunto A como al conjunto B (fig. 2). Por ejemplo, la
intersección del conjunto dl' todos los números pares y del
conjunto de todos los números divisibles por tres está compuesta
por todos los números enteros divisibles por seis. La intersección
de un número cu a lquiera (finito o infinito) de conjuntos A.
es la colección
ílA.
de elementos pertenecientes a cada uno de
A •."
los conjuntos
Por su propia definición las operaciones de suma e intersección son conmutativas y asociativas, es decir, A U B =BU A,
(A u B) u
A u (Bu C). A n B = B ()A, (A() 8)
A() (8 n C).
Además, verifican las siguientes relaciones distributivas:
(AUB)nC=(AílC)U(BnC),
( 1)
(A n B)U C= (A u C) n (Bu C).
(2)
e=
()e=
En efecto, comprobemos, por ejemplo, la primera de e~\as
igualdades"· Supongamos que el elemento x pertenece al con·
§ 1. CONCEPTO DE CONJUNTO. OPERACIONES SOl\RI! CONJ UNTOS
15
junto que figura en la parle izquierda de la igualdad (1):
xE(AUB)nC. Esto significa que X pertenece a e y, además,
por lo menos a uno de los conjuntos A 6 B. Pero entonces x
pertene.ce siquiera a uno de los conjuntos A n C o B n·C, es
decir, figura en la parte derecha de la igualdad considerada.
Viceversa, supongamos quex E (A íl C) U(B íl C). Entonces, x E A íl C
o bien X E B n e' Por consiguiente, X E e y' además, X figura en
A o en 8, es decir, x E A UB. De manera que x E (A U B) ne.
y ta igualdad (l) queda demQstrada. Análogamente se verifica
la igualdad (2).
o
A
8
C=Adfi
FIG. 3
FIG. 4
Definamos la operación de resta de conjuntos. Llamaremos
diferencia A"'-B de los conjuntos A y B a la colección de aquellos
elementos de A que no pertenecen a B (fig. 3). Señalemos que
aquí no se supone que A ::>B. A veces en lugar de A"'-B se
escribe A-8. En algunos casos (por ejemplo, en la teoría de
la me di da) conviene in lroducir la llamada diferencia simétrica de
dos conjuntos A y B que se define como la suma de las difcr('n·
das A"'-B y B"'-A (fig. 4). Denotaremos la diferencia simétrica
de los conjuntos A y B con el símbolo A6 B. De manera que
según la definición,
EJERCICIO. Demostrar que
AAB =(A UB) "- (Aíl8).
En lo sucesivo deberemos consíderar con frecuencia distintos
conjuntos, que todos son subconjuntos de un conjunto principal S,
por ejemplo, diferentes conjuntos de puntos sobre la recta nu·
11 La igualdad de dos conjuntos A= B se entiende como una igualdad
idéntica, es deci r, significa q ue cada elemento de A pertenec~ a B y vice·
versa . En otras palabras, Ja igual dad A= 8 equivale a que se verifie<1 n
ambas inclusiones: A e B y B :::>A .
mérica. En este caso, para tocio conjunto A la diferencia S "'- A
se llama complemento del conjunto A y se denota frecuentemente
mediante CA o bien A'.
En la teoría de los conjuntos y sus aplicaciones desempeña
un papel muy importante el llamado p r in c i pi o de d u a 1 i·
d ad, que se basa en las dos siguientes relaciones:
l. El complemento de la suma es igual a la intersección de
los
complementos
s"'- LJA. = íl (S"'.A.).
a
(3)
<:<
2. El complemento de la intersección es igual a Ja suma de
los complementos
(4)
El principio de dualidad consiste en que de cualquier teorema
referente a un sistema de subconjuntos de un conjunto iíjo S se
puede deducir de manera automática otro teorema," el
teorema dual, sustituyendo los conjuntos considerados por sus
complementos, Ja suma de conjuntos, por su intersección y Ja
intersección, por la suma. Un ejemplo de la aplicación de este
principio nos lo da el teorema 3' del § 2 del capítulo II.
