Download MANUAL DE ALGEBRA corregido

1
ÍNDICE
Introducción………………………………………………………...…………………………………………... Pág.
Unidad I: Conjunto de Números ………………………………………………………………….……….... Pág. 5
1.1 Números Naturales………………………………………………………..…………………….……..…. Pág. 6
1.2 Números Enteros………………………………………………………….……………………….…...… Pág. 6
1.3 Números Racionales………………………………………………….……………………………..……. Pág. 6
1.4 Números Irracionales…………………………………………………………….………………….….… Pág. 7
1.5 Números Reales………………………………………………………………….………………....…..….. Pág. 7
Unidad II: Repaso de Aritmética……………………………………………………………….…...…….…... Pág. 8
2.1 Suma…………………………………………………………………………………………..…………….…. Pág. 8
2.1.1 Propiedades de la suma…………………………………………………………………….………….… Pág. 8
2.2 La resta…………………………………………………………………………………………………… Pág. 9
2.3 Ley de los signos para la suma y resta…………………………………………………………….. Pág.10
2.4 Multiplicación……………………………………………………………………………...………………. Pág. 10
2.4.1 Propiedades de la multiplicación……………………………………………………………………… Pág. 11
2.5 División………………………………………………………………………………………………………. Pág. 12
2.5.1 Casos particulares de la división…………………………………………………………………….. Pág. 12
2.6 Ley de signos para la multiplicación y división……………………………………………….……… Pág. 13
2.7 Fracciones………………………………………………………………………………………….…….…. Pág. 14
2.8 Fracciones equivalentes …………………………………………………………………………….….. Pág. 16
2.9 Suma y resta de fracciones con igual denominador…………………………………………….….. Pág. 16
2.10 Mínimo común múltiplo………………………………………………………………………………….. Pág. 17
2.11 Suma de fracciones con diferente denominador…………………………………………….….…. Pág. 17
2.12 Multiplicación de fracciones………………………………………………………………………....… Pág. 18
2.13 División de fracciones………………………………………………………………………….….....…. Pág. 18
3. Potencias…………………………………………………………………………...…………………….…… Pág. 20
2
Unidad III: Jerarquía de Operaciones
Unidad IV: Algebra
Unidad V: Operaciones con expresiones algebraicas
Unidad VI: Productos Notables
Unidad VII: Factorización
Unidad VIII: Ecuaciones
Unidad IX: Desigualdades
Unidad X: Intervalos
3
INTRODUCCIÓN
Este manual fue diseñado con la finalidad de involucrarnos con el divertido juego del álgebra,
aclarar dudas, además de facilitarles herramientas que sean de gran utilidad y así ir desarrollando
habilidades y destrezas en la carrera que han de emprender.
Para lograr comprender lo básico es fundamental conocer ¿dónde surgió? y ¿qué es
el algebra? Para que de así puédanos tener un panorama más amplio que nos llevara a tener
una mejor comprensión del tema.
El álgebra tuvo su primer avance en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer
milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver
ecuaciones de primer y segundo grado.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para
expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de Pitágoras. Los matemáticos más
destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las
matemáticas en sus tratados de física y geometría del espacio. Diofante fue el griego que más
contribuyó a esta área del conocimiento, como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió
su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial se difundió con
éxito con otras ramas de las matemáticas como la lógica, y el análisis.
El término matemática viene del griego “máthema” que quiere decir aprendizaje, estudio y ciencia. Y
justamente las matemáticas son una disciplina que estudia conceptos como la cantidad, el espacio,
la estructura y el cambio.
El algebra es la Rama de las matemáticas en la que se usan letras par representar relaciones
aritméticas y se estudia la cantidad considerada de un modo mas general. Al igual que en la
aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación,
división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones
matemáticas.
Etimológicamente, proviene del árabe (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de
cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador
de huesos).
4
UNIDAD1. Conjunto de números.
Se clasificación es la siguiente:
A continuación se explicara cada conjunto de números.
Denotados por la letra “ℕ” y es cualquiera de los
números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre
porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
En el desarrollo de las culturas fue evolucionando esta forma primitiva de representar
objetos o cosas reales a través de símbolos; naciendo así el primer conjunto de números
llamados “números naturales”.
1.1 Números Naturales (ℕ):
ℕ = {1,2,3,4 … ∞}
“El conjunto de los números naturales está compuesto por 1, 2, 3,4… hacia más infinito”
5
Representado en una recta numérica tendríamos:
El ser humano obligado por la necesidad tuvo que introducir otro conjunto de números
como son:
1.2 Números Enteros (ℤ): Denotados por la letra “ℤ” su conjunto se conforma por
los números positivos, negativos y el cero.
En una representación de conjunto se vería de la siguiente forma:
ℤ = {−∞ … − 2, −1,0,1,2 … + ∞}
“El conjunto de los números enteros viene desde menos infinito hasta más infinito”
Y en una recta numérica seria representado de la siguiente forma:
1.3 Números Racionales (ℚ): Incluye a todos los números que pueden expresarse
en forma de cociente (Fracción o quebrados). Estos son de la forma
𝒂
𝒃
con a, b∈ ℤ (a y b
pertenecen al conjunto de los números enteros) y con b cumpliendo una condición 𝒃 ≠0
(b diferente de 0). Pero existe una condición que la escritura decimal de un número
racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico.
4 3 7
3
ℚ = { , − , , −2, 3, 1. 3̅, √4, √8. }
3 2 5
6
En una gráfica seria:
1.4 Números Irracionales (ℚ’): Se denota porℚ’ (Q prima) y son todos aquellos
números cuya parte decimal se conforma de una serie infinita de dígitos, pero no existe
periodo y por lo regular son resultado de raíces no exactas.
𝜋 √3
ℚ’ = 𝜋, √2, , −
2
4
1.5 Números Reales (ℝ): Son aquellos números que se representan en la recta
numérica, está constituida por la unión de números racionales e irracionales.
3
ℝ = {… Π, √5, √2, − ,
8
5 10
, √3, −√7, −
7
3
30
,−
2
50
, −√10, … }
UNIDAD 2. Repaso de aritmética.
La aritmética es una rama de las matemáticas cuyo objeto de estudio son los números y las
cuatro operaciones básicas que son las siguientes:
a)
b)
c)
d)
Suma
Resta
Multiplicación
División
2.1 La suma
La suma es la operación matemática que resulta al reunir en una sola a varias cantidades.
También se conoce a la suma como adición. Las cantidades que se suman se llaman
sumandos y el resultado suma o total.
2.1.1 Propiedades de la suma
1. Conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo
independientemente del orden de los sumandos.
Ejemplo:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
4 + 2 = 2 + 4
6=6
2. Asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo
independientemente del orden en que se suman los sumandos.
Ejemplo:
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
8
3. Distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la
suma de cada sumando multiplicado por el tercer número.
Ejemplo:
𝑐 × (𝑎 + 𝑏) = (𝑐 × 𝑎) + (𝑐 × 𝑏)
4 × (2 + 5) = (4 × 2) + (4 × 5)
4 × (7) = (8) + (20)
28 = 28
4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado
con él da el mismo número.
𝑎 + 0 = 𝑎
3 + 0 = 3
2.2 La resta
Elementos de la resta:
𝑐 − 𝑏 = 𝑎
El minuendo (𝑐).
El sustraendo (𝑏).
Resultado (𝑎).
La resta no tiene propiedades además no es una operación interna en el conjunto de los
números naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario que el
número minuendo sea mayor que el número sustraendo. Si eso no ocurre esa resta no es posible en
el conjunto de los números naturales porque el resultado no sería un número natural.
La resta no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no podemos intercambiar la posición del
minuendo con la del sustraendo.
Para su notación se coloca entre el minuendo y el sustraendo el signo − que se lee "menos".
9
2.3 Ley de signos para la suma y resta
1. Si los números tienen el mismo signo se suman los valores absolutos conservando el signo
que tienen en común.
Ejemplo:
+5 + 6 = 11
+8 + 3 = 11
−11 − 15 = −26
−489 − 5987 = −6476
2. Si los números son de distinto signo lo que se hace es que se restan los valores
absolutos y conserva el signo en el resultado el número que es mayor.
Ejemplo:
−5 + 9 = +4
−45 + 2 = −43
−598 + 28 = −570
+5 − 9 = −4
+45 − 90 = −45
2.4 La multiplicación
La operación de multiplicar es una suma repetida, en la que uno de los factores
indica el número de veces que se repite el otro factor de la suma.
15 × 4 = 60 → 15 + 15 + 15 + 15 = 60
Los términos de la multiplicación se llaman factores y el resultado producto. Los signos de
la multiplicación son: (×), (∙), (∗) 𝑦 (𝑎)(𝑏).
15 factor
× 4 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
60 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
10
2.4.1 Propiedades de la multiplicación
1. Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
𝒂 × 𝒃 = 𝒃 × 𝒂
𝟑 × 𝟓 = 𝟓 × 𝟑
𝟏𝟓 = 𝟏𝟓
2. Asociativa: Podemos agrupar los factores de diversas maneras sin que varíe el
producto.
(𝒂 × 𝒃) × 𝒄 = 𝒂 × (𝒃 × 𝒄)
(𝟐 × 𝟑) × 𝟓 = 𝟐 × (𝟑 × 𝟓)
𝟔 × 𝟓 = 𝟐 × 𝟏𝟓
𝟑𝟎 = 𝟑𝟎
3. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual que la suma de los
productos del número por los sumandos.
𝒂 × (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 × 𝒃) + (𝒂 × 𝒄)
𝟐 × (𝟑 + 𝟓) = (𝟐 × 𝟑) + (𝟐 × 𝟓)
𝟐 × 𝟖 = 𝟔 + 𝟏𝟎
𝟏𝟔 = 𝟏𝟔
4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número
multiplicado por 1 da el mismo número.
𝒂 × 𝟏 = 𝒂
𝟓 × 𝟏 = 𝟓
11
2. 5 División.
La división es la operación matemática inversa a la multiplicación.
Los términos de la división se llaman: dividendo, divisor, cociente y residuo.
𝑪𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓
𝑹𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒐
=
𝑪𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 ÷ 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 = 𝑪𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
El resultado se puede comprobar de la siguiente manera:
(𝑪𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 × 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓) + 𝑹𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒐 = 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐
2.5.1 Casos particulares de la división.
 Todo número dividido entre si da como resultado 1.
36 ÷ 36 = 1
 Todo número dividido entre la unidad da como resultado el mismo número.
7 ÷ 1 = 7
 Al dividir cero (0)entre cualquier número, excepto entre cero da como resultado cero.
0 ÷ 6 = 0
La división entre cero no existe porque al multiplicar el cociente cualquiera que fuera
por cero siempre tendremos como residuo el mismo dividendo.
9 ÷ 0
12
2.6 Ley de signos para la multiplicación y división.
Multiplicación
División
(+)
= (+)
(+)
(+)(+) = (+)
(−)(−) = (+)
(−)
= (+)
(−)
(+)(−) = (−)
(+)
= (−)
(−)
(−)(+) = (−)
(−)
= (−)
(+)
Ejemplos:
Ejemplos:
𝒂) (𝟒)(𝟓) = 𝟐𝟎
𝟖𝟏
=𝟗
𝟗
−𝟐𝟒
𝒇)
= 𝟏𝟐
−𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒈)
= −𝟓
−𝟐
−𝟓𝟎𝟎
𝒉)
= −𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝒆)
𝒃) (−𝟗)(−𝟒) = 𝟑𝟔
𝒄) (𝟒)(−𝟒) = −𝟏𝟔
𝒅) (−𝟓)(𝟐𝟎) = −𝟏𝟎𝟎
13
2.7 Fracciones.
Es una expresión que representa una o varias partes de la unidad.
Ejemplo:
1 8 12 7
, , ,
2 3 8 5
Elementos de una fracción:
El número que va sobre la línea se llama “numerador” y el número que está debajo de esta línea se
llama “denominador”.
2
5
Numerador
Denominador
El numerador me indica cuantas partes se toman de la unidad.
El denominador me indica en cuantas partes se va a dividir mi unidad.
Ejemplo:
5
8
Una fracción es una división de números enteros y se dividen estas en fracciones
propias, fracciones impropias y fracciones mixtas.
14
Fracción propia
Fracción impropia
Su valor es menor al de la Su valor es mayor o igual que
unidad.
la unidad
Ejemplos:
Ejemplos:
𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟏
,
, ,
𝟓 𝟏𝟕 𝟕 𝟑
Fracción mixta
Se forma de un entero y una
fracción propia.
Ejemplos:
𝟖 𝟏𝟐 𝟔 𝟒
,
, ,
𝟑 𝟕 𝟓 𝟒
𝟐 𝟏 𝟕
𝟐 ,𝟓 ,𝟔
𝟑 𝟐 𝟕
Como pasar de una fracción impropia a una fracción mixta:
1.
2.
3.
4.
7
3
Se hace la división del numerador entre el denominador.
El cociente es la parte entera de la fracción mixta.
El residuo es el numerador de la fracción mixta.
El denominador es el mismo que en la fracción impropia.
=2
1
3
3
2
7
6
1
Cociente
Residuo
Como pasar de fracción mixta a fracción impropia:
1. Se deja el mismo denominador de la fracción mixta.
2. El numerador es la multiplicación del denominador por la parte entera mas el numerador de
la fracción mixta.
𝑎
𝑏 𝑎𝑥𝑐+𝑏
=
𝑐
𝑐
Ejemplo:
5 9𝑥3 + 5 27 + 5 32
3 =
=
=
9
9
9
9
15
2.8 Fracciones equivalentes.
Si a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y denominador por el mismo
número obtenemos una fracción equivalente.
Ejemplo:
8 16
=
4
8
Ya que: (8) (8) = (4) (16)
64 = 64
12 1
=
36 3
Ya que (12) (3) = (36) (1)
36 = 36
14 24
=
7
12
Ya que (14) (12) = (7) (24)
168 = 168
2.9 Suma y resta de fracciones con igual denominador.
Para sumar y restar fracciones con igual denominador realizamos solo la suma y resta de
los numeradores y el denominador pasara como resultado.
𝑎 𝑐 𝑑 𝑎+𝑐−𝑑
+ − =
𝑏 𝑏 𝑏
𝑏
Ejemplo:
4 8 5 4+8−5 7
1
+ − =
= =2
3 3 3
3
3
3
16
2.10 Mínimo común múltiplo (m.c.m)
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que
es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales,
números negativos o números complejos.
Obtener el m.c.m de 36, 12 𝑦 15.
La solución es que se descomponen simultáneamente los números en sus factores primos hasta que
el cociente de cada uno de ellos sea la unidad.
36 12 15 2
18 6 15 2
9 3 15 3
3 1 15 3
5 5
1 1
1 1
1 1
Por lo tanto: 𝑚. 𝑐. 𝑚 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
2.11 Suma de fracciones con diferente denominador.
Se obtiene el común denominador o mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual
se divide entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su respectivo
numerador, los números que se obtienen se suman o se restan, según sea el caso.
2 5 1
+ − =
3 4 6
3
3
3
1
4
2
1
1
6
3
3
1
Por lo tanto:𝑚. 𝑐. 𝑚 = 2 × 2 × 3 = 12
17
2
2
3
Entonces el común denominador de la fraccion es 12.
2 5 1 2(4) + 5(3) − 1(2) 8 + 15 − 2 21 ÷ 3 7
+ − =
=
=
=
3 4 6
12
12
12 ÷ 3 4
2.12 Multiplicación de fracciones.
La multiplicación de fracciones se realiza de la siguiente manera:
1. Se realiza la multiplicación del numerador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción, siendo el resultado de esta multiplicación el numerador de la fracción
resultante.
2. Realizamos ahora la multiplicación del denominador de la primera fracción por el
denominador de la segunda fracción.
Ejemplo:
a c
ac a c ac
ó ⋅ =
( )( ) =
b d
bd b d bd
9 5
9 ⋅ 5 45
=
( )( ) =
4 2
4⋅2
8
2 7
2 ⋅ 7 14
7
=
=
( )( ) =
7 6
7 ⋅ 6 42 21
2.13 División de Fracciones.
La división de fracciones se realiza de la siguiente manera:
1. Se realiza la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción, siendo el resultado de esta multiplicación el numerador de la fracción
resultante.
2. Realizamos ahora la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador
de la segunda fracción.
a
a
c
ad b ad
ó =
( )÷( )=
b
d
bc c bc
d
18
Ejemplo:
9
5
9 ∙ 2 18
=
( )÷( )=
4
2
4 ∙ 5 20
2
7
2 ∙ 6 12
=
( )÷( )=
7
6
7 ∙ 7 49
3. Potencia
El producto de factores iguales se expresa convenientemente por símbolos, así por ejemplo;
𝒙∙𝒙∙𝒙∙𝒙
𝐱 𝟒 , el resultado de la multiplicación o producto se llama la potencia de
En este caso 𝐱 𝟒 , es la cuarta potencia de “x”, el número x se llama base y al
Se escribe como
los factores.
pequeño número 4 se le llama exponente (este se escribe a la derecha y arriba de la base), el
exponente es el número de veces que se multiplica la base.
Una potencia es una operación matemática que consta de dos partes , por un lado esta la
base que es el numero que se multiplica por si mismo y por otro el exponente que nos indica el
número de veces que se multiplica el número.
Falta tema,,,,,,, de la pag 21 del manual 1
Es una operación matemática que puede considerarse un caso particular de la multiplicación, en la
que intervienen un determinado número de factores iguales.
Los elementos de una potenciación reciben los siguientes nombres:
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑛𝑎 = 𝑏
𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎3 4 6
𝑏𝑎𝑠𝑒
36 = 729 → 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
19
1. La base es el número que se va a multiplicar por sí mismo.
2. El exponente es el número que nos indica las veces que se va a multiplicar la base.
3.1 Leyes de los exponentes
Sea a y b cualquier número dado.
Ley.
Ejemplo.
𝑎1 = 𝑎
91 = 9
𝑎0 = 1
48990 = 1
𝑎−1 =
1
𝑎
8−1 =
𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
𝑚
𝑛
𝑎 ∕𝑎 =𝑎
1
81
895 ∙ 897 = 895+7 = 8912
128
8−4
4
=
12
=
12
124
𝑚−𝑛
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
(187 )2 = 187⋅2 = 1814
(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏𝑛
(7 ∙ 2)8 = 78 ∙ 28
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
( ) = 𝑛
𝑏
𝑏
7 5 75
( ) = 5
2
2
𝑎−𝑛 =
𝑛
√𝑎𝑚
=
1
𝑎𝑛
58−5 =
𝑚
𝑎𝑛
2
1
585
8
√898 = 892
20
Ejemplos:
a) 23 ⋅ 24 ⋅ 22 = 23+4+2 = 29
b) (−2)3 ⋅ (−2)4 ⋅ (−2)2 = −23 ∙ 24 ∙ 22 = −23+4+2 = −29
(−2)3 ∙ (−2)4 −23 ∙ 24
c)
=
= −23+4−2 = −25
2
(−2)2
2
d) (−1)3 ∙ (−1)4 ∙ (1)5 = −13 ⋅ 14 ⋅ 15 = −13+4+5 = −112
e) 22 ⋅ (−4)2 ∙ (−8)3 = 22 ∙ 42 ∙ (−1) ⋅ 83 = −22 ∙ 24 ⋅ 29 = −22+4+9 = −215
f) 50 ⋅ (−5)0 ∙ 5 = 1 ∙ 1 ∙ 5 = 5
4. Raíz / Radicales
La operación inversa de elevar un número al cuadrado, se llama raíz cuadrada. Extraer la
raíz cuadrada de un número consiste en hallar otro número que elevado al cuadrado dé el número
con que se empezó la operación.
Los elementos de la raíz cuadrada, son los siguientes:
Í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆
2
√16 4
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍
𝑹𝒂í𝒛
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
Radical "√
": Signo que representa la operación de radicación.
Índice "𝟐": Indica el tipo de raíz que se busca (Cuadrada, cúbica, etc.).
2
Nota: En la raíz cuadrada el índice no se escribe. √16 = √16
21
Radicando o subradical "𝟏𝟔": Número al que se le va a extraer la raíz indicada.
Raíz "𝟒": Resultado de la radicación, número que multiplicado por sí mismo “4” las veces que
indica el índice “2”, nos da el radicando "16".
Observa el siguiente ejemplo:
√64 = ±8 √−64 ∉ ℝ
3
;
3
√8 = 2
√−8 = −2
2.16.1 Potencia de exponente fraccionario a radical.
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el
denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del
radicando.
Ejemplo:
1
3
53 = √5
2
5
4 5 = √4 2
1
2
72 = √7
Radicales equivalentes:
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias
asociadas son equivalentes.Dado un radical se puede obtener infinitos radicales multiplicando o
dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número.
Ejemplo:
3
6
√5 2 = √ 5 4
Son equivalentes por ser:
22
2
3
=
4
6
Extracción e introducción de factores:
Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor dentro de un radical se eleva el factor
a la potencia que se indica el índice y se escribe dentro.
Ejemplo:
3
3
2 √5 = √5 ∙ 23
5
5
6 √3 = √3 ∙ 65
Si algún factor del radicando tiene por exponentes un número mayor que el índice, se puede extraer
fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente
del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.
Ejemplo:
13
= 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 2 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜: 3
5
5
5
√213 = 22 √23
Calculo de raíces:
¿Como se resuelve la raíz cuadrada de un entero sin calculadora?
Veamos un ejemplo:
√45,23,21 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎

Ponemos comas cada dos cifras de de derecha a izquierda a partir del punto decimal.
√45,23,21
23

Buscamos un numero cuyo cuadrado sea igual o menor que las primeras dos cifras del
radicando. Después hacemos la resta correspondiente.
√45,23,21 6
6 × 6 = 36
7 × 7 = 49, 𝑒𝑙 7 𝑦𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒.
√45,23,21
6
−
36
9

Bajamos las siguientes dos cifras del radicando.
√45,23,21
6
−
36
923
𝐵𝑎𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 23

Multiplicamos la primera cifra de la raíz por dos.
√45,23,21
6
−
36
6 × 2 = 12
923
24

Dividimos las primeras dos cifras del residuo entre el resultado de multiplicar la primera cifra
de la raíz por dos. Y la segunda cifra de la raíz es su parte entera de realizar esta división.
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
√45,23,21
67
−
36
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠
6 × 2 = 12
923
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 2 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
92 ÷ 12 = 7

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
Al resultado de multiplicar la primera cifra de la raíz por dos, le agregamos también la
segunda cifra de la raíz.
√45,23,21
67
−
36
6 × 2 = 12 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠
923
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
127
92 ÷ 12 = 7

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
Ahora multiplicamos la segunda cifra de la raíz por el nuevo número de agregar la primera
cifra de la raíz por dos y la segunda cifra. El resultado que nos de lo restamos con el residuo
del radicando.
√45,23,21
67
−
36
6 × 2 = 12
923
−
889
127
34
127 × 7 = 889
25

Bajamos las siguientes dos cifras del radicando.
√45,23,21
67
−
36
6 × 2 = 12
923
−
889
127
3421
𝐵𝑎𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 21

Ahora multiplicamos las dos cifras de la raíz por dos.
√45,23,21
−
36
923
−
889
3421

67
6 × 2 = 12
127
67 × 2 = 134
𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠
En el paso anterior tomamos dos cifras del residuo para calcular la segunda cifra de la raíz,
ahora tomaremos una mas para calcular la tercera cifra y así sucesivamente. Efectuamos la
división de las 3 cifras del residuo con la multiplicación de las dos cifras de la raíz por dos, la
parte entera de esta división es la tercera cifra de la raíz.
√45,23,21
−
36
923
−
889
3421
672
𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
6 × 2 = 12
127
67 × 2 = 134
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
342 ÷ 134 = 2
𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
26
𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠

Al resultado de multiplicar las dos cifras de la raíz por dos, le agregamos también la tercera
cifra de la raíz.
√45,23,21
−
36
923
−
889
3421
342 ÷ 134 = 2

672
6 × 2 = 12
127
𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠
67 × 2 = 134
1342 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧
Ahora multiplicamos la tercera cifra de la raíz por el nuevo número de agregar las dos cifras
de la raíz por dos y la tercera cifra. El resultado que nos de lo restamos con el residuo del
radicando.
√45,23,21
−
36
923
−
889
3421
−
2684
737
672
6 × 2 = 12
127
67 × 2 = 134
1342
1342 × 2 = 2684
Finalmente la raíz cuadrada de 452321es: 672y su residuo es 732.
27
Reducir a índice común:
Reducir a índice común dos o mas radicales es encontrar radicales equivalentes a los datos que
tengas el mismo índice.
El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m de los índices.
El mínimo índice común es el m.c.m de los índices.
6
Ejemplo: Reducir a índice común √2;
10
√3
𝑚. 𝑐. 𝑚(6,10) = 30

