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Álgebra Lineal
Juan Núñez Olmedo
Iván Sandoval Palis
Escuela Politécnica Nacional
Dedicamos
este
trabajo
a
los
estudiantes
de
la
Escuela
Politécnica
Nacional
PRÓLOGO
Esta obra está dirigida a los estudiantes que están iniciando sus estudios
superiores en las diferentes carreras de ingeniería, así también como a
los docentes y personas en general que necesitan una obra de consulta.
El objetivo fundamental de esta obra es proporcionar una guía, para
plantear, analizar y resolver problemas de los diferentes temas del
álgebra Lineal.
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos
tales como: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y,
su enfoque más formal que son los espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales.
Es un espacio que tiene muchas conexiones con muchas áreas dentro y
fuera de las matemáticas como el cálculo vectorial y las ecuaciones
diferenciales, la ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal se remonta a los años de 1843 cuando
Willam Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector)
creo los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su
libro La teoría de la extensión.
De manera formal el álgebra lineal estudia las estructuras matemáticas
denominadas espacios vectoriales, las cuales constan de un conjunto de
vectores definido en un campo, con una operación de suma de vectores,
y, otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas
propiedades.
El lector debe aprender la parte teórica, las propiedades que se
describen en cada capítulo de este libro, para analizar cómo se aplican
en los ejercicios resueltos en clases y luego debe apropiarse de sus
métodos de análisis y de solución, para resolver los ejercicios
propuestos.
La favorable acogida que se brinde a este texto, servirá para continuar
trabajando a favor del proceso de enseñanza y aprendizaje. Las
sugerencias que permitan mejorar este trabajo, serán de mucha ayuda
para facilitar la comprensión y el estudio.
Deseamos expresar nuestros sinceros agradecimientos a todas las
personas que de una u otra manera contribuyeron a la elaboración del
mismo.
Loa Autores
ISBN: 978-9942-21-774-5
Primera Edición Septiembre 28 de 2015
Reservados todos los derechos
Ni todo el Libro, ni parte de él, pueden ser reproducidos, archivados
o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema,
electrónico, mecánico de reproducción, memoria
o cualquier otro, sin permiso escrito de los autores.
Hecho en Quito – Ecuador – Sudámerica
COPIA LEGAL
I
CONTENIDO
CAPÍTULO 1..............................................................................................................................................1
MATRICES ................................................................................................................................................1
DEFINICIÓN ..........................................................................................................................................1
OPERACIONES CON MATRICES........................................................................................................3
SUMA DE MATRICES........................................................................................................................3
DIFERENCIA DE MATRICES ...........................................................................................................3
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR ...........................................................................................4
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES..................................................................................................6
MATRIZ TRANSPUESTA ...................................................................................................................10
TRAZA DE UNA MATRIZ ..................................................................................................................16
MATRIZ INVERTIBLE........................................................................................................................17
OPERACIONES ELEMENTALES ......................................................................................................23
OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS ..................................................................................23
MATRICES ELEMENTALES..............................................................................................................23
MATRICES EQUIVALENTES ............................................................................................................24
FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ......................................................................................27
MATRIZ ESCALONADA POR FILAS ..............................................................................................27
MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS..........................................................................27
1
ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A ....................................................................................30
PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................31
CAPÍTULO 2............................................................................................................................................49
DETERMINANTES.................................................................................................................................49
DEFINICIÓN ........................................................................................................................................49
DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES ..........................................................................50
PROPIEDADES ....................................................................................................................................51
DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES......................................................................57
INVERSA DE UNA MATRIZ ..............................................................................................................60
PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................63
CAPÍTULO 3............................................................................................................................................81
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.........................................................................................81
SISTEMAS EQUIVALENTES .............................................................................................................83
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.................................................................................83
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN............................................................................................................84
MÉTODO DE GAUSS ......................................................................................................................85
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN ......................................................................................................85
MÉTODO DE CRAMER...................................................................................................................85
PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................89
CAPÍTULO 4..........................................................................................................................................101
ESPACIOS VECTORIALES ................................................................................................................101
DEFINICIÓN ......................................................................................................................................101
SUBESPACIOS VECTORIALES.......................................................................................................104
COMBINACIÓN LINEAL .................................................................................................................105
CONJUNTO GENERADOR...............................................................................................................106
CÁPSULA LINEAL............................................................................................................................106
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES .........................................................................107
BASE...................................................................................................................................................110
DIMENSIÓN.......................................................................................................................................114
CAMBIO DE BASE ............................................................................................................................123
PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................127
II
CAPÍTULO 5..........................................................................................................................................163
PRODUCTO INTERNO........................................................................................................................163
DEFINICIÓN ......................................................................................................................................163
EJEMPLOS .........................................................................................................................................163
NORMA DE UN VECTOR .................................................................................................................164
VECTORES ORTOGONALES ..........................................................................................................167
PROYECCIÓN ORTOGONAL ..........................................................................................................167
CONJUNTO ORTOGONAL...............................................................................................................168
VECTOR UNITARIO .........................................................................................................................169
NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR ..............................................................................................169
CONJUNTO ORTONORMAL ...........................................................................................................169
BASE ORTONORMAL ......................................................................................................................169
3
PRODUCTO CRUZ EN R ...............................................................................................................171
DEFINICIÓN ......................................................................................................................................173
DEFINICIÓN ......................................................................................................................................174
PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................175
CAPÍTULO 6..........................................................................................................................................189
TRANSFORMACIONES LINEALES .................................................................................................189
DEFINICIÓN ......................................................................................................................................189
NÚCLEO .............................................................................................................................................190
IMAGEN .............................................................................................................................................191
INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD ........................................................194
CONJUNTO DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES L (V , W ) ............................................196
IGUALDAD ....................................................................................................................................196
OPERACIONES CON TRANFORMACIONES LINEALES.............................................................197
SUMA..............................................................................................................................................197
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR .......................................................................................197
COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES ............................................................198
TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES .....................................................................201
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ...................................................204
REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMAGEN ......................................................................................207
MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ..................................................208
SEMEJANZA DE MATRICES...........................................................................................................209
PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................213
CAPÍTULO 7..........................................................................................................................................241
VALORES Y VECTORES PROPIOS .................................................................................................241
DEFINICIÓN ......................................................................................................................................241
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES......................................................................242
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ ....................................................................245
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ ......................................................................245
CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO ........................................................................246
MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA....................................................................................................246
MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA ...................................................................................................246
MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN......................................................................247
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS ....................................................................250
TEOREMA DE CALEY - HAMILTON..............................................................................................254
FORMAS CUADRÁTICAS Y CANÓNICAS ....................................................................................257
SECCIONES CÓNICAS..................................................................................................................260
PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................265
1
MATRICES
Capítulo 1
MATRICES
x
DEFINICIÓN
Una matriz A de m n es un ordenamiento rectangular de m
por n números distribuidos en un orden definido de m filas y n
columnas:
 a11 a12

 a21 a22
 ...
...
A
 ai1 ai 2
 ...

 am1 am 2

... a1 j
... a2 j
... ...
... aij
... anj
a1n 

... a2n 
... ... 

... ain 


... amn 
...
 aij es el elemento i,j-ésimo (pertenece a la fila i y a la columna j).
 A por conveniencia se escribe A  aij  .
 Las matrices se denotan con letras mayúsculas.
 M mxn , es el conjunto de todas las matrices de orden m por n , definidas en el campo
K.
 La i-ésima fila de A es: ai1
 La j-ésima columna de A es:
ai 2
... aij
... ain  y constituye la matriz fila de Ai
 a1 j 


 a2 j 
 . 


 a1 j 
 . 


a 
 mj 
y constituye la matriz columna A j
 A puede ser representada por matrices fila, así: A   A1 , A2 ,  , Ai ,  , Am 

 A puede ser representada por matrices columna, así: A  A , A 2 ,  , A j ,  , A n
ÁLGEBRA LINEAL
1

2
MATRICES
IGUALDAD
Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn ,
A  B  aij  bij
Ejemplos
1.
Las siguientes matrices son iguales
 1 2

A  
  3 4
 1 2

B  
  3 4
2.
Las siguientes matrices no son iguales
 1 2

A  
  3 4
1 2

B  
3 4
MATRIZ CUADRADA
Sea A  aij mn .
A es matriz cuadrada si y sólo si m  n . El conjunto de matrices cuadradas se nota
M nxn ó M n .
Ejemplos
 1 5

A  
 2 7
 2 1 0


B   7 8 9
10  5 8 


MATRIZ NULA
Sea O  aij mn .
O es una matriz nula si y sólo si aij  0 , es decir, es una matriz cuyos elementos son
iguales a cero.
Ejemplos
Las siguientes marices son nulas:
0 0

O2  
0 0
0 0 0


O3   0 0 0 
0 0 0


ÁLGEBRA LINEAL
0

0
O4  
0

0

0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0 
3
MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn .
La suma de A y B es la matriz A  B de m filas y n columnas, dada por:
a12  b12
 a11  b11

a22  b22
a b
A  B  aij  bij   21 21


a  b
 m1 m1 am 2  bm 2


 a1n  b1n 

 a2n  b2n 



 amn  bmn 
La suma de matrices está definida cuando ambas matrices tienen el mismo tamaño.
Ejemplo
3
1 2 3  3 4 0  4 6

 
 

 5 0  1   1  1 0    6  1  1
 2 3 4   1 1 6   3 4 10 

 
 

DIFERENCIA DE MATRICES
Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn .
La diferencia de A y B es la matriz A  B de m filas y n columnas, dada por:
A  B  A  ( B)
Ejemplos
1.
 2  5   1 7   1  12 

  
  

0
3

3
2
3
1

 
 

2.
4 
1 3 4   5  6 0   4 9

 
 

3    2  2  4
 1 0  1    1 2
2 3 7   1
4 10   1  1  3 

 
ÁLGEBRA LINEAL
4
MATRICES
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Si A  aij mn y  es un escalar, entonces A está dada por:
 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2 n 
A  aij   




 a


a


a
m2
mn 
 m1
Es decir,  A se obtiene multiplicando por  a cada componente de A .
Ejemplos
1.
 2  3   10  15 
  

5 
 7 1   35 5 
2.
 0  8   0 16 
  

 2 
10  4    20 8 
3.
Dadas las matrices A y B , hallar 2 A  3B y 3 A  2 B
 2 3

A  
 1 0
 3  1

B  
0 1 
Solución:
5 9 

2 A  3B  
  2  3
 0 11 

3 A  2 B  
  3  2
DEFINICIÓN
(1) A   A
ÁLGEBRA LINEAL
5
MATRICES
PROPIEDADES
TEOREMAS
 ,   K , A, B, C  M mxn , se cumple que:
1.
A  ( B  C )  ( A  B)  C
2.
A B  B A
3.
AO  A
4.
A  ( A)  O
5.
 A =  A
6.
1. A  A
7.
   A  A  A
8.
  A  B   A   B
9.
0. A  O
Se demostrarán los teoremas 1, 3 y 5 los restantes teoremas se dejan como ejercicio.
DEMOSTRACIONES
1. A+(B+C)=A+(B+C)
Axioma reflexivo
 (aij )  (bij  cij )
Cambio de notación
 (aij  bij  cij )
Definición de suma
 ((aij  bij )  cij )
Propiedad de campo
=(A+B)+C
3. A+O=A+O
Axioma reflexivo
 (aij  0ij )
Notación
 (aij )
Propiedad de campo
=A
ÁLGEBRA LINEAL
6
MATRICES
5. ( ) A  ( ) A
Axioma reflexivo
 ( aij )
Notación
 ( ( aij ))
Propiedad de campo
  ( A)
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
 mn y B   b jk np .
Sean las matrices A  aij
El producto de A y B es la matriz C   cik mp , donde
n
cik   aij b jk .
j 1
En forma desarrollada:
cik  ai1b1k  ai 2b2 k    aij b jk    aip b pk .
Esto se muestra en la figura
 a11 a12  a1 p 


 a21 a22  a2 p   b11 b12  b1k

 

   b21 b22  b2k


aip   


 ai1 ai 2

 


   b p1 b p 2  b pk

 am1 am 2  amp 


 b1n   c11 c12
 
 b2n   c21 c22

   

 


 b pn   cm1 cm 2


cik

c1n 


 

cmn 
Observaciones
1.
El elemento i, k -ésimo de AB es el producto escalar de la i -ésima fila de A y
la k -ésima columna de B .
2.
Dos matrices A y B se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la
primera es igual al número de filas de la segunda. De otra manera el producto no
estará definido.
ÁLGEBRA LINEAL
7
MATRICES
Ejemplo
Una empresa fabrica en su planta 3 productos A, B y C. Los almacenes principales se
encuentran en Quito, Guayaquil, Cuenca y Loja. Las ventas durante el año anterior en
Quito se cifraron en 400,100 y 500 unidades de los productos A, B y C en orden; las del
almacén de Guayaquil en 300, 150 y 400; las del almacén en Cuenca en 100, 100 y 200;
y las del almacén de Loja en 200,150 y 300. Los precios de venta de los productos
fueron 25, 50 y 80 USD para los productos A,B y C respectivamente.
a)
Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4x3.
b)
Expresar mediante una matriz X de orden 3x1 el precio de cada producto.
c)
¿Qué es AX?
Solución:
a)
Las ventas en el año anterior se pueden representar en una matriz A de orden
4x3 de tal forma que en cada fila aparezcan las ventas realizadas por cada uno
de los almacenes principales y en cada columna las proporcionadas a cada tipo
de producto. Así:
 400

 300
A
100

 200

b)
100
150
100
150
500 

400 
200 

300 
Los precios unitarios de cada producto se pueden escribir en X de orden 3x1 en
la forma
 25 
 
X   50 
 80 
 
c)
Si se consideran las matrices A y X definidas en los apartados a) y b), se tiene
que
 55.000 


 47.000 
AX  
23.500 


 36.500 


AX es una matriz en la que se especifican los ingresos obtenidos en el año
anterior por cada uno de los cuatro almacenes principales de la empresa.
ÁLGEBRA LINEAL
8
MATRICES
Ejemplo
Comprobar que las siguientes identidades algebraicas
 A  B 2  A2  2 AB  B 2
( A  B )( A  B )  A2  B 2
no son ciertas si A y B son matrices cuadradas de orden n , usando las marices
 1  1

A  
0 2 
1 0 

B  
1 2 
¿Por qué las identidades dadas no son ciertas?
Modificar el segundo miembro de ambas identidades de manera que el resultado sea
válido para cualesquiera A y B matrices cuadradas.
Solución:
 2  1

A  B  
1 4 
 1  3

A2  
0 4 
 0  1

A  B  
 -1 0 
1 0

B 2  
3 4
 0  2

AB  
2 4 
 1  1

BA  
1
3


Por lo tanto
3  6
2  7
  A2  2 AB  B 2  

 6 15 
 7 16 
 A  B 2  
 1  2
 0  3
  A2  B 2  

( A  B)( A  B)  
  4 1
 3 0 
Las expresiones que se indican en el enunciado para  A  B  y ( A  B)( A  B) son
2
verdaderas si A y B son escalares, pero no son válidas si A y B son matrices, ya que el
producto de matrices no cumple la ley conmutativa a diferencia del producto de
escalares.
Las identidades algebraicas correctas para cualesquiera A, B  M mxn son
 A  B 2  A2  AB  BA  B 2
( A  B)( A  B)  A2  AB  BA  B 2
ÁLGEBRA LINEAL
9
MATRICES
y como ordinariamente AB  BA
AB  BA  2 AB
AB  BA  O
Por lo que
 A  B 2  A2  2 AB  B 2
( A  B)( A  B)  A2  B 2
Observación
No existe ley conmutativa para la multiplicación de matrices.
PROPIEDADES
TEOREMAS
  K , A  M mxn ,B  M nxp
10. (A) B   ( AB)
11. ( A ) B   ( AB)
12. ( AB)  A( B )
A  M mxn,B, C  M nxp
13. A ( B  C )  AB  AC
A, B  M mxn ,C  M nxp
14. ( A  B)C  AC  BC
A  M mxn, , B  M nxp , C pxq
15. ( AB) C  A ( BC )
DEMOSTRACIONES
10.
(A) B  (A) B
Axioma reflexivo
 (aij )(b jk )
Notación
 ( )(aij )(b jk )
Multiplicación escalar por matriz
  ( AB)
Notación
ÁLGEBRA LINEAL
10
MATRICES
13.
A( B  C )  A( B  C )
Axioma reflexivo
 (aij )(b jk  c jk )
Notación
n
  aij (b jk  c jk )
j 1
n
  (aij b jk  aij c jk )
j 1
n
n
j 1
j 1
Multiplicación de matrices
Propiedad de campo
  aij b jk   aij c jk Propiedad del sumatoria
AB  AC
15.
Notación
A( BC )  A( BC )
Axioma reflexivo
 p

 (aij )  b jk c kl 
 k 1

Notación
n
 p

  aij   b jk c kl 
j 1
 k 1

Multiplicación de matrices
p
 n

    aij b jk  c kl
k 1  j 1

Propiedad del sumatoria
 n

   aij b jk  (c kl )
 j 1

Multiplicación de matrices
 ( AB) C
Notación
MATRIZ TRANSPUESTA
Sea la matriz A  aij mn .
La transpuesta de A notada por A t , es la matriz nxm obtenida al intercambiar las filas y
las columnas de A , es decir, A t  ( a ji ) nm .
Ejemplo
 1  2 3

A  
 0 1 5
ÁLGEBRA LINEAL
 1 0


At    2 1 
 3 5


11
MATRICES
PROPIEDADES
TEOREMAS
A, B  M mxn ,
16. ( A  B) t  A t  B t
17. ( A t ) t  A
  K , A  M mxn ,
18. (A) t  A t
A  M mxn ,B  M nxp
19. ( AB) t  B t A t
DEMOSTRACIONES
16.
18.
19.
( A  B) t  ( A  B) t
Axioma reflexivo
 (a ij  bij ) t
Notación
 (a ji  b ji )
Definición de transpuesta
 At  B t
Notación
(A) t  (A) t
Axioma reflexivo
 (aij ) t
Notación
 (a ji )
Definición de transpuesta
  (a ji )
Definición escalar por matriz
 A
Notación
aij  a ji 
 , numéricamente
b jk  bkj 
( AB) t  (cik ) t
 n

   aij b jk 
 j 1

ÁLGEBRA LINEAL
t
Producto de matrices
12
MATRICES
 n

   a ji bkj 
 j 1

Definición de transpuesta
 n

   bkj a ji 
 j 1

Propiedad de campo
 B t At
Notación
DEFINICIÓN
Sea la matriz A  M nxn , se define
A. A  A 2
A.
A
A  An



n veces
MATRIZ SIMÉTRICA
Sea la matriz A  aij mn .
A es una matriz simétrica si y sólo si A  A t
Ejemplos
1.
 1  2
 ,
A  
 2 3 
 1  2
 ,
At  
 2 3 
2.
1 
1 2


A   2 2  3 ,
1  3 3 


1 
1 2


A   2 2  3  , A  A t  A es simétrica.
1  3 3 


A  A t  A es simétrica.
t
TEOREMA 20
Si A y B son matrices simétricas, A  B es matriz simétrica.
ÁLGEBRA LINEAL
13
MATRICES
DEMOSTRACIÓN
A  A t (1) 
 Hipótesis
B  B t (2)
Sumando (1) y (2)
A  B  At  B t
 ( A  B) t
(Teorema 16)
MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Sea la matriz A  a ij n .
A es antisimétrica si y sólo si A   A t .
Ejemplo
1  2
1  2
0
 0 1 2 
0





t 
Si A    1 0
3  A  1
0  3     1 0
3   A
 2 3 0 
 2 3
 2 3 0 
0 





A es matriz antisimétrica.
MATRICES CONMUTABLES
Sean las matrices A, B  M nxn .
A y B son conmutables si y sólo si AB  BA.
DIAGONAL DE UNA MATRIZ
La diagonal está definida para matrices cuadradas y forman parte de esta los elementos
aij , tales que, i  j .
Ejemplo
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2n 
A




a

 m1 am 2  ann 
ÁLGEBRA LINEAL
14
MATRICES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Sea la matriz A  a ij n .
A es matriz triangular superior si y sólo si aij  0, i  j .
 a11

 0
A


 0

a12  a1n 

a 22  a 2 n 


0  a mn 
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Sea la matriz A  a ij n .
A es matriz triangular inferior si y sólo si aij  0, i  j .
 a11

a
A   21


a
 m1
0
a 22
am2
0 

0 


 a mn 


MATRIZ DIAGONAL
Sea la matriz A  aij n .
A es matriz diagonal si y sólo si aij  0, i  j y aij es escalar, i  j .
Ejemplos
1.
2 0 

A  
 0  1
2.
1 0

I  
0
1


3.
1 0  0 


0 3  0 
D




0 0   2


ÁLGEBRA LINEAL
15
MATRICES
MATRIZ ESCALAR
Sea la matriz A  a ij n .
A es matriz escalar si y sólo si aij  0, i  j y aij es constante, i  j .
5 0  0


0 5  0
A




0 0  5


MATRIZ IDENTIDAD
Sea la matriz I  a ij n .
I es matriz identidad si y sólo si aij  0, i  j y aij  1, i  j .
Ejemplos
1 0
,
I 2  
0 1
I 1  1,
1 0 0


I 3   0 1 0 ,
0 0 1


1 0  0


0 1  0
In  




0 0  1


MATRIZ NILPOTENTE
Sea la matriz A  a ij n .
A es matriz nilpotente de orden k , si k es el menor entero positivo tal que A k  O .
Ejemplos
1.
0 2

A  
0
0


es matriz nilpotente de orden 2, pues, A2  O
2.
0 1 3 


B  0 0  2
0 0 0 


es matriz nilpotente de orden 3, pues, B3  O
ÁLGEBRA LINEAL
16
MATRICES
TRAZA DE UNA MATRIZ
Sea A  M nxn .
La traza de A es la suma de los elementos de la diagonal. Así:
n
Tr ( A)   aij .
i 1
Ejemplos
1.
 2 0
 , entonces Tr ( A)  7
Si A  
  7 5
2.
0 4
 1


Si A    2  2 1  , entonces Tr ( A)  5
 3
4 6 

Propiedades
1.
Tr ( A)   .Tr ( A)
2.
Tr ( A  B)  Tr ( A)  Tr ( B)
3.
Tr ( AB)  Tr ( BA)
TEOREMA 21
x
A  M m n , I  M nxn , tal que A.I  A
DEMOSTRACION
Sean A  (aij ) mn
I  (b jk ) nn , donde b jk  0, j  k  b jk  1, j  k
n
cik   aij b jk
j 1
cik  ai1b1k  ai 2 b2 k    aij b jk    ain bnk
ÁLGEBRA LINEAL
17
MATRICES
si k=1
ci1  ai1b11  ai 2 b21    aij b j1    ain bn1
ci1  ai1
si k=2
ci 2  ai1b12  ai 2 b22    aij b j 2    ain bn 2
ci 2  a i 2
si k=j
cij  ai1b1 j  ai 2 b2 j    aij b jj    ain bnj
cik  cij  aij
n
cik   aij b jk  aij
j 1
Por lo tanto A.I  A
TEOREMA 22
A  M mxn , I  M mxm , tal que. I . A  A
Corolario
Sean las matrices A , I  M nxn
A.I  I . A  A
MATRIZ INVERTIBLE
Sea la matriz A  M nxn .
A es matriz invertible si y sólo si existe una matriz B  M nxn , tal que
A.B  B. A  I .
ÁLGEBRA LINEAL
18
MATRICES
Notas
1. B es matriz inversa de A , B  A 1 , de la definición,
AA 1  A 1 A  I .
2. B es matriz invertible, A  B 1 , de la definición,
BB 1  B 1 B  I
TEOREMA 23
Sea A  M nxn ,
Si A es matriz invertible, entonces su inversa es única.
DEMOSTRACION
Por contradicción:
Se supone que la inversa de A no es única, es decir, existen matrices B1 y B2 , inversas
de A , tales que B1  B2 .
AB1  B1 A  I
AB 2  B2 A  I ( 2)
B1  B1 I
(1)
(1)
(2)
(
(3)
Reemplazando (2) en (3)
B1  B1 ( AB 2 )
B1  ( B1 A) B2
Reemplazando (1) en (4)
B1  IB2
B1  B 2
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto la inversa de A es única.
TEOREMA 24
Sea A  M nxn , matriz invertible, entonces A 1   A
1
ÁLGEBRA LINEAL
19
MATRICES
DEMOSTRACION
AA 1  A 1 A  I ,
(
(
A 1 es matriz invertible, por lo tanto cumple que: A 1 A 1   A 1  A 1  I ,,,,,,,,,,
1
1
Igualando
 
