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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
PREPARATORIA 13
EXAMEN DIAGNOSTICO
Resuelve cada uno de los ejercicios.
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1. −4 + 8 =____________________
2
10. Si recorro 3 3 km para llegar al mercado,
1
2. −2 − 8 =____________________
3. −14 + 6 =___________________
4. 7 + 14 =_____________________
y de ahí al templo recorro2 4 y después
del templo regrese a mi casa, si en total
2
recorrí7 5km.
¿Qué distancia hay del templo a mi
casa?
5. (3 + 4 ÷ 2) − 5 =______________
6.
7.
1
3
4
2
4
6
3
+ 2 − 2 − 2 + 2=______________
2
+ 3=________________________
6
4
2
3
8. (3) (5) ( − 2) = ____________
9.
4
5
3
1
÷ 2 ÷ 7 =__________________
LEYES DE LOS SIGNOS
Suma y Resta
11. Tengo dos metros de tela con el cual el
25% de ella la utilizare para realizar una
blusa y con el 75% realizare un vestido si
desperdicié 3% de la tela al realizar la
blusa y 5% al realizar el vestido, ¿Qué
cantidad de tela se desperdició en total,
exprésalo en cm?
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1. si los números tienen el mismo signo se suman y en resultado se deja el mismo signo.
3 + 5 = 8
−3 − 5 = − 8
2. si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del
número con mayor valor absoluto.
−3 + 5 = 2
3 −5= − 2
Multiplicación y División