El índice del m.c.m pasa como nuevo índice de los radicales. Ahora dividimos el m.c.m con
el índice y el resultado es el exponente del radicando.
30
6
√2 = √25
30 ÷ 6 = 5
10
30
√3 = √33
30 ÷ 10 = 3
;
;
Simplificar radicales: Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o
los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.
Ejemplo:
4
4
2
√36 = √24 ∙ 32 = √2 ⋅ 3 = √6
5
5
√1024 = √210 = 22 = 4
Propiedades de los radicales
Propiedad 1:El radical del producto es igual al producto de los radicales.
n
n
√a ⋅ b = n√a ⋅ √b
Ejemplo:
a) √2 ⋅ √5 = √2 ∙ 5 = √10
3
3
3
3
b) √8 ∙ √3 = √8 ∙ 3 = √24
15
15
15
15
c) √13 ∙ √7 = √13 ∙ 7 = √91
28
Propiedad 2:El radical de un cociente es igual al cociente de los radicales.
n
a √a
√ =n
b √b
n
Ejemplo:
9 √9
a) √ =
5 √5
3
8 √8
b) √ = 3
9 √9
3
9
c)
9 15
9
= √ = √5
3
√3
√15
9
Propiedad 3:El radical de una potencia es igual a la potencia de un radical.
n
n
√am = ( √a)
m
Ejemplo:
4
9
9
a) √74 = (√7)
8
4
4
b) (√3) = √38
39
39
c) √92 = ( √9)
2
Propiedad 4:El radical de un radical es otro radical cuyo índice es el producto de
los índices.
n
√ m√a =
29
n⋅m
√a
Ejemplo:
5
2
5∙2
10
a) √ √4 = √4 = √4
10
10∙9
90
12 4
12⋅4
48
9
b) √ √14 =
c) √ √15 =
√14 = √14
√15 = √15
2
8
4
2⋅4
d) √ √18 = √18 = √18
Sumas y resta de radicales: Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen
que ser equivalentes o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) √5 + 2√5 − 6√5 = −3√5
En este ejercicio se pueden sumar ya que tienen el mismo índice y radicando.
b) 8√20 + 3√45 − √5
Estos radicales no son semejantes pues los radicando son diferentes 20,45 y 5. Pero vamos a
extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
8√20 + 3√45 − √5
= 8√22 ∙ 5 + 3√32 ∙ 5 − √5
Una vez extraídos los factores lo que se realiza es sacarlos pero como están al cuadrado se quitan
los cuadrados y se multiplican por el número que esta fuera:
= 8√22 ∙ 5 + 3√32 ∙ 5 − √5
= 8 ∙ 2√5 + 3 ∙ 3√5 − √5
= 16√5 + 9√5 − √5
30
Y ahora si se pueden sumar ya que son semejantes:
= 16√5 + 9√5 − √5
= 24√5
Multiplicaciones y divisiones de radicales: Para que dos radicales se puedan
multiplicas y dividir basta con que tengan el mismo índice.
Ejemplos de multiplicación y división:
√10 ∙ √2 = √20
3
√60
3 60
√ = 3√10
=
3
6
√6
Pero ¿que pasaría si no tuvieran el mismo índice?
3
5
√4 ⋅ √4 =
Te das cuenta y no tienen el mismo índice lo que se tiene que hacer es lo siguiente: Para reducir a
índice común se hace igual que para reducir a denominador común.
15
15
15
15
√45 ⋅ √43 = √45+3 = √48 = 15√65536
La otra forma seria: Pasar de raíz a exponentes:
3
5
√4 ⋅ √4
1
1
= 43 ∙ 4 5
Como son las mismas bases lo que se hace es sumar los exponentes:
1 1
43+5
5+3
= 4 15
8
= 415
31
Una vez obtenido se puede transformar de nuevo a raíz:
15
15
√48 = √65536
Pero si tienen distinto índice y distinta base, lo que se hace es lo siguientes:

Se reduce a índice común los radicales que se están multiplicando y se aplica la propiedad
de raíz de un producto.
Ejemplo:
3
√3 ∙ √2
𝑚. 𝑐. 𝑚(3,2) = 6
6
6
3
6
√3 ∙ √2 = √32 ∙ √23 = √32 ∙ 23
6
6
√9 ∙ 8 = √72
Para la división con distinto índice y distinta base, se hace lo siguiente:

Se reduce a índice común los radicales que se están dividiendo y se aplica la propiedad de
raíz de un cociente.
Ejemplo:
√2
3
√2
𝑚. 𝑐. 𝑚(2,3) = 6
√2
3
√4
6
=
√23
6 8
√
=
6
16
√42
6 1
=√
2
32
Racionalización:
Racionalizar una expresión con un radical en el denominador, consiste en encontrar una expresión
equivalente que no tenga raíces en el denominador.
Reglas:
1. Se multiplica numerador y denominador por la expresión adecuada para que, al operar, la
raíz desaparezca.
Ejemplo:
1
3
√5
1
3
3
√52
√25
∙
=
3
3
5
√5 √52
=
Cuando el denominador en un binomio, tiene dos términos, se hace lo siguiente:
1. Se multiplica numerador y denominador por su conjugado del denominador.
Ejemplo:
1
√5 − √3
=
1
∙
√5 + √3
√5 − √3 √5 + √3
=
√5 + √3
5−3
=
√5 + √3
2
=
Jerarquía de las operaciones
Se refiere al orden en el que se resuelve un cálculo que contenga las operaciones de suma, resta,
multiplicaciones, división, potencial y raíz, así como signos de agrupación. De esta forma se
garantiza obtener el resultado correcto.
Orden de las operaciones:
1. Potencias y raíces.
2. Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
3. Sumas y resta de izquierda a derecha.
33
Ejemplo:
 Al simplificar la operación: 36 ÷ 9 × 4 + √16 × 3 − 10 ÷ 5
Primero realizamos lo que son las potencias y raíces como en esta operación no tenemos potencias
realizamos lo que son las raíces quedando:
36 ÷ 9 × 4 + √16 × 3 − 10 ÷ 5
36 ÷ 9 × 4 + 4 × 3 − 10 ÷ 5
Después realizamos las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha comenzamos:
36 ÷ 9 × 4 + 4 × 3 − 10 ÷ 5
36 ÷ 36 + 12 − 10 ÷ 5
Después realizamos los cocientes:
36 ÷ 36 + 12 − 10 ÷ 5
1 + 12 − 2
Y al final se efectúan lo que son las sumas:
1 + 12 − 2
13 − 2
13 − 2 = 11
Signos de agrupación (Uso del paréntesis)
Los paréntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante
las demás, o bien para indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo.
Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes reglas:
1. Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir sin cambiar
los signos de los términos que están dentro de ellos.
2. En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo, entonces al
suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de signo.
3. En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende que el
paréntesis tiene un signo positivo.
34
Ejemplos explicados pasó a paso:
1o
a) 𝟔 + 𝟐 × 𝟓 =
Multiplicamos:2 × 5 = 10
2o Sumamos:6 + 10 = 16
b )−𝟖 ÷ 𝟐 − 𝟓 =
1o Dividimos:−8 ÷ 2
= −4
2o Restamos:−4 − 5 = −9
c) 𝟓 × 𝟑 + (𝟔 + 𝟏) =
1o
Sumamos lo que está dentro del paréntesis:6 + 1 = 7
2o Multiplicamos:+(+) = +; para eliminar el paréntesis:+7
3oMultiplicamos:5 × 3 = 15
4oFinalmente se suma:7 + 15 = 22
d)−𝟓 + 𝟕 − (𝟓 × 𝟏) =
1o Multiplicamos:5 × 1 = 5
2o Paréntesis:−(+) = −; para eliminar el paréntesis:−5
3o Sumamos:−5 + 7 = 2
4oSumamos:2 − 5 = −3
e) 𝟐— [−(𝟕 − 𝟐) + 𝟏] − 𝟒 =
1° Realizamos la operación del paréntesis: 7 − 2 = 5
2° Quitamos el paréntesis: 2 − [−5 + 1] − 4
3° Sumamos:−5 + 1 = −4y queda:2 − [−4] − 4
35
4° Multiplicamos:−[−] = + y quitamos los corchetes:2 + 4 − 4
5° Sumamos:2 + 4 − 4 = 2
f) −𝟓[(𝟑 × 𝟐) ÷ (−𝟑) + 𝟏] =
1° Se realiza la operación dentro de los paréntesis: −5[6 ÷ (−3) + 1]
2° Dividimos:6 ÷ (−3) = −2 y queda:−5[−2 + 1]
3° Sumamos −2 + 1 = −1y queda:5[−1]
4° Multiplicamos 5(−1) = −5
INIDAD 4. Álgebra
Lenguaje algebraico: El lenguaje algebraico es simplemente traducir lo que normalmente
hablamos a expresiones particulares con símbolos y números. Cuando hablamos de una
situación en la que necesitamos encontrar una respuesta, por todos lados escuchamos frases
como esta: “Lo más adecuado es escribirlo en forma de ecuación”.
La idea de esto es manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir. Un ejemplo
muy simple es el siguiente enunciado:
“Lo que gasté en dulces en la tienda fue el precio de cada dulce por el número de dulces que
compre.”
Escrito en Lenguaje Algebraico puede quedar de la siguiente manera:
𝐺 = 𝑃·𝑁
Aquí G significa “lo que gasté”, P significa el "precio por dulce" y N significa "la cantidad de dulces".
Lo que desconoces lo sustituyes con letras.
“Veinticuatro más un número vale 𝟏𝟐𝟑”
Sería lo mismo que escribir: "24 + 𝑎 = 123”
Nota: Cuando veas un grupo de dos o más letras seguidas, un número seguido de una
letra:7ax 5 , 5w 3 y 2 se entiende que entre ellos existe el signo × (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛).
36
Sería lo mismo que escribir:7 × a1 × x 5 ; 5 × w 3 × y 2 .
Nota:Una letra sin exponente, se entiende que lleva el1.
Nota:Una o más letras sin un número por delante, se entiende que lleva el1.
Teniendo en cuenta lo que acabas de leer observa algunos ejemplos de lenguaje algebraico:
1) La suma de dos números es igual a 15;𝑎 + 𝑏 = 15
2) La suma de 4123 con otro número vale 8765;4123 + 𝑚 = 8765
3) El triple de un número vale 375;3𝑎 = 375
4) La diferencia de dos números es igual a 456;𝑥 – 𝑦 = 456
5) Un número aumentamos en 15 unidades;𝑎 + 15
6) El producto de dos números vale 375;𝑚𝑛 = 375
7) Tres veces un número más 36;3𝑥 + 36
h
8) El cociente de dos números vale 36; = 36
k
9) Cinco veces un número menos el doble del segundo es igual a 45;5𝑥 – 2𝑦 = 45
10) La raíz cuadra de un número más el triple de su valor vale 234; √a + 3a = 234
11) El doble de la suma de dos números vale 7566;2(𝑥 + 𝑦) = 7566
12) 12 veces un número más 36 es igual a 72;12𝑥 + 36 = 72
37
Conceptos básicos que debes saber
𝑎2 𝑏 7 𝑐 3
𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜: { 25𝑎𝑏4
√𝑎 2 𝑏 2
Término: Expresión algebráica que consta de cuatro elementos que son signo, coeficiente,
literal y exponente.
Ejemplo:
−3𝑥 2
Signo: −
Coeficiente: 3
Literal: 𝑥
Exponente: 2
Signo: El signo siempre se encuentra de lado izquierdo del valor numérico, o literal (letra); de no
tener signo se entiende que el signo es positivo.
Coeficiente:Es el número que se encuentra de lado izquierdo de las literal (letra); si no lleva ninguna
cifra, recuerda que lleva el 1.
Literal:Está compuesta por letras.
Exponente: Este elemento acompaña a las literales, indicando a que potencia esta elevada la literal
(letra)
38
Expresión algebraica
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas.
Monomio:
Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
Ejemplo:
1)5𝑎2 𝑏3
2) √4𝑎𝑏2
3)
5𝑥 3 𝑦 2
4
√2𝑐 3
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplo:
1) 5𝑎2 𝑏3 + √𝑎2 + 𝑏 2
2) √4𝑎𝑏 2 + (𝑎 + 𝑏)2
𝑎3 𝑏
3)
− √12𝑑4
2
2𝑎𝑏
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
3𝑥 2 𝑚7 𝑐
7𝑥 𝑦 𝑧 − 4𝑚 𝑛 +
2𝑎𝑛3
3 2 4
2 5
39
Nota: Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman “Polinomios”.
Ejemplo:
𝑎2 𝑥 + 𝑏𝑦 2 − 2𝑎𝑦 + 2𝑏𝑥 + 5𝑐𝑧
Grado de un monomio:
Tenemos el término:
2𝑎2 𝑏3 𝑐
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. El grado respecto a la letra "𝑎" es 2, respecto
a "𝑏" es 3 y respecto a "𝑐"es1.
Ordenar un polinomio:
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su grado con
respeto a una de sus literales:
40
Ordena el polinomio:3𝑥 3 − 12𝑥 5 + 7𝑥 4 + 15𝑥 6 + 8𝑥
Respuesta:15𝑥 6 − 12𝑥 5 + 7𝑥 4 + 3𝑥 3 + 8𝑥
Ordenar un polinomio respecto a una letra:
Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.
Ejemplo:
Ordena respecto a ‘𝑥’, el polinomio:
3𝑥𝑦 9 − 4𝑥 7 𝑦 + 8𝑥 2 𝑦 6 − 24𝑥 9 𝑦 8 − 𝑥 3 𝑦 2 + 14𝑥 8
Respuesta:
−24𝑥 9 𝑦 8 + 14𝑥 8 − 4𝑥 7 𝑦 − 𝑥 3 𝑦 2 + 8𝑥 2 𝑦 6 + 3𝑥𝑦 9
Ordena con respecto a ‘z’:
12𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 − 35𝑥𝑦 4 𝑧 5 + 45𝑥 7 𝑦𝑧 − 7𝑥 2 𝑧 9 + 123𝑦 9 𝑧 2 + 𝑧12
Respuesta:
𝑧 12 − 7𝑥 2 𝑧 9 − 35𝑥𝑦 4 𝑧 5 + 12𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 + 123𝑦 9 𝑧 2 + 45𝑥 7 𝑦𝑧
Polinomio completo respecto a una letra:
Llamamos polinomio completo cuando contiene todos los exponentes de un modo consecutivo.
Ejemplo:Polinomio completo y ordenado respecto a la letra ‘𝑎’.
4𝑎4 𝑏 − 8𝑎3 𝑏 7 + 9𝑎2 + 𝑎𝑏 2 + 8
Cuando encontramos un término sin letra o letras se le llama término independiente.
Un término independiente lo podemos considerar como si estuviera acompañado de una letra con
exponente cero. Recuerda que un número o letra si elevamos a cero su resultado vale 1.
40 = 1
;
El ejemplo anterior lo podemos escribir:
41
𝑎0 = 1
4𝑎4 𝑏 − 8𝑎3 𝑏 7 + 9𝑎2 + 𝑎1 𝑏 2 + 8𝑎0
Si ves que a un polinomio le falta un término basta que le pongas un cero como coeficiente:
Ejemplo:
4𝑎4 𝑏 + 9𝑎2 + 𝑎𝑏 2 + 8𝑎0
A este polinomio ordenado según la letra ′𝑎’ le falta el término cuyo exponente de ‘𝑎’ es 3:
4𝑎4 𝑏 + 0𝑎3 + 9𝑎2 + 𝑎1 𝑏 2 + 8𝑎0
Como cero por cualquier valor equivale a cero, las dos últimas expresiones son iguales.
Ejemplo:
𝑥 2 + 7𝑥 5 − 12𝑥 6 + 9𝑥 3 + 2𝑥
Respuesta:
−12𝑥 6 + 7𝑥 5 + 0𝑥 4 + 9𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 0𝑥 0
Ejemplo:
𝑥 8 𝑦𝑧 4 − 8𝑥 2 𝑦 3 𝑧 + 12𝑥 4 𝑦 4 𝑧 4 − 𝑥 5 𝑦 + 7𝑥 3 𝑧 5 + 36𝑥 6 𝑦 2 𝑧 − 9𝑥𝑦
Respuesta:
𝑥 8 𝑦𝑧 4 + 0𝑥 7 + 36𝑥 6 𝑦 2 𝑧 − 𝑥 5 𝑦 + 12𝑥 4 𝑦 4 𝑧 4 + 7𝑥 3 𝑧 5 − 8𝑥 2 𝑦 3 𝑧 − 9𝑥𝑦
Términos semejantes
Llamamos términos semejantes los que tienen la misma parte literal. Esto quiere decir que, dos o
más términos son semejantes si tienen las mismas literales con los mismos exponentes.
Son semejantes:
5𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5
𝑦
− 6 𝑥3𝑦2𝑧 5
Como ves, los signos y los coeficientes o partes numéricas pueden ser diferentes.
Ejemplo: Escribe 3 términos semejantes a: −9𝑤 2 𝑘 3 𝑚1
Respuesta: Entre los infinitos términos semejantes podrían ser:
−3𝑤 2 𝑘 3 𝑚,
4𝑤 2 𝑘 3 𝑚
42
4
𝑦 − 𝑘3𝑤 2𝑚
3
“Recuerda que es suficiente que la parte literal (incluidos los exponentes), sean iguales”.
Reducción de términos semejantes:
Imagina que tienes 4€ en un bolsillo y 3€ en otro, inmediatamente dirás: “Tengo 7€”
En realidad tienes 4€ + 3€ = 7€; 4€ y 3€ es como si fueran dos términos que tienen la
misma parte literal (€).
Así como el euro es la moneda de Europa, el dólar es para los Estados Unidos y no nos extraña
sumar: 5$ + 3$ = 8$
En este caso, la parte literal es el signo$
Para finalizar, en el caso de la moneda japonesa que se llama YEN y se escribe
podemos
sumar:
Otro caso sencillo sería:
9 − 2
= 7
Nota: Si la parte literal no es la misma no podemos sumar ni restar.
No podemos sumar:
4 naranjas + 3 peras
4
+3
=?
Porque la parte literal no es igual.En todos los casos anteriores no nos importa que la parte numérica
o coeficientes y sus signos sean iguales.Lo mismo sucede con las letras y sus exponentes.
Ejemplo:
Vamos a reducir los siguientes términos semejantes:
43
3𝑥 + 5𝑥 = 8𝑥
5𝑚 + 2𝑚 + 3𝑚 = 1𝑂𝑚
𝑤 + 2𝑤 + 5𝑤 − 8𝑤 = 0
Nota: Recuerda que cuando la parte literal carezca de coeficiente, se entiende que lleva el 1.
Nota: “La parte literal nunca varía al hacer una operación aritmética. Quien cambia de valor es la
parte numérica o coeficiente”.
Si tienes que sumar o restar términos de signo diferente como:
5𝑥 3 𝑦 2 𝑤 − 3𝑥 3 𝑦 2 𝑤𝑥 3 𝑦 2 𝑤
Que como ves, son semejantes por tener la misma parte literal, se restan los números: 5 − 3 =
2y se le coloca la misma parte literal.
2𝑥 3 𝑦 2 𝑤
Pero si tienes que restar:
3𝑥 3 𝑦 2 𝑤 − 5𝑥 3 𝑦 2 𝑤
Te encuentras que el sustraendo o el segundo número es mayor que el minuendo o primer número.
Si los términos semejantes tienen distinto signo:
1. Se restan los números o coeficientes: 3 − 5 = −2
2. Al número que resulta de la resta se le pone el signo del número más grande:
3𝑥 3 𝑦 2 𝑤 − 5𝑥 3 𝑦 2 𝑤 = −2𝑥 3 𝑦 2 𝑤
Reducir términos semejantes de distinta clase:
Observa el polinomio siguiente que tiene términos semejantes de dos clases:
7𝑎2 𝑏 3 − 6𝑦 2 − 4𝑎2 𝑏 3 + 8𝑦 2 + 𝑎2 𝑏 3
Debemos hacer los pasos siguientes:
44
1. Agrupamos los términos semejantes de cada clase:
7𝑎2 𝑏 3 − 4𝑎2 𝑏 3 + 𝑎2 𝑏 3 + 8𝑦 2 − 6𝑦 2
2. Reducimos los términos semejantes de cada clase:
7−4+1=4
8−6= 2
3. A los coeficientes calculados les añadimos su parte literal y nos quedará:
4𝑎2 𝑏 3 + 2𝑎2 𝑏 3
Coeficientes fraccionarios en la reducción de los términos semejantes:
Ejemplo:
𝑎 𝑎
+
3 4
Podemos dejar separados el coeficiente de la parte literal:
𝑎 𝑎 1
1
+ = 𝑎+ 𝑎
3 4 3
4
Ahora sumamos los coeficientes, en este caso fraccionarios:
1 1 4+3
7
+ =
=
3 4
12
12
Al valor calculado le añadimos la parte literal y obtenemos el resultado:
7
7𝑎
𝑎=
12
12
Ejemplo:
45
7𝑎𝑏 2 𝑐 2𝑎𝑏 2 𝑐
−
6
3
7 2 7−4 3 1
− =
= =
6 3
6
6 2
Añadimos la parte literal al numerador, pero como el coeficiente 1 no lo escribimos si va
acompañado de parte literal nos queda:
1𝑎𝑏 2 𝑐 𝑎𝑏 2 𝑐
=
2
2
Ejemplo:
2 2 1 2
4
2
2
1
𝑎𝑏 + 𝑥 𝑦 − 𝑎𝑏 2 − 𝑥 2 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑎𝑏 2
3
5
5
15
3
3
Agrupamos los términos semejantes de la misma clase:
2
3
4
1
1
2
5
3
5
15
𝑎𝑏 2 − 𝑎𝑏 2 − 𝑎𝑏 2 + 𝑥 2 𝑦 −
Sumamos los coeficientes de cada clase:
2 4 1 10 − 12 − 5 −7
− − =
=
3 5 3
15
15
1 2 2 11
−
+ =
5 15 3 15
Añadimos sus partes literales: y sumamos:
−7
11 2
𝑎𝑏 2 +
𝑥 𝑦
15
15
7𝑎𝑏 2 + 11𝑥 2 𝑦
=
15
46
2
𝑥 2𝑦 + 𝑥 2𝑦 =
3
Valor numérico de una expresión algebraica:
Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados
por la expresión y obtener así un resultado.
Ejemplo:
2𝑎2 𝑏 3 𝑐 − 7𝑎
𝑎=2
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖 {𝑏 = 3
𝑐=5
Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos aritméticos:
2𝑎2 𝑏 3 𝑐 − 7𝑎
= (2)(2)2 (3)5 (5) − (7)(2)
= (8)(27)(5) − 14
= (40)(27) − 14
El signo
menos
= 1080
− 14delante de una fracción afecta solamente al
= 1066
numerador.
Ejemplo:
3 −3
− =
5
5
𝑎𝑥 + 𝑐𝑑 − ℎ𝑓 + 𝑎𝑐𝑑 − ℎ𝑓𝑥
47
1
1
1
1
𝑎 = ;𝑏 = ;𝑐 = ;𝑑 =
2
3
4
5
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖 {
1
1
1
𝑓 = ;ℎ = ;𝑥 =
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=( ) ( ) + ( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) − ( ) ( ) ( )
2
8
4
5
7
6
2
4
5
7
6
8
1
1
1
1
1
+
−
+
−
16 20 42 40 336
31
=
280
=
Operaciones con expresiones algébricas
Después de lo estudiado y aprendido hasta aquí, verás que sumar, restar, multiplicar y dividir
polinomios es una tarea además de poco aburrida es muy sencilla.
Suma y Resta de términos semejantes:
Regla importante: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar.
Términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal, es decirlas mismas
letras y cada una con los mismos exponentes.
Reglas:
1. Se agrupan los términos semejantes.
2. Se suman o restan los coeficientes (parte numérica).
3. Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.
Nota: Cuando en la expresión no todos los términos son semejantes se suman solo los términos
semejantes y se dejan indicado el resto.
Ejemplo ilustrativo para signo positivo:
48
(8𝑥 + 5𝑚 − 3𝑥 2 ) + (+7𝑥 − 3𝑚 + 5𝑥 2 ) =
8𝑥 + 5𝑚 − 3𝑥 2 + 7𝑥 − 3𝑚 + 5𝑥 2
8𝑥 + 7𝑥 = 15𝑥
5𝑚 − 2𝑚 = 3𝑚
−3𝑥 2 + 5𝑥 2 = 2𝑥 2
= 15𝑥 + 2𝑚 + 2𝑥 2
Como puede verse el signo más (+) antes de un símbolo de agrupación no cambia el signo de
todos los términos agrupados, esta regla se mantiene para toda la matemática.
49
Valor numérico de una expresión algebraica:
Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados
por la expresión y obtener así un resultado.
Ejemplo:
2𝑎2 𝑏 3 𝑐 − 7𝑎
𝑎=2
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖 {𝑏 = 3
𝑐=5
Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos aritméticos:
2𝑎2 𝑏 3 𝑐 − 7𝑎
= (2)(2)2 (3)5 (5) − (7)(2)
= (8)(27)(5) − 14
= (40)(27) − 14
= 1080 − 14
= 1066
Ejemplo:
𝑎𝑥 + 𝑐𝑑 − ℎ𝑓 + 𝑎𝑐𝑑 − ℎ𝑓𝑥
1
1
1
1
𝑎 = ;𝑏 = ;𝑐 = ;𝑑 =
2
3
4
5
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖 {
1
1
1
𝑓 = ;ℎ = ;𝑥 =
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=( ) ( ) + ( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) − ( ) ( ) ( )
2
8
4
5
7
6
2
4
5
7
6
8
1
1
1
1
1
+
−
+
−
16 20 42 40 336
31
=
280
=
50
Operaciones con expresiones algébricas
Después de lo estudiado y aprendido hasta aquí, verás que sumar, restar, multiplicar y dividir
polinomios es una tarea además de poco aburrida es muy sencilla.
Suma y Resta de términos semejantes:
Regla importante: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar.
Términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal, es decirlas mismas
letras y cada una con los mismos exponentes.
Reglas:
4. Se agrupan los términos semejantes.
5. Se suman o restan los coeficientes (parte numérica).
6. Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.
Nota: Cuando en la expresión no todos los términos son semejantes se suman solo los términos
semejantes y se dejan indicado el resto.
Ejemplo ilustrativo para signo positivo:
(8𝑥 + 5𝑚 − 3𝑥 2 ) + (+7𝑥 − 3𝑚 + 5𝑥 2 ) =
8𝑥 + 5𝑚 − 3𝑥 2 + 7𝑥 − 3𝑚 + 5𝑥 2
8𝑥 + 7𝑥 = 15𝑥
5𝑚 − 2𝑚 = 3𝑚
−3𝑥 2 + 5𝑥 2 = 2𝑥 2
= 15𝑥 + 2𝑚 + 2𝑥 2
Como puede verse el signo más (+) antes de un símbolo de agrupación no cambia el signo de
todos los términos agrupados, esta regla se mantiene para toda la matemática.
51
Ejemplo ilustrativo para signo negativo.
(8𝑥 + 5𝑚 − 3𝑥 2 ) −
(+7𝑥 − 3𝑚 + 5𝑥 2 ) =
8𝑥 + 5𝑚 − 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3𝑚 − 5𝑥 2
8𝑥 − 7𝑥 = 𝑥
5𝑚 + 3𝑚 = 8𝑚
−3𝑥 2 − 5𝑥 2 = −8𝑥 2
= 𝑥 + 8𝑚 − 8𝑥 2
Como puede verse el signo menos(−) antes de un símbolo de agrupación cambia el signo de
todos los términos agrupados, esta regla se mantiene para toda la matemática.
Ejemplo:
25𝑥 + 12𝑦 + (−31𝑥 − 8𝑦 + 5𝑥)
= 4𝑦 − 𝑥
25𝑥 − (31𝑥 − 5𝑥)
= −𝑥
43𝑚𝑥 3 + 7𝑚𝑥 + (−17𝑚𝑥 3 − 13𝑚𝑥)
= 26𝑚𝑥 3 − 6𝑚𝑥
4𝑥 + 2𝑎𝑥 − 5𝑥 + (7𝑎𝑥 + 𝑥)
= 9𝑎𝑥
4𝑥 + 2𝑎𝑥 − 5𝑚 + 7𝑎𝑥 + 𝑥 − 7𝑚
= 5𝑥 + 9𝑎𝑥 − 12𝑚
52
Multiplicación algebraica
Multiplicación de monomios:
Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un término por otro término.
Multiplicación de monomios donde solo un monomio tiene literales:
Reglas:
1.
2.
Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.
Se multiplica los coeficientes de los monomios y la parte literal pasa igual.
Ejemplos:
5𝑥 2 (7) = 35𝑥 2
−6𝑎𝑏𝑐 (3) = −18𝑎𝑏𝑐
−2𝑥(−4𝑎) = 8𝑎𝑥
Multiplicación de monomios con literales iguales:
Reglas:
53
1.
2.
3.
4.
Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.
Se multiplican los coeficientes.
Se multiplican las literales sumándoles también los exponentes de las mismas.
Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado.
Ejemplos:
(3𝑥)(6𝑥 2 ) = 3 ⋅ 6 ⋅ 𝑥 1+2 = 18𝑥 3
(2𝑥)(−𝑦)(𝑥)
= −2𝑥 1+1 𝑦
= −2𝑥 2 𝑦
(2𝑥𝑦 2 )(2𝑥 3 𝑦𝑧 2 )(−5𝑧)(−3𝑦 3 𝑧)
= (4𝑥 4 𝑦 3 𝑧 2 )(−5𝑧)(−3𝑦 3 𝑧)
= (−20𝑥 4 𝑦 3 𝑧 3 )(−3𝑦 3 𝑧)
4
= 60𝑥 𝑦 6 𝑧 4
En el último ejemplo se multiplican primero los dos primeros factores entre sí, sin tocar el resto,
luego se multiplica este resultado por el tercer factor, por último se multiplicó este segundo resultado
por el cuarto factor obteniéndose el resultado final.
Multiplicaciones de monomio entre polinomio:
Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra
multiplicando a un polinomio.
Reglas:
54
1. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.
2. Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los
exponentes de las literales iguales.
Ejemplo:
5(𝑥 + 𝑦) = 5𝑥 + 5𝑦
−7(𝑥 + 𝑦) = −7𝑥 − 7𝑦
(2𝑥)(7𝑥 + 6𝑧 − 9) = 14𝑥 2 + 12𝑥𝑧 − 18𝑥
Multiplicación de polinomios:
La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso
se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o
cero.
Reglas:
55
1. Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas
anteriormente.
2. Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los
exponentes de las literales iguales.
3. Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.
Ejemplo:
(𝑥 + 𝑦)(5𝑥 − 𝑦) = 5𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 5𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦 2