A  A 1
1
TEOREMA 25
Sean A, B  M nxn , matrices invertibles, entonces
AB también es invertible y cumple que:
 AB 1  B 1 A 1
DEMOSTRACION
Si A y B son invertibles
existen matrices A1 y B 1
P.D.
Existe una matriz D tal que:
( AB ) D  D ( AB )
a)
( AB ) B 1 A 1  A( BB 1 ) A 1
 A( I ) A 1
 AA 1
I
b)
(1)
B 1 A 1 ( AB )  B 1 ( A 1 A) B
 B 1 ( I ) B
 B 1 B
I
(2)
Igualando (1) y (2)
1 1
1 1
( AB) 
B 
A  
B 
A ( AB)  I
D
D
Por lo tanto ( AB ) 1  B 1 A 1
ÁLGEBRA LINEAL
20
MATRICES
TEOREMA 26
Sean A1 , A2 ,, An  M nxn , matrices invertibles, entonces:
 A1 . A2  , An 1  An1  A21 . A11
MATRIZ ORTOGONAL
Sea la matriz A  M nxn .
A es ortogonal si y sólo si A t  A 1 , es decir,
A. At  At . A  I
Ejercicio
Comprobar que la matriz dada es ortogonal
1
3
2  2 1 


 2 1  2
1 2
2 

TEOREMA 27
A  M mxn , O  M nxp , tal que A.O  O
DEMOSTRACION
Sean las matrices A  (aij ) mn  O  (b jk ) np , donde, b jk  0
AO  (aij )(b jk )
 n

   aij b jk 
 j 1

 n

   aij .0 
 j 1

O
ÁLGEBRA LINEAL
21
MATRICES
TEOREMA 28
A  M nxp , O  M mxn , tal que, O. A  O
DEMOSTRACION
Se deja como ejercicio.
TEOREMA 29
A  M mxn , B  M nxp , se cumple que
Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B
DEMOSTRACION
A=  A1 , A2 ,  , Ai ,  , Am 

B= B1 , B 2 ,, B i , B P


Fila i-ésima de AB= Ai B1 , Ai B 2 ,  Ai B i ,  , Ai B p

= Ai. B
=Fila i-ésima de A.B
TEOREMA 30
Sea ei la fila i-ésima de I  M nxn , entonces:
Fila i-ésima de A  ei . A
DEMOSTRACION
Fila i-ésima de I A  ei . A
I . A  A , entonces
Fila i-ésima de A  ei . A
ÁLGEBRA LINEAL
(Teorema 29)
22
MATRICES
TEOREMA 31
Sean A  M mxn , B  M nxp
Si A tiene fila de ceros, AB también tiene fila de ceros.
DEMOSTRACION
Ai es la Fila i-ésima de A
Ai  (aij ) in , donde aij  0
B  (b jk ) np
Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B
(Teorema 29)
 Ai .B
=O.B
 O1 p
Por lo tanto
AB tiene fila de ceros.
TEOREMA 32
Sea A  M nxn
Si A tiene fila de ceros, entonces A no es invertible.
DEMOSTRACION
Por contradicción.
Se supone que A es invertible, por lo tanto
AA 1  A 1 A  I
AA 1 tiene fila de ceros
I
(Teorema 31)
tiene fila de ceros
Lo que contradice la hipótesis, pues, la matriz identidad no tiene fila de ceros.
Por lo tanto:
A no es invertible.
ÁLGEBRA LINEAL
23
MATRICES
OPERACIONES ELEMENTALES
Una operación elemental se representa por e y se la puede aplicar sobre matrices.
Existen tres tipos de operaciones elementales:
1. Intercambio de filas o columnas (e I )
Fi  F j , C i  C j
2. Multiplicación de una fila o columna por un escalar   0 (e II )
Fi  Fi , C i  C i
3. Sumar una fila o columna multiplicada por un escalar a otra fila o columna
(e III )
Fi  F j , C i  C j ,
OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS
Se expresan por e ' y son aquellas que cumplen que:
1) e I' e I  A  A
2) e II' e II  A  A
'
3) e III
eIII  A  A
MATRICES ELEMENTALES
Una matriz elemental se la representa por E , y se la puede obtener mediante la
aplicación de una operación elemental sobre la matriz identidad.
TEOREMA 33
e ( A)  E. A , siendo e , una operación elemental que se aplica tanto en
A como en I .
ÁLGEBRA LINEAL
24
MATRICES
MATRICES EQUIVALENTES
A es equivalente por filas o columnas a B si y sólo si B se obtiene por medio de una
aplicación sucesiva e infinita de operaciones elementales sobre A .
A  B  B  e K e K 1  e 2 e1  A .
TEOREMA 34
Sea A  M mxn , A es equivalente a A , es decir,
Toda matriz es equivalente a sí misma.
DEMOSTRACION
B  eK eK 1  e2 e1  A
(1)
eK, B   eK 1  e2 e1  A

 

e1, e2,  eK, B   A
(2)
Sustituyendo (1) en (2)
 

e1, e2,  eK,  A  A
Cambiando la notación
A es equivalente a A.
Corolario
Sean A, B  M mxn .
Si A es equivalente a B , B es equivalente a A .
TEOREMA 35
Sean A, B, C  M mxn .
Si A es equivalente a B y B es equivalente a C , entonces A es
equivalente a C .
ÁLGEBRA LINEAL
25
MATRICES
DEMOSTRACION
Si A es equivalente a B,
B  eK eK 1  e2 e1  A
(1)
Si B es equivalente a C,
C  e J e J 1  e2 e1 B 
(2)
Sustituyendo (1) en (2)
C  eJ eJ 1  eK eK 1  e2 e1  A
Por lo tanto A es equivalente por filas a C .
TEOREMA 36
Toda matriz elemental es invertible y su matriz inversa es elemental.
DEMOSTRACION
E matriz elemental
E´ matriz inversa de A


I  e , eI   e e , I 
e(A)=EA
P.D. EE´=E´E=I
a)
EE´=I
 
eE   I
e e , I   I
,
EE´=I
b)
(Teorema 33)
(1)
E´´E=I
e , eI   I
e´(E)=I
EE´=I
Igualando (1) y (2)
EE´=E´E=I
ÁLGEBRA LINEAL
(Teorema 33)
(2)
26
MATRICES
TEOREMA 37
A es equivalente por filas a B si y sólo si B es un producto de
matrices elementales por A .
DEMOSTRACION
a)
“Si A es equivalente por filas a B , entonces B es un producto de matrices
elementales por A ”
Si A es equivalente por filas a B ,
B  eK eK 1  e2 e1  A ,
B  e K e K 1  e2 E1 A ,
(Teorema 33)
B  e K e K 1  e3 E 2 E1 A ,

Por lo tanto:
B  E K E K 1  E 2 E1 A
b)
“Si B es un producto de matrices elementales por A , entonces A es
equivalente por filas a B ”.
Si B es un producto de matrices elementales por A .
B  E K E K 1  E 2 E1 A
B  E K E K 1  E 2 ( E1 A)
B  E K E K 1  E 2 e1  A
(Teorema 33)

B  eK eK 1  e2 e1  A ,
Por lo tanto:
A es equivalente a B.
Corolario
Sean A, B  M mxn .
A es equivalente a B si y sólo si B  PA , donde P es un producto de matrices
elementales por A .
ÁLGEBRA LINEAL
27
MATRICES
FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ
MATRIZ ESCALONADA POR FILAS
Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan de izquierda a derecha, fila a
fila.
Ejemplos
1  2 3


 0 1 2
 2  3 4


0 0 0
0 0 0


1  2 3


 0 0 2
1  2 0


 0 0 2
 4  2 1


 0 1 3
 0 0 5


 0 0 3  2


0 0 0 5 
 1  3 2


1 0
0
0
0 0 

1

0
0

0

0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1 
MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS
Es una matriz escalonada cuyos primeros elementos son iguales a 1, y en sus respectivas
columnas son los únicos diferentes de cero.
Ejemplos
1 0 0


 0 1 0
 0 0 0


1

0
0

0

0
1
0
0
5
3
0
0
1 0 0


0 0 1
0 0 0


0

0
0

0 
1 0 0 5


 0 0 1 2
ÁLGEBRA LINEAL
1

0
0

0

0
1
0
0
0
0
1
0
1 0 3 


0 1  2
0 0 0 


0

0
0

1 
28
MATRICES
TEOREMA 38
Sea A  M mxn .
A es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas.
TEOREMA 39
Sea A  M mxn .
A es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida por filas
.
TEOREMA 40
Sea A  M nxn . A es una matriz escalonada reducida por filas.
Si A  I , entonces A tiene fila de ceros.
DEMOSTRACION
“Si A no tiene fila de ceros, entonces A  I ” (Contra recíproca)
Si A no tiene fila de ceros,
An
0
0 0  0 0 1
An 1
0
0 0  0 1 0
A2
0
1 0  0 0 0
A1
1
0 0  0 0 0 ,

A  ( A1 , A2 ,  , An 1 , An )
A  I AA
ÁLGEBRA LINEAL
29
MATRICES
TEOREMA 41
Sea A  M nxn .
A es invertible si y sólo si es equivalente por filas a I .
DEMOSTRACION
a)
“Si A es invertible, entonces es equivalente por filas a I”
Por Contradicción:
Se supone que:
A es equivalente por filas a B
B  I 
A  E K E K 1  E 2 E1 B
Si B  I
B tiene fila de ceros (Teorema 40)
E K E K 1  E 2 E1 B
tiene fila de ceros
(Teorema 31)
A tiene fila de ceros
A no es invertible
(Teorema 32)
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto:
A es equivalente por filas a I .
b)
“Si A es equivalente por filas a I , entonces A es invertible”
Si A es equivalente por filas a I ,
I es equivalente por filas a A
(Corolario, Teorema 34)
A  E K E K 1  E 2 E1 I ,
(Teorema 37)
A  E K E K 1  E 2 E1 ,
Por lo tanto:
A es invertible.
Corolario
A es invertible si y sólo si es un producto de matrices elementales.
ÁLGEBRA LINEAL
(Teorema 21)
(Teoremas 25, 36)
30
MATRICES
TEOREMA 42
Si A es invertible y reducible a la matriz identidad por sucesión de
operaciones elementales, al aplicar a I esta sucesión, se obtiene A 1 .
DEMOSTRACION
Si A es invertible,
A es equivalente por filas a I,
(Teorema 41)
I  E K E K 1  E 2 E1 A
(1)
(Teorema 37)
I  ( E K E K 1  E 2 E1 ) A
IA 1  ( E K E K 1  E 2 E1 ) AA 1
A 1  ( E K E K 1  E 2 E1 ) I
A 1  e K e K 1  e2 e1 I 
I  eK eK 1  e2 e1  A
(2)
ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A 1
Sea la matriz de bloques ( A ‫ ׀‬B )
Al aplicar operaciones elementales
eK eK 1  e2 e1  A I  , es decir,
e K e K 1  e2 e1  A ‫ ׀‬e K e K 1  e2 e1 I 
( I ‫ ׀‬A 1 ).
Ejemplo
 1 3

Hallar la inversa de la matriz A  
  2 2
 1 3

 2 2
1 0 1 3

0 1   0 8
1 0 1 3

2 1   0 1
1  2  5

A1  
2  2 1 
ÁLGEBRA LINEAL
1 0 1 0
  
2
1
8
8
0 1
2
8
2
8
 85 

1 
8 
31
MATRICES
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Sean las matrices:
 1  2 3

A  
 2 1 0
 1 0


B   2 1
 3 2


1 2 

D  
 2  5
0 
2 1


E   1  2  3
 4 3  1


1  3 1


C  1 1 1 
 0 1  2


Calcular:
a)
C+E, AB, BA, 2C-3E, CB+D, AB+D 2 , 3(2A), 6A
ÁLGEBRA LINEAL
32
MATRICES
b)
A(BD), (AB)D, A(C+E), AC+AE, 3A+2A, 5A
ÁLGEBRA LINEAL
33
MATRICES
c)
A t , A t  , (AB) t , B t A t , (C+E) t , A(2B), 2(AB)
ÁLGEBRA LINEAL
t
34
MATRICES
2.
 x 0
 . Hallar A2 , A3 , A4
Sea A  
 z y
3.
1 0
 . Determinar A tal
Sean las matrices A del problema anterior y B  
 26 27 
que A3  B .
ÁLGEBRA LINEAL
35
MATRICES
4.
1 2 3


Comprobar que A   0 1 2  es raíz de F ( X )  X 3  4 X 2  5 X  2 I .
0 0 2


5.
Las matrices A y B son conmutables si AB  BA . Hallar todas las matrices A
a b 
 1 1
 y B  
 .
conmutables con B si A  
c d 
 0 1
ÁLGEBRA LINEAL
36
MATRICES
6.
 1 2 0 
1 0 0




Sean las matrices A    2  1  3  e I 3   0 1 0  . Si   R , calcular
 0
0 0 1
3  1 



I 3  A
7.
Calcular AB
1 1

1 2
0 3
A
5 1
3 1

2 1

ÁLGEBRA LINEAL
2

3 1 5
2 1 4

3 2 0
1 4 6 
3 5 0 
3
4
1

2
B  1

0
3

2 3 0
1 3 2
5 4 2
1 3 0
0 4 6
1

 1
3

0
1 
37
MATRICES
8.
Dadas las matrices
 1 x 3

A  
 x 1 2
1

1
B
0

1

2 x

3 1
1 0

3  1
 1

 2
C 
x

 1



a)
Encontrar el valor de x tal qué Tr AB t C  0 .
b)
Calcular el rango (número de filas no nulas de la matriz escalonada
equivalente) de CA sí x  0 .
9.
3

1
0

x 
 
Escribir una matriz simétrica A  M 3 , A  aij tal que
aij 
i  1 j  1 , si i 
i j
ÁLGEBRA LINEAL
j
38
MATRICES
10.
Reducir las siguientes matrices a su forma escalonada y luego a su forma
escalonada reducida por filas
a)
 1

 1
 2

 0

b)
0 1

0 1
0  2

0 0

ÁLGEBRA LINEAL
2 3 0

1 1 0 
1 0  1

1 2  1
2
1
1
1
3

0
3

0 
39
MATRICES
c)
11.
 1 0 1  3


1 2  3 0 
 2 1 0  1


Determinar la matriz inversa de
a)
 1 2


 1 3
b)
  4  3


3

1


ÁLGEBRA LINEAL
40
MATRICES
c)
0
0 
 1


 2  2 0 
  3  3  3


d)
2  2
1


0 
1 3
 0  2 1


e)
  2 1  3


 1 0  4
 1 1  2


ÁLGEBRA LINEAL
41
MATRICES
12.
Dadas las matrices
1 1 1 
1 0 0




P   2 0  1 y J   0 1 1  . Hallar
1 1 0 
0 0 1




a) P 1 y J n .
b) A tal que A  PJP 1 .
c) An  PJ n P 1 . Verificar que A0  I y A1  A .
ÁLGEBRA LINEAL
42
MATRICES
13
 cos 
Sea la matriz A  
  sen
sen 
 . Hallar A n
cos  
Deducir la ley y demostrar por inducción.
14.
x
Sea la matriz A  
0
ÁLGEBRA LINEAL
y
 . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio.
x
43
MATRICES
15.
 x 1 0


Sea la matriz A   0 x 1  . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio.
0 0 x


16.
Si K nn es una matriz diagonal cuyos elementos, sobre la diagonal, son todos
iguales a k, demostrar que K nn Ann  kAnn .
17.
Demostrar que la suma de dos matrices triangulares inferiores es una matriz
triangular inferior.
ÁLGEBRA LINEAL
44
MATRICES
18.
Si A es una matriz simétrica probar que A t y A
2
19.
Sea A una matriz cuadrada sobre un campo K, ,   K , y B   . A   .I (I es
son simétricas.
la matriz identidad del mismo orden que A . Demostrar que A y B conmutan
con el producto usual de matrices.
ÁLGEBRA LINEAL
45
MATRICES
20
Dadas la matrices
 1 2 0

A  
  1 1 4
 0 1 0

B  
 3  1 0
2 1 

C  
 3  2
Determinar la matriz X indicando su número de filas y columnas que cumple:
a)
2A  X  B
b)
At  2 X  C
c)
CX  AB t  BB t
ÁLGEBRA LINEAL
46
MATRICES
21.
Una matriz A es idempotente si y sólo si A2  A . Dadas las matrices identidad
 
de orden n , esto es, I n y la matriz B  M n , se define A  I n  B B t B
1
Bt .
Demostrar que A es una matriz idempotente.
22.
Una matriz A es idempotente si y sólo si A2  A . Probar que si A es
idempotente, entonces B  I  A es idempotente y además AB  BA  O .
ÁLGEBRA LINEAL
47
MATRICES
23.
Probar que si A satisface A2  A  I  O , existe una matriz inversa de A .
24.
Demostrar que toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y una
matriz antisimétrica.
ÁLGEBRA LINEAL
48
MATRICES
 mn se cumple que .A  O    0  A  O .
25.
Demostrar que   R, A  aij
26.
Considerando Amn X n1  Om1 y
Amn X n1  Bm1 , sistemas definidos sobre los
reales, demostrar que:
a)
Si H es solución de AX  O ,   R ,  H es solución de AX  O .
b)
Si H y K son soluciones de AX  O , H  K es solución de AX  O .
c)
Si H y K son soluciones de AX  B , H  K es solución de AX  O .
ÁLGEBRA LINEAL
49
DETERMINANTES
Capítulo 2
DETERMINANTES
DEFINICIÓN
El determinante es una función que establece una correspondencia
entre el conjunto de matrices cuadradas y el campo real o complejo.
Asi:
f : M nxn  K
A  f (A)  det(A)
NOTACIÓN
Sea A  (aij ) n , el determinante de A se nota así:
A  det( A)
O también
a11
a
A  21

a n1
a12
a 22
 a1n
 a2n
a n 2  a nn
DEFINICIÓN
Sea A  M 2x 2
a
Si A   11
 a 21
a12 
 , entonces
a 22 
det( A)  a11 a 22  a 21 a12
ÁLGEBRA LINEAL
50
DETERMINANTES
DEFINICIÓN
Sea A  M 3x 3
 a11

Si A   a 21
a
 31
a32
a13 

a 23  , entonces
a33 
a 22
a32
a 23
a
 a12 21
a33
a31
a12
a 22
det( A)  a11
a 23
a
 a13 21
a33
a31
a 22
a32
DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES
MENOR
Sea la matriz A  (aij ) n y M ij la submatriz de A de orden (n  1) , obtenida por
eliminación de la i-ésima fila y la j-ésima columna de A . El determinante M ij se
denomina menor de aij .
COFACTOR
Sea la matriz A  (aij ) n . El cofactor Aij del elemento aij se define como:
Aij  (1) i  j M ij
TEOREMA DE LA EXPANSIÓN DE LAPLACE
Sea A  (aij ) n .
n
det( A)   (1) i  j aij M ij , ó
j 1
n
det( A)   aij Aij
j 1
ÁLGEBRA LINEAL
51
DETERMINANTES
PROPIEDADES
TEOREMAS
Sea A  (aij ) n .
1. Si A tiene fila o columna de ceros, el det( A)  0 .
2. Si la i-ésima fila de A o la j-ésima columna de
A, se multiplica
por  (escalar) y se obtiene una matriz B, det( B)   det( A) .
3.   K , det(A)   n det( A) .
4. Si las matrices A, B, C , son idénticas, excepto en la j-ésima
columna (fila) tal que la j-ésima columna (fila) de C es la suma
de las j-ésimas columnas (filas) de A y B ,
det(C )  det( A)  det( B)
5. Si se intercambian dos filas (columnas ) de A , para obtener la
matriz B , det( B)   det( A) .
6. Si la matriz A tiene dos filas (columnas) iguales, det( A)  0 .
7. Si una fila (columna) de A es un múltiplo de una fila (columna)
de A , det( A)  0 .
8. Si un múltiplo de una fila (columna) de A , se suma a otra fila
(columna) de A , el determinante no se altera.
9. det( A)  det( A t ) .
10. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de
los elementos de la diagonal.
DEMOSTRACIONES
1.
Sea A una matriz con una fila de ceros
n
A   aij Aij ,
j 1
Sea i la fila de ceros
n
A   0.Aij  0
j 1
ÁLGEBRA LINEAL
52
DETERMINANTES
n
2.
det( B)   bij Bij
j 1
n
det( B)   aij Bij
j 1
n
det( B)    aij Aij
j 1
det( B)   det( A)
3.
 , det(A)   n det( A)
Por inducción
i)
n 1
A1  ( a11 )
det(A1 )   1. det( A1 )
ii)
det(AK )   K det( AK )
P.D. det(AK 1 )   K 1 det( AK 1 )
n
det(AK 1 )   (1) i  j  aij Aij
j 1
K
n
det(AK 1 )    (1) i  j  K aij Aij
j 1
n
det(AK 1 )   K 1  (1)i  j aij Aij
j 1
det(AK 1 )   K 1 det( AK 1 )
4.
P.D.
det( A1 ,  , Ai ,  , An )  det( A1 ,  , Bi ,  , An )  det( A1 ,  , Ai  Bi ,  , An )
n
det( A1 ,  , Ai  Bi ,  , An )   (1) i  j (aij  bij ) Aij
según la i-ésima fila
j 1
n
n
j 1
j 1
  (1)i  j aij Aij   (1)i  j bij Aij
 det( A1 ,  , Ai ,  , An )  det( A1 ,  , Bi ,  , An )
ÁLGEBRA LINEAL
53
DETERMINANTES
5
Sean
 a11

 
 a
A   i1
 a11,1
 

 a
 n1
P.D.
a1n 


ain 

ai 1,n 


a nn 




 a11

 
a
B   i 1,1
 ai ,1
 

 a
 n1




a1n 


ai 1,n 

ai ,n 


ann 
det( A)   det( B)
n
det( A)   aij Aij
j 1
n
det( B)   bi 1, j Bi 1, j
j 1
  (1) i 1 j aij N ( i 1)
  (1)(1) i  j aij N ( i 1)

n
a
j 1
ij
Aij
  det(A)
6.
Sea
 a11

 
 a
A   i1
 a11,1
 

 a
 n1




a1n 


ain 

ai 1,n 


a nn 
tal que las filas i,i+1 son iguales
Al intercambiar las filas i,i+1:
det( A)   det( B)
det( A)   det( A)
Ordenando la igualdad
ÁLGEBRA LINEAL
(Teorema 8)
54
DETERMINANTES
2 det( A)  0
det( A)  0
7.
Sea
 a11

 
 a
B   i1
 a11,1
 

 a
 n1







ain 

ai 1, n 


ann 
a1n
det( B)   det( A)
Pero, det( A)  0 ,
Por lo tanto det( B)  0
8.
Sea
 a11

 
 a
A   i1
 a11,1
 

 a
 n1




a1n 


ain 

ai 1,n 


a nn 
Se obtiene B al sumar: fila i+1 +  .fila i
a11





ai1
B
 ai1  a11,1




a n1





Al aplicar el Teorema 7
ÁLGEBRA LINEAL




ain

ain  ai 1,n 



a nn

a1n
55
DETERMINANTES
a11

a1n
a11

det( B) 

a1n

ain


ain
ai1 
ain
ai1
+

ai1
ai 1,1 
ai 1,n

a n1

a nn
a n1


a nn

det(A)
0
det(B)  det( A)
9.
Se demuestra por inducción
i)
Si n  2
a
A   11
 a 21
a12 
,
a 22 
a
A t   11
 a12
a 21 