+ 𝑝𝑜𝑟 + = +
−𝑝𝑜𝑟 − = +
+ 𝑝𝑜𝑟 − = −
−𝑝𝑜𝑟 + = −
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(2)(5) = 10
(−2)(−5) = 10
(2)(−5) = − 10
(−2)(5) = − 10
(10)(5) = 2
(−10)(−5) = 2
(10)(−5) = − 2
(−10)(5) = − 2
La ley quedaría establecida como, signos iguales dan positivo, signos diferentes dan
negativo. Y se aplica de la misma forma para la división.
Jerarquización de operaciones y uso de paréntesis
Cuando se agrupan varios números u operaciones, es importante conocer el orden o
jerarquía en que deben resolverse para obtener un resultado correcto.
Ejemplo:
Para resolver 3 𝑥 6 + 4.
Podría interpretarse como: 3 𝑥 (6 + 4) = 3 𝑥 10 = 30.
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O bien, como:(3 𝑥 6) + 4 = 18 + 4 = 22
De igual manera, 8 𝑥 3 + 5 se podría interpretar como:
8 𝑥 (3 + 5) = 8 𝑥 8 = 64o también como (8 𝑥 3) + 5 = 24 + 5 = 29.
¿Cuáles serían los resultados correctos?
Para evitar confusiones y errores se ha convenido en que cuando no hay paréntesis, dado
que los signos + y – separan cantidades, se efectúan las operaciones en el siguiente
orden:
1.
2.
3.
4.
Paréntesis
Potencias y raíz
Multiplicaciones y Divisiones
Adiciones y Sustracciones.
Por tanto, retomando los ejemplos del principio:
3 𝑥 6 + 4 = 18 + 4 = 22
8 𝑥 3 + 5 = 24 + 5 = 29
Esto es importante, sobre todo cuando se manejan fórmulas de geometría o de cualquier
otra ciencia.
Por ejemplo:
Calcular el área de un trapecio.
El profesor te indicará la información de sus lados y altura.
La fórmula correcta es la primera, porque el factor por el cual se multiplicará h no está
despejado. No es válido multiplicar el número de la suma, porque pertenece a esa
operación.
Ejemplos:
6 x 22 + 3 = 6 x 4 + 3 = 24 + 3 = 27
En este caso, siguiendo el orden, se comienza por resolver las potencias (22), después la
multiplicación y finalmente la suma.
5 + 42 𝑥 2 — 32 𝑥 4 =
Primero se resuelven las potencias: 42 = 16 𝑦 32 = 9
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La operación queda así: 5 + 16 𝑥 2 — 9 𝑥 4 =
Después se resuelven las multiplicaciones:
16 𝑥 2 = 32 𝑦 9 𝑥 4 = 36
5 + 32 — 36 =
El siguiente paso es resolver la suma:5 + 32 = 37
Y finalmente la resta:37 — 36 = 1
Uso de paréntesis
En ocasiones se requiere usar paréntesis para indicar que algunas operaciones se deben
efectuar antes que otras, o bien, que deben considerarse como un solo número.
Los paréntesis como [ ], { }, se utilizan para situaciones en las que intervienen varias
operaciones secuenciadas.
Ejemplos:
Para sumar (3 + 9) – 4 , se debe efectuar primero (3 + 9 ) y después restar 4 al
resultado.
(3 + 9) — 4 = 12 — 4 = 8
Para sumar 3 + (9 – 4), se efectúa primero (9 − 4) y al sumando 3 se le añade el
resultado del paréntesis.
3 + (9 — 4) = 3 + 5 = 8
Ejemplos:
6 + (4 + 23 )
Primero se resuelve la potencia: 2 𝑥 2 𝑥 2 = 8
Después se realiza la suma que está entre paréntesis: (4 + 8 = 12)
Finalmente se resuelve la operación completa: 6 + 12 = 18
Un paréntesis precedido del signo + puede eliminarse sin afectar el signo de los sumandos
que contiene.
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Si el signo que precede al paréntesis es negativo esto afecta al resultado de la operación
contenida en dicho paréntesis.
Ejemplos:
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
No es lo mismo que: 7 — (2 + 3) = 7 — 5 = 2
− 5 − (32 — 23 )
En este ejemplo, primero se resuelven las potencias que se ubican dentro del paréntesis:
3𝑥3 = 9𝑦2𝑥2𝑥2 = 8
De esta manera se resuelve la resta del paréntesis: 9 — 8 = 1
Posteriormente se realiza la operación completa: −5 — 1 = −6
EJERCICIOS:
1. 5 + 6 − 2 × 4 + 5 × 10 =
2. 25 + 2 − 8 ÷ 2 × 5 + 14 ÷ 2 =
3. (14 + 3) + (5 + 4) − 8 + (12 + 5) =
4. [(8 − 3 + 5)(6 − 3)] ÷ [5] + 20 =
5. 4{5 + 2 ÷ [18 − 4(7 − 30 ÷ 10)]} =
6. 54 × 2 + 5 − {[(32 + 7) ÷ 13]2} =
7. Juan se fue de vacaciones y recorrió 150𝑘𝑚 en un automóvil, 25,800m en
ferrocarril y 132.42𝑘𝑚 en camión ¿Cuántos metros hizo en su recorrido?
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8. El señor Pérez nació en 1945, se caso a los 27años y 2 años después de casarse
nació su primer hijo ¿En qué año nació su hijo?
9. Un jugador de futbol americano en el último partido recorrió 314 𝑦𝑎𝑟𝑑𝑎𝑠
¿Cuántos metros recorrió? 1𝑦𝑎𝑟𝑑𝑎 = 0.9144𝑚.
10. Tengo $107,730 pesos para comprar sombreros costando cada uno $570pesos
¿Cuántos sombreros puedo comprar?
Operaciones con fracciones
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el
mismo denominador.
3
1
5
9
Ejemplo:4 + 4 + 4 = 4
• Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el
mismo denominador, aplicando las leyes de los signos para las sumas.
Ejemplo:
3
2
5
−5−5=
5
−4
5
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR
Se reducen los denominadores a común denominador:
5 7
+ =
3 9
1. Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
m. c. m. (3, 9) = 9
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Para encontrar el mínimo común múltiplo, como su nombre lo dice es un múltiplo que
tengan en común los denominadores y al ser varios se utiliza el más pequeño.
2. Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores,
multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
15 + 7
9
3. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
22
9
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los
numeradores y por denominador el producto de los denominadores, y simplificamos
siempre que se pueda.
2 1
2
× =
5 4 20
Multiplicamos 2 × 1 = 2 y 5 × 4 = 20 y simplificamos dividiendo entre 2, 2 ÷ 2 = 1 y
20 ÷ 2 = 10.
2
1
=
20 10
DIVISIÓN DE FRACCIONES
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los
extremos y por denominador el producto de los medios. Al final se simplifica lo mas que
se pueda el resultado.
3 1
÷ =
5 6
Multiplicamos 3 × 6 =18 y lo agregamos al numerador del resultado y 5 × 1 = 5 lo
agregamos al denominador del resultado.
18
5
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Ejercicios
1.
17
84
3
5
+ 84 + 84 +
3
5
121
84
4
6
+ 84 =
1
2. (80 + 40) + (5 + 8) =
3. (
3
16
1
1
4
1
4
40
9
90
22
1
+ −
7
8
)( +
1
− )=
3
4. (8) (11) (14) (4) =
5.
1
2
3
1
2
÷5÷4÷7=
6. Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.
a) ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?
b) ¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?
7. Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al
mediano 1/3 y al menor el resto.
a. ¿Qué cantidad recibió cada uno?
b. ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
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8. Una familia ha consumido en un día de verano, dos botellas de litro y medio de
agua, 4 botes de 1/3 de litro de zumo, 5 limonadas de 1/4 de litro.
a.
¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número
mixto.
LENGUAJE ALGEBRAICO.
El lenguaje algebraico, es una forma de traducir a símbolos y números lo que
normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden
manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite
simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo
resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando
generalidades.
EL lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el periodo de ALKhwarizimi durante la edad media.
Su función principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las
distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo ocurren los
números y sus operaciones aritméticas elementales (+ − 𝑥 ÷).
Una expresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al
lenguaje algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también
operaciones aritméticas.
El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de
multiplicación y división de letras y números, tanto el numero como la letra puede estar
elevado a una potencia y se separan por los símbolos + 𝑦 −.
El termino independiente solo consta de un valor numérico, en tanto los términos
semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras (parte literal) y
varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los términos no son
semejantes ya no es posible, lo que sí es posible es dividir o multiplicar todo tipo de
termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los
exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en
cuenta la letra y su exponente.
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Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica
dentro de estos cuál de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos
son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos de relación tales
como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje algebraico se constituye
principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras letras por lo general son las
que determinan valores conocidos o datos del problema, (aunque se puede utilizar
cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos vocablos griegos. En general las
letras 𝑥, 𝑦, 𝑧, se utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica.
EJEMPLOS
Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas mas usadas, en forma verbal y
