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Notas de clase. PARALELISMO 2011
Paralelismo
Axioma de paralelismo: Sean 𝛼 un plano, ℓ una recta en 𝛼 y A un punto en 𝛼 exterior a ℓ,
entonces, en el plano 𝛼, existe una y sólo una recta ℓ′ que pasa por A y no interseca a ℓ. Las
rectas ℓ y ℓ′ son paralelas. Si ℓ y ℓ′ son paralelas escribimos ℓ ∥ ℓ´.
Observación: Dos rectas serán paralelas si están contenidas en un mismo plano y son
coincidentes o disjuntas, dos planos serán paralelos si son coincidentes o disjuntos y una recta y
un plano serán paralelos si son disjuntos o bien la recta está contenida en el plano.
Teorema P.1: La relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.
Teorema P.2: Sean ℓ y ℓ′ dos rectas no coincidentes que están en un mismo plano y sea 𝑡 la
recta que interseca a ℓ y ℓ′. Entonces ℓ y ℓ′ son paralelas si y sólo si:
1.
2.
3.
4.
Los ángulos correspondientes son congruentes.
Los ángulos alternos internos son congruentes.
Los ángulos alternos externos son congruentes.
Los ángulos conjugados son suplementarios.
Hipótesis: Sean ℓ y ℓ′ y 𝑡 tres rectas secantes, no coincidentes, tales que ℓ y ℓ′ son paralelas.
Tesis:
1. Los ángulos correspondientes son congruentes.
2. Los ángulos alternos internos son congruentes.
3. Los ángulos alternos externos son congruentes.
4. Los ángulos conjugados son suplementarios.
Demostración:

t
D
C
'
A
E
B
Figura 1
1
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1. Si ℓ ∥ ℓ´.en la 𝑇𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ se tiene que 𝑇(𝐴𝐵)
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A) = 𝐵 y𝑇(𝐴𝐵)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (ℓ) = ℓ′. Porque la traslación 𝑇𝐴𝐵
envía a A en B.
2. Luego los ángulos correspondientes ∡𝐷𝐴𝐶 y ∡𝐸𝐵𝐴 son congruentes. Pues el movimiento
de traslación conserva la amplitud del ángulo.
3. La congruencia de los ángulos alternos internos, alternos externos se deduce del teorema
de los ángulos opuestos por el vértice y del hecho que la amplitud de un ángulo formado
por dos ángulos adyacentes es igual a la amplitud del ángulo llano. De igual manera se
deduce que los ángulos conjugados son suplementarios.
4. Supongamos la congruencia de los ángulos ∡𝐶𝐴𝐷 y ∡𝐴𝐵𝐸, además de los alternos
internos y los alternos externos, entonces 𝑇(𝐴𝐵)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (A) = 𝐵 implica que 𝑇(𝐴𝐵)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (ℓ) = ℓ′
Definición: El lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de una recta ℓ es el conjunto
de rectas paralelas a situadas en cada uno de los semiplanos que ella determina.
Teorema P.3: Dos rectas que están en un mismo plano y son perpendiculares a una tercera son
paralelas entre sí.
Hipótesis: Sean ℓ y 𝑟 dos rectas perpendiculares a una recta 𝑡,
Tesis: ℓ y 𝑟 son paralelas.
Demostración:
r
l
t
Figura 2
1. Sean ℓ y 𝑟 son dos rectas perpendiculares a una recta 𝑡, entonces:
2. Los ángulos que forma la recta 𝑡 con las rectas ℓ y 𝑟 son rectos.
3. Puesto que todos los ángulos rectos son congruentes, los ángulos alternos internos entre
las rectas ℓ y 𝑟 al ser cortadas por 𝑡 son congruentes.
Luego las rectas ℓ y 𝑟 son paralelas.
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Teorema P.4: En un triángulo la suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a la
amplitud de un ángulo llano.
Hipótesis: Sea el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶.