a 22 
det( A)  a11 a 22  a 21 a 22
(1)
det( A t )  a11 a 22  a 21 a 22
(2)
Igualando (1) y (2)
det( A)  det( A t )
ii)
Si n  k
det( AK )  det( AKt )
si n  k  1
det( AK 1 )  det( AKt 1 )
Sean
A  a ij K 1
B  bij K 1
bij  a ji
Desarrollando B según la fila 1:
n
B   (1)1 j b1 j B1 j
j 1
K
(1)
Desarrollando A de acuerdo a la columna 1:
K 1
A   (1) j 1 a j1 Ai1
j 1
ÁLGEBRA LINEAL
K
(2)
56
DETERMINANTES
Pero, a j1  b1 j , es decir,
B1 j  A j1 
t
B1 j  A j1 
t
B1 j  A j1
De (1)
n
B   (1)1 j a j1 A j1
j 1
K
B  A
det( AK 1 )  det( AKt 1 ) ,
det( A)  det( A t )
10.
Se demuestra por inducción
i)
Si n  2
a
A   11
 0
a12 
,
a 22 
A  a11 a 22
2
A   aii
i 1
ii)
Si n  k
K
AK   aii
Hipótesis inductiva
i 1
AK 1 
K 1
 aii
Tesis inductiva
i 1
K 1
AK 1   (1) K 1 j a K 1, j AK 1, j
según la fila K  1
j 1
 0    ( 1) K 11 a K 1,1 AK 1,1
 (1) K 11 a K 1, K 1 AK 1, K 1
K
 (1)2 K  2 aK 1, K 1 aii
i 1
ÁLGEBRA LINEAL
K
K
 0  0
57
DETERMINANTES
K
 aK 1, K 1 aii
i 1
K
  aii
i 1
DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES
1. E1 es una matriz elemental tipo I obtenida por intercambio de filas o columnas,
entonces: E1   I  1 .
2. E 2 es una matriz elemental tipo II obtenida al multiplicar la i-ésima fila o
columna por  (escalar), entonces: E 2   I   .
3. E 3 es una matriz elemental tipo III obtenida al sumar  veces la fila o columna j
a la fila o columna i, entonces: E 3  I  1 .
Observación E  0 .
TEOREMA 11
Si E es una matriz elemental, entonces:
EA  E A , y
AE  A E
DEMOSTRACION
a)
Intercambio de dos filas o columnas
E  1
EA se obtiene intercambiando dos filas o columnas de A
EA  A  (1) A
Por lo tanto:
EA  E A
b)
Se multiplica una fila o columna por  (escalar)
E  I 
ÁLGEBRA LINEAL
58
DETERMINANTES
EA   A
EA  E A
c)
Se reemplaza una fila o columna por la suma de una de ellas multiplicada por 
E 1
EA  A  1 A
EA  E A
De manera semejante se demuestra que
AE  A E
Corolario
Si A y B son equivalentes:
B  E K E K 1  E 2 E1 A
TEOREMA 12
Sea A  M nxn
A es invertible si y sólo si A  0
DEMOSTRACION
1.
“Si A es invertible, entonces A  0 "
Si A es invertible,
A es producto de matrices elementales,
A  E K E K 1  E 2 E1
A  E K E K 1  E 2 E1
A  0 , puesto que  E  0
2.
“Si A  0 , entonces A es invertible”.
Se demuestra la contrarrecíproca:
Si A no es invertible, entonces A  0
Si A no es invertible,
A es equivalente a una matriz B que tiene fila de ceros,
ÁLGEBRA LINEAL
(M, Teorema 41)
(Teorema 11)
59
DETERMINANTES
A  E K E K 1  E 2 E1 B es matriz con fila de ceros
A  E K E K 1  E 2 E1 B
(M, Teorema 31)
(Teorema 11)
A 0
TEOREMA 13
Sean las matrices A, B  M nxn
AB  A B
DEMOSTRACION
1.
A es invertible
Si A es invertible
A  E K E K 1  E 2 E1
(1)
A  E K E K 1  E 2 E1
(2)
AB  E K E K 1  E 2 E1 B
A B  E K E K 1  E 2 E1 B
(3)
Sustituyendo (2) en (3)
AB  A B
2.
A no es invertible
Si A no es invertible
A 0
AB no es invertible
AB  0
AB  0. B
Por lo tanto:
AB  A B
ÁLGEBRA LINEAL
(Teorema (12)
(M, Teoremas 31,32)
60
DETERMINANTES
INVERSA DE UNA MATRIZ
TEOREMA 14
Sea A  M nxn
ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0 , si i  k
DEMOSTRACION
Sea B es la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima fila de A por la i-ésima fila de A ,
así:
 a11

 
a
 i1
A 
a
 k1
 

 a n1
a12

a12

ak 2 
an2 
a1n 


a an 


a kn 


a nn 
 a11

 
a
 i1
B 
a
 i1
 

 an1
a12

a12

ai 2

an 2 
a1n 


aan 


ain 


ann 
B es una matriz con dos filas iguales, es decir, B  0
Desarrollando B según la k-ésima fila de B por menores y cofactores:
ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0
DEFINICIÓN
Sea A  M nxn , se define como matriz adjunta de A a la transpuesta de
la matriz de los cofactores de los elementos aij .
Ejemplo
 2  1

A  
1 3 
ÁLGEBRA LINEAL
 3  1

Cof (A)  
1 2 
 3 1

adjA  
 1 2
61
DETERMINANTES
TEOREMA 15
Sea A  M nxn
adjA. A  A.adjA  A I
DEMOSTRACION
 a11

 a 21
 
A.adjA  
 a11
 

a
 n1
a12

a 22

ai 2

an2 
a1n 

a2n 


ain 


a nn 
 A11

 A12
 


A
 12
A21 
A22
Ak1 
 Ak 2
A2 n  Akn
Ani 

An 2 



Ann 
El elemento i, k -ésimo de la matriz A .adj A es:
a i1 Ak 1  a i 2 Ak 2    a in Akn  A , si i  k
ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0 , si i  k
(Teorema 14)
es decir,




A.adjA  






A
0
0
A 

0
0

0


0
0

0


0


A 
adjA. A  A.adjA  A I
Corolario
Sea A  M nxn y A  0 , entonces
A 1 
ÁLGEBRA LINEAL
1
.adjA
A
62
DETERMINANTES
Ejemplo
Dada la matriz
1 2 4 


A   3 8  2
2 0 4 


a)
Calcular A .
b)
Hallar la matriz Adj (A) .
c)
Comprobar que A. Adj ( A)  Adj ( A). A  A .I
d)
Calcular A1 .
Solución:
1 2
a)
A  3 8 2 2
2 0
b)
c)
4
4
 8

 0
 3
Adj ( A)   
 2
 3

 2
2
4
2
4
8
0
2
4
8 2
4
1 2
3 8
2 4
2
0 4
1 4
8
1

3
1

2 4
1 2

2 0
3
 2(36)  4(2)  64
4 

2 
 32  8  36 

4  
    16  4 14 
2 
 16 4
2 
2  

8 
0
0 
 1 2 4  32  8  36    64


 

A. Adj ( A)   3 8  2   16  4 14    0
 64
0 
 2 0 4   16 4
2   0
0
 64 


0
0 
 32  8  36  1 2 4    64


 

Adj ( A). A    16  4 14  3 8  2    0
 64
0 
  16 4
2  2 0 4   0
0
 64 

d)
 32  8  36 

1
1 
A 
Adj ( A) 
  16  4 14 
A
 64 
2 
  16 4
1
9 / 16 
 1/ 2 1/ 8


A   1/ 4
1 / 16  7 / 32 
 1 / 4  1 / 16  1 / 32 


1
ÁLGEBRA LINEAL
63
DETERMINANTES
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Encontrar el valor de los siguientes determinantes
1
1
a)
0
1 2 3
2
1
1
1  2 1
b)
1
1
0
0  3 1
1  2i 0
c)
1
0
2 1 i
3
0
ÁLGEBRA LINEAL
1
64
DETERMINANTES
d)
1
4
2
3
2
3
1
4
e)
1 a
1
1
1
1 1 a
1
1
1
1 1 a
1
1
1
1 1 a
f)
2
1
1
1
0
9
9
9
ÁLGEBRA LINEAL
3
2
4
1
1
8
8
9
4
1
3
2
x
4
, donde x es el último dígito del año actual.
7
0
65
DETERMINANTES
2.
Determinar el valor de
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
a)
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2
b)
1 2 3 3 3 3
1 2 3 4 4 4
1 2 3 4 5 5
1 2 3 4 5 6
ÁLGEBRA LINEAL
66
DETERMINANTES
c)
a b c 1
b c a 1
c a b 1
1 1 1 1
i)
abc  0
ii)
abc 3
ÁLGEBRA LINEAL
67
DETERMINANTES
d)
1  a1
a2
a3
a1
1  a2
a3
a1
a2
1  a3

a1
a2
a3
y2
y
y3



 1  an
e)
x2
x
x3
f)
sen 2 A cos 2 A cos 2 A
sen 2 B cos 2 B cos 2 B
sen 2 C cos 2 C cos 2C
ÁLGEBRA LINEAL
an
an
an
z2
z
z3
68
DETERMINANTES
3  7i
0 4
1
7
2  3i
8
1
0
5
2
8
0
6
6
1
2
6
0
g)
1  10i 8  3
3i
3.
0
1
Demostrar que:
0
a
a
a
a
0
a
a
a
a
0
a
a
a
 3 a 4
a
0
ÁLGEBRA LINEAL
69
DETERMINANTES
4.
Demostrar que el determinante nxn
a b b  b b
b a b  b b
b b a  b b





 a  b 
b b b  a b
b b b  b a
5.
Hallar el valor de
a1  b1
a2  b1

an  b1
a1  b2  a1  bn
a2  b2  a2  bn
an  b2  an  bn
ÁLGEBRA LINEAL
n 1
a  (n  1)b
70
DETERMINANTES
6.
a)
Demostrar que:
b 2  ac bc
c2
A  ab
ac
bc  4a 2b 2 c 2
a2
ab b 2  ac
b c 0
Verificar primero que: A  a 0 c
0 a b
b)
Hallar el valor del determinante
b2  c2
ab
ca
ÁLGEBRA LINEAL
ab
c  a2
bc
2
ca
bc
2
a  b2
2
71
DETERMINANTES
7.
Demostrar que
1
0
1
0
8.
0 a
1 b
0 c
1 d
a2
b2
 a  c b  d a  b  c  d 
c2
d2
¿Para qué valores a, b  R , el siguiente determinante es diferente de cero?
a2
ab
ab
b2
ab
a2
b2
ab
ab
b2
a2
ab
ÁLGEBRA LINEAL
b2
ab
ab
a2
72
DETERMINANTES
9.
Probar que
b  c 2
10.
b2
a2
a  c 2
a2
b2
c2
c2
a  b 2
 2abca  b  c 
3
Demostrar que
1
a1
2
a1
3
a1
1
a2
2
a2
3
a2
1
a3
2
a3
3
a3
1
a4
2  a1  a 2 a1  a3 a1  a 4 a 2  a3 a 2  a 4 a3  a 4 
a4
3
a4
¿Cuál es la generalización de este resultado a determinantes de orden n ?
ÁLGEBRA LINEAL
73
DETERMINANTES
11.
Aplicaciones a la Geometría Analítica
a)
Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la
ecuación de la parábola y  Ax 2  Bx  C que pasa por los puntos
P1 , P2 , P3 puede escribirse de la forma:
y
y1
y2
y3
1 x
1 x1
1 x2
1 x3
x2
x12
=0
x 22
x32
Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:
(1,5), (2,6), (2,2).
ÁLGEBRA LINEAL
74
DETERMINANTES
b)
Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la
ecuación del círculo que pasa por los puntos P1 , P2 , P3 , puede escribirse:
x2
x12
x 22
x32




y2
y12
y 22
y 32
x
x1
x2
x3
y
y1
y2
y3
1
1
0
1
1
Hallar la ecuación del círculo que pasa por los puntos:
(1,5), (2,6), (2,2).
ÁLGEBRA LINEAL
75
DETERMINANTES
c)
Si se conoce que:
L1 : a11 x  a12 y  a13  0,
L2 : a21 x  a22 y  a23  0,
L3 : a31 x  a32 y  a33  0,
son tres rectas no paralelas, el área determinada por L1 , L2 , L3 es igual al
valor absoluto de:
A11
1
A21
A13 A23 A33
A31
A12
A13
A22
A23
A32
A33
Donde Aij es el cofactor de aij en A:
a11
a12
a13
A  a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
Hallar la superficie del triángulo cuyos lados son las rectas:
5 x  7 y  27  0, 9 x  2 y  15  0, 4 x  5 y  11  0.
ÁLGEBRA LINEAL
76
DETERMINANTES
d)
El volumen de tetraedro determinado en el espacio por los puntos
P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), P3 ( x3 , y 3 , z 3 ), P4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) , está dado por el
valor absoluto de
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
z1
z2
z3
z4
1
D , siendo D el determinante de:
6
1
1
1
1
(1,2,5), (0,4,6), (1,2,6), (0,3,0) .
ÁLGEBRA LINEAL
77
DETERMINANTES
12.
Sea
 1  2 a


A   1 a 1
0
1 a 

a)
Determinar los valores de a para que para que A sea invertible.
b)
Hallar la inversa de A cuando existe.
ÁLGEBRA LINEAL
78
DETERMINANTES
13.
Sea
1 1 1


A   1  
3 3 2


a)
Determinar el valor de  para que A sea invertible.
b)
Calcular A1 con el valor de  para el cual A  2 .
ÁLGEBRA LINEAL
79
DETERMINANTES
14.
Sea
1   3


A  2 3
 
 3  1  2


a)
Determinar los valores de  para que para que A sea invertible.
b)
Hallar la inversa de A cuando existe.
ÁLGEBRA LINEAL
80
DETERMINANTES
15.
Dada la matriz
1 a a 2 


A  1 b b 2 
1 c c 2 


a) Hallar A .
b) Encontrar Adj(A) .
c) Calcular A1 .
ÁLGEBRA LINEAL
81
SISTEMAS DE ECUACIONES
Capítulo 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN
Ecuación lineal, es una expresión del tipo:
a1 x1  a 2 x 2    a n x n  b
(1)
donde
x1 = variable
x2 , x3 , xn ,  = variables libres
a i = coeficientes de las variables
b = término constante
a, b  K
xi  K
El conjunto solución de la expresión (1) es:
CS  t1 , t 2 ,  , t n  : ti  K 
Se consideran los siguientes casos:
I.
Si a1  0
x1 
a
b a2

x2    n xn
a1 a1
a1
se puede obtener x1 dependiendo de los valores x 2 , x3 ,  , x n
II.
Si a1  a2    an  0  b  0
Reemplazando en (1)
0 x1  0 x 2    0 x n  b
0b
Para ningún valor se verifica la igualdad anterior. La ecuación (1) es
inconsistente, por lo tanto, no tiene solución, o se dice que CS  Ø
ÁLGEBRA LINEAL
82
SISTEMAS DE ECUACIONES
III.
Si a1  a2    an  0  b  0
De (1)
0 x1  0 x 2    0 x n  0
00
Se obtiene una identidad
La ecuación (1) se cumple para todos los valores de xi .
DEFINICIÓN
Los sistemas de ecuaciones lineales son expresiones del tipo:
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
a x  a x    a x  b
 21 1
22 2
2n n
2


am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm
(1)
El sistema (1) es de m ecuaciones y n variables (m.n) .
Observaciones
1.
Si bi  0 , (1) se llama sistema no homogéneo.
2.
Si bi  0 , (1) se llama sistema homogéneo.
3.
Resolver el sistema (1) es hallar las n -úplas ordenadas que al reemplazar en el
mismo dan identidades, es decir, satisfacen el sistema.
4.
Si una de las ecuaciones de (1) es del tipo 0 x1  0 x 2    0 x n  b , el sistema es
inconsistente, es decir, no tiene solución, o no existen n -úplas ordenadas que
satisfacen el sistema (Teorema de Rouché-Fröbenius).
5.
Si en una de las ecuaciones los coeficientes y el término constante son iguales a
cero, se tiene un sistema de m  1 ecuaciones con n incógnitas.
En el siguiente cuadro se presenta un resumen de los diferentes tipos de sistemas, así:
ÁLGEBRA LINEAL
83
SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
INCONSISTENTE
CONSISTENTE
NO HOMOGÉNEO
Solución
única
no-trivial
Infinitas
soluciones
HOMOGÉNEO
Solución
Infinitas
única
soluciones
trivial
+ trivial
SISTEMAS EQUIVALENTES
Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones.
Para obtener un sistema equivalente de uno dado, se pueden realizar las siguientes
operaciones:
1.
Intercambiar ecuaciones ( Ei  E j ) .
2.
Multiplicar por un escalar diferente de cero a una de las ecuaciones ( Ei  Ei ) .
3.
Reemplazar una ecuación por la suma de otra ecuación multiplicada por un
escalar ( Ei  Ei  E j ) .
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Las operaciones definidas sobre matrices y sobre ecuaciones son idénticas, por lo tanto,
es posible trabajar sobre un sistema representado en forma matricial. En este apartado se
describirán métodos para hallar todas las soluciones (si las hay) de un sistema de m
ecuaciones con n incógnitas.
ÁLGEBRA LINEAL
84
SISTEMAS DE ECUACIONES
Del sistema (1),
 a11 x1  a12 x2    a1n xn   b1 

  
 a21 x1  a22 x2    a2n xn   b2 

  


  
 a x  a x    a x  b 
m2 2
mn n   m 
 m1 1
 a11 a12  a1n  x1   b1 

   
 a21 a22  a2 n  x2   b2 
 
      

   
a
   
 m1 am 2  amn  xn   bm 
A
X
B
AX  B Es la ecuación matricial del sistema (1).
 a11 a12  a1n

 a21 a22  a2 n
 

a
 m1 am 2  amn
b1 

b2 
 

bm 
(2)
La matriz (2) es la matriz ampliada ( A  B ) correspondiente al sistema (1).
Observaciones
1.
A todo sistema AX  B le corresponde la matriz ampliada (2).
2.
De toda matriz ampliada (2) se puede escribir el sistema
AX  B
correspondiente.
3.
Si la matriz ampliada ( A  B ) es equivalente a la matriz ampliada ( C  D ), los
sistemas AX  B y CX  D son equivalentes.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Para resolver sistemas de ecuaciones se utilizarán los métodos de Gauss (o de la
triangulación), Gauss-Jordan y Cramer, los mismos que se detallan a continuación.
ÁLGEBRA LINEAL
85
SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODO DE GAUSS
Consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada equivalente por filas a la matriz
correspondiente al sistema original, se escribe el sistema equivalente conforme a la
matriz escalonada y se resuelve el sistema así obtenido. Si la matriz A tiene fila de
ceros y la matriz ( A  B ) no tiene fila de ceros, el sistema es inconsistente.
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada reducida por filas equivalente
por filas a la matriz correspondiente al sistema original, se escribe el sistema
equivalente ajustado a la matriz escalonada reducida por filas y se resuelve el sistema
así obtenido.
MÉTODO DE CRAMER
Este método sirve para resolver sistemas que tienen el mismo número de incógnitas que
de ecuaciones.
TEOREMA DE CRAMER
Sea un sistema de ecuaciones nxn donde:
A es matriz de los coeficientes
xi es la fila i-ésima de X (matriz de las variables)
Ai es la matriz que tiene los mismos elementos de A , excepto los de la
i-ésima columna, en la que constan los términos independientes.
Si A  0 , entonces xi 
DEMOSTRACIÓN
Se expresa el sistema en forma matricial.
AX  B
De acuerdo a la hipótesis:
A 0
ÁLGEBRA LINEAL
Ai
A
86
SISTEMAS DE ECUACIONES
A es invertible y existe A 1
A( A 1 X )  A 1 B
X  A 1 B
X 
adjA.B
A
 A11

 A12
adjA   


A
 12
 Ak1  Ani 

 Ak 2
An 2 



 Akn
Ann 
A21
A22
A2 n
siendo
 a11

 a 21
 
A.  
 a11
 

a
 n1
a12

a 22

ai 2

an2 
a1n 

a2n 


ain 


a nn 
Considerando la fila i-ésima de X
xi 
Fi (adjA.B)
A
Fi (adjA.B )  c1i b1  c 2i b2    c ni bn
(1)
Se calcula Ai
a11
a
Ai  21

an1
ÁLGEBRA LINEAL
a12  b1
a22  b2

an 2  bn
 a1n
 a2 n

 ann
87
SISTEMAS DE ECUACIONES
Desarrollando por cofactores de acuerdo a la i-ésima columna:
Ai  b1ci1  b2 ci 2    bn cin
(2)
Igualando (1) y (2)
xi 
Fi (adjA.B) Ai

A
A
Síntesis
Si A  M n con A  0 , entonces AX  B tiene como solución única:
b1
1 b2
x1 
A 
bn
a12  a1n
a22
a2 n
an 2
ann
a11 b1  a1n
a2 n
1 a21 b2
x2 
A 
an1 bn
ann


a11
1 a21
xn 
A 
an1
a12  b1
a22
b2
an 2
bn
x
Observación
Este método es válido únicamente si el sistema es n n .
Ejemplo
Resolver usando el método de Cramer
 x1  x 2  x3  2

 2 x1  x 2  2 x3  1
 3x  x  x  0
2
3
 1
ÁLGEBRA LINEAL
88
SISTEMAS DE ECUACIONES
Solución:
1
1
A  2
1
 2  12  0  el sistema es de Cramer
1 1
3
x1 
1
2
1
1
1
1
2
0 1 1
 12
1
2

1
2
1
2 1 2
x2 
x3 
3
0
1
 12
1
1
2
2
1
1
1 0
3
 12

5
3

1
6
 1 5 1 
CS   , , 
 2 3 6 
Resumen
En ciencia y tecnología existe una gran variedad de situaciones que pueden expresarse
en términos matemáticos mediante sistemas de ecuaciones lineales, o bien acercarse a
un sistema de este tipo, de ahí el interés de su estudio.
Una vez que se ha planteado un sistema lineal de ecuaciones, se delinean tres cuestiones
importantes. La primera de ellas es conocer si tiene o no solución, la segunda es la
unicidad de la misma y, por último, el cálculo de la solución cuando existe.
A las dos primeras cuestiones da respuesta el teorema de Rouché-Fröbenius, tal como se
ilustra en este capítulo. En este punto del estudio es importante tomar en cuenta también
las propiedades que presentan los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales
homogéneos y no homogéneos.
La cuestión referente al cálculo de las soluciones tiene múltiples respuestas, ya que
existen diversos métodos para determinarlas. Entre ellos, cabe destacar el método de
triangulación de Gauss y la regla de Cramer.
ÁLGEBRA LINEAL
89
SISTEMAS DE ECUACIONES
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Resolver
a)
2 x1  x2  3 x3  5

3 x1  2 x2  2 x3  6

5 x1  3 x2  x3  16
b)
2 x1  3 x2  2 x3  5

 x1  2 x2  3 x3  2

4 x1  x2  4 x3  1
c)
1
 x1  ax2

x2  x3  2

x  x  x  2
2
3
 1
Usar el método de Cramer
ÁLGEBRA LINEAL
90
SISTEMAS DE ECUACIONES
d)
1  i x1  2  i x2  5

2  2i x1  ix2  1  2i
Usar el método de Cramer
e)
 x1  2 x2  3 x3  2 x4  2

2 x1  5 x2  8 x3  6 x4  5
3 x  4 x  5 x  2 x  4
2
3
4
 1
f)
 x1  2 x2  2 x3  2
3 x  2 x  x  5
 1
2
3

2 x1  5 x2  3 x3  4
 x1  4 x2  6 x3  0
ÁLGEBRA LINEAL
91
SISTEMAS DE ECUACIONES
g)
2.
 x1  5 x2  4 x3  13 x4  3

3 x1  x2  2 x3  6 x4  2
2 x  2 x  3 x  4 x  1
2
3
4
 1
Determinar los valores de k tales que el sistema con las incógnitas x1 , x2 , x3
tenga i) Solución única, ii) Infinitas soluciones, iii) No tenga solución.
a)
kx1  x2  x3  1

 x1  kx2  x3  1
 x  x  kx  1
3
 1 2
ÁLGEBRA LINEAL
92
SISTEMAS DE ECUACIONES
b)
 x1  x2  kx3  2

3 x1  4 x2  2 x3  k
2 x  3 x  x  1
2
3
 1
c)
 3 x3  3
 x1

2 x1  kx2  x3  2
 x  2 x  kx  1
2
3
 1
ÁLGEBRA LINEAL
93
SISTEMAS DE ECUACIONES
3.
Determinar los valores de  para que el sistema
 x2
 x3  1
(  1) x1