escrita:
1. La suma de dos números𝑎 + 𝑏
2. La resta o diferencia de dos números 𝑥 – 𝑦
3. El producto de dos números 𝑎𝑏
4. El cociente de dos números𝑥/𝑦
5. El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia𝑎 + 𝑏/𝑎 − 𝑏
6. El doble de un número 2𝑥
7. El doble de la suma de dos números 2(𝑎 + 𝑏)
8. El triple de la diferencia de dos números 3(𝑥 − 𝑦)
9. La mitad de un número 𝑥/2
10. La mitad de la diferencia de dos números(𝑥 − 4)/2
11. El cuadrado de un número 𝑥 2
12. El cuadrado de la suma de dos números (𝑥 + 𝑦)2
13. El triple del cuadrado de la suma de dos números. 3(𝑥 + 4)2
14. La suma de 3 números 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
15. La semi suma de dos números.(𝑎 + 𝑏)/2
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Frase
La suma de 2 y un número
Expresión algebraica
2 + 𝑑 (la "d" representa la cantidad
desconocida)
𝑥 + 3
𝑎– 5
4– 𝑛
𝑘 + 1
𝑧 − 10
𝑎 • 𝑏
2 ( 𝑎 + 𝑏)
2𝑎 + 𝑏
5𝑥
3 más que un número
La diferencia entre un número y 5
4 menos que n
Un número aumentado en 1
Un número disminuido en 10
El producto de dos números
Dos veces la suma de dos números
Dos veces un número sumado a otro
Cinco veces un número
Ene veces (desconocida) un número
n multiplicado por el número conocido
conocido
𝑎⁄
El cociente de dos números
𝑏
La suma de dos números
𝑥 + 𝑦
10 más que n
𝑛 + 10
Un número aumentado en 3
𝑎 + 3
Un número disminuido en 2
𝑎– 2
El producto de p y q
𝑝 • 𝑞
Uno restado a un número
𝑛– 1
El antecesor de un número cualquiera
𝑥– 1
El sucesor de un número cualquiera
𝑥 + 1
3 veces la diferencia de dos números
3(𝑎 – 𝑏)
10 más que 3 veces un número
10 + 3𝑏
La diferencia de dos números
𝑎– 𝑏
La suma de 24 y 19
24 + 19 = 43
19 más que 33
33 + 19 = 52
Dos veces la diferencia de 9 y 4
2(9 – 4) = 18 – 8 = 10
El producto de 6 y 16
6 • 16 = 96
3 veces la diferencia de 27 y 21
3(27 – 21) = 81 – 63 = 18
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al
92 – 42 = 81 – 16 = 65
cuadrado
El cociente de 3 al cubo y 9
33 / 9 = 27 / 9 = 3
12 al cuadrado dividido por el
122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1.5
producto de 8 y 12
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EJERCICIOS
Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
1
El doble de un número.
2
El cuadrado de un número menos tres.
3
La suma de dos números.
4
La diferencia de los cuadrados de dos números.
5
La mitad de un número.
6
El cuádruplo de un número.
7
La suma de un número y su cuadrado.
8
El doble de un número menos cinco.
9
La tercera parte de un número.
10 El cuadrado de la suma de dos números.
11 El doble de la suma de tres números.
12 El triple de la raíz cuadrada de un número.
13 La suma de tres números consecutivos.
14 Una cuarta parte de la suma de dos números.
15 Un número aumentado en cinco unidades.
16 El doble de un número menos el triple de otro.
17 Las tres cuartas partes de un número.
18 El cubo de la diferencia de dos números.
19 El producto de dos números.
20 La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.
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EXPONENTES
El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar números en una
forma más corta. Por ejemplo: el producto 2 x 2 x 2 x 2 x 2 se expresa de la forma
25y se lee “dos a la cinco”.
La expresión 2 x 2 x 2 x 2 x 2 está en la forma expandida y la expresión 25 es
una expresiónexponencial. El valor 32 es la quinta potencia de 2.
Definición:La expresión xn significa que x aparece multiplicada n veces. x se
conoce como la base y n como el exponente. Se llama potencia al valor que se
obtiene al multiplicar la base n veces. Esto es, xn =
x · x · x · x
·
· ·
multiplicado por sí mismo n veces.
Ejemplos:
1) La notación exponencial de (-3)(-3)(-3)(-3) es (-3)4.
2) La notación exponencial de b · b · b es b3.
3) El valor de (-2)4 es (-2)(-2)(-2)(-2) = 16. La expresión (-2)4 se lee “negativo dos
a la cuatro”.
4) El valor de -24 es –(2 · 2 · 2 · 2) = -(16) = -16. La expresión -24 se lee “el
opuesto de dos a la cuatro”.
5) ¿Cuál es el valor de (⅔)3?
Definición: Para toda base x,
x1 = x.
Esto es,
cualquier número elevado a la uno es el mismo
número.
Ejemplos: 31 = 3; (17)1 = 17; (259)1 = 259
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Definición: Cualquier número diferente de cero, elevado a la cero es igual a uno.
Esto es, para toda base x, x ≠ 0, x0 = 1.
Ejemplos: 30 = 1; (-5)0 = 1; (⅝)0 = 1; 00 no está definido
Definición: Cualquier número diferente de cero y n un número entero, tenemos:
x n 
Ejemplos:
1 1

