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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 8
PRÁCTICA 8 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica, aprenderemos cómo utilizar los comandos [ref] y [rref] del menú
secundario [Matriz – Calcular ►] de los menús [Acción] e [Interactivo] de la Aplicación
Principal para resolver algunos problemas sobre espacios vectoriales con ayuda de la
calculadora ClassPad 300 PLUS.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado los temas relativos al
tópico Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales. Bases, Dimensión y Cambios de
Base en un Espacio Vectorial de Dimensión Finita.
8.1 Dependencia e independencia lineal.
Operación con la ClassPad
1.
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione [ON/OFF]
para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(4) Toque
[Preferencias ►] [Adm. de variable] para acceder al administrador de variables. Toque
main dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.]
[Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación
Principal.
2.
Se desea determinar si la familia formada por los vectores:




a  (1, 1, 3, 4, 5,  4) ; b  (2, 2, 5, 0, 4,  4) ; c  (3, 3, 7,  4, 3,  4) ; d  (0, 0, 1, 1, 0, 1)
es linealmente independiente (LI) o linealmente dependiente (LD) en R 6 . En caso de ser LD se
pide extraer una subfamilia LI con el mayor número posible de vectores y escribir cada uno de
los vectores restantes como combinación lineal de los vectores de la subfamilia.
Tenga presente que la familia de vectores es LI si y sólo si el sistema de ecuaciones lineal homogéneo


  
xa  yb  zc  td  o (I) es compatible determinado, es decir, que tiene como única solución, la trivial. En
caso contrario, si el sistema homogéneo es compatible indeterminado, la familia es LD.
Operación con la ClassPad
3.
(5) Active el teclado virtual 2D.
(6) Registre la matriz de las componentes, respecto a la base canónica de

  
R 6 , de los vectores a , b , c y d . Toque [Ejec].

Recuerde que esta matriz tiene por columnas las componentes de los
cuatro vectores.
(7) Toque [Acción] [Matriz-Calcular ►] [ref] [ans] [Ejec] para obtener la
matriz escalonada reducida equivalente.

A partir de la información contenida en la pantalla (Figura 1) de su
calculadora responda las siguientes preguntas:
Prof. Robinson Arcos
78
Figura 1
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4.
Explique por qué el sistema (I) es compatible indeterminado.
5.

 

Explique por qué el sistema xa  yb  td  o (II) es compatible determinado.
Práctica 8
¿Qué puede concluir de lo anterior?
6.
Operación con la ClassPad
7.
(8) Utilice el comando [rref] para hacer ceros por encima de los pivotes de

 

esta matriz y deducir la solución única del sistema xa  yb  td  c .

Realice ahora la siguiente actividad:
Figura 2


 
Escriba el vector c como CL de los vectores a , b y d . Verifique el resultado.
8.
9.
En cada caso, indique si la familia de vectores dada es LI o LD. En caso de ser LD
determine una subfamilia LI con el mayor número de vectores posibles y luego escriba cada uno
de los demás vectores como combinación lineal (CL) de los vectores de la subfamilia. Verifique
finalmente el resultado:



a  (1, 2, 3) ; b  (3,  2, 4) ; c  (8, 1, 1)



b) a  (1, 1, 1, 1, 1, 1) ; b  (0, 0, 0, 0, 0, 0) ; c  (2, 2, 2, 2, 2, 2)




c) a  (0, 0, 2, 1, 1) ; b  (0, 0, 1, 2, 1) ; c  (0, 0, 0, 3, 1) ; d  (0, 0, 1,  4,  1)
a)
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10.
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Práctica 8
a)
b)
c)
8.2 Rango y nulidad de una matriz.
El rango ( A) de una matriz A es el número de pivotes que se obtiene al aplicar eliminación
gaussiana a la matriz. La nulidad ( A) de la matriz A es la diferencia entre el número de columnas de la
matriz y su rango. Si (A)  0 , la matriz A es regular y los vectores de sus columnas son LI. Si (A)  0 , la
matriz A es singular y los vectores de sus columnas son LD.
11.
Determine en cada caso el rango y la nulidad de cada una de las siguientes matrices:
1
0

0
a) 
0
0

2
0 0 0 0 2
1 0 0 2 0
0 1 2 0 0

0 2 1 0 0
2 0 0 1 0

0 0 0 0 1
1
1
1 1 1
2 4 8 16
32
c) 
3 9 27 81 243

 4 16 64 256 1024
12.
1 
64 
729 

4096 
a)
b)
c)
d)
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80
1
2
b) 
3