2 x1  (  1) x2
 2 x3  2   3


x1 
2 x2  (  1) x3  

a)
Tenga solución única. Hallarla
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
94
SISTEMAS DE ECUACIONES
4.
Determinar los valores de  para que el siguiente sistema:
 x1  x2  x3  

2 x1  x2  x3  0

2
 x1  2 x2  x3    
a)
Tenga solución única. Hallarla.
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas.
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
95
SISTEMAS DE ECUACIONES
5.
Determinar los valores de a y b para que el siguiente sistema:
 x2
 x3  1
 x1

2 x1  (3  a ) x2  (2  a ) x3  1
3 x
 3 x2  (4  2a ) x3  3  b
 1
a)
Tenga solución única. Hallarla.
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas.
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
96
SISTEMAS DE ECUACIONES
6.
Determinar los valores de a y b para que el siguiente sistema:
 x1  x2  x3  3

 x1  x2  x3  1
2 x
 ax3  b
 1
a)
Tenga solución única. Hallarla
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas.
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
97
SISTEMAS DE ECUACIONES
7.
Determinar los valores m para que el siguiente sistema:
(2m  2) x1  (m  1) x2  (m  3) x3  2m  2

(m  1) x2  (m  1) x3  0


mx1
 x2
 x3  m  1

a)
Tenga solución única. Hallarla
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
98
SISTEMAS DE ECUACIONES
8.
Determinar los valores m para que el siguiente sistema
x2 
x3  m  1
(m  2) x1 

mx1  (m  1) x2 
x3  m  1

(m  1) x 
(m  1) x3  m  1
1

a)
Tenga solución única. Hallarla
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
99
SISTEMAS DE ECUACIONES
9.
Determinar los valores de a para que el sistema
2a  2x1  a  1x2  a  3x3  2

a  1x2  a  1x3  0


2 x1
 x2
 x3  1

a)
Tenga solución única. Hallarla
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
100
SISTEMAS DE ECUACIONES
10.
Determinar los valores a , b , c y k para que el sistema
 x1  x2  x3  1

 ax1  bx2  c x3  k
 2
2
2
2
a x1  b x2  c x3  k
a)
Tenga solución única. Hallarla
b)
Tenga más de una solución. Hallarlas
c)
No tenga solución.
ÁLGEBRA LINEAL
101
ESPACIOS VECTORIALES
Capítulo 4
ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIÓN
Sean
V un conjunto no vacío, K un campo, (+) una ley de composición interna
sobre V , llamada adición, (  ) una ley de composición externa, que relaciona V y K ,
llamada producto, entonces se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el
campo K , notada por  V , K , ,   si cumple las siguientes propiedades:
1.
(V, +) es un grupo conmutativo
i)
u, v  V | u  v  V
Axioma de clausura
ii)
u, v, w  V | (u  v)  w  u  (v  w)
Axioma de asociatividad
iii)
!e  V , u  V | e  u  u  e  u e  0 v  Axioma del neutro aditivo
iv)
u  V ,  ! u ,  V | u  u ,  u ,  u  e
Axioma del inverso aditivo
v)
u, v  V | u  v  v  u
Axioma de conmutatividad
2.
  K , u  V | u  V
Axioma de clausura
3.
 ,   K , u  V | (  )u   (  u )
Ley asociativa mixta
4.
!e  K , u  V | eu  u (e  1)
Axioma del neutro
5.
 ,   K , u  V | (a   )u  u  u
Primera ley de distribución
6.
  K , u, v  V | (u  v)  u  v
Segunda ley de distribución
EJEMPLOS
1.
R , R,, es el espacio vectorial de las n  úplas de números reales.
n
R n  a1 , a2 ,  , an  ai  R, i  1,2,  , n
Si   R , u , v  R n , u  a1 , a2 ,, an  , v  b1 , b2 ,, bn  se definen
u  v  a1  b1 , a2  b2 ,, an  bn  y u  a1 , a2 , , an 
ÁLGEBRA LINEAL
102
ESPACIOS VECTORIALES
2.
M mxn , R,, es el espacio vectorial de todas las matrices
mxn .
M m xn  Am xn | Am xn es una matriz de orden m x n , a ij R 
Donde + representa la suma usual de matrices y  la multiplicación usual de un
número real por una matriz.
3.
F , R,, es el espacio vectorial de todas las funciones reales.
F   f | f : R  R es una función 
Donde + representa la suma usual de funciones y  la multiplicación usual de un
número real por una función.
4.
Pn x , R,, es el espacio vectorial de todos los polinomios de grado  n .
Donde + representa la suma usual de polinomios y  la multiplicación usual de
un número real por un polinomio.
Observaciones
1.
Los elementos de V se llaman vectores, los elementos de K se llaman
escalares.
2.
La operación (+) se llama suma vectorial, la operación (  ) se llama
multiplicación por un escalar.
3.
El vector 0V se llama vector nulo o vector cero.
El siguiente teorema es de mucho interés
TEOREMA 1
Sea V , K ,,  un espacio vectorial
  K , u, v, w  K se cumple que:
a)
b)
uvvwu  w
0.u  Ov
c)
 .OV  OV
d)
 .u  OV    0  u  OV
e)
( .u )   (u )  ( .u )
DEMOSTRACIONES
ÁLGEBRA LINEAL
103
ESPACIOS VECTORIALES
a)
c)
u  0V  u
Axioma del neutro
u  (v  (v))  u
Axioma del inverso
(u  v)  (v)  u
Axioma de asociatividad
v  w  ( v )  u
Hipótesis
v  ( v )  w  u
Axioma de asociatividad
0V  w =u
Axioma del inverso
uw
Axioma del neutro
0V  0V  0V
Axioma del neutro
 
Axioma reflexivo
 (0 V  0 V )   0 V
Axioma reflexivo
 0V   0V   0V
(1)
Axioma distributivo
  .u   .u
(2)
Axioma reflexivo
Sumando (1) y (2)
 0V  ( 0V  ( 0V ))   0V  ( 0V )
d)
 0V  0V  0V
Axioma del inverso
 0V  0V
Axioma del neutro
Por Contradicción
Se supone que:
(  0  u  0V )
  0  u  0V
  K , tal que,   0, 
1

 0V  0V
Hipótesis
1
1
 u   0V
 
 
1.u  0V
u  0V
Lo que contradice la suposición
   0  u  0V
ÁLGEBRA LINEAL
Axioma del inverso
104
ESPACIOS VECTORIALES
SUBESPACIOS VECTORIALES
Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K , entonces S es un
subespacio vectorial de V , si y sólo si, S  V . De hecho, todos los espacios vectoriales
tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. Gráficamente se tiene
V
S
TEOREMA 2
Sea  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  Ø,
S es subespacio vectorial de V si y sólo si cumple que:
1.
u, v  S ‫ ׀‬u  v  S
2.
  K , u  S | u  S
DEMOSTRACION
1)
""
Se cumple pues S  V
2.
""
P.D.  S , K , ,   es un espacio vectorial
 S ,   es un grupo conmutativo
a)
u, v  S | u  v  S
Axioma de clausura
Si cumple
b)
u, v, w  S | (u  v)  w  u  (v  w)
Axioma de asociatividad
Si cumple
c)
!e  S , u  S | e  u  u  e (e  0 v )
P.D.
e  0V  S
Si   0
ÁLGEBRA LINEAL
Axioma del neutro aditivo
105
ESPACIOS VECTORIALES
u  0u
u  0 V
0V  S
Si cumple
d)
u  S ,  ! u ,  S | u  u ,  u ,  u  e
P.D.
Axioma del inverso aditivo
u ,  u  S
Si   1
u  1.u
 u  u
es decir,
uS
Si cumple
e)
u, v  V | u  v  v  u
Si cumple
Puesto que S  V se cumplen las propiedades de los espacios vectoriales.
Si S es espacio vectorial y S  V , entonces S es subespacio vectorial de V.
Observación
0V pertenece a todo subespacio vectorial de V .
Corolario
S  V , si S es subespacio vectorial de V , entones se cumple que:
1.
0V  S , S  Ø
2.
  K , u, v  S | u  v  S
COMBINACIÓN LINEAL
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, T  V ,
T  t1 , t 2 , t n 
Se dice que u  V es combinación lineal de T si y sólo si existen elementos del campo
K tal que se verifica la siguiente identidad:
u  1t1   2t2     ntn
ÁLGEBRA LINEAL
106
ESPACIOS VECTORIALES
CONJUNTO GENERADOR
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  s1 , s 2 ,  s n  , u  V .
Si u  1s1   2 s2     n sn ,entonces S es conjunto generador de V .
CÁPSULA LINEAL
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  Ø, S  s1 , s 2 ,  s n 
La cápsula de S es el conjunto de los vectores que son combinaciones lineales de los
elementos de S , y se nota por S , es decir,
S  v  V | v  1s1   2 s2     n sn ,  i  K 
TEOREMA 3
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  Ø
La cápsula de S es subespacio vectorial de V .
DEMOSTRACION
1.
0v  S y S  Ø
u  S
Sea   0  K
u  0 V
0u  0V
0v  S
2.
u , v  S | u  v  S
u   1 s1   2 s 2     n s n
v  1 s1   2 s 2     n s n
u  v  ( 1   1 ) s1  ( 2   2 ) s 2    ( n   n ) s n
uv  S
ÁLGEBRA LINEAL
107
ESPACIOS VECTORIALES
3.
  K , u  S | u  S
u   1 s1   2 s 2   n s n
u   1 s1   2 s 2     n s n
 i   i
u   1 s1   2 s 2     n s n
u  S
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, T  V , T  t1 , t 2 , t n ,
1. T es linealmente dependiente si y sólo si existen escalares  i no todos iguales
a cero, tales que:
1t1   2t 2     n t n  0V
2. T es linealmente independiente si y sólo si existen escalares  i únicos e
iguales a cero, tales que:
1t1   2t 2     n t n  0V
a esta se llama combinación lineal trivial.
TEOREMA 4
Sean
 V , K , ,  un espacio vectorial,
1.
Si S1 es linealmente dependiente., entonces S 2 también lo es.
2.
Si S 2 es linealmente intependiente., entonces S1 también lo es.
DEMOSTRACION
1
S1  S 2  V
S1  s1 , s2 ,, sn 
S 2  s1 , s2 ,, sr 
ÁLGEBRA LINEAL
108
ESPACIOS VECTORIALES
Si S1 es linealmente dependiente,  1  0 , tales que:
1s1   2 s2     n sn  0v
Se puede escribir que:
1s1   2 s2     n sn  0.sn    0.sr  0v ,
donde no todos los coeficientes son cero.
 S 2 es linealmente dependiente
2. Por contradicción:
Se supone que S1 es linealmente dependiente
S1 es linealmente dependiente  S1  S 2
S 2 es linealmente dependiente
Lo que contradice la suposición.
 S1 es linealmente independiente.
TEOREMA 5
Sean
 V , K , ,  un espacio vectorial,
S V .
S es linealmente dependiente si y sólo si si  S , tal que,
si es combinación lineal de los restantes vectores.
DEMOSTRACION
1.
""
Si S es linealmente dependiente, entonces  i  0 , tales que:
 1 s1   2 s 2     i si     n s n  0V , es decir,
 i si    1 s1   2 s 2     n s n
 1  0 , (en caso contrario se elige otro vector)
Despejando si
si  1 s1   2 s 2     n s n
Por lo tanto:
si es combinación lineal de los restantes vectores.
ÁLGEBRA LINEAL
109
ESPACIOS VECTORIALES
2. ""
Sea si  S , tal que, es combinación lineal de los restantes vectores de S ,
si   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n
(1)
 si   si
(2)
Sumando (1) y (2) y reordenando
 1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i si   i 1 si 1     n s n  0V
 S es linealmente dependiente.
TEOREMA 6 EL WRONSKIANO
x  D f , S   f1 , f 2 ,, f n  es linealmente independiente si y sólo
si x  D f , tal que:
W  f1, f 2 ,, f n  
f1
f1'

f1( n 1)
f2
f2 '
f 2( n 1)


fn
fn '
0
f n ( n 1)
DEMOSTRACION
a)
""
Por contradicción
Se supone que W  0 , entonces
Una fila o columna de W es combinación lineal de las restantes, por ejemplo:
f1   2 f 2     n f n , es decir, S es linealmente dependiente.
Lo que contradice la suposición.
W 0
b)
""
Por contradicción:
Se supone que S es linealmente dependiente, entonces
Una fila o columna de W es combinación lineal de las restantes, es decir,
W  0 , lo que contradice la suposición
Por lo tanto S es linealmente independiente.
ÁLGEBRA LINEAL
110
ESPACIOS VECTORIALES
BASE
DEFINICION
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S  V ,
S es una base de V , si y sólo si:
1.
S genera a V , y
2.
S es linealmente independiente.
TEOREMA 7
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S  V ,
Si S  s1 , s 2 ,  s n  es una base del espacio vectorial V , entonces todo
vector de S se puede expresar de una y solo una manera como
combinación lineal de los vectores de S. La combinación lineal es
única.
DEMOSTRACION
Sea u  V
Se supone que la combinación lineal no es única, es decir,
u   1 s1   2 s 2     n s n
(1)
u   1 s1   2 s 2     n s n
(2)
i  i
Restando (1) y (2)
u  (u )  ( 1   1 ) s1  ( 2   2 ) s 2    ( n   n ) s n
0V  ( 1  1 ) s1  ( 2   2 ) s 2    ( n   n ) s n
Si S es base de V , entonces S es linealmente independiente,
i  i  0 ,
i  i
ÁLGEBRA LINEAL
111
ESPACIOS VECTORIALES
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto: la combinación lineal es única.
TEOREMA 8
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S  V ,
Si S es un conjunto finito de vectores no nulos que genera a V
entonces, S contiene a una base T de V .
DEMOSTRACION
a)
Si S es linealmente independiente, entonces es base de V. //
b)
Si S es linealmente dependiente, existe un vector que es combinación lineal de
los restantes vectores (Teorema 6).
Si se considera el conjunto S1  S  s1 
s1 es combinación lineal de S1
si   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n
(1)
S1 genera a V?
Sea u  V
u es combinación lineal de S
u   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i si   i 1 si 1     n s n
(2)
Se sustituye (1) en (2)
u   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n , es decir,
S1 es generador de V .
Si S1 es linealmente independiente, entonces es base. //
c)
Si S1 es linealmente dependiente, se elimina un vector, que es combinación
lineal de los restantes, es decir,
S 2  S1  si 1 , que es generador de V .
Al continuar con el proceso se encuentra un subconjunto T de S que es
linealmente independiente y que genera a V . //
ÁLGEBRA LINEAL
112
ESPACIOS VECTORIALES
TEOREMA 9
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S , T  V ,
S 
s 1 , s 2 , 
, s n  , es una base de V , y
T  t1 , t 2 ,  , t r  es un conjunto linealmente independiente de V ,
entonces n  r . Esto es, todo conjunto linealmente independiente no
tiene más que n vectores.
DEMOSTRACION
Se supone que:
nr
Si S genera a V
t i es combinación lineal de S
t i   1 s1   2 s 2     n s n
Se despeja s n  0V
(En caso contrario, si se despeja otro)
t i  0V  a n  0
 1 
 1
s n   t1  
 an 
 an

 ( 1 s1   2 s 2     n 1 s n 1 )

S1  s1 , s 2 ,  , s n1 , t1  genera a V
t 2 es combinación lineal de S1
t 2   1 s1   2 s 2     n 1 s n 1   t1
t 2  0V
si  1     n 1  0
t 2   t1 , entonces
T es linealmente independiente
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto debe(n) existir algún(nos)  i  0
 n 1  0
En caso contrario se elige otro
ÁLGEBRA LINEAL
113
ESPACIOS VECTORIALES
 1 
 1 
t 2  
 (  1 s1   2 s 2     n  2 s n  2 )
s n 1  
  n 1 
  n 1 
de donde,
S 2  s1 , s 2 , , s n 2 , t1 , t 2  genera a V
Repitiendo el proceso n veces, se encuentra el conjunto
S n  t1 , t 2 , , t n  que es base de V , pues genera y es linealmente independiente
(Teorema 4).
Si r  n
t n 1   1t1   2 t 2     n t n , entonces
T es linealmente dependiente
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto:
nr.
TEOREMA 10
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S , T  V ,
S 
s 1 , s 2 , 
, s n  , es una base de V , y
T  t1 , t 2 ,  , t r  es otra base de V , entonces
nr
DEMOSTRACION
Si S es base de V y T es linealmente independiente, n  r (Teorema 9)
Si T es base de V y S es linealmente independiente, n  r (Teorema 9)
Se concluye que n  r .
Es decir, las diferentes bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de
vectores.
Corolario
Si S es base de V y tiene n vectores, un conjunto con n  1 vectores es linealmente
dependiente.
ÁLGEBRA LINEAL
114
ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIÓN
Las coordenadas de un vector u  V , respecto a una base dada S , son
los escalares que sirven para expresar u como combinación lineal de
S , así:
u   1 s1   2 s 2     n s n
u S
 1 
 
 
  2  , es el vector coordenadas de u respecto a S .

 
 
 n
DIMENSIÓN
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S 
s 1 , s 2 , 
, s n  , es una base
de V , entonces la dimensión de V es igual a n , y se nota por dim V  n . La
dimensión de espacio vectorial trivial se considera cero, esto es, dim  0V   0 .
DIMENSIÓN FINITA
Un espacio vectorial V es de dimensión finita si y sólo si la base de V tiene un finito
número de vectores.
Ejemplos: R n , C n , Pn , M mn .
DIMENSIÓN INFINITA
Un espacio vectorial V es de dimensión infinita si y sólo si la base de V tiene un
infinito número de vectores.
Ejemplo: P el espacio vectorial de todos los polinomios.
TEOREMA 11
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, dim V  n , S  V ,
S 
s 1 , s 2 , 
, s n  , entonces
Si S es linealmente independiente, S es una base de V .
ÁLGEBRA LINEAL
115
ESPACIOS VECTORIALES
DEMOSTRACION
Por contradicción
Se supone que S no es base de V ,
Si S no es base, entonces S no genera a V
u  V tal que no es combinación lineal de S ,
S  s1 , s 2 ,, s n , u es linealmente independiente
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto S es base de V .
TEOREMA 12
Sean  V , K , ,  un espacio vectorial, dimV  n , S  V ,
S 
s 1 , s 2 , 
, sn
Si S es generador de V , entonces S es una base de V .
DEMOSTRACION
Por contradicción
Se supone que S no es base de V ,
Si S no es base, entonces S es linealmente independiente (Teorema 9)
 si  S , que es combinación lineal de los restantes,
S1  S  si 
si   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n
1.
Si S1 es linealmente independiente, es base
dim V  n  1
Lo que contradice la suposición.
2.
Si S1 es linealmente dependiente,
 s i 1 que es combinación lineal de los restantes vectores,
S 2  S1  Si 1
ÁLGEBRA LINEAL
116
ESPACIOS VECTORIALES
Si S 2 es linealmente independiente, es base y dim V  n  2
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto S es base de V .
TEOREMA 13
Sean  V , K , ,  un espacio vectorial, dim V  n , S es un conjunto
de vectores linealmente independientes, entonces existe una base T
de V que contiene a S .
DEMOSTRACION
S  s1 , s 2 ,, s j 
Si S no es base, u  V que es combinación lineal de S ,
S1  s1 , s 2 ,, s j , u es linealmente independiente
1.
Si S
es linealmente independiente y es generador, entonces es base
S1  T , S  T .
2.
Si S1 no es generador, no es base
v  V que es combinación lineal de S 2 ,
S 2  s1 , s 2 ,, s j , u, v es linealmente independiente
Si S 2 es linealmente independiente y es generador, entonces es base
S 2
 T , S  T .
Si S 2 es linealmente independiente, pero no es generador, se repite el proceso
hasta encontrar un conjunto T generador de V .
TEOREMA 14
Sean  V , K , ,  y  W , K ,, espacios vectoriales de dimensión
finita, si W es subespacio vectorial de V , entonces se cumple que
dim W  dim V
ÁLGEBRA LINEAL
117
ESPACIOS VECTORIALES
DEMOSTRACION
Si W es subespacio vectorial de V ,
W  V , es decir,
W V W  V
1. Si W  V , dim W  dim V
2. Si W  V , u  V t.q. u  W ,
Una base de W tiene menor número de vectores que una base de V,
dim W  dim V
Por lo tanto dim W  dim V .
TEOREMA 15
Sea  V , K , ,  un espacio vectorial. La intersección de cualquier
colección de subespacios vectoriales de V , es un subespacio
vectorial de V , es decir, si V1 , V2 ,  , Vn , son subespacios vectoriales
de V , entonces
n
W  Vi , es subespacio vectorial de V .
i 1
DEMOSTRACION
1.
0v W
0 v  Vi , i  1,2,, n , pues Vi es subespacio vectorial
0v W
2.
u, v  W  u  v  W
n
u  Vi , u  Vi , i  1,2,, n
i 1
n
v  Vi , v  Vi , i  1,2,..., n
i 1
n
u  v  Vi
i 1
u  v W
ÁLGEBRA LINEAL
118
ESPACIOS VECTORIALES
3.
  K , u  W   .u  W
n
u  W , entonces u  Vi
i 1
n
u  Vi , entonces u  Vi
i 1
n
u  V , entonces αu  W .
i 1
DEFINICIÓN
Sean V1 , V2 ,  , Vn subespacios vectoriales del espacio vectorial
 V , K , ,  ,
S  V1 , V2 ,  , Vn , y los vectores vi  Vi
donde
i  1,2,, n , la suma de los subespacios de S se define por
V1  V2  Vn   v  v1  v2   vn v1  V1 , v2  V2 ,  , vn  Vn 
TEOREMA 16
Sean
 V , K , , 
un espacio vectorial, y W1 y W 2 subespacios
vectoriales de V , entonces W1  W2 es un subespacio vectorial de V
TEOREMA 17
Sean
 V , K , , 
un espacio vectorial, y W1 y W 2 subespacios
vectoriales de V . Si B1 y B2 son bases de y W1 y W 2 , entonces
W1  W2  B1  B2
DEFINICIÓN
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios
vectoriales de V , U  W1  W2 define la suma directa de W1 yW2 si
W1  W2   v  V !v1  W1  !v2  W2 , v  v1  v2 
ÁLGEBRA LINEAL
119
ESPACIOS VECTORIALES
TEOREMA 18
Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios
vectoriales de dimensión finita de V .
U  W1  W2 , si y sólo si U  W1  W2 y W1  W2  0V .
DEMOSTRACION
 u1  W 2 ,  v 2  W 2  v  u 2  v 2
u1  v1  u 2  v 2
u1  u 2  v 2  v1
u1  u 2  W1  W2  0V 
v1  v 2  W1  W2  0V 
u1  u 2  0V 
u1  u 2
v1  v 2  0V 
v1  v 2

Por lo tanto u1  v1 son únicos.
Corolario
Sean
 V , K , , 
un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios vectoriales de
dimensión finita de V , entonces
dimW1  W2   dim W1  dim W2
TEOREMA 19
Sean  V , K , ,  un espacio vectorial, y W1 un subespacio vectorial
de V . entonces existe un subespacio (complemento) W 2 del espacio
vectorial de V tal qué V  W1  W 2 .
ÁLGEBRA LINEAL
120
ESPACIOS VECTORIALES
DEMOSTRACION
1.
W1  V
W2  0V 
W1  W2  0V   V  W1  W 2 .
2.
W1  V
W1 es subespacio vectorial propio de V , dim V  n
S1  v1 , v 2 ,  , v r  , base de W1 , r  n ,
S1  W1
S 2  v r 1 ,  , v r  , donde v j  S1 , j  r  1,..., n
S 2  W2
W1  W2  0V 
W1  W2  v1 , v 2 ,  , v r , v r 1 ,  , v n
S1  S 2  v1 , v 2 ,  , v r , v r 1 ,  , v n 
S1  S 2 es linealmente independiente y es base de V
W1  W2  V  S1  S 2  V , entonces
V  W1  W 2 .
Ejercicio