23 8
1
1
 4 
81
3
1
 5
b
1) 2 3 
2) 3  4
3) b 5
Ejercicio
Halla el valor de:
1. 42 =
2. (-4)2 =
3. -42 =
4. (⅜)2 =
5. 4-2 =
6. (⅔) -2 =
Leyes de Exponentes
1) x m  x n  x m  n
xm
 x m  n , para
n
x
3) ( x m ) n  x mn
2)
x0
4) ( x  y ) n  x n  y n
n
x
xn
5)    n ,
y
 y
para y  0
1

xn
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Hay que utilizar las leyes según sea la semejanza en cada uno de los ejercicios a
resolver, tomando en cuenta que m y n son números enteros.
Ejercicios
1) 32 · 35 =
2) a4 · a6 · a =
3) (a + 2b) 3 (a + 2b)7 =
4) (3x2) (-5x3) =
5) (-4a2b3) (-3ab) =
6) (7x-3y-8) (2x5y5) =
7) (5xyz)0 =
x 12

x3
x3
9)

x 12
 15a 8 b 3
10)

3a 5 b 2
11) ( a 7 ) 3 
8)
12) ( 2 xy 2 ) 4 
3
 3x 2 y 3 
13) 
 2 xy 4 
 


2
3
14) ( 2a b c 0 )  4 
3a  2 b 3 c 1
15)

4a 3 b 5 c  2
Simplifica cada expresión:
1) 4 5  4 3  4 0 
2) ( 5ab)( 2a 2 b 3 ) 
x5
3) 16 
x
4) (5 3 )( 2a ) 0 
30 x 6 y 5
5)

20 x 3 y 2
6) (3a 3 b 5 ) 2 
2
4
3
1) 4  4  4 
2) ( 5ab)( 2a 2 b 3 ) 
DEPARTAMENTO
DE MATEMATICAS
x5
PREPARATORIA
3) 16  13
x
4) (5 3 )( 2a ) 0 
30 x 6 y 5
5)

20 x 3 y 2
6) (3a 3 b 5 ) 2 
7)
7 x 2 y  4 z 3

8 x 5 y  6 z 2
Ejercicio adicional: Exponentes y reglas de exponentes
Aseveración
Reglas/Definición
1.
La expresión 27 significa
2.
En el producto de dos potencias
con bases iguales: bm ·bn
3.
En la división de dos potencias con
bm
n
bases iguales: b
4.
Al elevar una base a un exponente
 
y a su vez a otro exponente: b
5.
m n
Cuando tenemos el producto de
dos bases elevadas a un exponente:
a  b n
Cuando tenemos el cociente de dos
bases elevadas a un exponente:
n
6.
a
 
b
7.
Una base elevada al exponente
cero: b0
8.
La expresión 00
9.
Una base elevada a un exponente
negativo: b-n
Ejercicio
a ) 3 2  35 
b) x 7  x11 
27

25
a 11
b) 5 
a
a)
 
b) a 
3

7 2

a) 32
a) x  y  
7

b) x 3 y 5

2

5
x
a )   
 y
4
 x2 
b)  3  
y 
a) (16)0 =
b) y0 =
a) 4-3 =
b) x-8 =
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Simplifica los siguientes ejercicios utilizando reglas de exponentes:
11) y6 · y-2 =
t 15