Se multiplica la “𝑥 ” por cada factor del segundo paréntesis, tomando en cuenta leyes de signos
y leyes de los exponentes.

Después se multiplica “𝑦” por cada factor del segundo paréntesis de igual forma no se te olvide
aplicar leyes de signos y ley de los exponentes si es necesario.
Como puede verse en el ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es
planteándolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando términos
semejantes.
Multiplicaciones sucesivas:
Es cuando se multiplican monomios y polinomios más de una vez.
Reglas:
1. Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas
anteriormente.
56
2. Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera.
3. Se multiplica el resultado de la operación anterior con el tercer factor y así se sigue
sucesivamente.
Ejemplo: 𝑧(5 − 𝑧)(𝑧 + 2)(𝑧 − 9)
Lo desarrollaremos de dos maneras:

Primera forma “factor por factor”
𝑧(5 − 𝑧)(𝑧 + 2)(𝑧 − 9)
= (5𝑧 − 𝑧 2 )(𝑧 + 2)(𝑧 − 9)
= (5𝑧 2 + 10𝑧 − 𝑧 3 − 2𝑥 2 )(𝑧 − 9)
= (−𝑧 3 + 3𝑧 2 + 10𝑧)(𝑧 − 9)
= 10𝑧 2 − 90𝑧 + 3𝑧 2 − 27𝑧 2 − 𝑧 4 + 9𝑧 2
= −90𝑧 − 17𝑧 2 + 12𝑧 3 − 𝑧 4

Segunda forma “multiplicaciones simultáneas”
𝑧(5 − 𝑧)(𝑧 + 2)(𝑧 − 9)
= (5𝑧 − 𝑧 2 )(𝑧 2 − 9𝑧 + 2𝑧 − 18)
= (5𝑧 − 𝑧 2 )(𝑧 2 − 7𝑧 − 18)
= 5𝑧 3 − 35𝑧 2 − 90𝑧 − 𝑧 4 + 7𝑧 3 + 18𝑧 2
= −90𝑧 − 17𝑧 2 + 12𝑧 3 − 𝑧 4
Supresión de signos de agrupación con productos indicados:
Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobre entiende si no tiene
coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese
coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación.
Ejemplo:
−(𝑥 + 𝑦)[−3(𝑎 + 3𝑏 + 7)]
57
= (−𝑥 − 𝑦)(−3𝑎 − 9𝑏 − 21)
Luego puede efectuarse la multiplicación indicada
3𝑎𝑥 + 9𝑏𝑥 + 21𝑥 + 3𝑎𝑦 + 9𝑏𝑦 + 21𝑦
División algebraica
Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los
factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:
𝐷 = 𝑑 · 𝐶
𝑫 Es el Dividendo (producto de los factores “𝑑” y “𝑐”), 𝒅es el divisor (factor conocido), 𝑪es el
cociente (factor desconocido).
Los factores “𝐷”, “𝑑” 𝑦 “𝐶” pueden ser números, monomios o polinomios.
División de monomios:
Es la división de un monomio entre otro, en fracción se trabaja como reducción de múltiplos iguales.
Reglas:
1. Se aplica ley de signos.
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
3. Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a
cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
16𝑥 2 𝑦 16𝑥 2 𝑦
=
= 4𝑥 2−1 𝑦 = 4𝑥𝑦
4𝑥
4𝑥
58
−35𝑚𝑛2
= −5𝑚1−1 𝑛2−1 = −5𝑚0 𝑛1 = −5𝑛
7𝑚𝑛
−65𝑥 2 5 2−1 0−1 5 −1 5𝑥
= 𝑥 𝑦
= 𝑥𝑦 =
−26𝑥𝑦 2
2
2𝑦
División de monomios entre fracciones:
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas
de división de fracciones de la aritmética.
Reglas:
1. Se aplica ley de signos.
2. Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el
divisor de la división (esto se llama división cruzada).
3. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
4. Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a
cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
32𝑚𝑥 2
4𝑛
÷
12𝑚𝑥
3𝑛2
=
32𝑚𝑥 2
4𝑛
÷
59
12𝑚𝑥
3𝑛2
=
96𝑚𝑛2 𝑥 2
48𝑚𝑛𝑥
= 2𝑛𝑥
22𝑥𝑦2
5𝑧
12𝑥3 𝑦3
7
=
154𝑥𝑦 2
60𝑥 3 𝑦 3 𝑧
=
77
30𝑥 2 𝑦𝑧
División de polinomio entre monomio:
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Reglas:
1. Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
2. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada
uno dividido por el monomio.
3. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior.
4. Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
(32𝑥 2 + 20𝑥 − 12𝑥 3 ) ÷ 4𝑥
32𝑥 2 + 20𝑥 − 12𝑥 3
=
4𝑥
60
32𝑥 2 20𝑥 12𝑥 3
=
+
−
4𝑥
4𝑥
4𝑥
= 8𝑥 + 5 − 3𝑥 2
(25𝑥 2 − 40𝑥𝑧 2 ) ÷ −5𝑥
25𝑥 2 𝑦 − 40𝑥𝑧 2
=
5𝑥
25𝑥 2 𝑦 40𝑥𝑧 2
=−
+
5𝑥
5𝑥
= −5𝑥𝑦 + 8𝑧 2
División de polinomios:
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son
los siguientes.
Reglas:
1. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden
ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de
los términos que faltan.
2. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el
primer miembro del divisor.
3. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
4. El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial
o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
5. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
6. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer
termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Nota: Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
61
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se
encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:Dividir𝑥 4 + 3 + 𝑥 − 9𝑥 2 entre 𝑥 + 3:
1.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden
ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los
términos que faltan.
𝑥 4 − 9𝑥 2 + 𝑥 + 3
𝑥+3
2.
El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el
primer miembro del divisor.
𝑥4
= 𝑥3
𝑥
3.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
𝑥3
𝑥 + 3 𝑥4
− 9𝑥 2 + 𝑥 + 3
−𝑥 4 − 3𝑥 3
0 − 3𝑥 3
4.
El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o
resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
−3𝑥 3
𝑥
5.
= −3𝑥 2
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
−8𝑥3 − 3𝑥2
3𝑥 + 3
𝑥
4
62
−𝑥 4 − 3𝑥 3
− 9𝑥 2 + 𝑥 + 3
6.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer
termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
𝑥
𝑥
=1
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1
𝑥+3
𝑥4
− 9𝑥 2 + 𝑥 + 3
−𝑥 4 − 3𝑥 3
0 − 3𝑥 3 − 9𝑥 2
+3𝑥 3 + 9𝑥 2
0+𝑥+3
−𝑥 − 3
0
Por lo tanto el resultado de dividir 𝑥 4 − 9𝑥 2 + 𝑥 + 3 entre 𝑥 + 3 es:
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 0
63
Ejemplo:
Dividir8𝑎3 − 9𝑏 3 − 6𝑎2 𝑏 + 5𝑎𝑏 2 entre 2𝑎 − 3𝑏
1.
8𝑎3 − 6𝑎2 𝑏 + 5𝑎𝑏2 − 9𝑏3
2𝑎 − 3𝑏
8𝑎3
= 4𝑎2
2𝑎
2.
4𝑎2
2𝑎 − 3𝑏 8𝑎3 − 6𝑎2 𝑏 + 5𝑎𝑏2 − 9𝑏3
−8𝑎3 + 12𝑎2 𝑏
0
6𝑎2 𝑏
3.
2𝑎
= 3𝑎𝑏
+ 6𝑎2 𝑏 + 5𝑎𝑏2
4𝑎2 + 3𝑎𝑏
2𝑎 − 3𝑏 8𝑎3 − 6𝑎2 𝑏 + 5𝑎𝑏2 − 9𝑏3
−8𝑎3 + 12𝑎2 𝑏
0
+ 6𝑎2 𝑏 + 5𝑎𝑏2
− 6𝑎2 𝑏 + 9𝑎𝑏2
0 + 14𝑎𝑏2 − 9𝑏3
4.
14𝑎𝑏2
2𝑎
= 7𝑏2
4𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 7𝑏2
64
3
2𝑎 − 3𝑏 8𝑎 − 6𝑎 2 𝑏 + 5𝑎𝑏2 − 9𝑏3
−8𝑎3 + 12𝑎2 𝑏
Por lo tanto el resultado de dividir 8𝑎3 − 9𝑏 3 − 6𝑎2 𝑏 + 5𝑎𝑏 2 entre 2𝑎 − 3𝑏 es:
4𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 7𝑏 2 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 12𝑏 3
División sintética:
La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la
forma 𝑥 – 𝑐, logrando una manera más compacta y sencilla de realizar la división.
Ejemplo:−2 + 3𝑥 4 + 9𝑥 − 8𝑥 3 ÷ 𝑥 − 2

Se acomodan los términos en ordene exponencial de izquierda a derecha.
65
−2 + 3𝑥 4 + 9𝑥 − 8𝑥 3 ÷ 𝑥 − 2
3𝑥 4 − 8𝑥 3 + 9𝑥 − 2 ÷ 𝑥 − 2

El exponente del dividendo debe ser igual a uno para que se pueda aplicar este método.
𝑥1 − 2

Se despeja el valor de “𝑥”y se coloca en la parte izquierda de la siguiente manera.
𝑥−2=0
𝑥=2

Se coloca el valor en la parte inferior izquierda de la siguiente tabla.
2

Y los coeficientes del divisor en la parte superior se pone un cero si en le orden exponencial
no existe algún valor en alguna de las “𝑥”.
3𝑥 4 − 8𝑥 3 + 0𝑥 2 + 9𝑥 − 2
3 −8
2
0
66
9
−2

Se baja el coeficiente del primer término.
3 −8
0
9
−2
2
3

Se multiplica el valor de “𝑥” que se despejo del dividendo, que en este caso fue igual a
“2” por el número que se bajó del divisor.El resultado se coloca por debajo del siguiente
coeficiente del divisor y se suman.
−8 + 6 = −2

El resultado se multiplica de nuevo por el valor de “𝑥”,este procedimiento es secuencial.
3 −8

0
9
−2
Al término de todas las operaciones los valores de la parte inferior de la tabla son los valores
de los coeficientes del cociente, siendo el último número el valor del residuo.
2
3 −8
0
9
6
−2 3 −2
−4
−4 3 −8
0
9
−2
×
0 67
+ (−4) = −4
2
6
−4 −8
2
6
−4 −8
2