Demostremos la relación (3).
Supongamos que xE s"UA•. Esto significa que X no perlr-
UA.,,
nece a la unión
a
es decir, no figura en ninguno de los
et.
conjuntos A.. Por consiguiente, x aparece en cada uno de los
complementos S" A" y por eso
gamos que
X
En(S"'.A.),
X
En(S"'.A,).
Viceversa, supon-
0.
es decir, que X pertenece a cada S"'. A. ;
<:J.
entonces, x no figura en ninguno de los conjuntos A., es decir,
y por eso x E S"'- LJ A,. La igualno pertenece a la suma
UA.,
u
"
dad (3) queda demostrada. De manera análoga se demuestra la
r.elación (4). (Realícese la demostración).
0
La expresión c dHerencia simétrica• que se emplea para la operac ión
A l;B no es del todo acertada; esta operación es, en muchos aspectos , ~ná­
lpga " la suma de conjuntos A UB. En efecto, A UB significa que U'!imos
dos afirmaciones con el ~o• alternalioo: •el elemento pertenece al conj unto A•
o ·~l elemento per tenece a l conjunto B», m ientras que A6B significa que
unimos !11s mismas atirmaciones con ·el co> no alternatl~'O: el el~men1 C1 x
§ ~- EQUIVALENC.:I,\ l>E CONJUNTOS
17
pcrten~e a AóB si, y sólo si. ligura o bi~n solamel\/e e11 el conjunto A
o bien solamente en el conjunto 8 . El conjunto AóB podría llamarse csumn
módulo dos• de los conjuntos A y 8 (se toma la unión de estos dos con juntos pero los elementos que figuran en ambos se excluyen).
§ 2. EQU IVALENCIA DE CONJUNTOS.
CONCEPTO DE POTENCIA DE UN CONJUNTO
t•. Conjuntos finitos e infinitos. Al considerar diferentes
conjuntos observamos que para algunos de ellos es posible señalar-aunque sea de una manera general y no de hecho - la ~an·
tidad de elementos que los componen. De este tipo es, por
ejemplo, el conjunto de lodos los vértices de un polie.iJro, el
conjunto de todos los números primos inferiores a un n.úmero
dado, el conjunto de todas las moléculas de agua en la Ti'erra,
etc. Cada uno de estos conjuntos contiene un número finito, que
posiblemente desconocemos, de elementos. Por otra parle, existen
conjuntos compuestos por un número infinito de elementos. De
este tipo son, por ejemplo, el conjunto de todos los números
naturales, el conjunto de lodos los puntos de una recta, el conjunto de todos los círculos del plano, el conjunto de todos los
polinomios de coeficientes racionales, etc. Vale subrayar que al
decir que uno u otro conjunto es infinito entendemos que se
puede escoger de él un e lemento, dos elementos, etc., y despué.~
de cada una de estas operaciones en e l conjunto quedarán aún
otros e lementos.
Dos conjuntos finitos los podemos comparar por el número
de elementos que los componen y decidir si este número es el
mismo o si uno de los conjuntos posee más e lementos que otro.
¿Es posible comparar de manera análoga los conjuntos infinitos?
En otras palabras, ¿tiene sentido preguntar qué hay más: círculos
sobre el plano o puntos racionales sobre la recta. funciones defi ·
nidas sobre el segmento [O, 11 o rectas en el espacio, etc.?
Veamos cómo comparamos entre sí dos conjuntos finitos.
Podemos proceder de dos maneras: en primer lugar, podemos
contar el número de elementos de cada uno de estos conjuntos
y comparar así ambos conjuntos. Pero podernos actuar de modo
cii~tlnto, tratando de establecer una correspondencia biw1ívoca
entre los elementos de estos conjuntos, t!s decir, una correspondencia que asigne a cada elemento de un conjunto un
elemento, y sólo uno, del otro y viceversa. Está claro que una
correspondencia biunívoca entre dos conjuntos finitos se puede
establecer si, y sólo si, el número de elementos en ambos
conjuntos es el mismo. Por ejemplo, para ver si coinciden el
número de alumnos en el grupo y la cantidad de sillas en e l
aula, podemos, sin cont ar el número de alumnos y de sillas.
