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Clase Números Aprendizajes esperados • Identificar pertenencia de números a los conjuntos numéricos. • Reconocer los números a través de sus características. • Comparar distintos tipos de números. • Aplicar conceptos aritméticos (números primos, pares, impares, múltiplos y divisores). • Transformar decimales a fracciones y viceversa. • Aplicar características numéricas en la resolución de problemas. Pregunta oficial PSU 14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre I) divisible por 3. II) divisible por 6. III) divisible por 9. Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) solo I. solo II. solo I y III. solo II y III. I, II y III. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010. 1. Conjuntos numéricos 2. Definiciones 3. Orden 4. Transformaciones 5. Propiedades 1. Conjuntos numéricos • Naturales: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …} • Cardinales: IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} • Enteros: Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} • Racionales: Q= a / a y b son enteros, y b es distinto de cero b Todo número entero es racional a: numerador y b: denominador IN IN0 Z Q • Irracionales: Q* = ..... 3, 2, , Son aquellos números que NO se pueden escribir como una fracción ,.... Q Q* = Q Q* = IR 1. Conjuntos numéricos Los números racionales pueden expresarse como fracciones o como números decimales: 15 NO es racional. 0 Racional Fracción Decimal numerador menor que el denominador Propia Finito numerador mayor que el denominador Impropia Periódico número entero más fracción Número mixto Semiperiódico Ej: 0,04 Ej: 0,444… Ej: 0,244… 1. Conjuntos numéricos IN IN0 Z Q Q* R IN IN0 Z Q IR C II C 2. Definiciones Consecutividad numérica • Sucesor Todo número entero tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Si n pertenece a ℤ, su sucesor será (n + 1). • Antecesor Todo número entero tiene un antecesor y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a ℤ, su antecesor será (n – 1). Enteros consecutivos (n – 1) antecesor n (n + 1) sucesor 2. Definiciones Paridad e imparidad • Números pares {.., – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…} • Números impares {.., – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5,…} Múltiplos Los múltiplos de un número natural son aquellos que se obtienen al multiplicarlo por algún otro número natural. Por ejemplo: Múltiplos de 4: {4, 8, 12, 16, 20, …} Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, …} 2. Definiciones Divisores Los divisores de un número natural son aquellos números naturales que lo dividen exactamente (división con resto cero). Por ejemplo: Divisores de 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Divisores de 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Números primos Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí mismos (solo tienen 2 divisores). {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…}. El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor. 2. Definiciones Mínimo común múltiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide cada número por números primos hasta que en cada columna quede 1. El producto de ellos corresponde al m.c.m. entre 3, 6 y 15. 3 6 15 3 1 2 5 2 1 5 5 1 m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 = 30 2. Definiciones Máximo común divisor (M.C.D.) El máximo común divisor de dos o más números, corresponde al mayor de los divisores que tienen en común. El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. La multiplicación de estos primos es el M.C.D. 36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4 M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6 3. Orden Comparación de fracciones Igualar denominadores Multiplicación cruzada Se amplifican las fracciones hasta igualar denominadores. Luego se comparan los numeradores. Se multiplican cruzados numeradores y denominadores, y luego se comparan estos productos. Ejemplo: Al comparar 13 15 y 7 12 13∙4 15∙4 y 7∙5 12∙5 52 60 y 35 60 Como 52 > 35, 13 7 > 15 12 Ejemplo: 13 7 y 15 12 13 ∙ 12 y 15 ∙ 7 Al comparar 156 y 105 Como 156 >105 , 13 > 7 15 12 4. Transformaciones • De número mixto a fracción impropia Se debe multiplicar el número entero por el denominador, luego a este producto se le suma el numerador. Este resultado pasa a ser el nuevo numerador y el denominador se mantiene. Ejemplo: 8 3 8· 5 3 5 5 43 5 • De fracción a decimal Se debe dividir el numerador por el denominador. Ejemplo: 7 1,75 4 4. Transformaciones • De decimal finito a fracción El numerador, de la nueva fracción, corresponde al decimal pero sin coma. El denominador es una potencia de 10 con tantos ceros como decimales tuviera el racional a transformar. Ejemplo: 1,75 175 25·7 7 100 25·4 4 • De decimal periódico a fracción 1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplos: 2, 35 235 2 233 99 99 Se llama período al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente. 4. Transformaciones • De decimal semiperiódico a fracción 1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del anteperiodo. 2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el anteperiodo. Ejemplo: 3,214 = 3.214 – 32 = 3.182 990 990 Se llama anteperiodo a los números que hay entre la coma decimal y el período. 5. Propiedades Valor absoluto El valor absoluto de un número representa la distancia del número al cero en la recta numérica. Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del (– 5) al origen. La notación es: |5| = 5 y |– 5| = 5 0 -5 Ejemplo: 5 unidades |– 20| = 20 5 5 unidades |34| = 34 |– 12| = 12 5. Propiedades Si a, b y c son números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades: Conmutatividad a+b=b+a a∙b=b∙a Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c Distributividad a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c Elemento neutro aditivo a+0=0+a=a a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c 5. Propiedades Elemento neutro multiplicativo a∙1=1∙a=a Elemento absorbente de la multiplicación a∙0=0∙a=0 Inverso aditivo (opuesto) El inverso aditivo (opuesto) de a es (– a) Inverso multiplicativo (recíproco) 1 Si a ≠ 0, el inverso multiplicativo (recíproco) de a es a Pregunta oficial PSU 14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre I) divisible por 3. II) divisible por 6. III) divisible por 9. Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) solo I. solo II. solo I y III. solo II y III. I, II y III. ALTERNATIVA CORRECTA A Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010. Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática Habilidad 1 D Conjuntos numéricos Análisis 2 C Conjuntos numéricos Análisis 3 B Conjuntos numéricos Análisis 4 C Conjuntos numéricos Análisis 5 E Conjuntos numéricos Análisis 6 E Conjuntos numéricos Análisis 7 A Conjuntos numéricos Comprensión 8 E Conjuntos numéricos Aplicación 9 B Conjuntos numéricos Aplicación 10 C Conjuntos numéricos Aplicación 11 D Conjuntos numéricos Aplicación 12 D Conjuntos numéricos Aplicación Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática Habilidad 13 C Conjuntos numéricos Análisis 14 D Conjuntos numéricos Análisis 15 E Conjuntos numéricos Análisis 16 B Conjuntos numéricos Análisis 17 D Conjuntos numéricos Comprensión 18 B Conjuntos numéricos Conocimiento 19 E Conjuntos numéricos Análisis 20 D Conjuntos numéricos Análisis 21 C Conjuntos numéricos Análisis 22 C Conjuntos numéricos Análisis 23 E Conjuntos numéricos Análisis 24 B Conjuntos numéricos Evaluación 25 A Conjuntos numéricos Evaluación Síntesis de la clase NÚMEROS Conjuntos numéricos Definiciones número impar Q Q* 9 R II C múltiplos {9, 18, 27,…} Orden (n – 1) n (n + 1) divisores {1, 3, 9} número par múltiplos {2, 4, 6,…} IN IN0 Z Q 2 divisores {1, 2} número primo 3 5 7 2 6 35 Síntesis de la clase NÚMEROS Transformaciones 135 100 50 0, 5 9 531 53 5,31 90 1 6·5 1 31 5 5 5 Propiedades 1,35 6 Elemento neutro aditivo y elemento absorbente multiplicativo en N0 Inverso aditivo (opuesto) en Z Inverso multiplicativo (recíproco) en Q Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Operatoria Equipo Editorial Matemática