Cuando se tienen estos números solo se le agregan las literales en orden exponencial de
izquierda a derecha y se comienza con un exponente menor que el del divisor.
3 −2
−4
1
3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4𝑥 + 1
UNIDAD 6. Productos notables
En el estudio de la matemática, continuamente encontramos expresiones que mantienen la
misma mecánica, son tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su
respuesta, a este tipo de operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta sin
realizar la operación, lo que es lo mismo por simple inspección.
Cuadrado de un binomio:
Básicamente se escriben así.
(𝑎 + 𝑏)2 = "𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠"
(𝑎 − 𝑏)2 = “𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠”
Si efectuamos las operaciones nos queda:
68
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “𝑎” o “𝑏” o
ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras (25𝑥𝑦 3 𝑧 2 )seguirán
exactamente la misma mecánica.
Se puede acortar como:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Se leen respectivamente:

El cuadrado de la suma de dos cantidades “(𝑎 + 𝑏)2 "es igual al cuadrado de la primera
(𝑎2 ) más el doble producto de ellas (2𝑎𝑏) más el cuadrado de la segunda (𝑏 2 ).
 l cuadrado de la diferencia de dos cantidades "(𝑎 − 𝑏)2 "es igual al cuadrado de la primera
(𝑎2 )menos el doble producto de ellas (−2𝑎𝑏)más el cuadrado de la segunda (𝑏 2 ).
Ejemplo:
(8𝑦 + 3𝑥)2
= (8𝑦)2 + 2(8𝑦)(3𝑥) + (3𝑥)2
= 64𝑦 2 + 48𝑥𝑦 + 9𝑥 2
(13𝑚𝑛2 − 7𝑚2 𝑛)2
= (13𝑚𝑛2 )2 + 2(13𝑚𝑛2 )(−7𝑚2 𝑛) + (−7𝑚2 𝑛)2
= 169𝑚2 𝑛4 − 182𝑚3 𝑛4 + 49𝑚4 𝑛2
69
Binomios conjugados:
El binomio conjugado es idéntico al binomio al cuadrado, excepto por el signo de unos de sus
términos.
Básicamente se escriben así:
(a + b)(a − b)
Si los multiplicamos queda:
(a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2
Entonces el producto notable es:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Se lee:La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus
cuadrados
Ejemplo:
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)
= (𝑥)2 − (4)2
= 𝑥 2 − 16
(3mn2 + 7x 2 m)(3mn2 − 7x 2 m)
= (3mn2 )2 − (7x 2 m)2
= 9m2 n4 − 49x 4 m2
70
Binomios que poseen un término común:
Está formado por dos expresiones algebraicas que se multiplican y cada una tiene un término
semejante.
Tenemos los binomios (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏), donde “𝑥” es el término común, ahora
desarrollamos la multiplicación.
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑎2 + 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑎𝑏
Como notable nos queda:
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑎𝑏
Se lee: El producto de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado de ese termino,
más el producto de este por la suma algebraica de los otros dos, más el producto de estos.
Ejemplos:
(𝑦 − 5)(𝑦 + 3)
= 𝑦 2 + 𝑦(−5 + 3) + (−5)(3)
= 𝑦 2 − 2𝑦 − 15
(𝑤 + 3)(𝑤 − 1)
= 𝑤 2 + 𝑤(3 − 1) + (3)(−1)
= 𝑤 2 + 2𝑤 − 3
(𝑥 2 − 1)(𝑥 2 − 3)
𝑥 4 + 𝑥(−1 − 3) + (−1)(−3)
= 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 3
Cubo de un binomio:
Las siguientes son las formas básicas de los cubos de binomio.
71
(𝑎 + 𝑏)3 = "𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠"
(𝑎 − 𝑏)3 = "𝐸𝑙𝑐𝑢𝑏𝑜𝑑𝑒𝑙𝑎𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒𝑑𝑜𝑠𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠"
Si efectuamos las operaciones nos queda:
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )(𝑎 + 𝑏)
= 𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
= 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )(𝑎 − 𝑏)
= 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 − 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
= 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
Nuevamente encontramos un proceso repetitivo este se puede acortar así:
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
Se leen respectivamente:

El cubo de la suma de dos cantidades "(𝑎 + 𝑏)3 " es igual al cubo de la primera (𝑎3 )
más el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda (3𝑎2 𝑏) más el triple
2
producto de la primera por el cuadrado de la segunda (3𝑎𝑏 ) más el cubo de la segunda
(𝑏 3 ).

El cubo de la diferencia de dos cantidades "(𝑎 − 𝑏)3 " es igual al cubo de la primera
(𝑎3 ) menos el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda(−3𝑎2 𝑏) más
el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda (3𝑎2 𝑏) menos el cubo de la
segunda (𝑏 3 ).
Ejemplos:
(𝑥 + 8)3
= 𝑥 3 + 3(𝑥)2 (8) + 3(𝑥)(8)2 + 83
72
= 𝑥 3 + 24𝑥 2 + 192𝑥 + 512
(2𝑥𝑧 2 − 3𝑦)3
= (2𝑥𝑧 2 )3 − 3(2𝑥𝑧 2 )2 (3𝑦) + 3(2𝑥𝑧 2 )(3𝑦)2 − (3𝑦)3
= 8𝑥 3 𝑧 6 − 36𝑥 2 𝑦𝑧 4 + 54𝑥𝑦 2 𝑧 2 − 27𝑦 3
Binomios potenciados
Triangulo de Pascal:
Como vimos anteriormente el cuadrado y el cubo de un binomio actúan de manera notable, pero
cualquier binomio elevado a un exponente actúa de manera notable, veamos las características de
estos binomios:




El resultado de operar un binomio potenciado nos entrega un polinomio con una cantidad de
factores igual al exponente más 1, si el exponente es 3 tendrá 4 factores, si el exponente es
6 tendrá 7 factores, y así sucesivamente.
El factor de la izquierda aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y
su exponente varia de manera decreciente en el polinomio a partir del exponente del
binomio hasta cero.
El factor de la derecha aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y
su exponente varia de manera creciente en el polinomio a partir de cero hasta alcanzar al
exponente del binomio.
En cualquier factor del polinomio podemos sumar el exponente del factor de la izquierda y
del factor de la derecha y nos dará igual al exponente del binomio.
El factor numérico por el cual se multiplica cada factor del polinomio se define según el siguiente
triangulo:
73
Este triángulo es conocido como triángulo de Pascal, el cual no tiene final, y para su elaboración se
dispone de dos pasos.



Añadir un uno al inicio y al final de cada renglón.
Sumar los dos números consecutivos que se encuentran justamente arriba en el renglón
inmediatamente superiores.
El segundo número que aparece en el renglón de este triángulo es el mismo que se
encuentra como exponente del binomio, y es este renglón el que se debe ocupar para el
producto notable.
Ahora que hemos visto cómo se comportan los binomios notables se puede proponer un proceso
adecuado para desarrollar cualquier binomio potenciado:



Se colocaran uno a uno los factores del polinomio tomando como multiplicador el número
respectivo del renglón adecuado del triángulo de pascal.
Se comenzara colocando el número del triángulo de Pascal (todos los renglones comienzan
con 1) multiplicando a el primer factor, encerrado en un paréntesis, elevado al mismo
exponente que se encuentra elevado el binomio y multiplicando también al segundo factor,
también en un paréntesis, elevado al exponente cero.
Los siguientes factores también son la multiplicación del número correspondiente del
triángulo, por el primer factor elevado a un exponente menor en una unidad al que aparece
en el factor anterior, y por el segundo exponente elevado a un exponente mayor en una
unidad al del factor anterior.
Nota: Se sigue el paso anterior hasta que el exponente del primer factor sea cero y el del segundo factor sea
igual al del binomio.Se realizan las multiplicaciones indicadas.
Ejemplo:
𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 (2𝑎 + 3𝑏)5
𝐿𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠: 1 5 10 10 5 1
(2𝑎 + 3𝑏)5
= 1(2𝑎)5 (3𝑏)0 + 5(2𝑎)4 (3𝑏)1 + 10(2𝑎)3 (3𝑏)2 + 10(2𝑎)2 (3𝑏)3
+ 5(2𝑎)1 (3𝑏)4 + 1(2𝑎)0 (3𝑏)5
= 32𝑎3 + 240𝑎4 𝑏1 + 720𝑎3 𝑏 2 + 1080𝑎2 𝑏 3 + 810𝑎1 𝑏 4 + 243𝑏5
74
𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 (2𝑎𝑥 2 − 𝑥)6
𝐿𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠: 1 6 15 20 15 6 1
(2𝑎𝑥 2 − 𝑥)6
= 1(2𝑎𝑥 2 )6 (𝑥)0 − 6(2𝑎𝑥 2 )5 (𝑥)1 + 15(2𝑎𝑥 2 )4 (𝑥)2 − 20(2𝑎𝑥 2 )3 (𝑥)3
+ 15(2𝑎𝑥 2 )2 (𝑥)4 − 6(2𝑎𝑥 2 )1 (𝑥)5 + 1(2𝑎𝑥 2 )0 (𝑥)6
= 64𝑎6 𝑥 12 − 192𝑎5 𝑥 11 + 240𝑎4 𝑥 10 − 160𝑎3 𝑥 9 + 60𝑎2 𝑥 8 − 12𝑎𝑥 7 + 𝑥 6
Binomio de newton:
El primer término se eleva a la potencia del
binomio
Explicación:
El segundo termino se eleva a la
potencia 0
El coeficiente del termino q se suma(o se resta)
es aquel al que esta potenciado el binomio
2
(a+b) el valor de este es 2.
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 𝑏0 + 2𝑎1 𝑏1 + 1𝑎0 𝑏2
El primer término disminuye su valor
exponencial en menos 1 y el segundo término
aumenta en uno
El coeficiente del siguiente termino se
encuentra al multiplicar el coeficiente del
termino anterior que es 2 por el exponente del
primer termino que es 1; 2x1=2 y se divide
entre el exponente del segundo termino mas
unos; 1+1=2 por lo tanto 2 ÷ 2= 1
El primer término disminuye nuevamente en
uno y el segundo aumenta en uno, este
procedimiento se repite continuamente hasta
que el primer término disminuye a la potencia
cero.
75
Factorización
Antes de comenzar directamente con los casos de factorización vamos a necesitar algunas
definiciones:
Factor: Cuando un polinomio se escribe como producto
cada polinomio del producto es un factor del polinomio original.
de
otros
polinomios,
Factorización: Es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
Primo: Se dice que un polinomio es primo o
escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo.
irreducible
cuando
no
puede
Al factorizar un polinomio el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o
potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros.
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática,
pues nos permite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así
su estudio.
Para facturar un monomio se realiza por pura inspección, separando lo números y las letras entre si.
Prueba general de los factores
En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma, multiplica los polinomios primos para
ver si el resultado es el polinomio original.
Factor común:
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se
encuentra en todos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto
de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
Reglas:
𝑤
1. En cuanto a los coeficientes se obtendrá el máximo
común divisor.
2. Después se seleccionara las literales repetidas (que se
encuentren en todo el polinomio).
3. Hecho esto se tomara la literal que se encuentre elevada a la
menor potencia.
5𝑤 4 𝑦 + 15𝑤 2
4. El factor común será aquel conformado por el máximo común divisor y
literales en común.
76
5
3 3
− 30𝑤
𝑦
las
Ejemplo:
5
15
1
1
1
3
1
1
30
5
6 3
2 2
1 1
El M.C.D es aquel número
que puede ser dividir por
todos los números.
La literal que mas se repite es 𝑤 y es de exponente menor es 1.
Como puede verse el cinco es el común numérico y la “w” la única letra común en este polinomio,
como dos es el menor exponente de “w” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el
factor común “5𝑤 2 ”.
Nos queda como respuesta:
5𝑤 2 (𝑤 2 𝑦 + 3 − 6𝑤𝑦 3 )
Donde:
5𝑤 4 𝑦
= 𝑤2𝑦
5𝑤 2
15𝑤 2
=3
5𝑤 2
Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:
−30𝑤 3 𝑦 3
= −6𝑤𝑦 3
5𝑤 2
8𝑚𝑥 + 18𝑥 2 𝑦 − 258𝑥 3 𝑦 2
= 2𝑥(4𝑚 + 9𝑥𝑦 − 129𝑥 2 𝑦 2 )
44𝑚𝑥 8 + 121𝑚2 𝑥 4 − 88𝑚3 𝑥 5
= 11𝑚𝑥 4 (4𝑥 4 11𝑚 − 8𝑚2 𝑥)
77
13𝑎𝑣 − 156𝑎 + 130𝑎𝑥
= 13𝑎(𝑣 − 12 + 10)
Factor común por agrupación de términos:
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse
en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el
factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca
este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas
sencillo el resolver estos problemas.
2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 − 𝑏𝑦 + 5𝑏
Agrupo los términos que tienen un factor común:
(2𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎) + (2𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 5𝑏)
Saco el factor común de cada grupo:
𝑎(2𝑥 − 𝑦 + 5) + 𝑏(2𝑥 − 𝑦 + 5)
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
(2𝑥 − 𝑦 + 5)(𝑎 + 𝑏)
Ejemplos:
17𝑎𝑥 − 17𝑚𝑥 + 3𝑎𝑦 − 3𝑚𝑦 + 7𝑎𝑧 − 7𝑚𝑧
= 𝑎(17𝑥 + 3𝑦 + 7𝑧) − 𝑚(17𝑥 + 3𝑦 + 7𝑧)
= (17𝑥 + 3𝑦 + 7𝑧)(𝑎 − 𝑚)
𝑚(𝑥 + 2) − 𝑥 − 2 + 3(𝑥 + 2)
= (𝑥 + 2)(𝑚 + 3) − 1(𝑥 + 2)
= (𝑥 + 2)[(𝑚 + 3) − 1]
= (𝑥 + 2)(𝑚 + 3 − 1)
78
Diferencia de cuadrados:
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede
sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar los productos notables teníamos que:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus
bases.
Reglas:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio
negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).
Ejemplo explicativo:
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑥 2 − 𝑦 2
𝑅𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 √𝑥 2 = 𝑥 ; √𝑦 2 = 𝑦
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
Ejemplos:
16𝑚2 − 9𝑛2 = (4𝑚 + 3𝑛)(4𝑚 − 3𝑛)
√16𝑚2 = 4𝑚 ; √9𝑛2 = 3𝑛
𝑧 4𝑛 − 900𝑠 8 = (𝑧 2𝑛 + 30𝑠 4 )(𝑧 2𝑛 − 30𝑠 4 )
√𝑧 4𝑛 = 𝑧 2𝑛
√900𝑠 8 = 30𝑠 4
;
79
Trinomio cuadrado perfecto:
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que, dos de sus términos son cuadrados
perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
Reglas:
1. Sacar la raíz cuadrada del primer término del trinomio y ese será nuestro primer término del
binomio.
2. Posteriormente el signo será el signo del segundo término del trinomio.
3. Sacar la raíz cuadrada del tercer término del trinomio y ese será nuestro segundo término
del binomio.
Ejemplo:
36𝑥 2 + 12𝑥𝑦 2 + 𝑦 4

