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UTN – Facultad Regional Bahía Blanca
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra y Geometría Analítica
María Mercedes Marinsalta
TRABAJO PRÁCTICO
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Índice
Transformación de enunciados en ecuaciones lineales y sistemas
Ejercicio Nº 1 y Nº 2
Resolución de sistemas mediante el Método de Cramer
Ejercicio Nº 3
Comando Solve
Resolución de sistemas mediante el Método Inversión de matrices
Ejercicio Nº 4
Resolución en Mathematica
Ejercicio Nº 5 y Nº 6
Comando LinearSolve
Ejercicio Nº 7a
Transformación de enunciado en un sistema de ecuaciones lineales.
Interpretación de los resultados obtenidos
Ejercicio Nº 7b
Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius
Ejercicio Nº 8
Resolución de sistemas compatibles indeterminados
Ejercicio Nº 9
Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius en sistemas homogéneos
Ejercicio Nº 10
Sistema homogéneos, graficación, interpretación de soluciones
Ejercicio Nº 11
Repaso e integración de conceptos de Sistemas homogéneos
Ejercicio Nº 12 a,b,c,d
Resolución aplicando el método de Gauss
Ejercicio Nº 13
Resolución de un sistema homogéneo, presentado en un formato que sirve de
aprestamiento al tema de autovalores y autovectores
Ejercicio Nº 14a
Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius, para determinar valores que
permitan obtener distintos tipos de sistemas: compatibles determinados,
compatibles indeterminados e incompatibles
Ejercicio Nº 14 b, c y Ejercicio Nº 15 a y b
Transformación de enunciados complejos en un sistema de ecuaciones lineales.
Resolución utilizando un programa computacional.
Ejercicio Nº 16, 18,19, 20, 22, 23
Comparación de comandos del programa Mathematica y análisis de los
resultados que se obtienen, en cada caso
Ejercicio Nº 17
Reflexionar sobre la necesidad de obtener una solución aunque el sistema se
incompatible
Ejercicio Nº 21
Graficación en el programa Mathematica
Ejercicio Nº 24
Interpretación gráfica de las soluciones
Ejercicio Nº 25
Autoevaluación
Bibliografía
2
2
2
2-3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5-6
5 -6
6
7-8
9
9
9
Nota: Para una rápida identificación los ejercicios a resolver utilizando el programa
Mathematica están marcados con un *
1
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Álgebra y Geometría Analítica
María Mercedes Marinsalta
Objetivos:
Que el alumno
• Organice tabularmente los datos.
• Plantee sistemas de ecuaciones lineales para resolver los problemas.
• Comprenda los métodos y los utilice para resolver sistemas de ecuaciones lineales
• Reconozca la diferencia entre solución matemática y solución real de un problema.
• Reflexione sobre las soluciones obtenidas utilizando los distintos comandos el programa
Mathematica.
• Visualice gráficamente las soluciones obtenidas y las interprete.
Transformación de enunciados en ecuaciones lineales y sistemas
Los ejercicios Nº 1 y Nº 2 se proponen para practicar la transformación de enunciados
verbales que representan situaciones problemáticas en su representación matemática como
ecuaciones y sistemas de ecuaciones para facilitar su resolución. Lo ejemplos planteados
son de fácil resolución y los podrán resolver con los conocimientos previos
Ejercicio Nº 1
a) Se compraron 1450 cajas de DVD y CD en total. Si se hubieran comprado 50 cajas más de
DVD, el número de cajas de DVD hubiese sido el doble de las de CD ¿Cuántas cajas de DVD
y CD hay?
b) Si 3 pen-drive y 8 cartuchos de impresoras cuestan 652 pesos, y 5 pendrive y 6 cartuchos
de impresoras cuestan 742 pesos. Calcular el precio de cada pendrive y de cada cartucho de
impresora.
Ejercicio Nº 2.