Sea W1  ax 3  bx 2  cx  d  P3 x  a  2b  c  d  b  c
subespacio vectorial de
P3 x  . Hallar un subespacio vectorial W2 tal que P3 x   W1  W2 .
TEOREMA 20
Sean W1 y W 2 subespacios vectoriales de dimensión finita de un
espacio vectorial  V , K , ,  , entonces
W1  W2 es un espacio vectorial de dimensión finita y además:
dim W1  dim W2  dim(W1  W2 )  dim(W1  W2 ) .
ÁLGEBRA LINEAL
121
ESPACIOS VECTORIALES
DEMOSTRACION
W1  W2  Ø
Sea S  u1 , u 2 , , u k  base de W1  W2
S tiene k vectores y es parte de una base de W1 y W 2
S1  u1 , u 2 ,  , u k , v1 ,  , v n  es base de W1
S 2  u1, u2 ,, uk , w1,, wm  es base de W 2
S1  S 2  u1, u2 ,, uk , v1,, vn , w1,, wm 
S1  S 2 tiene k  m  n vectores
S1  S 2 genera a W1  W2 (Definición)
P.D. S1  S 2 es linealmente independiente
k
n
m
i 1
i 1
i 1
  iui   i vi    i wi  0v
(1)
Reordenando
m
k
n
i 1
i 1
i 1
 ( i wi )    iui   i vi  W1
m
 ( w )  W
i 1
i
i
2
m
 ( w )  W
i 1
i
i
1
m
k
i 1
i 1
 W2
 ( i wi )    i ui
Reordenando
k
m
i 1
i 1
  i u1    i w1  0V
Se obtiene una combinación lineal de S 2 , base de W 2 que tiene k  m vectores
 i  0, i  1,2, , k
 i  0, i  1,2,  , m
Se obtiene una combinación lineal de S1 , base de W1 que tiene k  n vectores
k
n
i 1
i 1
  i u1    i vi  0V
 i  0, i  1,2,  , k
ÁLGEBRA LINEAL
122
ESPACIOS VECTORIALES
 i  0, i  1,2,  , n
S1  S 2 es linealmente independiente y genera a W1  W2
dim W1  dim W2  ( k  n)  ( k  m)
dim W1  dim W2  ( k  n  m)  k
dim W1  dim W2  dim(W1  W2 )  dim(W1  W2 ) .
TEOREMA 21
Sean W1 y W 2 subespacios vectoriales de dimensión finita de un
espacio vectorial  V , K , ,  .
W1  W2 es subespacio vectorial de V si y sólo si W1  W2 o
W2  W1 .
DEMOSTRACION
a)
""
Por contradicción
Se supone que:
W1  W2  W2  W1
u1  u1  W1  u1  W2
u 2  u 2  W2  u 2  W1
u1  W1  W1  W2
u 2  W2  W1  W2
u1 , u 2  W1  W2 que es subespacio vectorial
u1  u 2  W1  W2 , entonces
u1  u 2  W1  u1  u 2  W2
1.
Si u1  u 2  W1
u1  W1  u1  W1
 u1  u1  u 2  W1
u 2  W1
ÁLGEBRA LINEAL
123
ESPACIOS VECTORIALES
Lo que contradice la suposición.
2.
Si u1  u 2  W2
u 2  W 2  u 2  W 2
 u 2  u1  u 2  W 2
u1  W 2
Lo que contradice la suposición.
b)
""
W1  W2
W1  W2 que es subespacio vectorial
Por lo tanto
W1  W2 es subespacio vectorial de V si y sólo si W1  W2  W2  W1
CAMBIO DE BASE
En este apartado se estudia la relación entre dos vectores coordenadas para el mismo
vector, respecto a bases diferentes.
Sean el espacio vectorial  V , K , ,  y, S y T bases ordenadas de V
S  s1, s 2 ,, s n 
T  t1 , t 2 ,  , t n 
v  V
v   1 s1   2 s 2     n s n
(I)
v   1 t1   2 t 2     n t n
(II)
Considerando los vectores de S como combinación lineal de T
ÁLGEBRA LINEAL
124
ESPACIOS VECTORIALES
s1  a11t1  a12 t 2    a1n t n
(1)
s 2  a 21t1  a 22 t 2    a 2 n t n
(2)

s n  a n1t1  a n 2 t 2    a nn t n
Los vectores coordenadas de S respecto a la base T son:
s1 T
 a11 
 
a 
  21 

 
a 
 n1 
s 2 T
 a12 


 a 22 

 


a 
 n2 

s n T
 a1n 


 a2n 

 


a 
 nn 
Entonces se construye la matriz
PS T  S1 T
S 2 T

S n T 
En forma desarrollada
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2n 
PS T  




a

a

a
n2
nn 
 n1
PS T es la matriz de cambio de base de S a T .
ÁLGEBRA LINEAL
(n)
125
ESPACIOS VECTORIALES
Sustituyendo (1),(2),…,(n) en (I) e igualando a (II)
 1t1   2 t 2     n t n   1 (a11t1  a12 t 2    a1n t n ) +  2 (a 21t1  a 22 t 2    a 2 n t n
    n (a n1t1  a n 2 t 2    a nn t n )
Reordenando
 1t1   2 t 2     n t n  (a11 1  a12 2    a1n n )t1 + (a 21 1  a 22 2    a 2 n n )t 2
   an11  an 2 2    ann n tn
Escribiendo matricialmente
  1   a11
  
  2   a 21
   
  
  a
 n   n1
a12
a 22
an2
 a1n    1 
 
a2n   2 
  
 
a nn    n 
O también
v T
 PS T v  S
Similarmente
v S
 QT  S v T
QT  S es la matriz de cambio de base de T a S , además QT  S  P S1T .
Ejemplo
Sean los conjuntos S y T bases ordenadas del espacio vectorial R 3 , tales que
S  (6,3,3), (4,3,1), (5,5,2) , y
T  (2,01), (1,2,0), (1,1,1)
Hallar la matriz de cambio de base P de S a T .
Solución:
ÁLGEBRA LINEAL
126
ESPACIOS VECTORIALES
u  (6, ,3,3)  2( 2,0,1)  1(1,2,0)  1(1,1,1)
u T
 2
 
 1
1
 
v  ( 4, ,3,1)  2( 2,0,1)  1(1,2,0)  1(1,1,1)
vT
2
 
   1
1
 
w  (5,2,2)  1( 2,0,1)  2(1,2,0)  1(1,1,1)
1
 
wT   2 
1
 
La matriz requerida es
2 2 1


P  1 1 2
1 1 1


Resumen
En este capítulo se revela y se enseña una parte importante del Álgebra Lineal, ya que
se analiza la estructura de espacio vectorial, que es el ambiente de trabajo del que se
parte para la obtención de los resultados y desarrollos que se verán a continuación en los
siguientes temas.
Se comenzó reflexionando con vectores en el plano y en el espacio considerándolos
como segmentos de rectas orientados, junto con las posibles operaciones que pueden
realizarse entre ellos y sus propiedades. Una vez conocidos los espacios R 2 y R 3 como
conjuntos de vectores, se procedió a generalizar, en un proceso de abstracción, los
aspectos que los caracterizan, obteniéndose así la estructura de un espacio vectorial.
De la definición de subespacio vectorial W surge de manera inmediata el concepto de
conjunto generador, que permite definir, a partir de un número finito de vectores, todos
los elementos de W . Dentro de los conjuntos generadores interesan aquellos que
contienen el menor número de elementos y estos pueden encontrarse con ayuda de los
conceptos de dependencia e independencia lineales. Estos conjuntos generadores
“mínimos” se conocen como las bases de los espacios vectoriales y, el número de
elementos que las componen, la dimensión de los mismos.
ÁLGEBRA LINEAL
127
ESPACIOS VECTORIALES
PROBLEMAS PROPUESTOS
ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS
1.
Sea R n el conjunto de n-uplas ordenadas (a1 , a 2 ,  , a n ) en el campo R , con la
adición en R n y la multiplicación por un escalar, definidas por:
(a1 , a 2 ,  , a n )  (b1 , b2 , , bn )  (a1  b1 , a 2  b2 ,  , a n  bn )
k (a1 , a 2 ,  , a n )  (ka1 , ka 2 , , ka n )
Donde a, b, k  R . Demostrar que R n es un espacio vectorial sobre R .
ÁLGEBRA LINEAL
128
ESPACIOS VECTORIALES
2.
Sea R 2 el conjunto de parejas ordenadas (a, b) de números reales. Demostrar
que R 2 no es espacio vectorial sobre R con la adición en R 2 y la multiplicación
por un escalar sobre R definidas por:
a)
(a, b)  (c, d )  (a  d , b  c) y k (a, b)  (ka, kb)
b)
( a , b )  ( c, d )  ( a  c, b  d ) y k ( a , b )  ( a , b )
c)
(a, b)  (c, d )  (0,0) y k (a, b)  (ka, kb)
d)
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d ) y k (a, b)  (0,0)
ÁLGEBRA LINEAL
129
ESPACIOS VECTORIALES
3.
El conjunto dado con las operaciones dadas no es un espacio vectorial. ¿Qué
propiedades de la definición no se satisfacen?
a)
Los reales positivos sobre los reales con las operaciones + y .
b)
El conjunto de las ternas ordenadas de números reales con las
operaciones:
( x, y , z )  ( x , , y , , z , )  ( x  x , , y  y , , z  z , ) , y
r ( x, y, z )  ( x,1, z )
c)
 x
El conjunto de las matrices M 2x1 tal que   , donde x  0
 y
con las operaciones usuales en R 3 .
ÁLGEBRA LINEAL
,
130
ESPACIOS VECTORIALES
4.
Sea el espacio vectorial de M 3x1 .
a)
 a 

  2

2
2
W   b  a  b  c  1
 c 

 

b)
 a 

 

W   b  a  b  1
 c 

 

c)
 a 

 

W   b  b  a  2c 
 c 

 

Determinar si W es subespacio vectorial de M 3 x1 .
ÁLGEBRA LINEAL
131
ESPACIOS VECTORIALES
5.
Determinar si el conjunto W es subespacio vectorial de R 3 .


a)
W  ( x, y , z ) e x  y  0
b)
W  ( x, y, z ) y  x  z
c)
W  ( x, y , z ) x  z 2
d)
W  ( x, y, z ) x  y  0  2 x  z  0
e)
W  ( x, y, z ) x  2 y  z  0

ÁLGEBRA LINEAL

132
ESPACIOS VECTORIALES
6.
Determinar si el conjunto W es subespacio vectorial de P2 x
a)
b)
b)
c)

W  p( x)  ax
W  p ( x )  ax
W  p( x)  ax

W  p( x)  ax 2  bx  c p(0)  p(1)  1
ÁLGEBRA LINEAL

2
 bx  c p' (0)  p' ' (0)  0
2
 bx  c b  c
2
 bx  c p(0)  p' (1)


133
ESPACIOS VECTORIALES
7.
Sea el espacio vectorial V   f :  1,1  R , W  V .
Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de V .
a)
W   f :  1,1  R
f es contínua
b)
W   f :  1,1  R
f es derivable
c)
W   f :  1,1  R


d)
W   f :  1,1  R
f ( x)  f ( x)
e)
W   f :  1,1  R
f (0) 
f)
W   f :  1,1  R
f  12   0
ÁLGEBRA LINEAL
1
-1
f ( x)dx  0

1
2

134
ESPACIOS VECTORIALES
COMBINACIONES LINEALES Y CONJUNTOS GENERADORES
1.
Dado el espacio vectorial R 2 . Expresar vector u  (1  2) como combinación
lineal de T cuando es posible.
a)
T  ( 2,1)
b)
T  (2,1), (1,2)
c)
T  (3,1), (1, 13 )
d)
T  (1,1), (2,5), (3,0)
ÁLGEBRA LINEAL
135
ESPACIOS VECTORIALES
2.
Escribir si es posible el vector u  (1,1,4)  R 3 como combinación lineal los
vectores de R 3
a)
(1,1,2),((0,0,1)
b)
(2,-2,0),(-1,1,2)
c)
(3,0,-2),(2,-1,1)
d)
(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
ÁLGEBRA LINEAL
136
ESPACIOS VECTORIALES
3.
Determinar si el conjunto de vectores dado genera al espacio vectorial indicado.
a)
S  (1,1), ( 2,3) . En R 2 .
b)
S  (1,1, ), ( 2,1), ( 1,0) . En R 2
c)
 1    1
   
S   2 ,  2  . En M 3x1 .
 3   3 
   
d)
S  1  x,3  x 2 , x 2  x  1 . En P2 x .
e)
1 0   1 2   4  1   2 5 
, 
, 
, 
 . En M 2 x 2 .
S  
1 0   0 0   3 0   6 0 

ÁLGEBRA LINEAL

137
ESPACIOS VECTORIALES
4.
Hallar la cápsula de S en el espacio vectorial dado.
a)
S  (1,2,1,2), (0,1,2,3. En R 4 .
b)
2
S  1  t  , 1  t  . En P2 t .
c)
 1 
 
S    2  . En M 3 1 .
 3 
 

x
ÁLGEBRA LINEAL

138
ESPACIOS VECTORIALES
5.
¿Para qué valor de  el vector (2,2,0) pertenece a la cápsula formada por el
conjunto de vectores B  (1,1,1), (3,  ,0)?
6.
 1  1  1 0   0  1
 , 
 , 

Dado el conjunto de matrices S  
0
0
0

1
1
1
 
 


a)
Calcular S .
b)
Encontrar una base para S .
ÁLGEBRA LINEAL
139
ESPACIOS VECTORIALES
7.
 1   1 
   
Sea el conjunto S   1 ,  0  del espacio vectorial M 3x1 .
 0   1 
   
a)
Hallar S .
b)
 1 
 
Probar que la matriz F    2  pertenece a S .
 3 
 
c)
Demostrar que S es subespacio vectorial de M 3x1 .
ÁLGEBRA LINEAL
140
ESPACIOS VECTORIALES
8.
En el espacio vectorial indicado determinar el valor de  para que el conjunto
de vectores dado sea linealmente independiente y linealmente dependiente.
a)
T  (1,1,1), (1,   2,0), (4,3   ,4). En R 3 .
b)
1  0   1 
     
T  1,  1 ,  0  . En M 3x1 .
1  1    
     
c)
S  1  x  x 2 , 1  x  x 2 ,   x  x 2 . En P2 x .

ÁLGEBRA LINEAL

141
ESPACIOS VECTORIALES
9.
Hallar un conjunto linealmente independiente en P2 x que contenga a los
polinomios x 2  1 y x 2  1 . Sugerencia : Obtener un p ( x )  x 2  1, x 2  1 .
10.
Hallar un conjunto linealmente independiente en R 3 que contenga a los vectores
(2,1,2) y (-1,3,4). Considerar la sugerencia del ejercicio anterior.
ÁLGEBRA LINEAL
142
ESPACIOS VECTORIALES
11.
En el espacio vectorial R 3 demostrar que los vectores 1, a, a 2 , 1, b, b 2 , 1, c, c 2 
son linealmente independientes si a  b, a  c y b  c .
ÁLGEBRA LINEAL
143
ESPACIOS VECTORIALES
12.
Cuáles de los siguientes conjuntos de R 3 son linealmente dependientes? Para los
que lo sean expresar uno de los vectores como combinación lineal de los
restantes (relación de dependencia).
a)
b)
c)
(1,1,0), (3,4,2
(1,10), (0,1,1), (1,0,1), (1,2,2)
(1,1,0), (0,2,3), (1,2,3), (0,0,0)
ÁLGEBRA LINEAL
144
ESPACIOS VECTORIALES
13.
Considerar el espacio vectorial P2 t . Hacer lo mismo que en ejercicio 12.
a)
b)
c)
t 2  1, t  2, t  3
2t 2  t, t 2  3, t
2t 2  t  1,3t 2  t  5, t  13
ÁLGEBRA LINEAL
145
ESPACIOS VECTORIALES
14.
Sea el espacio vectorial de las funciones continuas de valor real. Hacer lo mismo
que en el ejercicio 12.
a)
b)
c)
cos t , sent , e 
t , e , sent
cos t , sen t , cos 2t
t
t
2
ÁLGEBRA LINEAL
2
146
ESPACIOS VECTORIALES
BASES Y DIMENSION
1.
Cuáles de los siguientes conjuntos forman una base en R 3 ? Expresar el vector
u  ( 2,1,1) como una combinación lineal de los vectores del conjunto que
sea base.
a)
(1,1,1), (1,2,3), (0,1,0)
b)
(1,0,2), (2,1,3), (2,0,4)
c)
(1,1,3), (1,0,1), (1,1,0), (1  1,1)
ÁLGEBRA LINEAL
147
ESPACIOS VECTORIALES
2.
3.
Hallar una base de R 3 que incluya a:
a)
El vector (1,0,2)
b)
Los vectores (1,0,2) , (0,1,3).
Hallar una base de P3 x  que incluya a los vectores x 3  x, x 2  1 .
ÁLGEBRA LINEAL
148
ESPACIOS VECTORIALES
4.
1 1 
 0 1
 y B  

Sean las matrices A  
1 0 
 1 1
a)
a b 
 , tales que AM  MB
Determinar las matrices M  
c d 
b)
Demostrar que las matrices M forman un subespacio vectorial de M 2x2
c)
Escribir una base de este subespacio vectorial.
d)
Determinar la dimensión de este subespacio vectorial.
ÁLGEBRA LINEAL
149
ESPACIOS VECTORIALES
5.
 1  1

Sea la matriz A  

1
1


a)
a b 
 tales que AM  O .
Determinar las matrices M  
c d 
b)
Demostrar que las matrices M forman un subespacio vectorial de M 2x2
c)
Escribir una base de este subespacio vectorial.
d)
Determinar la dimensión de este subespacio vectorial.
ÁLGEBRA LINEAL
150
ESPACIOS VECTORIALES
6.
Sea W el conjunto de las matrices simétricas de orden 2.
a)
Demostrar que W es subespacio vectorial de M 2x 2 .
b)
Hallar una base y determinar la dimensión de W .
ÁLGEBRA LINEAL
151
ESPACIOS VECTORIALES
7.
Sea el conjunto W del espacio vectorial P2 t 


W  p (t )  at 2  bt  c p (t )  p (1  t )
a) Demostrar que W es subespacio vectorial de P2 t  .
b) Encontrar una base y la dimensión de W .
ÁLGEBRA LINEAL
152
ESPACIOS VECTORIALES
8.
Sea el conjunto W del espacio vectorial P2 x 

a  b  c  0


W   p ( x )  ax 2  bx  c
b  c  0

2a  b  c  0

a) Demostrar que W es subespacio vectorial de P2 x  .
b) Encontrar una base y la dimensión de W .
ÁLGEBRA LINEAL
153
ESPACIOS VECTORIALES
9.
Sea el conjunto W del espacio vectorial M 2x 2
 a b  a  b  c
 0

W  

 c  d  0
 c d  a
a)
Demostrar que W es subespacio vectorial de M 2x 2 .
b)
Hallar una base y determinar la dimensión de W .
ÁLGEBRA LINEAL
154
ESPACIOS VECTORIALES
10.
Dado el subespacio vectorial de P3 x 

W  p ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
abc

a) Determinar una base B1 de W y su dimensión.
b) ¿El polinomio p( x)  x  1  W ?
c) A partir de B1 , completar una base B2 para el espacio vectorial P3 x  .
ÁLGEBRA LINEAL
155
ESPACIOS VECTORIALES
11.
Sean bases ordenadas de P2 t 




B  t 2  t  1, t  2,1 , C  t 2 , t ,1
a)
b)
Hallar  p (t )  B si p(t )  t  2t  1
2
Encontrar  p (t ) C si  p (t ) B
ÁLGEBRA LINEAL
1
 
   1
3
 
156
ESPACIOS VECTORIALES
12.
Dados W1 y W 2 los subespacios vectoriales de R 4


a  b  c  0
a  b  c  d  0
W1  (a, b, c, d )
 y W2  (a, b, c, d )

a  b  d  0
2a  c  d  0


a)
Determinar W1  W2 .
b)
Demostrar que W1  W2 es subespacio vectorial de R 4 .
c)
Hallar una base para W1  W 2 y su dimensón.
ÁLGEBRA LINEAL
157
ESPACIOS VECTORIALES
13.
Dado W1 un subespacio vectorial de R 3 .
W1  (1,2,3), (01,1
a)
Hallar W1 explícitamente.
b)
Hallar un subespacio vectorial W2 tal que W1  W2  R 3 .
ÁLGEBRA LINEAL
158
ESPACIOS VECTORIALES
14.
Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de R 2 .
W1  ( x, y ) 2 x  3 y  0
W 2  ( x, y ) 5 x  4 y  0
a)
b)
Hallar W1  W2 , W1  W2 y W1  W2 .
Establecer si W1  W2 es subespacio vectorial de R 2 .
c)
Determinar si R 2  W1  W2 .
ÁLGEBRA LINEAL
159
ESPACIOS VECTORIALES
15.
Dados W1 , W2 y W3 subespacios vectoriales de R 3 .
W1  ( x, y , z ) x  y  z  0
W 2  ( x, y , z ) x  z
W3  ( x, y , z ) x  0  y  0
Demostrar que R 3  W1  W2 , R 3  W1  W3 y R 3  W2  W3 e indicar cuando la
suma es directa.
ÁLGEBRA LINEAL
160
ESPACIOS VECTORIALES
16.
Dados W1 yW2 subespacios vectoriales de R 3
W1  ( x, y , z ) x  y  0
W2  ( x, y , z ) y  z  0
a)
Calcular W1  W2 , W1  W2 y W1  W2 .
b)
Determinar cuáles de los subconjuntos anteriores son subespacios
vectoriales de R 3 .
c)
Comprobar si se verifica que R 3  W1  W2 .
ÁLGEBRA LINEAL
161
ESPACIOS VECTORIALES
17.
Dados los sistemas de ecuaciones lineales
 x yzw0

2 z  y  3 z  w  0
x
 2 z  2w  0

 x  2 y  4 z  2w  0

y zw0

a)
Hallar los conjuntos solución W1 y W2 subespacios vectoriales de R 4 .
b)
Dar una base para W1 y W2 y sus dimensiones.
c)
Demostrar que W1  W2 es subespacio vectorial de R 4 dar una base y su
dimensión.
d)
Encontrar W1  W2 y W1  W2 , una base para cada subespacio vectorial y
su dimensión.
ÁLGEBRA LINEAL
162
ESPACIOS VECTORIALES
18.
Dados los sistemas de ecuaciones lineales
x  y  z  w  0

a  b  c  0 x
 2z  w  0
 x  2 y  4 z  4w  0

 x  y  3z  w  0
a)
Hallar los conjuntos solución W1 y W2 subespacios vectoriales de R 4 .
b)
Dar una base para W1 y W2 y sus dimensiones.
c)
Dar una base para W1  W2 y determinar la dimensión de W1  W2 .
d)
Demostrar que W1  W2 es subespacio vectorial de R 4 dar una base y su
dimensión y determinar si W1  W2  W1  W2 .
.
ÁLGEBRA LINEAL
163
PRODUCTO INTERNO
Capítulo 5
PRODUCTO INTERNO
DEFINICIÓN
Sean (V , K ,,) un espacio vectorial, un producto interno sobre V ,
es una función que asigna a cada par de vectores u, v  V , un escalar
(u, v)  K y cumple que:
1.
u, v  V  (u, v)  (v, u )
2.
u  V  (u , u )  0  u  0V  u  0V
3.
  K , u, v  V  (u, v)  (u,v)   (u, v)
4.
u, v, w  V  (u  v, w)  (u, w)  (v, w)
Los espacios vectoriales dotados de producto interno se denominan espacios
euclidianos o euclídeos.
EJEMPLOS
1.
Sea ( R n , R,,.)  u , v  R n
u  a1 , a 2 ,  , a n 
v  b1 , b2 ,  , bn 
n
(u, v)  a1b1  a2b2    anbn   ai bi
Producto interno usual en
i 1
2.
Rn
Sea (C n , C ,,.)  u , v  C n
u   z1 , z 2 ,  , z n 
v  w1 , w2 , , wn 



n

(u, v)  z1 w1  z 2 w 2    z n w n   z i w i Producto interno usual en C n
i 1
ÁLGEBRA LINEAL
164
PRODUCTO INTERNO
3.
Sea M n , R,.   A, B  M n
 A, B   Tr ( B t A)
4.
Producto interno usual en M n
Sea M n , C ,.   A, B  M n
 A, B   Tr B * A 
Producto interno usual en M n
donde B * es la conjugada de la matriz transpuesta de B .
5.
Sea F el espacio vectorial de las funciones reales continuas a , b   f , g  F en
b
( f , g )   f (t ) g (t )dt
a
6.
Sea F
a, b  
el espacio vectorial de las funciones complejas continuas en
f ,g F
b