15
15) t
a 11

7
16) a
 
x4

7
17) x
10) m3 · m5 =
12) z
5 3
=
13) (uv)6 =
18) (5x2 y4)3 =
4
2
m
 3m 
  
 3 
n


14)
19)  4n 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica nos representa un enunciado en forma matemática con
operaciones, números y letras.
8a2 + 3xy2 - 5bc + 3m4
Un término es una parte de la expresión y están separados por signos (+) o (-)
8a2 + 3xy2 - 5bc + 3m4
Expresión con 4 términos
En algebra los términos más importantes son los semejantes ya que son los únicos que se
pueden sumar o resta.
Los términos semejantes son los que tienen las mismas literales con los mismos
exponentes.
2a3 y
3a3
;
5x4y2z
y
-3x4y2z
;
4m2n3
y
6n3m2
Monomios y polinomios
Las expresiones algebraicas reciben un nombre en especial dependiendo del número de
términos
- 8x2 x z3
un término = monomio
3xy2 + 5x2
dos términos = binomio
5x2 - 3ab + 5y
tres términos = trinomio
8a + a2b - 5x3 + 9mn2
cuatro términos
POLINOMIOS
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Los monomios tienen un término y los polinomios dos o más términos y si en la expresión
existen términos semejantes se reducirán (suman o restan) para saber su nombre
2a2 – 5a2 + 7a2 – 2a + 8 = 4a2 – 2a + 8 = Trinomio
3x – 5x + 8x – 12 x = – 6x
=
Monomio
OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Suma y Resta
a) Sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes (misma literal y exponente):
2x2 + 3x2 + 5x – y
los términos semejantes son……..2x2 + 3x2
b) Una vez identificando los términos semejantes se realiza la suma o resta de sus
coeficientes: 2 + 3 = 5
por lo tanto el resultado de la suma es…… 5x2 + 5x – y
c) veamos otro ejemplo: -5a4 + 10a3 – 3a3b
no se puede realizar suma o resta, ya
que no hay términos semejantes, porque aunque se repite la literal “a” en el primer y
segundo término, sus coeficientes son diferentes.
Ejercicios:
1. 3x3 + 5x3 -2x2 +2x2y2
2. -12x6 + 4x3 -2x+2x
3. 4m2n2-5m2-5n2+20mn-15
4. 13a5b3-3a5b3+a5b3-2a3b
5. 15x5-10x5+6x4-8x3+5y-3z
6. 200x3 + 35x3 -20x2 +4x2y
7. -4x2 + 4x2 -2x+2x
8. (19m4n4+3m4)-3m4+mn-1
9. 4a3b3-3a3b3+a5b3-a3b+4a3b
10. -9x5-9x5+3x3-8x3+5y-3zy
11. 21r3 + 29r3s -13st2 +2st2y2
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
PREPARATORIA 13
12. 2x10 –(4x5)2 –(2x-2x)
13. 11m9n2-11m9-5n2+10mn-(-3mn)
14. 5a5b5-2a5b2+a3b3-2a3b
15. 8x3+x5y3+6x4-2x3+5y3-3z
16. 34x4 + 7x4 -54x4+8x4y4
17. –(4x2)3+ 4x5 -2x+2x
18. -9m4n4+3m4-(3m4+mn4)
19. a3b3-13a3b3+a3b3-a3b3+4a3b3
20. 2x8-(9x5+3x3-8x3)+5y-zy
21. Realiza la suma de los polinomios del ejercicio 1 y 6 de la lista anterior.
22. Simplifica los polinomios 5 y 10 de la lista anterior.
Multiplicación