Una ecuación que relaciona el precio unitario (p) con la cantidad de demanda (q) se
denomina ecuación de demanda. Supóngase que la ecuación lineal de demanda para el
producto Z es:
1
p=−
q + 12
180
1
p=
q+8
y que su ecuación lineal de la oferta es:
300
Donde p= precio del producto y q= cantidad de producto. Determinar el punto de
equilibrio, que nos dará el precio al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad
del producto que los fabricantes estarían dispuestos a vender a ese precio.
Resolución de sistemas mediante el Método de Cramer
* Ejercicio Nº 3
Resolver el siguiente sistema por el método de Leibnitz- Cramer.
a)
x-2y+z=-4
b)
3x-2y+3z=11
3x+2y-z=8
x+y-2z=-4
-x+3y+5z=0
-2x-3y+z=3
{
{
MATHEMATICA, nos ofrece distintos comandos para resolver sistemas de ecuaciones, uno
de ellos es :
Solve[{ec1,ec2,....ecn},{var1,var2,....varn}]
RECORDAR: -Encerrar entre corchetes el argumento del comando
-Encerrar entre llaves las ecuaciones y separadas por comas.
-El doble signo igual en cada ecuación. (= =).
-Encerrar entre llaves y separadas por comas las variables.
Como ejemplo resolveremos con este comando el inciso b) del punto 3), que ya resolvió por el
método de Leibnitz-Cramer:
In[1] Solve[{3x-2y+3z==11,x+y-2z==-4,-2x-3y+z==3},{x,y,z}]
Out[1] {{x->1, y->-1, z->2}}
Resolución de sistemas mediante el Método Inversión de matrices
Ejercicio Nº 4
Resolver por inversión de matrices.
2x- y- z = 2
3x-2y+3z =10
x-3y+2z =11
x + y-2z = -3
3x+y-2z = -1
-2x-3y+z = 5
{
{
2
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* Ejercicio Nº 5
a) Dado que el programa Mathematica me permite calcular la inversa de una matriz, ¿qué
ecuación matricial deberemos plantear para resolver los siguientes sistemas, utilizando este
método?
2x-y+z= 12
1x+2y +z =3
2x-y-z= 4
x-3y+4z=-7
2x+3y+z = 2
x+3y+4z = -1
3x+y-2z= 5
2y+z= - 2
3x+y+2z = 7
{
{
{
b) Verificar si los resultados obtenidos son correctos utilizando el comando Solve.
Ejercicio Nº 6
Plantear un sistema, cuya matriz formada por los coeficientes de las incógnitas no posea
matriz inversa.
¿Puedo usar el método de inversión de matrices para resolverlo?
¿Ese sistema posee solución?. Justificar las respuestas.
a. Si posee solución resolverlo.
b. Si no posee solución, inventar otro con las condiciones pedidas y resolverlo.
* Ejercicio Nº 7
7 a) Resolver el siguiente sistema: Utilizando el comando:LinearSolve
2x-4y+z=-1
3x+y-2z=3
-5x+y-2z=4
Otro comando que puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales es :
{
LinearSolve [argumento]
el argumento del mismo es la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes,
este comando calcula la solución del sistema AX =b
Usaremos el mismo ejemplo del ejercicio 3, inciso b. Definimos la matriz A de coeficientes:
3x-2y+3z=11
In[2] a={{3,-2,3},{1,1,-2},{-2,-3,1}}
x+y-2z= - 4
y el vector b de términos independientes:
-2x-3y+z=3
In[3] b={11,-4,3}
y resolvemos así:
In[4] LinearSolve[a,b]
Out[4] {1,-1,2}
Donde 1,-1 y 2 son los valores de las incógnitas x, y, z respectivamente.
También se puede ingresar directamente la matriz A de coeficientes y el vector b de términos
independientes, sin definirlos previamente:
In[5] LinearSolve[{{3,-2,3},{1,1,-2},{-2,-3,1}},{11,-4,3}]
Out[5] {1,-1,2}
Transformación de enunciado en un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación de
los resultados obtenidos
7 b) Plantear y resolver el siguiente problema:
Un empleado que acaba de regresar de Europa en misión de trabajo por tres países
(Inglaterra, Francia y España), declara en su rendición haber gastado en hospedaje
diariamente 30 $ en Inglaterra, 20 $ en Francia y 20 $ en España, en concepto de comida
(diarios) 20 $ en Inglaterra, 30 $ en Francia y 20 $en España , mientras que en movilidad
gastó diariamente 10 $ en todos los países. En total en gastó 340 $ en hospedaje, 320 en
comida y 180 en movilidad.