( f , g )   f (t ) g (t ) dt
a
7.
Sea Pn x , R, ,.  p( x), q( x)  Pn x 
p ( x )  a0  a1x    an x n
q ( x )  b0  b1x    bn x n
 p( x), q( x)   a0b0  a1b1    anbn
NORMA DE UN VECTOR
Sea el espacio vectorial (V , K ,,)
u  V
u  (u , u )
Terminología
u se lee: “norma de u ”.
ÁLGEBRA LINEAL

Producto interno usual en Pn x
165
PRODUCTO INTERNO
Observación. Al referirse a los espacios euclidianos R, R 2 , R 3 , la norma, es un número
real que representa la distancia entre el origen y el extremo del vector.
TEOREMAS
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno.
1.
Si u  0V , u  0
2.
Si u  0V , u  0
3.
u   u
4.
5.
(u , v)  u v
Desigualdad de Cauchy-Schwartz
uv  u  v
Desigualdad triangular
DEMOSTRACIONES
1.
Si u  0V , u  0
Si u  0V , (u, u )  0
Si (u, u )  0 , (u , u )  0
Si
3.
(u , u )  0 , u  0
u   u
u  u
 ( u ,  u )
  2 ( u, u )
  2 (u, u )
  (u, u )
 u
5.
uv  u  v
uv
2


u  v, u  v

2
 (u, u )  2(u, v)  (v, v)
ÁLGEBRA LINEAL
166
PRODUCTO INTERNO
 u  2 Re(u, v)  v
2
 u  2 (u, v)  v
2
 u 2u v  v
2
 u  v
21
2
2

2
Por lo tanto:
uv  u  v
TEOREMA 6
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno,
u , v  V , u  0V , v  0V K  R
 es el ángulo formado por u y v , entonces
cos  
(u , v)
u v
DEMOSTRACION
uv
2
 u  v  2 u v cos
uv
2
 (u  v, u  v)
2
2
 u  2(u, v)  v
2
2
(1)
(2)
Igualando (1) y (2)
1
Re( z )  z
Re(u , v )  (u , v )  u  v ,
z  z  2 Re( z )
ÁLGEBRA LINEAL
(Teorema 4)
167
PRODUCTO INTERNO
u  v  2 u v cos  u  2(u, v)  v
2
2
2
2
Simplificando:
u v cos   (u , v) 2
u
VECTORES ORTOGONALES
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, u, v  V , u y v son
ortogonales si y solamente sí su producto interno es igual a cero, es decir,
cos  
(u , v)
0
u v
En R 2 , R 3 la ortogonalidad se da para vectores perpendiculares.
Observación.
El vector nulo se considera ortogonal a todo vector v  V .
PROYECCIÓN ORTOGONAL
El vector w es la proyección ortogonal de v sobre u si y solamente si (v  w, w)  0 .
CÁLCULO DE w
Según la figura anterior:
w es paralelo a u , entonces
w u
(v  w, w)  0 , pues v  w es ortogonal a w .
ÁLGEBRA LINEAL
(1)
168
PRODUCTO INTERNO
(v   u ,  u )  0
 (v, u )    (u, u )  0

(v, u )
(u , u )
(2)
Sustituyendo (2) en (1)
w  ( v, u )
u
u
2
CONJUNTO ORTOGONAL
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V .
T es un conjunto ortogonal si y solamente sí:
u, v  T , (u  v)  (v, u )  0
Ejemplo
Sea T  R 3
T  (1,0,0), (0,2,0), (0,0,1) es ortogonal.
TEOREMA 7
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial con producto interno, T  V
Si T es ortogonal, entonces es linealmente independiente.
DEMOSTRACION
Sea T  t1 , t 2 ,  , t n  conjunto ortogonal
 1 t1   2 t 2     n t n  0 V
(0 V , t i )  0 ,
donde 1  i  n
( 1t1   2 t 2     n t n , t i )  0
 1 (t1 , t i )   2 (t 2 , t i )     n (t n , t i )  0 ,es decir,
 i (t i , t i )  0
i  0
ÁLGEBRA LINEAL
169
PRODUCTO INTERNO
Si  i  0 , entonces T es linealmente independiente.
Corolario
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V , T es
conjunto ortogonal, entonces se cumple que si T tiene n vectores, T es base ortogonal
de V.
VECTOR UNITARIO
Sea u  V . Se dice que u es un vector unitario si su norma es igual a 1.
NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR
Sea u  V
u
1
u
CONJUNTO ORTONORMAL
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V , T es
ortogonal, entonces se cumple que: Si u  V es unitario, entonces T es ortonormal.
BASE ORTONORMAL
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V , entonces
Si T es conjunto ortonormal y es base de V , entonces T es base ortonormal de V.
Ejemplos
1.
Sea el conjunto T  R 2
T   (1,0), (0,1)   i , j es base ortonormal de R 2 .
2.
Sea el conjunto T  R 3
T   (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)   i , j , k  es base ortonormal de R3 .
ÁLGEBRA LINEAL
170
PRODUCTO INTERNO
TEOREMA 8 El Proceso de Gram-Schmidt
Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno,
W es subespacio vectorial de V . DimV  n , entonces
W tiene una base ortonormal.
DEMOSTRACION
1.
DimW  2
A partir de S  s1 , s 2 , se construye una base T  t t ,t 2  ortogonal.
Si s1  t1
t 2   1 s1   2 s 2
(1)
(t 2 , s1 )  ( 1 s1   2 s 2 , t1 )
 ( 1t1   2 s 2 , t1 )

t2 ,t1    1 (t1 , t1 )   2 ( s 2 , t1 )

0
0   1 (t1 , t1 )   2 ( s 2 , t1 )
 1   2
( s 2, t1 )
(2)
(t1 , t1 )
Sustituyendo (2) en (1)

(s , t ) 
t 2   2  s 2  2 1 .t1 
(t1 , t1 ) 

Si T es ortogonal , entonces es linealmente independiente
(Teorema 7)
T es base de W
 t
t 
T '   1 , 2  es base ortonormal de W .
 t1 t 2 
2.
DimW  3
Se repite el proceso anterior
A partir de S  s1 , s 2 , s3  , se construye una base T  t t , t 2 , t 3  ortogonal
t 3   1 t1   2 t 2   3 s 3
(t 3 , t1 )  ( 1t1   2 t 2   3 s3 , t1 )
ÁLGEBRA LINEAL
(1)
171
PRODUCTO INTERNO
0  1 t1 , t1    2 t2 , t1    3 s3 , t1  ,

0
de donde:
 1   3
( s 3 , t1 )
(t1 , t1 )
(2)
(t 3 , t 2 )  ( 1t1   2 t 2   3 s3 , t 2 )
0  1 t1 , t2    2 t2 , t2    3 s3 , t2 

0
 2   3
( s3 , t 2 )
(t 2 , t 2 )
(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1)

(s , t )
(s , t ) 
t3   3  s3  3 2 .t2  3 1 .t1 
(t2 , t2 )
(t1, t1 ) 

El proceso continua hasta obtener n vectores ortogonales
( DimV  n ), luego se
normalizan todos los vectores obteniendo una base ortonormal del espacio vectorial.
PRODUCTO CRUZ EN R3
Sean u, v  R 3 tales que u  a1 , a 2 , a3  y v  (b1 , b2 , b3 ) , el producto cruz entre u y v
se define por:
 a2b3  a3b2 


uxv   a3b1  a1b3 
ab a b 
2 1
 1 2
Gráficamente uxv es un vector perpendicular al plano formado por u y v .
El producto cruz o producto vectorial sólo tiene sentido en R3 .
ÁLGEBRA LINEAL
172
PRODUCTO INTERNO
Ejemplo
Sea el espacio vectorial R 4 . S  R 4 . S  s1 , s2 , s3  base de R 4 .
s1  (1,1,1,1) , s 2  (1,1,1,1) , s3  (1,1,1,1)
A partir de S hallar una base ortonormal de este espacio vectorial.
Solución:
Los vectores s1 , s2 , s3  son linealmente independientes. Se va a encontrar una base
ortonormal T *  t1 , t 2 , t 3  usando el proceso de Gram-Schmidt.
Primero se considera t1  s1

(s , t ) 
t 2   2  s 2  2 1 .t1 
(t1 , t1 ) 

2


t 2   2 (1,1,1,1) 
(1,1,1,1)
4


1


t 2   2 (1,1,1,1)  (1,1,1,1)
2


2  2
2


t 2  2(1,1,1,1) 
(1,1,1,1)  (3,1,1,1)
4



(s , t )
(s , t ) 
t3   3  s3  3 2 .t2  3 1 .t1 
(t2 , t2 )
(t1, t1) 

2
2


t 3   3 (1,1,1,1)  (3,1,1  1)  (1,1,1,1)
12
4


1
1


t 3   3 (1,1,1,1)  (3,1,1  1)  (1,1,1,1)
6
2


2 
t3 
6
4
6
1
1

(1,1,1,1)  (3,1,1  1)  (1,1,1,1)

4
6
2

t 3  (0,1,1,2)
T  (1,1,1,1), (3,1,1,1), (0,1,1,2 es base ortogonal
t1  4
t 2  12  2 3
t3  6
 1

1
1
T*  
(1,1,1,1),
(3,1,1,1),
(0,1,1,2 es base ortonormal.
2 3
6
 4

ÁLGEBRA LINEAL
173
PRODUCTO INTERNO
DEFINICIÓN
Sean (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno
y W un subespacio vectorial de V . Un vector de V es ortogonal al
subespacio vectorial W si es ortogonal a cada uno de los elementos
de W .
Ejemplo
Sea el espacio vectorial R 3 .
a)
Hallar el conjunto W de todos los vectores ortogonales a u  5,3  2  .
b)
Demostrar W que es subespacio vectorial de V .
c)
Hallar una base de W y su dimensión.
Solución:
a)


W  v  x, y, z   R3 : v, u   0
v, u   5 x  3 y  2 z  0
3
2 

W  v  x, y, z   R3 : x  y  z 
5
5 

b)
i.
0
R3
W
r,0   0
R3
ii.
  R, v, w  W | v   w  W
u , v   w   u , v   u , w 
u , v   w   u , v    u , w 
u , v   w   0
Por i. y ii. W es subespaio vectorial de R 3 .
c)
Cálculo de una base de W :
2
3

v   y  z , y, z 
5
5

3  2

v  y ,1,0   z ,0,1
5  5

B  3,5,0 , 2,0,5  es base de W
Dim W  2
ÁLGEBRA LINEAL
174
PRODUCTO INTERNO
DEFINICIÓN
Sean (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno
y W un subespacio vectorial de V . El subespacio ortogonal de V
notado por W ┴ se define por:
W ┴   u  V : w  W , u, w   0 
La definición anterior indica que el subespacio ortogonal W ┴ contiene a todos los
vectores de V que son ortogonales a cada uno de los elementos de W .
Ejemplo
Sea el espacio vectorial R 4 . W  R 4


W  u  x, y, z, w  R 4 : x  y  3z  w  0
a)
Hallar W ┴.
b)
Demostrar que R 4  W  W ┴.
Solución:
a)
u   y  3 z  w , y , z , w 
u  y  1,1,0,0   z 3,0,1,0   w 1,0,0,1
B   1,1,0,0 , 3,0,1,0 ,  1,0,0,1  u1 , u2 , u3 
B es base de W


W ┴  v  x' , y' , z ' , w'  R 4 : v, u   0
W ┴ se obtiene de : v, u1   0 , v, u2   0 , v, u3   0
De donde
 x' y '  0

 3 x' z '  0
 x' w'  0


 y '  x'

 z '  3 x'
w'  x'



W ┴  v  x' , y' , z ' , w'  R 4 : y'  x' , z '  3x' , w'  x`'
ó también: v   x ' , x ' ,3 x ' , x '  x ' 1,1,3,1
W ┴  1,1,3,1
b)
Se deja como ejercicio.
ÁLGEBRA LINEAL
175
PRODUCTO INTERNO
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Sea el espacio vectorial P1 t  , p (t ), q (t )  P1 t  , tales que p (t )  a1t  a0 y
q (t )  b1t  b0 . Determinar si  p (t ), q (t )   a1b1  a0b1  a1b0  8a0b0 define un
producto interno en P1 t  .
ÁLGEBRA LINEAL
176
PRODUCTO INTERNO
2.
Sean los vectores u , v  R 3
u   x1 , x2 , x3 , v   y1 , y 2 , y3  .
Determinar si (u , v)  x1 y1  x2 y 2  x2 y3  x3 y 2  2 x3 y3 define un producto
interno en R3 .
ÁLGEBRA LINEAL
177
PRODUCTO INTERNO
3.
Sea el espacio vectorial S de las matrices simétricas de orden 2.
a)
Demostrar que  A, B   Tr ( AB ) define un producto interno en S .
b)
1 3 
 0  8
 2 1
 , B  
 , C  

Sean las matrices A  
3  4
 8 0 
 1 3
Hallar ( A, B ), ( B, C ), ( 4 A  5C , B ), A , B  C
ÁLGEBRA LINEAL
178
PRODUCTO INTERNO
4.
Sea V un espacio vectorial definido con producto interno, probar que u, v  V ,
2
2
cumplen que u  v  u  v
2
si y sólo si u , v   0 . Este resultado se conoce
como Teorema de Pitágoras.
5.
Probar la Ley del Paralelogramo para dos vectores cualesquiera en un espacio
vectorial con producto interno:
uv  uv
2
ÁLGEBRA LINEAL
2
2u 2v
2
2
179
PRODUCTO INTERNO
6.
7.
En el espacio vectorial R 2 , determinar:
a)
x , tal que (3,2) y (1, x +2) sean ortogonales.
b)
t , tal que u (t )  (1  t ,2t  2) sea unitario, t  R .
Dada la base S  s1 , s2 , s3  R3 tal que
s1  (2,1,1), s2  (1,0,1), s3  (1,1,1)
A partir de S calcular una base T ortogonal de R3 conociendo que:
s1  s2  1, s1 , s3  s1   0, s1 , s2   0, s3 , s2   4
Nota: El producto interno dado no es el usual
ÁLGEBRA LINEAL
180
PRODUCTO INTERNO
8.
Dada la base B del espacio euclidiano R 3
B  (1,01), (0,1,1), (1,1,0)
Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para obtener, una base ortonormal.
Aplicar el producto interno usual en R3 .
ÁLGEBRA LINEAL
181
PRODUCTO INTERNO
9.
Dada la base B del espacio euclidiano R 3
B  (1,01), (0,1,11), (0,0,1)
Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para obtener, una base ortonormal.
Aplicar el producto interno usual en R 3 .
ÁLGEBRA LINEAL
182
PRODUCTO INTERNO
10.
Sea W subespacio vectorial de las funciones reales, tal que
W   f :  1,1  R
f contínua 


S  W , un conjunto linealmente independiente, donde S  1, t , t 2 . A partir
1
de S encontrar un conjunto ortonormal de W , si  f , g    f (t ).g (t ).dt , define
1
un producto interno en el espacio vectorial de las funciones reales en el intervalo
dado.
ÁLGEBRA LINEAL
183
PRODUCTO INTERNO
11.
Sea W subespacio vectorial del espacio euclidiano R 3 , donde
a)
W  ( x, y , z ) 2 x  y  2 z  0
b)
W  ( x, y , z ) x  2 y  z  0
c)
W  (1,1,1), (1,2,3)
Emplear el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortonormal de W .
Aplicar el producto interno usual en R3 .
ÁLGEBRA LINEAL
184
PRODUCTO INTERNO
12.
Sea W subespacio vectorial del espacio vectorial R 3
W  ( a, b, c ) a  b  c  0
13.
a)
Hallar una base de B de W y su dimensión.
b)
Completar una base ortonormal para R 3 usando los vectores de B .
Sea W  (1,2,1), (1,3,2) , W  R 3
a)
Hallar una base para el espacio complemento ortogonal de W .
b)
Dar una descripción geométrica.
ÁLGEBRA LINEAL
185
PRODUCTO INTERNO
14.
Sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial M 2 x 2 , R,,
 a b 

 a b  a  2b  c  d  0 
 a  b  2c  0 , y W2  

W1  

b  3c  d  0
 c d 

 c d 
a)
Calcular W1  W2 , una base y su dimensión.
b)
Calcular una base ortogonal para W1  W2 , usando el producto interno
 A, B   Tr  A.B t .
ÁLGEBRA LINEAL
186
PRODUCTO INTERNO
15.
Si W  p ( x )  P2 x  p ( x )  p ( x  1) un subespacio vectorial de P2 x  con el
producto interno definido por:
1
 p ( x), q ( x)    p x q x dx .
0
Hallar el espacio complemento ortogonal de W , esto es, W ┴.
ÁLGEBRA LINEAL
187
PRODUCTO INTERNO
16.
Sea la matriz A del espacio vectorial del problema 3.
 1  2

A  
 2 3 
Hallar el conjunto complemento ortogonal de A , esto es, A ┴.
ÁLGEBRA LINEAL
188
PRODUCTO INTERNO
17.
Sea W subespacio vectorial de R 4 .
W  ( x, y , y , w) x  3 y  w  0 .
a) Hallar el subespacio vectorial W ┴.
b) Verificar que R 4  W  W ┴
Usar el producto interno usual en R 4 .
ÁLGEBRA LINEAL
189
TRANSFORMACIONES LINEALES
Capítulo 6
TRANSFORMACIONES LINEALES
DEFINICIÓN
Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo
campo. Una función L de V en W que asigna a cada vector v  V ,
un vector L(v)  W es una transformación lineal, si y sólo si,
  K , vi , v j  V , satisface los siguientes axiomas:
1.
L (v i  v j )  L (v i )  L (v j )
2.
L(vi )   L(vi )
La definición anterior indica que L es una transformación lineal si y sólo si
  K , vi , v j V | Lvi  v j   Lvi   Lv j 
Gráficamente:
Notación
Se escribe L : V  W para indicar que L transforma el espacio vectorial V en el
espacio vectorial W .
Terminología
A las transformaciones lineales suele llamárseles operadores o aplicaciones lineales.
ÁLGEBRA LINEAL
190
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 1
Sea L : V  W una transformación lineal, entonces se cumple que:
1.
L (0 V )  0 W
2.
L(vi  v j )  L(vi )  L(v j )
DEMOSTRACION
1.
L( vi )   L(vi )
 0
 vi  0V
L (0 V )  0 W
2.
L(vi  v j )  L(vi  (1)v j )
 L(vi )  L(1v j )
 L (v i )  L (v j )
NÚCLEO
Sea L : V  W una transformación lineal, entonces el núcleo de L , notado por N (L) ,
es el subconjunto de V , que contiene todos los elementos v V , tales que sus imágenes
son iguales al vector nulo de W . Así:
N ( L)  v  V | L(v)  0W 
Al núcleo de L de le llama también Ker L .
TEOREMA 2
Sea L : V  W una transformación lineal, entonces se cumple que:
El núcleo de L es un subespacio vectorial de V .
ÁLGEBRA LINEAL
191
TRANSFORMACIONES LINEALES
DEMOSTRACION
1.
0V  N ( L )
L (0 V )  0 W
0V  N ( L )
2.
  K , vi , v j  N ( L)  vi   v j  N (L)
L(vi   v j )  L(vi )   .L(v j )


0W
0W
 0W
Por las partes 1. y 2. N (L) es un subespacio vectorial de V
Gráficamente:
V
L
W
N (L)
IMAGEN
Sea L : V  W una transformación lineal, entonces la imagen de L , notada por Im(L) ,
es el subconjunto de W , que contiene todos los elementos wW , que son imágenes de
vectores v V debidas a la transformación L . Así:
Im(L)  w W v V , L(v)  w
A la imagen de L de le llama también rango o recorrido de L .
Se debe destacar que las definiciones de núcleo e imagen son muy importantes en el
estudio de las transformaciones lineales.
ÁLGEBRA LINEAL
192
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 3
Sea L : V  W una transformación lineal, entonces se cumple que:
La imagen de L es un subespacio vectorial de W .
DEMOSTRACION
1.
0W  Im(L)
L (0 V )  0 W
0W  Im(L)
2.
  K , wi , w j  Im(L)  wi   w j  Im(L)
Si wi , w j  Im(L) , entonces vi , v j  V , tales que:
L(vi )  wi
(1)
L (v j )  w j
 L (v j )   w j
Sumando (1) y (2)
L(vi )   L(v j )  wi   w j
wi   w j  Im(L)
Por las partes 1. y 2. Im(L) es subespacio vectorial de W .
Gráficamente:
ÁLGEBRA LINEAL
(2)
193
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 4
Una transformación lineal queda totalmente determinada si se conocen
las imágenes de los elementos de la base del espacio de salida.
Sea L : V  W una transformación lineal, dim V  n
S n  v1 , v 2 , , v n  , una base de V tal que vi  V
L(vi )  L(v1 ), L(v 2 ),  , L(v n )
DEMOSTRACION
Si S n es base de V y vi  V
vi   1v1   2 v 2     n v n
Aplicando el operador lineal L a los dos miembros
L(vi )   1 L(v1 )   2 L(v 2 )     n L(v n )
TEOREMA 5
Sea L : V  W una transformación lineal, dim V  n
dim V  dim N ( L)  dim Im(L)
DEMOSTRACION
Sea S  v1 , v 2 ,  , v k  , una base de N (L) , donde: 1  k  n
Se puede extender este conjunto hasta una base de V . Asi:
S  v1 , v 2 , , v k , v k 1 , , v n 
Sus imágenes son:
L(v1 ), L(v2 ),  , L(vk ), L(vk 1 ),  , L(vn )




0W
T  L(v k 1 ), , L(v n )
P.D. T es base de Im(L)
Se debe demostrar que en conjunto genera y es base de la imagen de L. Así:
ÁLGEBRA LINEAL
194
TRANSFORMACIONES LINEALES
1.
T genera Im(L)
Sea wi  W tal que vi  V
L(vi )  wi
vi   1v1   2 v 2     k v k   k 1v k 1     n v n
L(vi )   1 L(v1 )   2 L(v 2 )   k L(v k )   k 1 L(v k 1 )     n L(v n )

0W
L(vi )   k 1 L(v k 1 )     n L(v n )
Por lo tanto T genera a Im(L)
2.
T es linealmente independiente
 k 1 L(v k 1 )     n L(v n )  0W
L(  k 1v k 1     n v n )  0W
 k 1v k 1     n v n  N ( L)
 k 1v k 1     n v n   1v1   2 v 2     k v k
 1v1   2 v 2     k v k   k 1v k 1     n v n  0V
i  i  0
T es linealmente independiente.
Por las partes 1. y 2. T es base de Im(L)
dim Im(L)  n  k
Por lo tanto:
dim V  dim N ( L)  dim Im(L)
INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD
Sea L : V  W una transformación lineal
1.
L es inyectiva si y sólo si vi , v j  V :
v1  v j  L (v i )  L (v j ) , ó
L (v i )  L (v j )  v i  v j
2.
L es sobreyectiva si y sólo si L (V )  W ó
dim Im( L )  dim W
3.
L es biyectiva si y sólo si L es inyectiva y es sobreyectiva.
ÁLGEBRA LINEAL
195
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 6
Sea L : V  W una transformación lineal.
L es inyectiva si y sólo si N ( L)  0V 
DEMOSTRACION
1.
Si L es inyectiva, entonces N ( L)  0V 
Por contradicción:
Se supone que
N ( L)  0V 
L (v )  L (0 V )
v  0V