18
CAP. l. i;L F.MENTOS OE LA TE OR IJ\ 0 1! CON .11,;NTOS
senlar a cada alumno en una silla determinada. Si hay l~gar
para todos y no queda ningún asiento sobrante, es decir, s1 se
establece una correspondencia biunívoca entre estos dos conjuntos,
ello significará que tienen el mismo número de elementos.
Señalernes ahora que el i;rimer camino (calculando el número
de elc.>mentos) es válido sólo si se comparan conjuntos fin itos.
mientras que el segundo (estableciendo una correspondencia l>i unívoca) se puede aplicar también a conjuntos infinitos.
2°. Conjuntos numerables. El conjunto infinito más elemental
es el conjunto de los números naturales. Llamaremos conjunto
11umerable a todo conjunto cuyos elementos se puedan poner en
correspondencia biunívoca con todos los números naturales. En
otras palabras , un conjunto numerable es un conjunto cuyos
<>lementos se pueden colocar en .una sucesión infinita: a 1 • a., .. .
. . . , a,,, . .. Veamos algunos ejemplos de con juntos numerables.
1. E l conjunto de todos los números enteros. Establezcamos
la correspondencia entre todos números enteros y todos los números naturales según el esquema siguiente:
o
-1 1 -2 2 ...
J
2 3
4 5 ...
En general, pongamos en correspondencia a cada número no negativo n~O e l número impar 2n + 1 y a cada número negativo
n < 0 el número par 2l nl:
n ~ 2n + I, cuando n ~ O,
11-21 nJ, cuando n < O.
2. El conjunlo de todos los números pares positivos. La correspondencia es evidente: n+-+2n.
~. El conjunto 2, 4, 8 • .. . , 2", . . . de potencias de dos.
Aquí .la correspondencia es también evidente. A cada número
2~ se pone en correspondencia el número n.
4. Consideremos un ejemplo más complejo demostrando que
el c9njunto ·de todos los números racionales es numerable. Cada
númeró racional se puede escribir. de manera única, en forma
de una frace'ión irreducible a = !!..
, q >. O. Llamemos altura del
q
número racional a a la sµma IP l+ q. Está claro que el número
de fracciones de altura dada 11 es finito. Por ejemplo, Ja altura 1
la tiene sólo el número =0, la a ltura 2 la tienen sólo los
números
2' ,
¡-
2
f
T
1
y -; , la altura 3. la tienen sólo los números
T,
- , e t c. eo 1oquemos a hora t odos los numeros
·
·
Y T
raciona1
S ?. EQUIVALENCIA
DE CONJUNTOS
19
les según su altura, es decir, primero los números de altura I,
después los de al tura 2, etc. Cada número racional tendrá entonces
su número, es decir, quedará establecida una correspondencia
biunívoca entre todos los números naturales y todos los números
racionales.
Un conjunto infinito que no sea numerable se llama conjunto
110 numerable. Demostremos algunas propiedades generales de con·
juntos numerables.
I. Todo subconjunto de w1 conjwúo numerable es finito o nu·
merable.
DEMOSTRAc roN. Sea A un conjunto numerable y B un subconjunto suyo. Numeremos todos los elementos del conjunto A ; a 1 ,
ªn• . . . Sean a., a. , . .. aquellos elementos que figuran
en B. Si entre los números' nl' 11,, . . . existe el máximo, B es
finito; en el caso contrario B es numerable.
2. La suma de cualquier conju11/o finito o r1u111erable de conjun·
tos 11umerables es también un conjunto numerable.