Tesis: la suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a la amplitud de un ángulo
llano.
Demostración:
D
C
F
A
B
Figura 3
⃡⃗⃗⃗⃗ , con
⃡⃗⃗⃗⃗ una recta que pasa por el punto C y es paralela a 𝐴𝐵
1. Dado el ∆𝐴𝐵𝐶, sea 𝐷𝐹
𝐷 − 𝐶 − 𝐹, entonces:∢𝐷𝐶𝐴 ≅ ∢𝐶𝐴𝐵 y ∢𝐹𝐶𝐵 ≅ ∢𝐶𝐵𝐴 por ser alternos internos entre
paralelas.
2. El ángulo ∢𝐷𝐶𝐹 es llano y 𝑎𝑚𝑝∢𝐷𝐶𝐴 + 𝑎𝑚𝑝∢𝐴𝐶𝐵 + 𝑎𝑚𝑝∢𝐹𝐶𝐵 = 𝑎𝑚𝑝∢𝐷𝐶𝐹 .
Por tanto la suma de las amplitudes de los ángulos ∢𝐶𝐴𝐵, ∢𝐴𝐵𝐶 𝑦 ∢𝐵𝐶𝐴 es igual a la amplitud
del ángulo llano.
Corolario: En un triángulo rectángulo, la suma de las amplitudes de los ángulos agudos es igual
a la amplitud del ángulo recto.
3
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Cuadriláteros
Definición: Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.
•
•
Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos
diagonales.
Los cuadriláteros se pueden clasificar por el paralelismo entre sus lados en:
paralelogramos y trapecios.
Paralelogramos: Son cuadriláteros cuyos lados opuestos son congruentes y paralelos dos a dos.
Los paralelogramos se dividen en:
 Rectángulos: Aquellos que tienen los cuatro ángulos congruentes.
C
D
B
A
Figura 4
 Rombos: Aquellos que tienen sus lados congruentes.
A
D
B
C
Figura 4
4
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 Cuadrados: Aquellos que tienen sus ángulos rectos y sus lados congruentes.
C
D
B
A
Figura 5
 Romboides: Son aquellos que no son rectángulos ni rombos ni cuadrados.
A
B
D
C
Figura 6
Trapecios: Son cuadriláteros que tienen paralelos dos lados de distinta longitud. Los otros dos
lados no son paralelos.
Hay tres clases de trapecios:
 Trapecios rectángulos: Son aquellos que tienen dos ángulos rectos.
A
D
C
B
Figura 7
5
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 Trapecios isósceles: Son aquellos cuyos lados no paralelos tienen la misma longitud.
A
D
B
C
Figura 8
 Trapecios escalenos: Aquellos que no son ni rectángulos ni isósceles.
D
A
C
B
Figura 9
Los trapezoides: son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos.
B
C
A
D
Cometas: son los cuadriláteros que tienen dos pares de lados consecutivos congruentes.
6
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B
A
C
D
Cometas oblicuos: Son aquellos cuadriláteros que solamente tienen un par de lados consecutivos
congruentes..
Teorema P.5 (Propiedades de los paralelogramos):
1. Un rectángulo es simétrico con respecto a las mediatrices de sus lados.
2. Las diagonales de un paralelogramo son congruentes si y sólo si el paralelogramo es un
rectángulo.
3. En el rombo sus diagonales son ejes de simetría, perpendiculares entre sí y bisectrices de los
ángulos del rombo.
4. El cuadrado tiene un centro de simetría y cuatro ejes de simetría.
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Figura 10
Definición: En un paralelogramo, se llama paralela media al segmento que une los puntos
medios de dos lados opuestos.
D
C
A
B
B
Figura 11
• En un trapecio, se llama paralela mediaA al segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos.
C
N
M
O
P
Figura 12
• En un triángulo se llama paralela media al segmento que une los puntos medios de dos lados.
B
A
C
Figura 13
Teorema P.6: En todo paralelogramo.