La secretaria dice que rendición está equivocada. ¿Porqué ? El empleado se retracta y dice
que los gastos de movilidad fueron 140 $ en total. La secretaria ahora acepta el resumen.
¿Porqué ?
Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius
Ejercicio Nº 8
Sin resolver los siguientes sistemas, decir si tienen o no tienen solución y de que tipo son.
Plantear por el Teorema de Rouchè- Frobenius.
{
3x+3y=2
x-2y = -1
3x+2y=7
{
{
x+2y-3z=-1
3x-y+2z=7
5x+3y-4z=2
3
3x+2y-3z=5
2x-y+1z=1
8x+3y-5z=11
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Resolución de sistemas compatibles indeterminados
Ejercicio Nº 9.
También podemos trabajar con sistemas, que no posean la misma cantidad de ecuaciones que
de incógnitas.
Resolver el siguiente sistema.
{
5x+y+3z=1
3x+2y-3z=2
Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius en sistemas homogéneos
Ejercicio Nº 10
Sin efectuar cálculos indique cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen soluciones
no triviales
a)
x1+3x2+5x3+x4=0
4x1-7x2-3x3-x4=0
3x1+2x2+7x3+8x4=0
{
c) a11x1+a12x2+a13x3=0
a21x1+a22x2+a23x3=0
b)
x1+2x2+3x3=0
x2+4x3=0
5x3=0
{2xx +x+2x=0=0
d)
1
1
2
2
Sistema homogéneos, graficación, interpretación de soluciones
Ejercicio Nº 11
Rescribir los siguientes sistemas no homogéneos con los términos independientes
igualados a cero (sistemas homogéneos).
a) 2x+y=8
2x+y=4
b)
2x+y=8
4x+2y=16
1. Representar gráficamente en el plano los sistemas dados y los sistemas
homogéneos. Comparar con los gráficos de los sistemas correspondiente
2. ¿Por qué un sistema homogéneo siempre tiene solución?
3. Para el sistema homogéneo con solución única ¿Cuál es la solución?
4. Para los sistemas homogéneos con infinitas soluciones ¿Es el punto (0,0) una solución?
5. Observando el gráfico escribir otras soluciones para el sistema homogéneo
Repaso e integración de conceptos de Sistemas homogéneos
Ejercicio Nº 12
a) Resolver los siguientes sistemas homogéneos
⎧ 2x − y + z = 0
⎧ 2x − y + z = 0
⎪3 x + 2 y + z = 0
⎪3x + 2 y + z = 0
⎪
⎪
⎨
⎨
⎪x + 3 y + 0z = 0
⎪x + 3y − 2z = 0
⎪⎩5 x + y + 2 z = 0
⎪⎩5 x + y + 4 z = 0
b) Escribir los siguientes sistemas en forma matricial ( b1y b2) . Sin resolver determinar si
los siguientes sistemas homogéneos tienen una solución no trivial.
c) A continuación, establecer si las matrices formadas por los coeficientes de las incógnitas
son inversibles.
b1)
2x1 + x2 - 3x3 + x4 = 0
5x2 + 4x3 + 3x4 = 0
x3 + 2x4 = 0
3x4 = 0
b2)
5x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0
2x3 - x4 = 0
x3 + x4 = 0
7x4 = 0
d) Hallar los valores de m para los que el siguiente sistema posea soluciones no triviales:
2x - y + z = 0
x + my - z = 0
x + y + z= 0
Resolución aplicando el método de Gauss
Ejercicio Nº 13
Resolver por el método de eliminación de Gauss
a) 2x+y-2z=10
b) x+2y-3z=-1
c)
2x+3y-z = 4
3x+2y+2z=1
3x-y+2z=7
5x+ y+ 2z =0
5x+4y+3z=4
5x+3y-4z=2
9x+7y = 6
4
d)
2x1 + 2x2 - x3 + +x5 = 0
-x1 - x2 + 2x3 - 3x4 +x5 = 0
x1 + x2 -2x3 + - x5 = 0
x3 +x4 +x5 = 0
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Resolución de un sistema homogéneo, presentado en un formato que sirve de
aprestamiento al tema de autovalores y autovectores
Ejercicio Nº 14
a) Calcular los valores de λ para que el sistema siguiente admita soluciones no nulas. Resolver
el sistema para esos valores.