El primer término del binomio es la raíz cuadrada de √36𝑥 2 = 6𝑥.

El segundo termino del binomio es la raíz cuadrada de √𝑦 4 = 𝑦 2
(6𝑥 + 𝑦 2 )2 = (6𝑥 + 𝑦 2 )(6𝑥 + 𝑦 2 )
(6𝑥 + 𝑦 2 )2 = 36𝑥 2 + 12𝑥𝑦 2 + 𝑦 4
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término
del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del
binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:
(6𝑥 − 𝑦 2 )2 = (6𝑥 − 𝑦 2 )(6𝑥 − 𝑦 2 )
(6𝑥 − 𝑦 2 )2 = (6𝑥)2 − 12𝑥𝑦 2 + (𝑦 2 )2
O también así:
(𝑦 2 − 6𝑥)2 = (𝑦 2 − 6𝑥)(𝑦 2 − 6𝑥)
(𝑦 2 − 6𝑥)2 = (6𝑥)2 − 12𝑥𝑦 2 + (𝑦 2 )2
Ambas son respuestas aceptables.
Ejemplo:
80

25 + 10𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2
√25 = 5 ; √𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥𝑦 ; 2(5)(𝑥𝑦) = 10𝑥𝑦
= (5 + 𝑥𝑦)2

1 − 2𝑎5 + 𝑎10
√1 = 1 ; √𝑎10 = 𝑎5 ; 2(1)(𝑎5 ) = 2𝑎5
= (1 − 𝑎5 )2

225𝑥 4 − 150𝑥 2 𝑚𝑛2 + 25𝑚2 𝑛4
√225𝑥 4 = 15𝑥 2 ; √25𝑚2 𝑛4 = 5𝑚𝑛2 ; 2(15𝑥 2 )(5𝑚𝑛2 ) = 150𝑥 2 𝑚𝑛2
= (15𝑥 2 + 5𝑚𝑛2 )2
Trinomio de segundo grado de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄:
Es la expresión algebraica de tres términos donde uno de ellos es una variable elevada a un
exponente par con coeficiente igual a 1. Por lo general, el coeficiente del tercer termino “NO” tiene
raíz cuadrada exacta.
Reglas:
1. Se encuentra una pareja de números cuyo producto sea igual al coeficiente del tercer
término, y cuya suma o resta sea igual al coeficiente del segundo término.
2. Los dos números se escriben dentro de dos paréntesis con la variable del primer término en
cada uno.
Ejemplo explicativo:
Factorizar 𝑚2 + 8𝑚 + 15

Sacar la raíz del término cuadrático y colocarlo en ambos paréntesis:
(𝑚

)(𝑚
)
Colocar el signo que aparece en el trinomio:
(𝑚+ )(𝑚+ )

Buscar dos números que sumados me den 8 y multiplicados 15:
81
(3)(5) = 15 ; 3 + 5 = 8
(𝑚 + 3)(𝑚 + 5)
Ejemplos:
 𝑥 2 + 10𝑥 + 24
= (𝑥 + 6)(𝑥 + 4)
(6)(4) = 24 ; 6 + 4 = 10
 𝑎2 − 2𝑎 − 24
= (𝑎 − 6)(𝑎 + 4)
(−6)(4) = −24 ; −6 + 4 = −2
Ejemplo:
𝑥 2 + 6𝑥 − 216
Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6y cuyo producto sea 216. Estos números no se
ven fácilmente. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer término.
216
108
54
27
9
3
2
2
2
3
3
3
Ahora formaremos con estos factores primos dos productos.
Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números
que buscamos.
Así:
2×2×2=8
3 × 3 × 3 = 27
2 × 2 × 2 × 3 = 24
3×3=9
2 × 2 × 3 = 12
2 × 3 × 3 = 18
27 − 8 = 19no sirve
24 − 9 = 15no sirve
18 − 12 = 6 si sirve
1
18y 22son los números que buscamos por que su diferencia es 6 y su producto necesariamente
es 216 ya que para obtener estos números hemos empleado todos los factores que obtuvimos en la
descomposición de 216.
Por tanto:
𝑥 2 + 6𝑥 − 216 = (𝑥 + 18)(𝑥 − 12)
82
Trinomio de segundo grado de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄:
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (𝑥 2 ) se
encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una
manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:
1. Multiplicamos el coeficiente “𝑎” del factor “𝑎𝑥 2 ” por cada término del trinomio, dejando la
multiplicación indicada en el término “𝑏𝑥” de la manera “𝑏 (𝑎𝑥)”, y en el término “𝑎” de
la manera(𝑎𝑥)2 .
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz
cuadrada del término (𝑎𝑥)2 que seria “𝑎𝑥”.
3. Al producto resultante lo dividimos entre el factor “𝑎”, con el fin de no variar el valor del
polinomio.
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “𝑏𝑥”, el signo del
segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “𝑏𝑥”y de “𝑐”.
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios.Se encuentra una pareja de números
cuyo producto sea igual al coeficiente del tercer término“𝑐”, y cuya suma o resta sea igual
al coeficiente del segundo término"(𝑏𝑥)".
6. Factorizar por “Factor común” los binomios de tal manera que podamos eliminar el
denominador del trinomio para no alterar el trinomio.
Ejemplo explicativo: Factorizar 3𝑚2 + 8𝑚 + 5
1.
Multiplicamos el coeficiente “𝑎” del factor “𝑎𝑥 2 ” por cada término del trinomio, dejando la
multiplicación indicada en el término “𝑏𝑥” de la manera “𝑏 (𝑎𝑥)”, y en el término “𝑎” de la
manera(𝑎𝑥)2 .
3(3𝑚2 + 8𝑚 + 5) = (3𝑚)2 + 8(3𝑚) + 15
2.
Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada
del término (𝑎𝑥)2 que seria “𝑎𝑥”.
(3𝑚
)(3𝑚
83
)
3.
Al producto resultante lo dividimos entre el factor “𝑎”, con el fin de no variar el valor del
polinomio.
(3𝑚)(3𝑚)
3
4.
El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “𝑏𝑥”, el signo del
segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “𝑏𝑥”y de “𝑐”.
(3𝑚+ )(3𝑚+ )
3
5.
Se buscaran los segundos términos de los binomios.Se encuentra una pareja de números cuyo
producto sea igual al coeficiente del tercer término“𝑐”, y cuya suma o resta sea igual al
coeficiente del segundo término "(𝑏𝑥)".
(3𝑚 + 3 )(3𝑚 + 5 )
3
(5)(3) = 15 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 "c"
5 + 3 = 8 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 "𝑏𝑥"
6.
Factorizar por “Factor común” los binomios de tal manera que podamos eliminar el
denominador del trinomio para no alterar el trinomio.
3(𝑚 + 1 )(3𝑚 + 5 )
3
= (𝑚 + 1)(3𝑚 + 5)
84
Ejemplos:

13𝑦 2 − 7𝑦 − 6
= (13𝑦)2 − 7(13𝑦) − 78
=
(13𝑦 − 13)(13𝑦 + 6)
13
(−13)(6) = −78 ; −13 + 6 = −7
=
13(𝑦 − 1)(13𝑦 + 6)
13
= (𝑦 − 1)(13𝑦 + 6)

21𝑚2 + 11𝑚 − 2
= (21𝑚)2 + 11(21𝑚) − 42
=
(21𝑚 + 14)(21𝑚 − 3)
21
(14)(−3) = −42 ; 14 − 3 = 11
=
7(3𝑚 + 2)3(7𝑚 − 1)
21
= (3𝑚 + 2)(7𝑚 − 1)
85
Ecuaciones
La intensión de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la ecuación.
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o
complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del
álgebra.
D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa. Se considera
a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa.
Conceptos básicos:
Igualdad: Es la expresión en la cual se indica que una expresión tiene el mismo valor que otra. La
igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión.
5 + 10 = 3 ⋅ 5
2𝑚 + 8 = 12
Identidad: Es la expresión en la cual se indica que dos expresiones son iguales para cualquier valor
que se ponga en lugar de las letras que figuran en la expresión
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)𝑥 3 − 𝑦 3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
Ecuación: Es la expresión de igualdad condicionada por cantidades conocidas y cantidades
desconocidas o incógnitas, que se cumplen únicamente para determinados valores. Las ecuaciones
son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
𝑦 − 2 = 6 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑠𝑖 𝑦 = 8
3𝑥 + 5𝑦 = 23𝑦 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑠𝑖 𝑥 = 6𝑦
Miembros:Miembros de una ecuación son las expresiones colocadas a la derecha y a la izquierda
del signo igual (=).
3𝑥 = 5 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 3𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑦 𝑒𝑙 5 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜.
Términos: Términos de una ecuación, son cada una de las expresiones que están conectadas con
otra por los signos de suma y resta (+, – ).
3𝑥 + 5 − 2𝑥 2 = 25 𝐴𝑞𝑢𝑖 "3𝑥", "5", "2𝑥 2 " 𝑆𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 1𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
86
Grado:El grado de una ecuación con una incógnita es el mayor exponente de esa incógnita.
𝑥 − 3 = 1 → 1𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜
2𝑥 2 + 5 = 13 → 2𝑑𝑜 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜
Raíz: Se le llama raíz de una ecuación a cualquier valor numérico que al sustituirse por la incógnita
satisfaga la ecuación.
3𝑥 = 15 𝐿𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑠 5 𝑝𝑢𝑒𝑠 3(5) = 15 𝑦 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
Conjunto solución: es el conjunto de todos los números que satisfacen la igualdad en una
ecuación. Es el conjunto de todas las raíces de la ecuación.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para
cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una
identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una
ecuación.
Comprobación de ecuaciones: La comprobación se realiza sustituyendo la raíz obtenida en la
ecuación original, si ambos miembros dan el mismo resultado se confirma la respuesta.
Clasificación:
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:
Por el número de incógnitas:
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas.
Por ejemplo la ecuación 3𝑥 + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3𝑥 − 𝑦 = 5, tiene
dos y 5𝑥𝑦 − 3𝑥 2 + 𝑧 = 8 tiene tres incógnitas.
Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos
incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres
dimensiones.
Por el grado de la incógnita:
87
Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el
exponente más alto de la incógnita).



Si el exponente mas alto es uno entonces la ecuación es de primer grado.
Si el exponente mas alto es dos entonces la ecuación es de segundo grado o cuadrática.
Si el exponente mas alto es tres entonces la ecuación es de tercer grado o cúbica. Y así
sucesivamente.
Por el número de términos:


Ecuaciones binómicas:Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.
Ecuaciones polinómicas:Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y
aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar
polinómicas.
De acuerdo a su conjunto solución:

Ecuación identidad:Es la que se cumple para cualquier valor de la variable.
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)𝑥 3 − 𝑦 3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )

Ecuación condicionada: Es cuando se le añade a la ecuación una condición adicional.
5𝑥 + 2𝑦 = 9
Tal que “𝑥” y “𝑦” pertenecen aℕ(𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠); la pertenencia a los números naturales es la
condición.