 Los lados opuestos son congruentes.
 Los ángulos opuestos son congruentes.
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 Los ángulos conjugados son suplementarios.
 Las diagonales se cortan en su punto medio.
̅̅̅̅ .
Hipótesis: Sea ABCD un paralelogramo tal que: ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∥ ̅̅̅̅
𝐶𝐷, ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
Tesis: A B  DC
A D  BC
y
Demostración 1:
D
C
A
B
Figura 14
1. Sea ABCD un paralelogramo y ̅̅̅̅
𝐴𝐶 una diagonal.
2. En los triángulos ∆𝐴𝐷𝐶 y ∆𝐴𝐵𝐶 se tiene que:
BA C  A CD y DA C  BCA . Por alternos internos entre paralelas.
3. A C  A C . Por ser lado común.
4. En consecuencia, A DC  A BC . Por criterio ALA.
Por tanto A B  DC
y
A D  BC . Por lados homólogos en triángulos congruentes.
Demostración 2, 3, 4: (Ejercicio).
Reciproco: Un cuadrilátero es un paralelogramo, si cumple las siguientes condiciones:




Los lados opuestos son congruentes.
Los ángulos opuestos son congruentes.
Los ángulos conjugados son suplementarios.
Las diagonales se cortan en su punto medio.
Teorema P.7: las diagonales de un rectángulo son congruentes.
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Demostración: (Ejercicio).
Teorema P.8: Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y bisectrices de los
ángulos del rombo.
Demostración: (Ejercicio).
Teorema P.9 Dos paralelogramos son congruentes si tienen dos lados contiguos y el ángulo que
forman respectivamente congruente.
Demostración: (Ejercicio).
Corolarios:
 Dos rectángulos son congruentes cuando tiene dos lados contiguos congruentes.
 Dos rombos son congruentes cuando tienen un lado y un ángulo respectivamente
congruentes.
 Dos cuadrados son congruentes cuando tienen un lado congruente.
Teorema P.10: En un paralelogramo, la paralela media es congruente y paralela a los otros dos
lados sin punto en común con ésta.
Hipótesis: Sea ABCD un paralelogramo, AB , DC lados opuestos; EE ' su paralela media y
AD , BC lados opuestos; FF ' su paralela media.
̅̅̅̅ y FF'  A D  BC .
Tesis: ̅̅̅̅̅
𝐸𝐸´ ∥ ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∥ ̅̅̅̅
𝐷𝐶 , EE'  A B  DC , ̅̅̅̅̅
𝐹𝐹´ ∥ ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
Demostración:
F'
D
C
E
E'
O
A
F
B
Figura 15
̅̅̅̅ .
1. Sea ABCD un paralelogramo tal que ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∥ ̅̅̅̅
𝐷𝐶 y ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
2. A D  BC y A B  DC . Por parte 1 del teorema P.6.
3. Sean E , E ' , F y F ' los puntos medios de los segmentos AD , BC , AB y DC
respectivamente.
̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅̅
4. Como ED  E 'C y 𝐸𝐷
𝐸´𝐶 se deduce que T (E ' )  C . Por tanto, ̅̅̅̅̅
𝐸𝐸´ ∥ ̅̅̅̅
𝐷𝐶 y
ED
EE '  DC . Porque el movimiento conserva las distancias.
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̅̅̅̅̅ ∥ 𝐴𝐷
̅̅̅̅ ∥ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ y FF'  A D  BC .
5. Análogamente se prueba que 𝐹𝐹´
Teorema P.11: En un trapecio, la paralela media es paralela a las bases y su longitud es la
semisuma de las longitudes de éstas.
Hipótesis: Sea ABCD un trapecio, AD y BC sus bases y MN la paralela media.
̅̅̅̅ y MN = 1 BC + A D  .