ª•· ... ,
DEMOSTR,\CION. Sean A,, A,, ... conjuntos numerables. Podemos
suponer que son disjuntos (sin elementos comunes) dos a dos, ya
que, de lo contrario, considerariamos en su lugar los conjuntos
A,, A,'\,,..4 1 , A3 '\,,.(A,UA 1 ), . . . que son a lo sumo numerables
y que tienen la misma suma que los conjuntos A,. A,, .. . Todos
los elementos de los conjuntos A,, A., ... pueden escribirse en
forma de la siguiente tabla infinita:
ªu
a,, a..
a,,
a,,
Die
ª"
º••
a..
a,,
ª3•
ª•3
O:u
a..
ª~·
ª··
en cuya primera fila aparecen los elementos del conjunto A ,.
en la segunda fila, los elementos del conjunto A 2 , ele. Numeremos ahora todos estos elementos desplazándonos cen diagonaleS»,
es decir, tomando por primero el elemento a 11 ; por segundo, el
e lemento au; por tercero, el elemento aw etc., siguiendo el sen·
!ido que inc1ican las fl echas del siguiente cuadro:
ªu - au au-au
I"
,/
ª"¡
a.,
ª:• ,/ª•3
I"
a., a,.
,/
a..
a., a.,
,/
ª:•
ªu
ª"
20
C:M>. l . ELEMENTOS
DE
LA TEOR IA Dli CONJUNTOS
Está claro que cada elemento de cada conjunt-0 recibirá entonces un número determinado, es decir, quedará establecida una
correspondencia biunívoca entre todos los elementos de todos los
conjuntos A" A,, ... y lodos los números naturales. Nuestra
afirmación resulta demostrada.
Demostrnr que rl conjunto de todos los pol inomios cull
rncionates es num•ru ble.
2. El númtro s.. denoinln~ algebruico si es rail . d1< un polinomio con
cuc!icient•s rncinn11les. Demostrar q ue el conjunt o d., lodos los números
nlgcbr:oicos es numerable.
3. l..ll•moslrnr que el conju1110 de todos los intervalos racio11n les (•s dl-<:ir.
intorvalos con exlrt>n10s r:icinnnlcs) sobre la rect a es nuinernble
4. Demostrar que el conjunto de todos los puntos del rinno que ticne11
1:001·dennd11s reales E>S nnmernbl e.
St1Reu11cin. Empl~•se In pro¡>ledad 2.
l!J llR CICIOS 1.
coc!ici~nl•s
s
:t Todo co11ju11/o inf inilo contie11e un subconjunto numerable.
oeMosr11Ac10 N. Sea M un conjunto infinitio. Tomemos en él un
elenwnto cualquiera a 1 • Por ser M un conjunto infinito encontraremo.~ en él un elemento a~ distinto de a,, después el elemento a,
d istinto de a, y ª~· cte. umtinuando este proceso (que no podrá
interrumpirse por «falla» de elementos ya que M es infinito)
obtendrenfos un sub<:onjunto numerable·
A = (a, , a,, .. . , a,,, .. . }
d<'l conju nto M. Hemos demostrado la afirmación.
Esll' resultado señala que los conjuntos numerables son los
«más pequeñoS> dit los conjuntos infinitos. El problema sobre la
existencia de conjun tos infinitos no numerables será considerado
más adela nte.
3°. Equivalencia de conj untos. Buscando una correspondencia
biunívoca eqtre unos u otros conjuntos infinitos y los números
nahjra\és; hemos llegado al concepto de conjunto numerable.
Está clar·o que de manera análoga pueden . cómpararse los
conjunlQS no sólo con el conjunto de números naturales; este
procedimiento permite comparar entre sí dos conjuntos cualesquiera. Introduzcamos Ja siguiente definición.
DEF1N1c10N. Dos conjuntos M y N se llaman equivalentes (lo que
se denota mediante M ,..., N) si entre sus elementos se puede
establecer una correspondencia biunívoca.