Pueden multiplicarse los términos sean o no semejantes.
Se considera la “Ley de los signos” del coeficiente:
-2a x 5a = -10a2
Si los términos se encuentran asociados por paréntesis, se procede a multiplicar el
término del multiplicador por los términos que se encuentren dentro del paréntesis:
2x(3x -2) = 6x2-4x
Si el multiplicador y el multiplicando se encuentran en paréntesis se realiza la
multiplicación término por término:
(5x – 2) (3x+7) = 15x2 + 35x -6x – 14
Simplificamos términos:
Ejercicios:
15x2+29x-14
1.
2xy(5x2-2x)
2.
(7a2 – 15b3) ( 5b3 + 9a 2 – 4b3)
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PREPARATORIA 13
3.
(3a+ 4c + 9c) (– 7b – 7a- 15c)
4.
(4b – c-2b) (12 b-2c)
5.
(10b-3 +4) (6 –9b)(3b-7)
6.
(5a-2b2 + 15ab2 – 7ab) (2ab-3a)
7.
(2xy + 5y) (-2y + 2xz) (3x+y)
8.
(3a-2 + 10 )(a - 12 ) - x ( a - 1 )
9.
2mn(3m2 - 7m – 20) (3m2 - 7m-2 – 4)
10.
(3a + 4b)(3a - 4b) (3a + 4b)
11.
(4x2 + 3x + 9) (4x2 + 7x + 9)
12.
(6x2n + 2x3n2 – 30x4n3) (3x3n2 – 6x-4n3)
13.
(p2 + 4pq + 3q2) (2pq + 3q2)
14.
(2x4y-2 - 5xy + 3xy - 5x2y2) (3x3y-1 - 5xy)
15.
(a2 + 2ab + 6b2) (2ab + 3b2) (a)
16.
( 2x + 3) ( 3 - r ) (2x -r) (3 -r)
17.
a( x+1) + b(x+1)
18.
(9/16 x2) (81/4y2)
19.
a (7b - 5c) (8a)
20.
(4b – c-2b) (12 b-2c)
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO.
División de un polinomio entre un monomio, se divide cada termino del polinomio entre el
monomio, primero con los signos enseguida con el coeficiente y por ultimo con las
literales. Si son iguales se restara el exponente.
8 x 3 y 3 + 4 x 3 y 4 - 24x 4 y 4
=
4 xy 2
8 x 3 y 3 4 x 3 y 4 24 x 4 y 4
+
= 2x2 y + x2 y2 - 6 x3 y2
4 xy 2
4 xy 2
4 xy 2
DIVISIÓN ENTRE DOS POLINOMIOS
 Se ordena el dividendo y el divisor en relación a una misma variable.
 Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el
primer término del cociente.
 Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el resultado se
resta (cambia de signo) del dividendo, escribiendo cada término debajo de su
semejante.
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PREPARATORIA 13
 Se continúa de la misma forma con el residuo hasta terminar la operación.
3x2 + 2x – 8
1) Dividir:
3x
+ 2x
2
- 3x - 6x
- 4x
4x
3x2
x+2
2) Dividir:
entre
x+2
- 4
- 8
3x2 + 2x - 8
x+2
2
- 3x - 6x
3x - 4
- 4x - 8
4x + 8
0
- 8
+ 8
0
3a5 – 21a4b + 10a3b2 + 64a2b3 + 32ab4 entre a3 – 5a2b - 4ab2
3 a2
– 6 ab
– 8 b2
a3 – 5a2b – 4ab2 3a5 – 21a4b + 10a3b2 + 64a2b3 + 32ab4
- 3a5 + 15a4b + 12a3b2
– 6a4b + 22a3b2 + 64a2b3
+ 6a4b – 30a3b2 – 24a2b3
– 8 a3b2 + 40a2b3 + 32ab4
+ 8 a3b2 – 40a2b3 – 32ab4
0
Realiza las siguientes divisiones:
36a 3b 4 - 27a 3b 3  18a b 2