{ x-2x-2x+x==λλxx
1
2
1
1
2
2
Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius, para determinar valores que permitan
obtener distintos tipos de sistemas: compatibles determinados, compatibles
indeterminados e incompatibles
b) Determinar todos los k ∈ R para los cuales el sistema tiene alguna solución no trivial y
resolver el sistema para cada valor.
x1+ kx2+ x3= 0
2x1+ x3= 0
2x1+ kx2+ kx3= 0
c) El siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene más de una solución para
algunos valores de a. Diga para cuales.
( a − 1) x1 − 3x 2 + 5 x 3 = 0
− ax2 − ax3 = 0
( a + 1) x3 = 0
Ejercicio Nº 15a
Hallar los valores de k para que el siguiente sistema sea:
a) Compatible Determinado.
b) Compatible Indeterminado.
x1 + x2 -x3 = 1
c) Incompatible.
2x1 +3x2 +k x3= 3
x1 +k x2 +3 x3= 2
Ejercicio Nº: 15b
Hallar los valores de k para que el siguiente sistema sea:
a) Compatible determinado
x+2y+kz=1
b) Compatible indeterminado
2x+ky+8z=3
c) Incompatible
{
{
Transformación de enunciados complejos en un sistema de ecuaciones lineales.
Resolución utilizando un programa computacional.
* Ejercicio Nº 16
Un médico ordena a un paciente tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y
19 unidades de vitamina E. El paciente puede elegir entre tres marcas de pastillas de
vitaminas: La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina D, 5
unidades de vitamina E. La marca Y contiene 1 unidad de vitamina A, 3unidades de vitamina
D, 4 unidades de vitamina E. La marca Z contiene 1 unidad de vitamina A, ninguna unidad de
vitamina D y 1 unidad de vitamina E
a.- Plantear el sistema.
b.- Resolver utilizando Mathematica.
• Determine todas las combinaciones posibles de pastillas que proporcionan exactamente
las cantidades requeridas de vitamina.
• Si la marca X cuesta 1 peso por pastilla, la Y cuesta 6 pesos por pastilla y la Z cuesta 3
pesos por pastilla. Cuál es la combinación menos costosa .
Comparación de comandos del programa Mathematica y análisis de los resultados que se
obtienen, en cada caso
* Ejercicio Nº 17.
IMPORTANTE: Si el sistema es compatible indeterminado, el programa devolverá las soluciones,
en función de una o más variables arbitrarias SIEMPRE que use el comando Solve.
Verifique qué solución le devuelve el programa cuando usa el comando LinearSolve con
SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS. Se recomienda usar los dos comandos
para resolver los ejercicios que siguen y prestar especial atención cuando resuelva sistemas
compatibles indeterminados.
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a)
-x+y=-1
2x+4y=8
2x-2y=2
x+2y=4
{
{
{
c)
b)
x+y+z+u+v=3
2x+3y+3z+u-v=0
-x+2y-5z+2u-v=1
3x-y+2z-3u-2v=-1
e)
x-y-3z-t=1
x+2y-t=1
3x+4y-2z=0
2x+4z-6t=6
{
{
{
x-3y+z-w=-5
2x+4y-z+2w=15
-x-3z+w=6
3x+y+z-2w=0
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d)
f)
2x-3y+z=0
-x+y+4z=4
3x+2y-2z=3
2x-y+3z-2w=9
-x+2y+2z+4w=1
3x-2y-z+5w=3
2x+20y-12z+4w=-42
¿En qué varía la salida de máquina que devuelve el programa cuando se trata de sistemas
incompatibles y sistemas compatibles indeterminados usando uno u otro comando?.