El concepto de equivalencia puede aplicarse a cualesquiera conjuntos tanto finitos como inlinitos. Dos conjuntos finitos son equi·
va lentes entre si si (y sólo si) tienen el mismo número de e lementos.
El conjunto numerable se puede ahora definir del sigu iente modo:
§ 2. 1>QUIVAl.EKClA l)f CONJliKTOS
21
un con¡un:ta, se llama numerable si es eq11ival.ente al con¡unto de
los nútneros -naturales.
Está daro. que dos· conjuntos. equivalentes cada uno a un
tercer· conjunto, .son equivalentes entre sí; én particular, todos
los coµjuntos numerables son equivalentes entre sí.
Ejemplos. 1. Los conjuntos de puntos de dos cualesquiera
segmentos [a, b) y [e, d] son equivalentes entre sí. En la fig: 5
se seña,la. cóñ10 se puede establecer una correspondencia biunívoca
entre ellos: los puntos p y q· corr.esponden uno ,lll otro si se
hallan sobre un mismo radio que parte del punto O donde se
cruzan las rectas ac y bd.
2. El conjunto de-. todos los puntos del plano complejo .es
equivalente al conjunto d<"' todos los puntos sobre una esfera.
o
FICi. 5
FIG. ti
La correspondencia biunívoca o: - z puede establecerse, por ejemplo, mediante la proyección estereográfica (fig. 6).
3. El conjunto de todos los números del intervalo (O, 1) es
equivalente al conjunto de todos los puntos de la recta. l.u
correspondencia se puede establecer, por ejemp lo, mediante la
función
Al considerar los ejemplos de este punto y del punto 2° po·
demos observar que, a veres, un conjunto infinito puede resultar
equivalente a una parte propia. Por ejemplo, resulta haber «tan·
tos• números naturales como números enteros o incluso racionales;
el intervalo (O, 1) tiene «tantOS» puntos como los tiene la recta,
ele. Esta situación es característica para todos los conjuntos
infinitos. En efecto, en el punto 2° (propiedad 3) hemos demostrado que de todo conjunto · infinito M se puede elegir un
subconjunto numerable; supongamos que ésle sea el conjunto
A={a 1, a'lt . . . , ªn• ... ~ .
Dividamos A en dos subconjuntos nurnerab1es
A 1 = {a,. a,,"• ... } y A.= {a •• a,, a,, ... f.
22
C,\P. l. El.E.'l!;NTOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS
Entre los conjuntos numerables A y A, se puede establecer una
correspondencia biunívoca que se puede extender luego hasta una
correspondencia biunívoca entre Jos conjuntos A U (M"'-.A) = M
y A 1 U (M "'-.A) = M "-. A, refiriendo a cada elemento de M "'-. A
ese mismo elemento. El conjunto M"'-.A, es un subconjunto propio
del conjunto M. Llegamos de esta forma a la siguiente propo·
sición:
Todo con¡u11to i11finito es equivalente a u11 subconjunto propio.
Esta propiedad se puede tomar como Ja definición de un
conjunto infinito.
EJERCICIO. Demostrar que si eudo M un conjunto infinito arbitrario y A
numerabl e. result a M-A UA.
4°. Innumerabilidad del conjunto de los números reales. En
el punto 2° hemos visto varios ejemplos de conjuntos numerables.
La ca ntidad de estos ejemplos se puede ampliar considerable·
mente. Además, hemos demostrado que tomando la suma finita
o numerable de conjuntos numerables obtendremos de nuevo
conjuntos numer ables. Surge naturalmente la pregunta ¿existen
conjuntos infinitos no numerables? La respuesta afirmativa la da
el siguiente teorema .
TEOREMA 1. El conjunto de números reales comprendidos entre el
r cero !! la unidad es innumerable.