N ( L)  0V 
2.
Si N ( L)  0V  , entonces L es inyectiva
Por contradicción:
Se supone que L no es inyectiva
Sean vi , v j  V , vi  v j
L(vi )  L(v j ) , L no es inyectiva
(1)
L (v j )  L (v j )
(2)
Restando (1) y (2)
L (v j )  L (v j )  0 W
L (v j  v j )  0W
v j  v j  0V
vj  vj
Lo que contradice la suposición, entonces
L es inyectiva.
Por las partes 1. y 2. el teorema queda demostrado.
ÁLGEBRA LINEAL
196
TRANSFORMACIONES LINEALES
Corolario 1
Sea L : V  W una transformación lineal.
Si L es inyectiva, entonces dim N ( L)  0
Corolario 2
Sea L : V  W una transformación lineal.
L biyectiva si:
1.
dim N ( L)  0
2.
dim Im(L)  dim(W )
Corolario 3
Sea L : V  W una transformación lineal, dim V  dim W . Las siguientes proposiciones
son lógicamente equivalentes:
L es biyectiva  L es sobre  L es inyectiva  dimN ( L)  0  dim Im(L)  dim(W )
CONJUNTO DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES L (V ,W )
Al conjunto de las transformaciones lineales de V e n W , se le notará por:
L (V ,W )   L : V  W | L es lineal

Gráficamente:
L
IGUALDAD
L i , L j  L (V ,W )
Li  L j  vi  V : Li (vi )  L j (vi )
ÁLGEBRA LINEAL
197
TRANSFORMACIONES LINEALES
OPERACIONES CON TRANFORMACIONES LINEALES
SUMA
L i , L j  L (V ,W )  ( Li  L j )(v)  Li (v)  L j (v)
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
  K, L i  L (V ,W )  ( Li )(v)   Li (v)
A continuación se presentan los siguientes teoremas que son de mucha utilidad.
TEOREMA 7
L i , L j  L (V ,W ) se cumple que:
Li  L j  L (V ,W )
DEMOSTRACION
Sean Li , L j  L (V ,W )
Sea vi  V
Li (vi )  wi
L j (vi )  wi,
Considerando que
Li , L j  L (V ,W )
wi , wi,  W ,
( Li  L j )(vi )  Li (vi )  L j (vi )
 wi  wi,
Según el axioma de clausura para los espacios vectoriales
wi  wi,  W
Por lo tanto Li  L j  L (V ,W ) .
ÁLGEBRA LINEAL
198
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 8
  K, L i  L (V ,W ) se cumple que:
 Li  L (V ,W )
TEOREMA 9
L (V ,W ) definido sobre el campo K , con las operaciones de suma y
producto es un espacio vectorial ( L (V ,W ) , K ,,) .
DEMOSTRACION
Como ejemplo se demuestra el axioma de asociatividad:
Li , L j , Lk  L (V ,W )  ( Li  L j )  Lk  Li  ( L j  Lk )
( Li  L j )  Lk  (v)  ( Li  L j )  Lk  (v)
 ( Li  L j )(v)  L j (v)
 Li (v)  ( L j )(v)  L j (v)

 Li (v)  ( L j )(v)  L j (v)

 Li (v)  ( Li  L j )(v)
 Li  ( L j  Lk )
COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean los espacios vectoriales V ,W , Z definidos sobre el campo K con las operaciones
usuales de adición y multiplicación.
Se define la siguiente operación:
L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z )  ( Li oL j )(v)  Li ( L j (v))
ÁLGEBRA LINEAL
199
TRANSFORMACIONES LINEALES
Terminología
Li oL j se lee: “ Li compuesta L j ”
La siguiente figura ilustra la compuesta de este par de transformaciones lineales:
Los siguientes teoremas son de interés.
TEOREMA 10
L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z ) , se cumple que:
Li oL j  L (V , Z )
DEMOSTRACION
( Li oL j )(v)  ( Li oL j )(v)
 Li ( L j (v))
 Li (w)
 z , zZ
Por lo tanto:
Li oL j  L (V , Z )
ÁLGEBRA LINEAL
200
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 11
Li  L (V ,W ) , Lm , Lk L (W , Z ) , se cumple que:
( Lk  Lm )oLi  Lk oLi  Lm oLi
TEOREMA 12
Li , L j  L (V ,W ) , Lk  L (W , Z ) , se cumple que:
Lk o( Li  L j )  Lk oLi  Lk oL j
TEOREMA 13
  K , L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z ) , se cumple que:
1. 1.
2. 2.
 
 Li oL j   Li o L j 
 Li oL j  Li oL j
3.
TEOREMA 14
Lk  L (V ,W ) , L j  L (W , Z ) , Li  L ( Z ,U ) , se cumple que:
Li o( L j oLk )  ( Li oL j )oLk
ÁLGEBRA LINEAL
201
TRANSFORMACIONES LINEALES
TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES
Sea Li  L (V ,W ) , Li es invertible si existe una transformación L j : W  V , tal que:
Li oL j  I W y L j oLi  I V .
Gráficamente:
L j  Li 1
Li oL1
i  IW
L1
i oLi  I V
ÁLGEBRA LINEAL
202
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 15
Sea L una transformación lineal invertible de V en W , entonces:
1.
v  V : L1 ( L(v))  v
2.
w  W : L ( L1 ( w))  w
DEMOSTRACION
1.
( L1oL)(v)  ( L1oL)(v)
 L1 ( L(v))
 L1 ( w)
w
2.
( LoL1 )( w)  ( LoL1 )( w)
 L( L1 ( w))
 L(v)
w
TEOREMA 16
Sea L L (V ,W ) , si L es invertible, entonces
L1 es una transformación lineal de W en V .
DEMOSTRACION
P.D. L1 ( L(vi )  L(v j ))  L1 (( L(vi ))  L1 ( L(v j ))
L(vi ), L(v j )  W
( L1oL )(vi  v j )  ( L1oL )(vi  v j )
 L1 ( L((vi  v j ))
 L1 ( L((vi ))  L1 ( L(v j ))
ÁLGEBRA LINEAL
203
TRANSFORMACIONES LINEALES
 v i  v j
(Teorema 15)
 L1 (( L(vi ))  L1 ( L(v j ))
TEOREMA 17
Sea la transformación lineal L  L (V ,W ) ,
L es invertible si y solamente sí L es biyectiva.
DEMOSTRACION
1.
Si L es invertible, entonces es biyectiva
L es inyectiva
a)
Sean vi , v j  V
Se supone que:
L (v i )  L (v j )
L1 ( L(v j ))  L1 ( L(v j ))
vi  v j
L es inyectiva
L es sobreyectiva
b)
Sea L L (W ,V ) ,
w W , v V : L1 ( w)  v
L( L1 ( w))  L(v)
L (v )  w
L es sobreyectiva
Por a) y b) L es biyectiva
2.
Si L es biyectiva, entonces es invertible
P.D. L1 : W  V  L1oL  I v  LoL1  I W
L (v )  w
ÁLGEBRA LINEAL
(1)
204
TRANSFORMACIONES LINEALES
w  W , v  V  H ( w)  v
(2)
De (1)
H ( L(v))  H ( w)
H ( L(v))  v
HoL(v)  v
HoL  I V
(3)
De (2)
L( H ( w))  L(v)
De (1)
L( H ( w))  w
( LoH )( w)  w
LoH  I W
(4)
Por (3) y (4) L es invertible y L1  H .
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
A toda transformación lineal L : V  W de espacios vectoriales de dimensión finita n
y m , respectivamente, se le puede asociar una matriz A  M mxn , tal que:
 x1 
 
x 
L( X )  AX , donde X   2 

 
x 
 n
Recíprocamente a toda matriz A se le puede asociar con una transformación lineal
L :V  W .
Esto es de extrema utilidad. Considerando que:
1.
Dim Im(L)  Rango de L = Rango de A
(Rango es el número de filas no nulas de una matriz escalonada).
2.
DimN ( L)  n  Rango de A .
Por lo tanto, se puede determinar el recorrido, núcleo y sus dimensiones determinando
el recorrido y el núcleo de la matriz correspondiente. Además si se conoce L( X )  AX ,
se puede conocer L(X) para todo X mediante una simple multiplicación matricial.
ÁLGEBRA LINEAL
205
TRANSFORMACIONES LINEALES
TEOREMA 18
Sea L una transformación lineal, dim V  n, dim W  m .
Bs  v1 , v2 ,  , vn  , base ordenada de V
Bl  w1 , w2 ,  , wm , base ordenada de W , entonces
! A  M mxn , tal que L(v)Bl  Av Bs
donde: A es una matriz cuya j-ésima columna es el vector


coordenadas L(v j ) de L(v j ) , 1  j  n .
Bl
DEMOSTRACION
1.
Existencia
Sea v  V
v es combinación lineal de Bs
v   1v1   2 v 2     n v n
vBs
 1 
 
 
 2

 
 
 n
(1)
(2)
L(v)  W
L(v) es combinación lineal de Bl
L(v)   1 w1   2 w2     n wm
L(v)Bl
 1 
 
 
 2

 
 
 m
(3)
(4)
De (3)
m
L(v)    i wi
i 1
De (1) aplicando el operador L a los dos miembros
L(v)  L( 1v1   2 v 2     n v n )
L(v)   1 L(v1 )   2 L(v 2 )     n L(v n )
ÁLGEBRA LINEAL
(5)
206
TRANSFORMACIONES LINEALES
n
L (v )    i v j
(6)
j 1
L (v j )  W
L(v j ) es combinación lineal de Bl
L(v j )  a1 j w1  a 2 j w2    a nj wm
 a1 j 


 a2 j 

 


a 
 mj 
L(v )
j
Bl
m
L(v j )   aij wi
(7)
i 1
Sustituyendo (7) en (6)
n
m
j 1
i 1
L(v)    i  aij wi
m  n

L(v)     aij  j  wi
i 1  j 1

Igualando (8) y ((5)
m  n

  aij  j  wi

w


i i



i 1
i 1  j 1

m
Se cumple la igualdad anterior si
n
 i   a ij  j
j 1
Desarrollando
 i  ai1 1  ai 2 2    ain n
También
 1  a11 1  a12 2    a1n n
 2  a 21 1  a 22 2    a 2 n n

 m  a m  1  a m 2 2    a m  n
ÁLGEBRA LINEAL
(8)
207
TRANSFORMACIONES LINEALES
Escribiendo matricialmente
  1   a11
  
  2   a 21
   
  
  a
 m   m1
 a1n   1 
 
a 2 n   2 
  
 
a mn   n 
a12
a 22
am2



A
vBs
L(v)Bl
L(v)Bl
 Av Bs , donde
A  L(v1 Bl
2.
L(v2 Bl

L(vn Bl 
Unicidad
Por contradicción
Se supone que A no es única, entonces
A ' tal que A '  A
L(v)Bl
 A ' v Bs
(1)
L(v)Bl
 Av Bs
(2)
Igualando (1) y (2)
A  A'
Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto A es única.
REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMAGEN
Sea L : V  W una transformación lineal con matriz asociada A  L Bs
Bl , entonces
Imagen de L :
Av  w
Núcleo de L :
Av  O
ÁLGEBRA LINEAL
208
TRANSFORMACIONES LINEALES
Observaciones
1.
Dim Im(L)  Rango de L = Rango de A
Rango es el número de filas no nulas de una matriz escalonada.
2.
DimN ( L)  n  Rango de A .
MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sea la siguiente composición de funciones:
Base
Base
La matriz asociada a Li oL j , existe y cumple que:
( Li oL j )(v)B3  Li oL j BB13vB1
TEOREMA 19
L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z ) , se cumple que:
L oL 
i
B1
j B3
ÁLGEBRA LINEAL
 
 Li B 3 . L j
B2
B1
B2
Base
dim
209
TRANSFORMACIONES LINEALES
DEMOSTRACION
( L oL (v)


= L ( L (v)
 L  L (v)
L oL  v  L  .L 
L oL   L  .L 
i
j
B3
 ( Li oL j (v)
i
j
B2
i B3
i
B1
j B3
i
B1
j B3
B3
j
B2
i B3
B1
B2
i B3
B3
(Teorema 18)
B2
B1
j B2
B1
j B2
SEMEJANZA DE MATRICES
TEOREMA 20
Sea L : V  W una transformación lineal, dimV  n y la dimW  m .
S , S ' , bases ordenadas de V , con matriz de cambio de base PS ' S de
S ' a S , y T y T ' bases ordenadas de W con matriz de cambio de base
QT 'T de T ' a T . Entonces si B  L  TS '' y A  L  TS
B  QT1'T . A. PS ' S
DEMOSTRACION
S  s1 , s 2 , .s n 

S '  s1' , s 2' ,.s n'

T  t1 , t 2 , .t n 

T '  t1' , t 2' ,.t n'
s S  Ps S
t T  Qt T

'
'
s 'j representa la j-ésima columna de P
t 'j representa la j-ésima columna de Q
Si A  LT , entonces
S
ÁLGEBRA LINEAL
(1)
(2)
210
TRANSFORMACIONES LINEALES
L( s)T
 As S
(Teorema 18) (3)
L( s )  t
(4)
Sustituyendo (4) en (2)
L( s)T
 Qt T '
(5)
Igualando (5) y (3)
QL( s )T '  As S
(6)
Sustituyendo (1) en (6)
QL( s )T '  APs S '
(7)
Multiplicando a (7) por Q 1
L(s)T
LTS
'
'
'
 Q 1 APs S '
 Q 1 AP
Gráficamente:
Los conjuntos S ' , S y T ' , T son bases ordenadas de V y W respectivamente.
Se definen las matrices asociadas A y B
vi  S
S
T
 

A L 
L(vi ) T
Q
P
vi  S '
ÁLGEBRA LINEAL
S'
T
 ' 
B  L 
L(vi ) T '
211
TRANSFORMACIONES LINEALES
P y Q son las matrices de cambio de base de S ' a S y de T ' a T respectivamente.
Entonces se pueden considerar:
1.
AST es la representación directa de L
2.
BS 'T '  QT'1T AST PS ' S
Además:
3.
BST '  QT'1T AST
4.
BS 'T  AST PS ' S
Corolario
Sea L : V  V una transformación lineal y sean S , S ' bases ordenadas de V con matriz
S'
de cambio de base PS ' S de S ' a S . Entonces si B  L  S ' y A  L  SS
B  P S 1' S . A. P S '  S
DEFINICIÓN
Sean las matrices A, B  M n xn , B es semejante a A si existe una
matriz P invertible, tal que, B  P 1 AP .
TEOREMA 21
Sean
L : V  W una transformación lineal y A, B  M mxn . Las
matrices A y B son semejantes si y sólo si representan la misma
transformación lineal respecto a bases diferentes.
ÁLGEBRA LINEAL
212
TRANSFORMACIONES LINEALES
Observaciones
1.
Si B es la matriz asociada a f respecto a la base B2 y A es la matriz asociada a
f respecto a la base B1 , entonces se tiene que B  P 1 AP , donde P es la
matriz de transición de la base B2 a la base B1 .
Este es uno de los casos que ocurre con mucha frecuencia en las aplicaciones a
la ingeniería.
2
El propósito de una representación matricial de la transformación lineal
f es
permitir analizar f usando B . Trabajar con B presenta ventajas. Como bases
distintas dan como resultado matrices asociadas distintas, la elección adecuada
de una base para obtener una matriz B sencilla es importante. Este es el objetivo
del siguiente capítulo.
Resumen
La teoría de matrices es una herramienta muy útil en muchas áreas del conocimiento, ya
que permite trabajar con grandes conjuntos de información de una forma cómoda y
activa. Sin embargo, el concepto de matriz consiste en algo más que una "tabla de
“números”, de hecho, es la representación de funciones definidas entre espacios
vectoriales que se conocen como transformaciones lineales. En este sentido, se ilustra en
distintos ejercicios la correspondencia uno a uno existente entre el conjunto de matrices
de orden mxn y el de las transformaciones lineales de V en W , que son espacios
vectoriales de dimensiones n y m respectivamente.
La conexión entre estos conceptos es tan estrecha que las operaciones entre
transformaciones lineales tienen una simetría en términos de matrices. Otra muestra
más, de esta relación, la ofrece el concepto de matriz inversa, que está asociado al de
transformación lineal inversa.
Así pues, los contenidos que se enfatizan en este capítulo son:
Transformaciones lineales.
Núcleo e imagen.
Isomorfismos.
Operaciones entre transformaciones lineales.
Matriz asociada a una transformación lineal.
Matriz asociada a una transformación lineal compuesta.
Matriz y transformación lineal inversa.
ÁLGEBRA LINEAL
213
TRANSFORMACIONES LINEALES
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Determinar si la función dada es una transformación lineal
f :RR
x  y  f ( x)
a)
f ( x)  x 2
b)
f ( x)  ax  b , si : i) b  0 ii) b  0
c)
f ( x)  senx
d)
f ( x)  e x
e)
f ( x)  x
ÁLGEBRA LINEAL
214
TRANSFORMACIONES LINEALES
2.
Determinar si la función f es una transformación lineal
f : R2  R2
a)
b)
 x, y   f  x, y    x  y , x  2 y 
f : Mn  Mn
A  f ( A)  At
F :V  R
c)
b
f  F ( f )   f ( x)dx
a
ÁLGEBRA LINEAL
, donde V   f a , b   R : f es contínua 
215
TRANSFORMACIONES LINEALES
3.
Sea la función
f :
R4

P1 x 
(a, b, c, d)  f ( a, b, c, d )  a  b  d   a  c  d  x
a)
Hallar la imagen de f una base y su dimensión.
b)
Encontrar el núcleo de f una base y su dimensión.
ÁLGEBRA LINEAL
216
TRANSFORMACIONES LINEALES
4.
Dada la función
f :
R 2  P1 x 
(a, b)  f (a, b)  (a  b)  (b  2a) x
a)
Demostrar que f es una transformación lineal.
b)
Hallar la imagen de f una base y su dimensión.
c)
Encontrar el núcleo de f una base y su dimensión.
d)
¿f es inyectiva, es sobreyectiva?
ÁLGEBRA LINEAL
217
TRANSFORMACIONES LINEALES
5.
Sean T : R 3  R 2 una transformación lineal y B una base de R 3 tales que
B  (1,0,  1), ( 2,  1,1), (  1,1,  1)
T (1,0,1)  (3,1), T (2,1.1)  (4,2), T (1,1,1)  (1,3) .
a)
Hallar T ( x, y, z ) explícitamente.
b)
Encontrar la imagen de T , una base y su dimensión.
c)
Calcular el núcleo de T , una base y su dimensión.
ÁLGEBRA LINEAL
218
TRANSFORMACIONES LINEALES
6.
Sean f : P2 x  R3 una transformación lineal y B una base de P2 x  tales
que:

B  1  x,1  x 2 , x  x 2

f 1  x   0,1,1
 
f x  x    1,1,0 
f 1  x 2  1,0,1
2
Hallar:
a)
f (a  bx  cx 2 ) explícitamente.
b)
Hallar la imagen de f , una base y su dimensión.
c)
Encontrar el núcleo de f, una base y su dimensión.
ÁLGEBRA LINEAL
219
TRANSFORMACIONES LINEALES
7.
Sea la transformación lineal
f :
P2 x 

a  bx  cx 2


R3

f a  bx  cx 2   a  b  c, a   b  c, a  b   c 
a)
¿Para qué valores de  , f es biyectiva?
b)
Calcular f 1 para   0 .
ÁLGEBRA LINEAL
220
TRANSFORMACIONES LINEALES
8.
Sea f : R 3  M una transformación lineal tal que
2x  y  2z
 x  2z


f ( x, y, z )  
 2 x  y  2 z 3x  y  (  1) z 
donde M es el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2x2.
a)
Hallar los valores de  para los cuales f es biyectiva.
b)
Encontrar la inversa de f si   0 .
ÁLGEBRA LINEAL
221
TRANSFORMACIONES LINEALES
9.
Dada f : R 3  R 3 , una transformación lineal invertible tal que
f ( x, y , z )   x  2 y  z , y  3 z , x  2 z 
y. además, B1  (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) y B2  (1,1,1), (0,1,1), (0,0,1), bases R 3 .
a)
Comprobar que f es invertible
b)
Hallar A   f  BB12 .
c)
Si
 f (u )B 2
ÁLGEBRA LINEAL
 1 
 
   3  hallar u . Sugerencia: u B1  A 1  f (u )B 2 .
 1 
 
222
TRANSFORMACIONES LINEALES
10.
Sea la transformación lineal
f : Ms
a b 


c d 

Ms
a  b  c
a b   a  b
  

 f 
a  c 
c d  a  b  c
x
donde M s  A2 x 2 : A es simétrica es subespacio vectorial de M 2 2 , y
 1 0   0 1   0 0 
 1 0   0 1   0 0 
, 
, 
 , B2  
, 
, 

B1  
 0 0   1 0   0 1 
 0 1   1 0   0 1 
son bases ordenadas del subespacio vectorial M S , R,, .
a)
Hallar la matriz asociada A   f  BB12 .
b)
Encontrar
ÁLGEBRA LINEAL
 2 1
 .
 1 0
 f ( E ) B2 , conociendo que E  
223
TRANSFORMACIONES LINEALES
11.
Sea el conjunto B  u1 , u 2 , u 3  base de R 3 donde
u1  (1,1,1), u2  (1,0,1), u3  (1,1,1)
Si
L : R 3  R 3 es una transformación lineal, tal que
u1  N ( L ) , v2  L(u2 )  (0,1,1), v3  L(u3 )  (1,1,1)
a)
Hallar la matriz asociada A  L BB .
b)
Encontrar L( x, y, z )
c)
¿ L es inyectiva, sobre, biyectiva?
d)
A partir del conjunto v 2 , v3  completar una base ortogonal para R 3 .
ÁLGEBRA LINEAL
224
TRANSFORMACIONES LINEALES
12.
Dada la transformación lineal
L:
R3

R3
 x, y , z   L  x, y , z    x  2 y
, x  3 y  5 z ,2 x  3 y  z 
a)
¿Para qué valores de  , L es biyectiva?
b)
Hallar la matriz asociada a L respecto a las bases canónicas
c)
Encontrar una base B para la cual la matriz asociada a L respecto a B
tenga una columna de ceros. (Indicación: uno de los vectores de B debe
pertenecer al núcleo).
ÁLGEBRA LINEAL
225
TRANSFORMACIONES LINEALES
13.
Dada la transformación lineal
L:
P2

P2
p(x)

L(p(x))  p' (x) - 2 p(x)
a)
Comprobar que L es invertible
b)
Hallar L1
c)
Encontrar la matriz asociada A  L  CB , donde




C  1, x, x 2 y B  1  x, x  x 2 ,1  x 2 son bases de P2 .
d)
Si p ( x)  2  x  x 2 , hallar L( p( x)) usando la definición y usando A .
ÁLGEBRA LINEAL
226
TRANSFORMACIONES LINEALES
14.
Sean f : R 3  R 3 una transformación lineal y B base de R 3 , donde
f 1,0,0   1,1,   , f 0,1,1  0,1,1 , f 0,2,1  0,2,1
B  (1,0,0), (0,1,1), (0,2,1)
a)
Encontrar f ( x, y, z )
b)
¿Para qué valores de  , L es biyectiva?
c)
Hallar las bases del núcleo y la imagen de L usando b).
d)
Calcular la matriz asociada A   f BB cuando   2
ÁLGEBRA LINEAL
227
TRANSFORMACIONES LINEALES
15.
Sean f  L P2 t , R 3  y B1 y B2 bases ordenadas de P2 t , R 3 respectivamente


B1  t  t 2 ,1, t 2 y B2  0,1,1, 1,0,1, 1,1,0 
A  f 
B1
B2
1  1
1


  1 1 1 
1 1
1 

a)
Calcular explícitamente f  L P2 t , R 3 .
b)
Encontrar f ( p( x)) de dos maneras: usando la matriz asociada y el
resultado en a). Considerar que p ( x)  x 2  5 x  6
ÁLGEBRA LINEAL
228
TRANSFORMACIONES LINEALES
16.
Sean las transformaciones lineales
f :
R3

R3
 x, y , z   f  x, y , z    x
g:
R3

R3
 x, y , z   f  x, y , z    x
a)
Hallar gof y A  gof  CC .
b)
Calcular B  g CC y C   f CC
c)
Verificar que A  BC
ÁLGEBRA LINEAL
 z,
y  z, x  y

, x  y , x  y  z
229
TRANSFORMACIONES LINEALES
17.
Sea gof : P2 t   R 3 , una transformación lineal tal que
gof ( p(t ))  g ( f ( p(t ))  g ( p(0), p' (1))  ( p(0), p' (1), p(0)  p' (1)) , y las bases