Tesis: ̅̅̅̅̅
𝑀𝑁 ∥ ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
2
Demostración:
B
C
A'
M
N
A
M'
D
B'
Figura 16
̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅
1. Sea el trapecio ABCD, tal que 𝐵𝐶
𝐴𝐷 y MN su paralela media.
2. Construyamos el trapecio simétrico respecto al punto N.
3. El homólogo del trapecio ABCD respecto al punto N es el trapecio A ' B 'CD , donde D
es el simétrico de C y viceversa.
4. Como las rectas simétricas respecto al punto N son paralelas, entonces ̅̅̅̅̅̅
𝑀𝑀` ∥ ̅̅̅̅̅
𝐴𝐵´ ∥
̅̅̅̅̅.
𝐵𝐴`
5. Luego AB ' A ' B es un paralelogramo y M M ' es su paralela media.
6. Si M M ' es paralela media de AB ' A ' B , entonces BA '  MM '  AB ' .
7. Por
la
simetría
central
respecto
a
N,
se
tiene
que:
̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅̅
A D  CA ' , B C  DB ' y MN  NM ' , además de ser 𝐵𝐶
𝑀𝑁 ̅̅̅̅̅̅
∥ 𝐴𝐷.
8. Luego se tiene que .
MN =
1
 BC + A D 
2
Teorema 12: En un triángulo, la paralela media es paralela al tercer lado sin punto en común con
ésta, y de longitud igual a la mitad de la longitud de éste.
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C
A'
M
N
M'
A
B
Figura 17
Demostración: (Ejercicio)
Ejercicios
1. Demuestre que si dos rectas distintas 𝑎 y 𝑏 de un plano no cortan a una tercera recta c del
mismo plano, entonces las rectas 𝑎 y 𝑏 no se cortan.
2. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un único punto.
Solución
Demostración:
c
b
A
B
O
a
C

1. Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 tres rectas en el mismo plano, tales que a y b no cortan a c.
Puesto que las rectas 𝑎 y 𝑏 no cortan a la recta c entonces,
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𝑎∥𝑐


y
b∥ 𝑐
Supongamos que 𝑎 y 𝑏 se cortan. Si A es el punto de corte de las rectas 𝑎 y 𝑏, entonces
𝐴∈𝑎 y𝐴∈𝑏
Es decir, Por A pasan dos rectas 𝑎 y 𝑏 paralelas a 𝑐 contradiciendo el Axioma de
paralelismo.
Luego las rectas 𝑎 y 𝑏 no se cortan.
2. Dos rectas que están en un mismo plano y son perpendiculares a una tercera son paralelas
entre sí.
Demostración
Sean 𝑎 y 𝑏
Dos rectas perpendiculares a la recta 𝑐, 𝑎 ⊥ 𝑐 y 𝑏 ⊥ 𝑐.
Los ángulos que forma la recta 𝑐 con las rectas 𝑎 y 𝑏 son rectos.
Puesto que todos los ángulos rectos son congruentes, los ángulos alternos internos entre las rectas
𝑎 y 𝑏 al ser cortadas por 𝑐 son congruentes.
Luego las rectas 𝑎 y 𝑏 son paralelas.
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Par Lineal
Se dice que dos ángulos forman un par lineal si y sólo si son adyacentes y suplementarios. Para
nuestro caso los ángulos adyacentes forman un par lineal.
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta está dada por la longitud del segmento perpendicular del
punto a la recta.
La distancia de un punto a una recta es el segmento de menor longitud que se puede trazar del
punto a la recta. Puesto que la perpendicularidad de un punto a una recta es única, la longitud del
segmento que determina la distancia de un punto a una recta es único.
Teorema:
Una semirrecta interior a un ángulo es la bisectriz del ángulo, si y sólo si, los puntos de la
semirrecta equidistan de los lados del ángulo.
Cualquier punto que equidiste de las semirrectas que forman un ángulo está en la bisectriz del
ángulo.
Teorema:
Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.
Teoreme
Los a´ngulos opuestos por el vértice son congruentes.
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