* Ejercicio Nº: 18
En cada uno de los siguientes sistemas determine la solución general, si existe: Utilizando los
comandos del Mathematica.
a)
x+y- 3z= -5
b)
3x+2y+ 4z =1
c) 3x-2y+5z- u=1
2x-y+3z=2
5x+3y+3z =2
x + y-3z+2u=2
-y +z =10
x+ y+5 z =1
6x+y-4z+ 7u=3
* Ejercicio Nº 19
La suma de 3 inversiones es de $7400. Las acciones x pagan 2% de dividendos anuales, las y
pagan 4% y las z pagan 5%. La suma de los dividendos anuales es de $278. Las inversiones en
acciones z es de $1000 menos que la suma de x y de y. ¿Cuál es el monto de cada una de las
acciones?.
a.- Plantear el sistema.
b.- Resolver utilizando Mathematica.
* Ejercicio Nº 20
Para la construcción de 3 tipos de automóviles se requiere 3 clases de materiales: Metal,
Plástico y Caucho. La cantidad necesaria para producir cada automóvil es:
1
2
3
METAL Kg./auto
1500
1700
1900
PLÁSTICO kg./auto
25
33
42
CAUCHO kg./auto
100
120
160
Si se dispone de un total de 106 Ton. de metal, 2,17 Ton. de plástico y 8,2 Ton. de caucho.
¿Cuántos automóviles se pueden producir de cada tipo?
a.- Plantear el sistema.
b.- Resolver utilizando Mathematica.
Reflexionar sobre la necesidad de obtener una solución aunque el sistema se
incompatible
* Ejercicio Nº 21
Una fábrica elabora 2 tipos de máquinas A y B. Cada unidad requiere las siguientes cantidades
de horas de trabajo, en los departamentos de maquinado, armado y pintura.
MAQUINADO
0,2
0,4
A
B
ARMADO
0,3
0,2
PINTURA
0,5
0,3
Supongamos que el tiempo disponible por semana en cada departamento es el siguiente:
300 hs. de maquinado.
200 hs. de armado.
300 hs. de pintura.
Llamaremos x1 y x2 a la cantidad de máquinas A y B, a elaborar por semana.
• Queremos determinar, si existen, los valores de x1 y x2 que permiten utilizar todo el
tiempo disponible en los 3 departamentos.
• Si no existen sugerir valores de x1 y x2 que sean convenientes.
Ejercicio Nº 22.
Un dietista está planeando una comida que conste de tres tipos de alimentos y que satisfaga las
necesidades diarias mínimas (NDM) de tres vitaminas. La tabla resume el contenido vitamínico
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por gramos de cada tipo de alimento, expresado en miligramos. Determine si hay combinaciones
de los tres alimentos que satisfagan exactamente las necesidades diarias mínimas de las tres
vitaminas.
Contenido vitamínico/gr. [mg]
Tipo de alimento
Vitamina 1 Vitamina 2 Vitamina 3
1
4
2
1
2
6
8
6
3
3
4
2
NDM
52
56
34
*Ejercicio Nº 23.
Se dan tres aleaciones de plata, cobre y oro, con la siguiente composición
PLATA
COBRE
ORO
------------------------------1
5%
15%
80%
------------------------------2
10%
25%
65%
------------------------------3
15%
30%
55%
Para obtener 20 gramos de una aleación que
contenga 12% de plata, 26% de cobre y 62% de
oro. ¿Cuántos gramos deberé extraer de cada
aleación?