4
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8

5 6 7 8 9
1
1
d) 
1

1
6
3 5 7 9 11
4 7 10 13 16 

5 9 13 17 21
2 3
4
5
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8.3 Bases y dimensión de un subespacio vectorial generado por una familia de
vectores.
13.
Considere la siguiente familia F de matrices en M2,2 :
 4  5
2  2
6  3
4  1
, M2  
, M3  
y M4  
M1  




2 6 
1 3 
3 9 
5 6 
a) Registre la matriz M de las componentes de las matrices de la familia F respecto a la base
canónica de M2,2 .
b) Aplique el comando [ref] a la matriz M y explique por qué las matrices de F son linealmente
dependientes en M2,2 .
c) Se sabe que las matrices cuyas componentes en la matriz M corresponden a las columnas
que presentan los pivotes unitarios en la matriz escalonada reducida, forman una base para
el subespacio generado por los vectores de F. Aplique el comando [rref] a la matriz
escalonada reducida y escriba las demás matrices que no pertenecen a la base como
combinación lineal de las matrices de la base.
14.
a)
M=
b)
c)
Considere la familia F de polinomios en P5 : p 1(x )  1  6x  3x 2 , p 2 (x )  x  x 5 ,
15.
p 3 (x )   x 2  x 4 , p 4 (x )  x 3 , p 5 (x )  2  x  x 3 y p 6 (x )  x 4  x 5 .
a) Dé una explicación sobre por qué F es una base de P5 .
b) Escriba el polinomio p(x )  3  4x  2x 2  4x 3  x 4  3x 5 como combinación lineal de los
polinomios de F y verifique el resultado.
c) ¿Cuál es la matriz de las componentes de p(x) en la base F?
16.
a)
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b)
c)
a) Encuentre la dimensión y una base B del subespacio vectorial E generado por los
vectores de la siguiente familia denotada por F:
17.



a  (1, 2, 1, 2, 1, 2) b  (1,  1, 2, 1, 1,  1) ; c  (1,  4, 3, 0, 1,  4) ;



d  (1, 5, 0, 3, 1, 5) ; e  (0, 3,  1, 1, 0, 3) ; f  (0, 1, 1, 2, 1,  1)
a)
Para ello registre la matriz M de las componentes de los vectores de la familia respecto a la
base canónica de R 6 , y encuentre la matriz escalonada reducida equivalente a M.
b) A partir de la información suministrada por la matriz escalonada reducida, indique cuántas
bases es posible formar con los elementos de F, y descríbalas.
c) Escriba la matriz de las componentes, con respecto a la base B, de los vectores de F que no
forman parte de la base B.
18.
a) M =
b)
c)
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8.4 Base y dimensión de un subespacio vectorial definido por un sistema de
ecuaciones lineales homogéneas.
19.
a) Encuentre la dimensión y una base del conjunto de soluciones del sistema de
ecuaciones lineales AX = O ( I ) con:
1
 1 2 0

A   1 2
2
5 
 2  4  2  4
b) Encuentre la dimensión y una base del conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones
lineales A´X = O ( II ) con:
3  6  4  9 
A   5  10  4  7
 1  2  2  5
c) Explique por qué ambos sistemas son equivalentes.
20.
a)
b)
c)
8.5 Sistema de ecuaciones lineales homogéneas de un subespacio vectorial
generado por una familia de vectores.
21.
El problema a resolver consiste en encontrar un sistema de ecuaciones lineales
homogéneas AX  O que tenga por conjunto solución el subespacio generado por los vectores
de la familia F de R 6 :



a  (1, 2, 1, 2, 1, 2) ; b  (1,  1, 2, 1, 1,  1) ; c  (1,  4, 3, 0, 1,  4) ;