Supongamas que existe una lista (de todos o una
parte) de Jos números rea les cr., pertenecientes al segmento (O, l ]:
DEMOSTRAc 10N.
ce, = O, a 11a."a 13
• • • a,,, . .. ,
~z = O, ªi1ª~:!ª2:l · · · ª~" · · ·,
a3 =O, as,ªs•ª33 · · · a~,, · · ·,
a~~ o: a~ 1~,,.~n3°
• : •
~"~
• •• • :
·¡
(1)
1
. . . . . . . . . .J
Aqu í a1" es Ja k-ésima cifra decima l del número a¡. Considere111os la fracción
~ = O, b,b., ... bn • · •
construida del siguiente modo: b, es una cifra arb itraria distinta
de a 11 ; bz es una c ifra arbitraria distinta de aw etc., en general,
b" es una cifra arbitraria distinta de
Esta fracción decima l
no puede coim:idir con ninguna de las que figuran en la lista (l).
En efecto, la fracción ~ se di stingue de la fracción et, al menos
a,,,,.
S 2. 1'.Qt.! lVAL E'KCI A DE CON JU NTOS
23
por su primera cifra; de la segunda fracción, por su segunda
cifra, etc.; en general. puesto que b" =F ª"" para todo n, la frac·
ción . ~ se distingue de cualquiera de las fracciones a; que figuran
en la lista (1). Luego, ninguna lista de números reales pertenecientes al segmento (O, l.] puede consumirlo.
La demostración expuesta necesita una pequeña precisión
puesto que algunos números ( concretamente los números de la
forma: ~9 ) pueden tener dos representaciones decimales: bien con
1
un número infinito de ceros o bien con un número ínfinito de
nueves; por ejemplo:
1
5
2=10=0,5000 ... = 0,4999 .. .
Por consiguiente, el hecho de que dos fracciones decimales
no coincidan no significa todavía que re presentan números dis·
tintos.·
Sin embargo, si la fracción ~ se construye de manera que no
contenga ni ceros ni nueves, (tomando, por ejemplo, b,. = 2, si
a,.n= 1, y b,.= J, si a,,,.=F 1) esta objeción quedará superada.
E J ERCICIO. DemostrM que los núm~ros que t ienen dos d istint as re presentacione$ decimales forman un tonjunto numerable.
De manera que el segmento (O, 1J ofrece un ejemplo de un
conjunto infinito no numerable. Veamos algunos ejemplos de
conjuntos equivalentes al conjunto form ado por los puntos del
segmento [O, 1J.
1. El conjunto de todos los puntos pertenecientes a un segniento [a, b] o intervalo (a, b) cualquiera.
2. EL conjunto de todos los puntos de la recta.
3. Los conjuntos de todos los puntos del plano, del espacio,
de Ja superficie de una esfera, de los puntos que se encuentran
dentro de una esfera, etc.
4. El conjunto de todas las rectas del plano.
5. El conjunto de todas las funciones continuas de una o varias
variables.
En los casos 1 y 2 la demostración no ofrece dificultades
(véanse los ejemplos 1 y 3 del punto 3°). En los demás caso:;
la demostración directa no es tan sencilla.
EJERCICIO. Demostrar. aprovecha ndo
ejercicio 2 del punto 2°, la existencia
de niímeros no a Jgebraic.os.
los resultados de este punto y del
números trascmdentcs. es decir.
d~
24
C:,\I>. l . ELEMEN TOS O E l
~ TEOI~ I A
DE CONJ UN TOS
5°. Concepto de potencia de un conjunto. Si dos conjuntos
son equivalentes, tienen el mismo número de elementos.
Cuando dos conjuntos equivalentes entre si M y N son ar b it r arios se dice que M y N tienen la misma potencia. Así pues,
la potencia es aquello co rn ú n que tienen todos los conjuntos
equivalentes entre sí. En el caso de conjuntos finitos el concepto
de potencia coincide con el concepto habitual del número de
elementos del conjunto. La potencia del conjunto de los números
natura les (es decir, de cualquier con junto numerable) se denota
mediante el símbolo H~ (se lee "alef cero"). Los conjuntos equivalen tes
al conjunto de todos los números naturales comprendidos entre O y
J se dice que tienen potencia de co11tinuo. Esta potencia se denota
mediante el símbolo e (o el símbolo H).