Graficación el programa Mathematica
Para graficar ecuaciones en forma implícita, deberá cargar el paquete correspondiente de la
siguiente manera
<< Graphics`ImplicitPlot` ( en la versión 4.0)
una vez cargado, usará el comando ImplicitPlot[ argumento], y como argumento la lista de
funciones, y el rango de la variable x. ( Recordar: la lista de funciones entre llaves, separadas
por comas, no olvidar el doble signo igual en cada función)
Ejemplo: si graficamos el siguiente sistema:
2x+y=8
3x-2y=-2
En el caso del sistema homogéno:
2x+y=0
3x-2y=0
In[1] ImplicitPlot[{2x+y==8,3x-2y==-2},{x,-10,10}]
In[2] ImplicitPlot[{2x+y==0,3x-2y==0},{x,-10,10}]
-10
20
20
10
10
-5
5
-10 -5
10
5
10
-10
-10
-20
-20
Para graficar ecuaciones en forma implícita, puede utilizar el comando Plot,
Plot[{f1, f2, … ,fn}, {x, xmin, xmax}]
previamente el paquete:
Que grafica varias funciones cargando
<< Graphics`FilledPlot`
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Plot[{-2x + 1, -5x - 2}, {x, -2, 2}, GridLines -> Automatic , Axes -> True, AxesOrigin -> {.0,
.0}]
* Ejercicio Nº 24
Dado el siguiente sistema:
2x + y - z = 0
3x + 4y - z = 0
x - 2y - z = 0
1.
2.
3.
4.
Resolver utilizando el comando Solve.
Resolver utilizando el comando LinearSolve
Verificar si las soluciones son iguales.
En caso de que difieran, utilice el concepto de característica para justificar cuál es la
solución general.
5. Graficar la solución obtenida.
Para graficar una ecuación lineal en el espacio geométrico el comando a utilizar es:
Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]
Ejemplo:
a = Plot3D[2x + y, {x, 0, 3}, {y, -2, 3}]
Siendo a: 2x + y - z = 0
7.5
5
2.5
0
3
2
1
0
0
1
-1
2
3
-2
Para visualizar todas las ecuaciones en el espacio geométrico hay que utilizar el comando:
Show[a, b, c, AxesLabel -> {"Eje X", "Eje Y", "Eje Z"}]
20
Eje Z 10
0
-10
2
-2
0
Eje Y
0
Eje X
2
-2
Para cambiar el punto de vista
Show[a, b, c, AxesLabel ->{"Eje X", "Eje Y", "Eje Z"},ViewPoint ->{4.839, -0.947,
0.193}]
Eje Y
-2
0
2
20
10
Eje Z
0
-10
-2
0
2
Eje X
8
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Interpretación gráfica de las soluciones
Ejercicio Nº 25
¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponde a un sistema lineal homogéneo y qué tipo de
solución representa cada una de ellas?
0
0
0
0
Auto evaluación.
Si lo desea puede ingresar a los siguientes sitios web y realizar las evaluaciones allí propuestas:
Curso básico de matemáticas para estudiantes de económicas y empresariales
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
http://www.unizar.es/aragon_tres/u6sistest.htm
Página dirigida a los estudiantes de Bachillerato del Instituto Avenida de los Toreros de Madrid,
elaborada por Jesús García de Jalón
http://www.educa.madrid.org/web/ies.avenidadelostor.madrid/matematicas/test/test02.htm
Test para los estudiantes de Matemáticas de 2 º de Bachillerato de Asturias generado por los
profesores Cristina Díaz Sordo y Luis Vaamonde Portas
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/algebra/test/testsist.htm
Universidad Metropolitana de Venezuela. Archivo de word que se puede guardar y luego
utilizar, se accede a las soluciones mediante un hipervínculo
http://ares.unimet.edu.ve/matematica/alineal/
Bibliografía
3 Álgebra Lineal con Aplicaciones. Nakos George y Joyner David. Editorial Thomson
International. 1999
3 Introducción al Algebra Lineal, Anton, H. Ed. Limus 1986.
3 Nociones Geometría Analítica y Álgebra Lineal. Kozak, A.M.- Pastorelli, S. Vardanega, P .Editorial: Mc Graw Hill. 2007
3 Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones, Hill, Richard, Ed. Prentice Hall. 1996
3 Álgebra Lineal con aplicaciones y Matlab, Kolman, Bernard, , Ed. Prentice Hall. 1999
9