d  (1, 5, 0, 3, 1, 5) ; e  (0, 3,  1, 1, 0, 3) ; f  (0, 1, 1, 2, 1,  1)
Si B es la matriz de las componentes de los vectores de la familia F, respecto a la base canónica de
6
R , la matriz incógnita A tiene por filas una base del conjunto solución del sistema trn(B)X  O .
Prof. Robinson Arcos
83
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Operación con la ClassPad
22.
(9) Borre la pantalla.
(10) Registre los elementos de la matriz B de
las componentes de los vectores de la
familia F con respecto a la base canónica
de R 6 .
(11) Asígnele la variable matricial B a esta
matriz y toque [Ejec].
Figura 3
Figura 4
Ahora encontremos una base del conjunto de soluciones del sistema trn(B)X  O . Para ello
primeramente trasponemos la matriz B.
(12) Toque [Acción] [Matriz – Crear ►] [trn] [B] [Ejec] (Figura 3).
(13) Reduzca la matriz traspuesta a la matriz escalonada reducida para encontrar los pivotes (Figura 4).
¿Cual es la dimensión del conjunto de soluciones del sistema?
23.
(14) Copie la matriz y péguela en la línea de entrada.
(15) A partir de esta matriz construya una matriz ampliada agregando los
pivotes y sus respectivas columnas, a fin de resolver el sistema y
asígnele la variable matricial M.
(16) Toque [Ejec].
(17) Toque [Acción] [Matriz-Calcular ►] [rref] [M] [Ejec].
(18) Toque en la pantalla ► para visualizar los vectores base del conjunto
de soluciones del sistema trn(B)X  O .

24.
Figura 5
Responda a cada una de las siguientes preguntas:



a) ¿Forman los vectores u  (3,3,5,4,0,0) , v  (1,1,3,0,4,0) , w  (5,1,3,0,0,2) una base
del conjunto solución del sistema trans(B)X = O?, ¿por qué?
b) ¿Cuál es el sistema de ecuaciones asociado al subespacio vectorial generado por los
vectores de la familia F?
A=
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


Sistema: 


84
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
(19) Registre la matriz A cuyas filas son las componentes de los vectores u ,


v y w y asígnele la variable matricial A.
(20) Toque [Ejec].
(21) Calcule el producto AB para comprobar que todos los vectores de F son
soluciones del sistema AX  O .
Figura 6
8.6 Cambio de base para un vector.
Cada espacio R n tiene una base especial: la base canónica. Al conocer un vector, se conocen
inmediatamente sus componentes con respecto a esta base. Por ejemplo, la matriz de las componentes del
 0 
 5

4
vector u  (0,5,6,10 ) , con respecto a la base canónica de R es U    . Pero si se escoge otra base, el
 6 
 
 10 

mismo vector u , le corresponde otra matriz U . Se sabe que U  PU donde P es la matriz de cambio de
la base canónica a la nueva base.
25.
Considere la familia formada por los vectores:




B =( a  (1, 0, 0, 0) , b  (2, 1, 0, 0) , c  (3, 2, 1, 0) , d  (4, 3, 2, 1) )
a) Explique por qué B es una base de R4.
b) P es la matriz de cambio de la base canónica de R 4 a la base B y Q  P 1 es la matriz de
cambio de la base B a la base canónica de R 4 . Encuentre las matrices P y Q.

c) Determine la matriz de las las componentes del vector u en la base B y verifique el
resultado.


 

d) Encuentre las componentes del vector v  3a  5b  2c  d en la base canónica de R 4 .




e) Explique por qué la familia B  (a  (0, 1, 0, 0), b  (1, 1, 0, 0), c  (1, 0, 0, 1), d  (0, 1, 1, 0)) es una
base de R 4 .
P es la matriz de cambio de la base canónica a la base B y Q  P 1 es la matriz de
cambio de la base B a la base canónica. Encuentre las matrices P y Q  .

g) Determine las componentes del vector u en la base B y verifique el resultado obtenido.
f)
h) Encuentre la matriz R de cambio de la base B a la base B y la matriz S = R–1 de cambio de la
base B a la base B.
26.
a)
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b)
P
Q=
c)
U=
UB 
d)
VB 
V=
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e)
f)
P 
g)
UB 
h)
R
BB
Q 

S  
BB
9.7 Cambio de base en un subespacio vectorial.
27.
a)
b)
c)
d)
Considere la familia F formada por los vectores:




a  (1, 1, 1, 1, 1) , b  (0, 1, 0, 1, 0) , c  (1, 0, 1, 0, 1) , d  (1,  1, 1,  1, 1)


Verifique que los vectores a y b forman una base B del subespacio E generado por los
vectores de la familia F.


Verifique que también los vectores c y d forman una base B del subespacio E generado
por los vectores de la familia F.


Encuentre las componentes de los vectores c y d con respecto a la base B.


Encuentre las componentes de los vectores a y b con respecto a la base B .
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86
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Práctica 8
e) Escriba la matriz de cambio R de la base B a la base B y la matriz S de cambio de la base
B a la base B.
28.
a)
B =
b)
B 
c)
MB 
e)
R
BB

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d)
MB 
S  
BB
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