Ecuaciones equivalentes: Cuando el conjunto solución de una ecuación es igual al de otra
ecuación se dice que estas ecuaciones son equivalentes.
2𝑥 2 + 5 = 13 𝑦 𝑥 2 − 3 = 1
𝑆𝑜𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 {−2,2}
Por su estructura:

Ecuación entera: Es aquella en que todos sus términos son enteros.
6𝑦 + 4𝑥 − 5 = 3𝑥 − 2; 2𝑥 − 3𝑦 = 9

Ecuación fraccionaria: es aquella en que uno o más de sus términos poseen denominador.
𝑥
2 3𝑥
12 3
+ 5𝑦 − =
+ 1;
+ = 5𝑥
5
3
2
𝑥
𝑦
Ecuaciones lineales
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una expresión algebraica que consta de tres
partes; primer miembro, segundo miembro y un signo igual. Esta contiene una incógnita.
88
Propiedades de la relación de la igualdad:

Propiedad reflexiva o idéntica: Indica que todo número es igual así mismo.
𝑎=𝑎
2 = 2 ; −3 = −3 ;

3 3
=
4 4
Propiedad simétrica: Indica que los miembros de una igualdad pueden permutar sus
lugares y la igualdad no se altera.
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑎, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑦 𝑏 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑥=

3
3
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = 𝑥 ; 𝑦 = −3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 3 = 𝑦
4
4
Propiedad transitiva: Dos números iguales a un tercero, son iguales entre si.
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐
𝑥 = 5 y 5 = 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦

Propiedad uniforme: Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos miembros de la
igualdad, esta no se modifica.
𝑎=𝑏
𝑎+𝑐 =𝑏+𝑐
𝑎−𝑐 =𝑎−𝑐
Si ambos miembros de la igualdad se multiplican o se dividen entre la misma cantidad, esta
no se modifica
𝑎=𝑏
𝑎𝑐 = 𝑏𝑐
𝑎 𝑏
=
𝑐 𝑐
Nota: El procedimiento consiste en colocar todas las incógnitas de un lado de la igualdad y todos los
números del otro lado para después simplificar ambos lados.
Reglas:
Despejar la variable𝑥 significa dejar la 𝑥 sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una
variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
89


Si está sumando de un lado de la igualdad pasa restando del otro lado de la igualdad y si
esta restando de un lado de la igualdad pasa sumando del otro lado de la igualdad.
Si está multiplicando de un lado de la igualdad pasa dividiendo del otro lado de la igualdad y
si está dividiendo de un lado de la igualdad pasa multiplicando del otro lado de la igualdad.
Una forma más sencilla de ver este método de despejar, es que a los dos miembros de las
ecuaciones se le realizan exactamente las mismas operaciones a cada uno. Como son iguales, el
uno y el otro, al realizarles exactamente la misma operación su resultado variara exactamente de la
misma manera (en el caso que sea cero un multiplicando o un dividendo esta regla no se aplica).
Ejemplo: Ecuaciones de la forma 𝑎 + 𝑥 = 𝑏
𝑥 + 5 = 16
𝑥 + 5 − 5 = 15 − 5
𝑥 + 0 = 11
𝑥 = 11
Comprobación: Sustituimos el valor de la incógnita en la ecuación.
𝑥 + 5 = 16
11 + 5 = 16
16 = 16
Ejemplo: Ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 = 𝑏
7𝑎 = 14
7𝑎 14
=
7
7
𝑎=2
Comprobación:
90
7(2) = 14
14 = 14
Ejemplo: Ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐
3𝑥 − 6 = 12
3𝑥 − 6 + 6 = 12 + 6
3𝑥 + 0 = 18
3𝑥 18
=
3
3
𝑥=6
Comprobación:
3(6) − 6 = 12
18 − 6 = 12
12 = 12
Ejemplo: Ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑
5𝑥 − 3 = 2𝑥 + 6
5𝑥 − 3 + 3 = 2𝑥 + 6 + 3
5𝑥 = 2𝑥 + 9
5𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥 + 9 − 2𝑥
3𝑥 = 9
91
3𝑥 9
=
3
3
𝑥=3
Comprobación:
5(3) − 3 = 2(3) + 6
15 − 3 = 6 + 6
12 = 12
Ejemplo: Ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑑𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑓
3𝑥 + 𝑥 − 7 = 2𝑥 − 5𝑥 + 4
4𝑥 − 7 = −3𝑥 + 4
4𝑥 − 7 + 7 = −3𝑥 + 4 + 7
4𝑥 = −3𝑥 + 11
4𝑥 + 3𝑥 = −3𝑥 + 11 + 3𝑥
7𝑥 = 11
7𝑥 11
=
7
7
𝑥=
11
7
Comprobación:
3(
11
11
11
11
) + ( ) − 7 = 2( ) − 5( )+ 4
7
7
7
7
92
33 11 49 22 55 28
+
−
=
−
+
7
7
7
7
7
7
−5 −5
=
7
7
Ecuaciones de primer grado con signos de agrupación
Reglas:
1. Se efectúan las operaciones indicadas de cada miembro, si las hay.
2. Se añaden los mismos términos a cada lado del igual a fin de dejar todas las expresiones
con incógnita de un lado de la ecuación y todas las cantidades conocidas del otro lado.
3. Se reducen los términos semejantes.
4. Se despeja la incógnita dividiendo entre el coeficiente de la incógnita ambos miembros de la
ecuación.
5. Se comprueba que el resultado obtenido sea correcto remplazándolo en la ecuación original.
Ejemplo:
3(𝑥 − 2) = 5(7 − 𝑥)
3𝑥 − 6 = 35 − 5𝑥
3𝑥 − 6 + 6 + 5𝑥 = 35 − 5𝑥 + 6 + 5𝑥
8𝑥 = 41
𝑥=
41
8
Comprobación:
3(
41
41
− 2) = 5 (7 − )
8
8
123
205
− 6 = 35 −
8
8
123 − 48 280 − 205
=
8
8
93
75 75
=
8
8
Existen muchas ecuaciones que a simple vista se puede suponer que son de un grado superior pero
que fácilmente se convierten en ecuaciones de 1er grado al factorizar ó añadir términos para
desaparecer los términos de grado superior a uno.
Ejemplo:
3(𝑥 2 − 2) = 3(𝑥 − 3)2
−6 = 3𝑥 2 − 18𝑥 + 27
3𝑥 2 − 6 + 6 − 3𝑥 2 + 18𝑥 = 3𝑥 2 − 18𝑥 + 27 + 6 − 3𝑥 2 + 18𝑥
18𝑥 = 33
𝑥=
33 11
=
18
6
Comprobación:
2
11 2
11
3 [( ) − 2] = 3 ( − 3)
6
6
363
363 198
−6=
−
+ 27
36
3
6
121
121
−6=
− 33 + 27
12
12
121
121
−6=
−6
12
12
94
Ejemplos:
2(𝑎 + 1) − 3(𝑎 + 2) = 0
2𝑎 + 2 − 3𝑎 + 6 = 0
−𝑎 + 8 = 0
−𝑎 = −8
𝑎=8
5𝑥 + 4𝑥 2 − 20 = (2𝑥 + 5)2
5𝑥 + 4𝑥 2 − 20 = 4𝑥 2 + 20𝑥 + 25
5𝑥 + 4𝑥 2 − 20 + 20 − 4𝑥 2 − 20𝑥 = 4𝑥 2 + 20𝑥 + 25 − 4𝑥 2 − 20𝑥
−15𝑥 = 45
45
𝑥=
−15
𝑥 = −3
20𝑚 − [2𝑚 − (𝑚 + 2) + 𝑚2 − 6] = 28 − 𝑚 − 𝑚2
20𝑚 − 2𝑚 + 𝑚 + 2 − 𝑚2 + 6 = 28 − 𝑚 − 𝑚2
19𝑚 − 𝑚2 + 8 = 28 − 𝑚 − 𝑚2
19𝑚 − 𝑚2 + 8 − 8 + 𝑚2 + 𝑚 = 28 − 𝑚 − 𝑚2 − 8 + 𝑚2 + 𝑚
20𝑚 = 20
𝑚=
20
20
𝑚=1
95
Sistemas de ecuaciones
Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más
soluciones comunes.
Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen
simultáneamente cada una de sus ecuaciones.
Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
son:
*Existe únicamente una solución.
*Existe una
soluciones.
cantidad
infinita
de
*No existe solución.
Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de
soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.
Para resolver un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes
métodos:



Reducción
Sustitución
Igualación
96
Método de reducción:
3𝑥 + 7𝑦 = 23
{
5𝑥 − 3𝑦 = 9
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es
eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así nomás se multiplicaran las
ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:
Para este ejemplo eliminamos "𝑦"
3𝑥 + 7𝑦 = 23 → 3(3𝑥 + 7𝑦) = 3(23) → 9𝑥 + 21𝑦 = 69
5𝑥 − 3𝑦 = 9 → 7(5𝑥 − 3𝑦) = 7(9) → 35𝑥 − 21𝑦 = 63
44𝑥 + 0 = 132
44𝑥 = 132
132
𝑥=
=3
44
Y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos:
𝑦=
𝑦=
23 − 3(3)
7
23 − 9 14
=
7
7
𝑦=2
Las soluciones de este sistema de ecuaciones es: 𝑥 = 3 y 𝑦 = 2
Método de sustitución:
3𝑥 + 𝑦 = 11
{
5𝑥 − 𝑦 = 13
97
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Despejemos la
incógnita"𝑦" en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de "𝑥".
𝑦 = 11 − 3𝑥
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una
"𝑦"colocaremos "(11 – 3𝑥)".
5𝑥 − (11 − 3𝑥) = 13
Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente.
5𝑥 − 11 + 3𝑥 = 13
8𝑥 = 13 + 11
8𝑥 = 24
24
𝑥=
8
𝑥=3
Ya conocido el valor de "𝑥" lo sustituimos en la expresión del valor de "𝑦" que obtuvimos a partir
de la primera ecuación del sistema.
𝑦 = 11 − 3𝑥
𝑦 = 11 − 9
𝑦=2
Las soluciones de este sistema de ecuaciones es: 𝑥 = 3 y 𝑦 = 2
Método de igualación:
3𝑥 + 𝑦 = 11
{
5𝑥 − 𝑦 = 13
Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita:
98
𝑦 = 11 − 3𝑥
{
𝑦 = −13 + 5𝑥
Igualamos ambas ecuaciones:
11 − 3𝑥 = −13 + 5𝑥
8𝑥 = 24
𝑥=
24
8
𝑥=3
Este valor de "𝑥" lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de "𝑦".
𝑦 = 11 − 9
𝑦=2
Las soluciones de este sistema de ecuaciones es: 𝑥 = 3 y 𝑦 = 2.
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado cuya forma estándar es:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑎 ≠ 0
Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado cuya forma estándar es:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
Para determinar los valores que debe tener la incógnita de tal manera que satisfaga la igualdad
existen varios métodos de la formula general, factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto
(algunos ejercicios no pueden ser resueltos por el método de factorización).
Método de factorización:
Una técnica importante para resolver ecuaciones cuadráticas tiene como base el hecho de que si
“𝑚” y “𝑛” son factores reales, tales que 𝑝𝑞 = 0, entonces 𝑝 = 0 ó 𝑞 = 0, de ahí que si
99
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0puede expresarse como un producto de polinomios de primer grado,
entonces pueden encontrarse soluciones igualando cada factor a cero.
Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en una multiplicación de factores lineales,
entonces puede decirse que es una ecuación factorizable.
Ejemplo:
3𝑥 2 + 2𝑥 − 8
Es una ecuación factorizable porque puede ser factorizada por los factores lineales (3𝑥 −
4) 𝑦 (𝑥 + 2)o sea:
3𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = (3𝑥 − 4)(𝑥 + 2)
Reglas:
1.
2.
3.
4.
Primero se escribe la ecuación en la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Luego se factoriza la expresión en factores lineales.
Se iguala cada factor a cero.
Se determina el valor de 𝑥 .
Ejemplo:
3𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0
(3𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 0
3𝑥 − 4 = 0
𝑥+2=0
3𝑥 = 4
𝑥 = −2
4
𝑥1 = 𝑥2 = −2
3
4
Las raíces son 𝑥1 = ; 𝑥2 = −2 y cualquiera de ellas cumple exactamente la ecuación.Las
3
técnicas de factorización vistas anteriormente son usadas en gran medida en este tipo de
ecuaciones.
100
Formula cuadrática:
Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar y se nos hace difícil encontrar sus raíces
mediante factorización, podemos utilizar el método de la fórmula cuadrática.
La fórmula cuadrática es:
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Reglas:
1. Llevar a la ecuación a su forma estándar.
2. Determinar los valores de las constantes 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐.
3. Utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por las variables, primero con el signo
“ + ” para encontrar una raíz y luego con el signo “ − ” para encontrar la segunda raíz.
Ejemplo:
4𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0
Constantes:
𝑎=4
𝑏=1
𝑐 = −3
Formula:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
Sustitución:
−1 ± √(1)2 − 4(4)(−3)
𝑥=
2(4)
101
Encontrar los valores de 𝑥1 y 𝑥2 :
𝐶𝑜𝑛 (+)
𝐶𝑜𝑛 (−)
−1 + √(1)2 − 4(4)(−3)
−1 − √(1)2 − 4(4)(−3)
𝑥=
𝑥=
2(4)
2(4)
𝑥1 =
−1 + 7 6 3
−1 − 7
8
= = 𝑥2 =
= − = −1
8
8 4
8
8
Por lo tanto los valores de 𝑥1 =
3
4
y 𝑥2 = −1
102