En las observaciones que concluyen este capitulo tocamos el
problem<t, muy profundo, de la existencia de potenci<1s intermedias entre H, y c. Como regla gener<1I, los conjuntos infinitos
que se emplean en el análisis son numerables o tienen potencia
de continuo. En el caso de las potencias de conjuntos fi nitos. es
deci r, en el caso de los números naturales, tenemos, además del
concepto de igualdad, los conceptos de «J'TláAA y «menOS». Veamos
cómo pueden extenderse estos últimos al caso de potencias in-
r in i tos
finita~.
Sean A y 8 dos conjuntos arbítrarios y /11 (A) y m (8) sus
potencias. Si A es equivalente a B, m (A) = m (8) por defin ición.
Sí A es equi va lente a una parle de l conjunto B y A rto contiene
ninguna parte equivalente a 8 , se acepta, naturalmente, que
m (A) es menor que m(B), es decir, m (B) es mayor que m (A).
Sin embargo, existen. lógica mente, o tras dos posibilidades, además de las mencionadas:
<1) 8 contiene una parte equivalente a A y A contiene una
parte equivalente a 8.
b) A y 8 no son equivalen tes y ninguno posee una parte
equivalente al otro.
Del teorema de Cantor~ Bernstein, que se expone en e l
siguiente punto, se desprende que en e l caso a) los conjuntos A
y B son equivalentes, es decir tienen potencias iguales. En cuanto al caso b), que equivaldría a la existencia de potencias
incomparables, resulta que no puede realizarse. Esto se deduce
del teorema d<i Zermelo que e nunciamos en e l § 4.
De lo anterior resulta (si aceptamos sin demostración los
teoremas de Cantor - Bernstein y de Zermelo) que dos .conjuntos
ar bíirarios A y 8 o bien tienen la mism.a potencia o bien veri·
íican una de las re laciones
m ( A ),,. m (8) o m CA) > m (8).
§ 2. CONCEPTO UE
l'OTENCI.~
·OE UN CON.llJNTO
25
Hemos señalado más arriba que los conjuntos numerables son
los •más pequeñoS» entre los conjuntos infinitos y hemos demostrado luego que existen conjuntos infinitos de potencia superior:
los conjlUllOS de potencia de continuo. ¿Existen potencias infinitas superiores a la potencia de continuo? En general, ¿existe
o no una potencia cmáxima»? R,esulta que tiene lugar el siguiente
teorema:
rrroREMA 2. Sea M un conjunto cualquiera y \).R el conjunto for~
mado por todos los subconjuntos del c01i¡unto M. Entonces. la
1 potencia de \Dl es superior a la potencia del conjunto inicial M .
DEMOST~Ac1oc-:. Es fácil ver que la potencia m del conjunto ~l nó
puede ser inferior a la potencia m del conjunto inicial M; en
efecto, los subconjun tos de M formados por un solo elemento
representan en rol un subconjunto equivalente al conjunto M.
Basta demostrar que las potencias m y m no coinciden. Supongamos que entre los e lementos a, b, . . . del conjunto M y algunos elementos A. B, ... del conjlUlto 9.lt (es decir, algunos
subconjuntos de M) se ha logrado establecer una correspondencia
biunívoca:
a-A. b +-+B, .. .
Demostremos que esta correspondencia no puede consumir todos
Jos subconjuntos del conjunto M, es decir, todos los elementos
del conjunto IDt Sea X la colección de elementos de M que no
pertenecen a los subconjuntos que les corresponden . .Más detalladamente: si a H A y a E A, el elemento a no se incluye en X,
pero si aH A y aE A, el elemento a se incluye en X. Es eviden te que X representa un subconjunto de M, es decir, un elementp de llJt Demostremos que al s