9ab
30 x 6 y 5 - 15 x 3 y 2 + 20x y 2
=
5 xy
–a +b
– 8a2 + 12ab – 4b2
7x – 3
14x2 + 22x - 12
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– 3a2 – 46a + 8
– 3a5
+ 11a3 – 46a2
m2 – 2mn – 8n2
m5 – 5m4n
+ 32
+ 20m2n3 – 16mn4
POTENCIACIÓN. Operaciones con potencia de igual base
Xn
donde
x = base
n = exponente
Multiplicación: al multiplicar bases iguales los exponentes se sumaran
(a) ² · (a) 3 = a2+3 = a5
a · a · a · a · a = a5
División: al dividir bases iguales los exponentes se restarán
a5 ÷ a3 = a5-3 = a2
a · a · a · a · a = a2
a · a · a
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Ejercicios de práctica
1.- Realiza las siguientes multiplicaciones
(-x)4 · (-x) = _________
a5 · a-2
= _________
b8 · b4 = ________
(-m) 2 · (-m)6 = ________
2.- Realiza las siguientes divisiones
y6 ÷ y5 = _________
(-d)4 ÷ (-d) = ________
(-c)5 ÷ (-c)2
z5 ÷ z8 = ________
= _________
Potencia: al elevar una base sobre una potencia estas se multiplican
(a2)3 = (a · a) (a · a) (a · a) = a2x3 = a
(2x2 y) 3 = 2 · 2 · 2 (x · x) (x · x) (x · x) y · y · y = 21x3 x2·3 y1·3 = 8 x6 y3
RADICACIÓN.
Radicación: al realizar una raíz de una potencia se divide la potencia entre la raíz
a 6 = a6÷2 =
3
4
x9y 6
16c 4 d 8
a3
x9÷3 y6÷3 = x3 y2
=
=
2c4÷4 d8÷4 = 2cd2
Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene
dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado
positivo.
Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
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Si tengo una raíz de otra raíz se multiplican los índices.
Si al realizar la raíz no da un número entero se buscara una parte de la raíz
factorizando tanto el coeficiente como el exponente:
20a5b2
1)
22 · 5 · a 4 · a · b 2
=
22÷2 a4÷2 b2÷2 5a
=
= 2 a2 b 5a
20 = ( 2 ) ( 2 ) ( 5 ) = ( 2² ) ( 5 ) Se encontró los factores primos del coeficiente 20
a5 = ( a4 ) ( a ) se encontró un múltiplo de la raíz ( 2 ) más cerca de 5 siendo el 4
2)
3
88x 7 =
3
23·11 x6· x  233 x63
88 = 2 x 2 x 2 x 11
3
x = 2x2
3
x
Se encontró los factores primos del coeficiente 88
x 7  x 6  x Se encontró un múltiplo de la raíz 3 más cercano a 7 siendo el 6
5
2
4
2÷2 (c) 4÷2
3) 5 18c = 5 2 · 3 · c · c = (5) (3)
18 = 2 x 3 x 3
2c = 5 · 3c2
2c = 15c2
Se encontró los factores primos del coeficiente 18
c5 = c4  c Se encontró un múltiplo de la raíz 2 más cercano a 5 siendo el 4
Ejercicios de práctica
28 
1.
3
3.
4
5.
125 
10.000 
2.
 25 
4.
81 
3
6.
64 
2c
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7. 43 16 x 5 y =
8. 4 16a8b10c12 =
9.
45m7 n 6o5 p 4 =
10. 8
11. 5
5
96a5b12c16d 20 =
28 x5 y12 z16 =
Operaciones con Radicales
1. Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o
sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a)
5  2 5  6 5  3 5
b) 8 20  3 45  5
O sea que se suman o restan los números que
están fuera y la raíz queda igual.
Estos radicales no son semejantes pues los radicandos
no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada
radical todos los factores que se puedan:
8 20  3 45  5  8 22.5  3 32.5  5  16 5  9 5  5
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
16 5  9 5  5  24 5
3
3
3
3
3
c) 7 2  2 16  5 54  6  48 No son semejantes
7 3 2  2 3 16  5 3 54  3 6  3 48  7 3 2  2 3 24  5 3 2.33  3 6  3 24.3 
7 3 2  4 3 2  15 3 2  3 6  2 3 6
se suman los que son semejantes
7 3 2  4 3 2  15 3 2  3 6  2 3 6  4 3 2  3 3 6
y ya no podemos hacer nada más
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2. Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo
índice.
Ejemplos:
5. 2  10
d)
3
e)
3
f)
3
15
12 3 12 3

 2
6
6
3
2. 5 2
no tienen el índice común. Para reducir a índice común se
hace igual que para reducir a denominador común.
2. 5 2  15 25 .15 23
ahora si se pueden multiplicar
25 .15 23  15 25.23  15 28  15 256
g)
4
6

6
62

4
6
4
4
62

6
4
6
EJERCICIOS DE RADICACION
1.-
7 4 7 5 7 
(A) 9 7
(B) 3
(C) 5 27
(D) 243
(E) 10 9
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2.- 3 63 - 2 7 + 4 28 =
(A) 10 98
(B) 24 98
(C) 15 7
(D) 6 98
(E)
64
3.- ¿Cuál de los siguientes números representa la cantidad más grande?
(A)
(B)
25
5
5
25
(C)
81
64
(D)
64
81
(E) 0 + 25
4.- Resuelve la siguiente operación:
(A) 24
(B) 28
(C) 36
(D) 180
(E) 212
5.-
144 + 225 - 100 =
(A) 37
(B) 27
(C) 17
(D) 7
(E) 1
16
+ 5 25 - 9 =
2
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