B1  1  t , t , t 2

B2  (1,1), (1,2)
B3  (1,1,0), (01,1), (0,1,0)
a)
Encontrar gof BB13 directamente.
b)
Verificar que: gof BB13  g BB 32 .g BB12 .
ÁLGEBRA LINEAL
230
TRANSFORMACIONES LINEALES
18.
Sea f : R3  R3 una transformación lineal donde
1
1

1  1
1 1 0 



1
A f B

0
B2
 
1
B1  1,0,0 , 0,0,1, 0,1,0  y B2  1,1,0 , 0,1,1, 1,0,1 son bases R3 .
a)
Hallar f explícitamente.
b)
Calcular  f CC , donde C representa la base canónica de R3 .
c)
Encontrar f (u ) de dos maneras. Considerar que u  B1
ÁLGEBRA LINEAL
 1 
 
   2 .
 1 
 
231
TRANSFORMACIONES LINEALES
19.
Sea la transformación lineal
f : M 2x 2
a b 


c d 

R2
a b 
  a  b  c, b  c  d 
 f 
c d 
a)
Calcular  f CB . C representa la base canónica.
b)
Encontrar  f CC . C representa la base canónica.
c)
1
 
1
Determinar f (E ) usando a). Si E B    .
0
 
 2
 
ÁLGEBRA LINEAL
x
 1 0   0  1  0 0   0 0 
, 
, 
, 
 base ordenada de M 2
B  
 0 1    1 0   1 1   0 1 
2
232
TRANSFORMACIONES LINEALES
20.
Sean las bases del espacio vectorial P2 x



B  1  x, x, x  x 2 y S   2,1  x, x 2
a)
b)

Hallar la matriz de cambio de base de B a S.
Calcular
ÁLGEBRA LINEAL
 p ( x)S
si
 p( x)B
  2
 
  1  y determinar p (x ) .
 1
 
233
TRANSFORMACIONES LINEALES
21.
Dadas las transformaciones lineales f : R 2  R 3 y g : R 3  R 2 definidas por
f (u1 , u 2 )  (u1 , u 2 ,0)
g (v1 , v2 , v3 )  (v1  v3 , v2  v3 )
a)
Obtener la transformación lineal h  fog .
b)
Expresar A   f CC .
c)
Hallar B  g CB .
d)
Encontrar E  hB .
B
B  (1,0,1), (0,2,3), (1,1,2 y C son bases ordenadas de R 3 .
ÁLGEBRA LINEAL
234
TRANSFORMACIONES LINEALES
22.
Sean las bases de R 2
B1   (1,0), (0,1) y B 2   (1,3), ( 2,5)
a)
Hallar la matriz de cambio de base Q de B1 a B2 .
b)
Encontrar la matriz de cambio de base P de B2 a B1 .
c)
Verificar que P  Q 1 .
d)
Mostrar que  u B2  Q  u B1 , donde u  ( x, y, z ) .
e)
2
B1
Mostrar que B  P 1 A P , donde B   f B
B 2 , A   f B1 , y además
f ( x, y , z )  ( 2 y , 3 x  y ) .
ÁLGEBRA LINEAL
235
TRANSFORMACIONES LINEALES
23.
Sean las bases de R3
B1   (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y B2   (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)
a)
Hallar la matriz de cambio de base Q de B1 a B2 .
b)
Encontrar la matriz de cambio de base P de B2 a B1 .
c)
Verificar que P  Q 1 .
d)
Mostrar que  u B2  Q  u B1 , donde u  ( x, y, z ) .
e)
2
B1
Mostrar que B  P 1 A P , donde B   f B
B 2 , A   f B1 , y además
f ( x, y , z )  ( 2 y  z , x  4 y , 3 x ) .
ÁLGEBRA LINEAL
236
TRANSFORMACIONES LINEALES
24.
Dada la transformación lineal f : R 2  R 2 si se conoce que
f( 1,  1 )  (  2 ,1 ) y f ( 2,3)  (3,1)
a) Calcular f explícitamente.
b) Hallar la matriz A   f CC . C es la base canónica de R 2 .
c) Encontrar la matriz B   f  SS usando la matriz de cambio de base.
S  (1,1), ( 1,1) es base de R 2 .
ÁLGEBRA LINEAL
237
TRANSFORMACIONES LINEALES
25.
Dadas la transformación lineal f y las bases C y S de R 2
f : R2  R2
 x, y   f  x, y    x,  y 
C es base canónica y S  (1,1), (1,2
a) Hallar A   f CC .
b) Calcular B   f SS usando la matriz de cambio de base.
c) Mostrar que A y B son semejantes.
ÁLGEBRA LINEAL
238
TRANSFORMACIONES LINEALES
26.
Dada la transformación lineal
f : R3  R3
 x, y , z   f  x, y , z   ( 2 x  z , x  y  z , z )
, y
C la base canónica de R 3
S  (1,0,11), (0,1,0), (1,1,0) base ordenada de R 3
a)
Hallar A   f CC .
b)
Calcular B   f SS usando la matriz de cambio de base.
c)
Mostrar que A y B son semejantes.
ÁLGEBRA LINEAL
239
TRANSFORMACIONES LINEALES
27.
Dada la transformación lineal f : R 3  R 2 donde
2 1 1 
B

A   f C  
 3 2  3
B  e1 , e2 , e3  es base canónica R 3
C   f 1 , f 2  es base canónica R 2
a)
Si B'  e1 ' , e2 ' , e3 ' donde
e1 '  e2  e3
e2 '  e1  e3
e3 '  e1  e2
b)
Calcular  f CB '
Si C '   f 1 ' , f 2 ' donde
1
f1 '   f1  f 2 
2
1
f 2 '   f1  f 2 
2
Calcular  f CB ''
ÁLGEBRA LINEAL
240
TRANSFORMACIONES LINEALES
28.
Dada la transformación lineal f : R 2  R 2 donde
 2 3 
B

A   f C  
 1  1
B  (1,1), ( 2,3) es base R 3
C  e1 , e 2  es base canónica R 2
B '  e1 , e 2  es base canónica R 2
C '  (1,1), ( 2,1) es base R 3
Hallar  f CB '' usando la matriz de cambio de base.
ÁLGEBRA LINEAL
241
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Capítulo 7
VALORES Y VECTORES PROPIOS
DEFINICIÓN
Sean L L (V ,V ) , (V , K ,,) ,   K
 es valor propio de L , si y solo sí v  0V , v  V , tal que,
L (v )  v .
v  V , v  0V , es vector propio de L asociado con el valor propio
.
Gráficamente:
Observaciones
1.
0V no es un vector propio
2.
0 si es un valor propio
ÁLGEBRA LINEAL
242
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Notación
V representa al conjunto de vectores propios de la transformación lineal L asociados
al valor propio  , incluyendo al vector nulo.
V   v  L(v)  v    0V 
TEOREMA 1
V es subespacio vectorial de (V , K ,,)
DEMOSTRACION
1.
0 V  V
Si cumple por definición
2.
  K , u , v  V  u   v  V
L(u )  u
(1)
L (v )  v
(2)
L(u   v)  L(u )   L(v)
(3)
Sustituyendo (1) y (2) en (3)
L(u   v)   u    v
  (u   v)
u   v  VK
Por 1. y 2. V es subespacio vectorial de V .
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES
Sean   K y X  M nx1 .
 y X se llaman valor y vector propios de A  M nxn , respectivamente si y sólo si
AX   X
ÁLGEBRA LINEAL
243
VALORES Y VECTORES PROPIOS
TEOREMA 2
Sean L L (V ,V ) , (V , K ,,) , A  LS y X  M nx1 , entonces 
S
es un valor propio de L , si y sólo si  es un valor propio de la matriz
asociada A .
DEMOSTRACION
1.
Si  es un valor propio de L , entonces  es un valor propio de A
Si  es un valor propio de L , L(v)   v
L(v)S   vS
Av S   v S
AX   X
 es un valor propio de A
2.
Si  es un valor propio de A , entonces  es un valor propio de L .
Seguir el proceso inverso
TEOREMA 3
Si  es un valor propio de A , V  CS ( I  A) X  O  ó también
V  CS ( A  I ) X  O 
DEMOSTRACION
Si  es un valor propio de A , entonces
AX   X
 X  AX  O
( I  A) X  O
CS  X  ( I  A) X  O
(1)
V  X  (I  A) X  O  0 nK 1
(2)
Igualando (1) y (2)
ÁLGEBRA LINEAL
244
VALORES Y VECTORES PROPIOS
V  CS ( I  A) X  O 
Corolario 1
DimV  n  Rango ( I  A)  n  Rango ( A   I )
Corolario 2
 es valor propio de A si y sólo si det( I  A)  0 ó det( A   I )  0
TEOREMA 4
Sea A  M nxn y sean 1 ,  2 ,  ,  n valores propios diferentes de A , con
sus vectores propios asociados v1 , v 2 ,  , v n , entonces v1 , v 2 ,  , v n  es
linealmente independiente.
DEMOSTRACION
Se demuestra por inducción
1.
Si n  2
v1 , v 2 son vectores propios asociados a los valores propios 1 ,  2
 1v1   2 v 2  0V
(1)
Multiplicando (1) por A
 1 Av1   2 Av 2  0V
 11v1   2  2 v 2  0V
(2)
Multiplicando (1) por 1
 11v1   2 1v 2  0V
Restando (3)-(2)
 2 1v 2   2  2 v 2  0V
 2 (1   2 )v 2  0V
 2  0 , ya que, 1   2 , y
v 2  0V (vector propio)
ÁLGEBRA LINEAL
(3)
245
VALORES Y VECTORES PROPIOS
De (1)
1  0
v1 , v 2  es linealmente independiente.
2.
nk
Si v1 , v 2 ,  , v n  es LI, entonces v1 , v 2 , , v n , v n 1  es linealmente independiente
 1v1   2 v 2     n nv   n 1vv 1  0V
(4)
Multiplicando (4) por A
1v1 A   2 v2 A     n vn A   n 1vn 1 A  0V
 11v1   2  2 v 2     n  n v n   n 1 n 1v n 1  0V
(5)
Multiplicando (4) por  n 1
 1 n 1v1   2  n 1v 2     n  n 1 nv   n 1 n 1v n 1  0V
Restando (6) de (5)
 1 (1   n 1 )v1   2 ( 2   n 1 )v 2     n ( n   n 1 )v n  0V
v1 , v2 ,, vn  es linealmente independiente, entonces
1   n 1  0,  2   n 1  0,  ,  n   n 1  0
1   2     n  0
De (4)
 n 1  0 , por lo tanto
v1 , v2 ,, vn , vn1  es linealmente independiente.
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ
Sea A  M nxn , p( ) es el polinomio característico de A si y solo si:
p( )  det(I  A)  det( A  I )
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ
Sea A  M nxn , p( )  0 es la ecuación característica de A si y solo si:
p( )  det(I  A)  det( A  I )  0
ÁLGEBRA LINEAL
(6)
246
VALORES Y VECTORES PROPIOS
CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Si A  M 2 x 2  p ( )  2  tr ( A)   det A
x
Si A  M 3 3  p ( )  3  tr ( A)2  P11  P22  P33   det A
Generalizando:
Si
A  M nxn  p ( )         tr ( A)    
n
n 1
n2
tr2 ( A)    
n 3
tr3 ( A)   0 det A
siendo tri ( A) la suma de todos los menores de orden i que contienen en su diagonal
principal, i elementos de la diagonal principal de A .
TEOREMA 5
  K es un valor propio de A  M nxn
si y solo si  es raíz de la
ecuación característica de A .
DEMOSTRACION
a)
Si   K es un valor propio de A  M nxn ,  es raíz de la ecuación
característica de A .
Si   K es un valor propio de A , entonces
p( )  det(I  A)  det( A  I )  0
 es raíz de la ecuación característica de A .
b)
Se sigue el proceso inverso
MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA
Sea A  M nxn y p ( )    1 n1   2 n 2    n nr  0 su ecuación característica
y 1 ,  2 ,  ,  n son raíces de p   y las mismas son de multiplicidad algebraica (MA)
n1 , n 2 ,  , n r .
MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA
DimVi  MGi
ÁLGEBRA LINEAL
247
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Observación
MGi  MAi
MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN
DEFINICIÓN
Sean A, B  M nxn . A es semejante a B si existe una matriz P
invertible, tal que, B  P 1 AP .
DEFINICIÓN
Sea A  M nxn . A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal
que, A es semejante a D , es decir, D  P 1 AP .
TEOREMA 6
Sean A  M nxn una matriz asociada a L y L  L (V ,V ) entonces, A es
diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial M nx1 ,
formada por vectores propios de A .
DEMOSTRACION
a)
Si
A es diagonalizable, existe una base del espacio vectorial M nx1 ,
formada por vectores propios de A .
Si A es diagonalizable,
D  P 1 AP
Multiplicando a los dos miembros de la igualdad anterior por P , se obtiene
ÁLGEBRA LINEAL
248
VALORES Y VECTORES PROPIOS
PD  AP
Se escriben D y P en forma desarrollada
 1



D





2

k









 n 
 b11

 b21
 
P
 b j1
 

b
 n1
b12
 b1 j
b22
b2 j
b j2
b jj
bn 2
bnj
 b1n 

b2 n 


b jn 


bnn 
Columna j-ésima de P.D  P. Columna j-ésima de D , ( D j )
 P.D j
(1)
Columna j-ésima de A.D  A. Columna j-ésima de P , ( Pj )
 A.Pj
(2)
Igualando (1) y (2)
P.D j  A.Pj
(3)
 b1 j 
 
 b2 j 
  
P.D j   j  
 b jj 
  
 
b 
 nj 
P.D j   j Pj
De (3)
A.Pj   j Pj
Pj es un vector propio de A asociado al valor propio  j . Generalizando,
existen n vectores propios que constituyen una base de A  M nx1 . (Teorema 4)
ÁLGEBRA LINEAL
249
VALORES Y VECTORES PROPIOS
b)
Si existe una base de M nx1 formada por vectores propios de A , entonces A
es diagonalizable.
Sea S  v p1 , v p 2 ,, v pn  base de nK 1
v  V es combinación lineal de S
v   1v p1   2 v p 2     n v pn
L(v)   1 L(v p1 )   2 L(v p 2 )     n L(v pn )
(1)
 L(v p1 )  1v p1  0.v p 2    0.v pn

 L(v p 2 )  0.v p1  2 .v p 2    0.v


 L(v )  0.v  0.v     v
pn
p1
p2
n pn

(2)
Sustituyendo (2) en (1)
L(v)   1 (1v p1  0.v p 2    0.v pn )   2 (0.v p1  2 .v p 2    0.v pn )   
 n (0.v p1  0.v p 2    n v pn )
Reordenando
L(v)  (11  0. 2    0. n )v p1  (0.1  2 . 2    0. n )v p 2   
(0.1  0. 2    n n )v pn
Escribiendo matricialmente
L(v)S
 1 1  0. 2    0. n 


  0. 1   2 2    0. n 
 0.  0.     . 
2
n
n 
 1
 1
  1 

 
2

  2 
L(v)S  
  


 

  

n
n

 

DL S
S
ÁLGEBRA LINEAL

v S
250
VALORES Y VECTORES PROPIOS
L(v)S
 Dv S
A es semejante a D , entonces
A es diagonalizable.
Corolario 1
Si An tiene n vectores propios, entonces An es diagonalizable ( MGi  MAi )
Corolario 2
Si An es diagonalizable, la matriz diagonal semejante a An tiene en su diagonal los
valores propios de An .
Observación
Si vi  c son las coordenadas del vector vi en la base canónica C , entonces vi  s son
las coordenadas del vector vi en la base de vectores propios S de A y forman la matriz
P.
AL  C
C  L (v )
vi C  
i C
 


P 1
D L  S
S  L (v )
vi S  
i S
 


DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS
En este apartado se analiza la diagonalización de matrices simétricas ( A  A t ) . Se hace
particular este caso, debido a que es más fácil de resolver que el caso general, y a que
las matrices simétricas se presentan en muchos problemas de aplicación.
TEOREMA 7
Todas las raíces de la ecuación característica de una matriz real y
simétrica son reales.
ÁLGEBRA LINEAL
251
VALORES Y VECTORES PROPIOS
DEMOSTRACION
Se supone que existen valores propios   C de A  M ( R ) nxn tales que
AX  X
_____
_____
AX  .X
____
__ ____
A X  . X
(1)
Multiplicando (1) por X t
____
__ ____
X tA X  X t . X
____
__
____
____
__
____
____
__
____
( X t A) X   . X t X
( AX t ) X   . X t X
( X ) t X   . X t X
____
__
____
 X t X   .X t X
__
 
Lo que contradice la suposición, entonces
R
TEOREMA 8
Si A  M nxn es matriz simétrica, entonces los vectores propios
asociados a valores propios distintos de A son ortogonales.
DEMOSTRACION
Sean X 1 y X 2 vectores propios de A con valores propios 1 y  2 , tales que:
AX 1  1 X 1
(1)
AX 2   2 X 2
(2)
1 ( X 1 , X 2 )  1 ( X 1 , X 2 )
 (1 X 1 , X 2 )
Sustituyendo (1) en (3)
ÁLGEBRA LINEAL
(3)
252
VALORES Y VECTORES PROPIOS
1 ( X 1 , X 2 )  ( AX 1 , X 2 )
 ( X 1 , AX 2 )
(4)
Sustituyendo (2) en (4)
1 ( X 1 , X 2 )  ( X 1 ,  2 X 2 )
1 ( X 1 , X 2 )   2 ( X 1 , X 2 )
1 ( X 1 , X 2 )   2 ( X 1 , X 2 )  0
(1   2 )( X 1 , X 2 )  0 , donde (1   2 )  0
(Hipótesis)
 (X1, X 2 )  0
DEFINICION
Una matriz cuadrada A es ortogonal si su matriz inversa es igual a su
transpuesta, esto es, A 1  A t .
TEOREMA 9
Sea A  M nxn , A es ortogonal si y sólo si las columnas y las filas de A
forman un conjunto ortonormal de vectores de R n .
TEOREMA 10
Si A es una matriz real y simétrica, entonces existe una matriz
ortogonal P , tal que P 1 AP  P t AP  D . En consecuencia se dice que
la matriz A es ortogonalmente diagonalizable.
ÁLGEBRA LINEAL
253
VALORES Y VECTORES PROPIOS
DEMOSTRACION
Si A es una matriz real y simétrica, existe una base de vectores de M nx1 , (Teorema 6)
existe una base de vectores ortonormales de M nx1 , entonces existe una matriz P
ortogonal, tal que, P 1  P t , donde P 1 AP  P t AP  D .
TEOREMA 11
Sea la matriz A  M ( R) n .
Si A es simétrica, entonces es diagonalizable.
PROPIEDADES
Sea A  M nxn
1.
Si u y v son vectores propios asociados al valor propio  de A , si u  v  0V ,
entonces u  v es un vector propio asociado con  .
2.
Si u es un vector propio asociado con el valor propio  de A , ku, k  0,
también es un vector propio asociado con  .
3.
Si  es un valor propio de A y u es un vector propio asociado, para cualquier
entero no negativo k ,  k es un valor propio de Ak y u es un vector propio
asociado.
4.
A y A t tienen los mismos valores propios.
5.
Si A es una matriz diagonal, triangular superior o triangular inferior, sus valores
propios son las componentes de su diagonal.
6.
A es el producto de todas las raíces del polinomio característico de A . De
manera equivalente, A es el producto de los valores propios de A .
7.
Matrices semejantes tienen los mismos valores propios.
8.
A no es invertible si y sólo si 0 es un valor propio de A .
9.
A es diagonalizable si y sólo si A tiene n vectores propios linealmente
independientes.
10.
Si A tiene n valores propios distintos, A es diagonalizable.
ÁLGEBRA LINEAL
254
VALORES Y VECTORES PROPIOS
TEOREMA DE CALEY - HAMILTON
TEOREMA 12
Si P( ) y Q( ) son polinomios en la variable escalar  , con
coeficientes matriciales cuadrados y si P( )  Q( ).(I  A) , entonces
P( A)  O.
DEMOSTRACION
Q ( )   0  1   2 2     n n , donde 1 son coeficientes matriciales cuadrados


P ( )   0  1   2 2     n n  I  A
P ( )    0 A  1 A   2 A2     n An   0   12   2 3     n n 1
Si A  
P( A)  0 A  1 A2   2 A3     n An 1  0 A  1 A2   2 A3     nn 1
P ( A)  O
//
TEOREMA 13
Toda matriz cuadrada satisface su ecuación característica, es decir, si
P( )  0 , es la ecuación característica de A , entonces P ( A)  O .
DEMOSTRACION
Considerando que
  a11  a12   a1n
 a21   a22   a2n
P ( )   I  A 




 an1
 an 2    ann
Cualquier cofactor de la matriz  I  A  es un polinomio en  , entonces
ÁLGEBRA LINEAL
255
VALORES Y VECTORES PROPIOS
 P11 ( ) P12 ( )  P1n ( ) 


 P21 ( ) P22 ( )  P2n ( ) 
Adj I  A  



 


 P ( ) P ( )  P ( ) 
n2
nn
 n1

Esto es, se puede expresar adj  I  A como un polinomio Q( ) .
Además:
det  I  A  I  adj  I  A 
. I  A
det  I  A  I  Q ( ). I  A 
(1)
Por otro lado
det  I  A  I  P ( ) I  P ( )
(2)
Igualando (1) y (2)
P ( )  Q ( ). I  A 
Si   A
P ( A)  O
//
(Teorema 12)
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A  M nxn invertible, entonces existe la matriz A1 .
La ecuación característica de A es
p ( )  n  a n 1 n 1    a1  a0  0
p ( ) I  n I  a n 1n 1I    a1I  a0 I  0.I
P ( )  n  a n 1 n 1    a1  a0 I  O
Si   A
P ( A)  A n  a n 1 A n 1    a1 A  a0 I  O
A 1.P ( A)  A n 1  a n 1 A n  2    a1I  a0 A 1  O
A1 

1
 An 1  an 1 A n  2    a1I
a0
Ejemplo
ÁLGEBRA LINEAL

256
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Dada la matriz
1 1 4 


A   3 2  1
 2 1  1


a)
Encontrar la ecuación característica
b)
Verificar que P( A)  O
c)
Hallar A 1
Solución:
a)
p ( )  3  tr ( A)2  ( P11  P22  P33 )  A  0
p ( )  3  22  5  6  0
b)
P ( A)  A3  2 A 2  5 A  6 I  O
1 1 4 


A   3 2  1
 2 1  1


6 1 1 


A   7 0 11
3 1 8 


2
 11  3 22 


A   29 4 17 
 16 13 5 


3
 11  3 22   6 1 1   1  1 4   1 0 0   0 0 0 

 
 
 
 

P( A)   29 4 17   2 7 0 11  5 3 2  1  6 0 1 0    0 0 0 
 16 13 5   3  1 8   2 1  1  0 0 1   0 0 0 

 
 
 
 

P( A)  O
c)
A1 

1
 A2  2 A  5I
6

1 1 4 


A   3 2  1
 2 1  1


  6 1 1 


A    7 0  11
3 1 8 


2
  6  1  1   2  2 8   5 0 0 
 
 

1

A 1    7 0  11   6 4  2    0 5 0 
6 
  3 1  8   4 2  2   0 0 5 
1  3 7 

1
A  1 9  13 
6

1  3  5 
1
ÁLGEBRA LINEAL
257
VALORES Y VECTORES PROPIOS
FORMAS CUADRÁTICAS Y CANÓNICAS
DEFINICION
Sea A  M nxn , la función:
QA : R n  R
x  Q A ( x)  X t AX
se llama forma cuadrática asociada a la matriz A a la expresión
Q A ( x)  X t A X
En forma desarrollada:
Q A ( x)   x1
 a11 a12  a1n   x1 

 
 a21 a22  a2n   x2 
x2  xn  



   

 
a
 
 n1 an 2  ann   xn 
Observación
Q A ( x ) puede ser representada por muchas matrices, pero solo por una matriz simétrica.
Particular
Sea Q A ( x)  ax12  bx1 x2  cx22 , su matriz simétrica esta dada por:
 a b2 

A   b
c
2

TEOREMA 12
Sea A  M nxn , existe una matriz simétrica A1 , tal que
QA ( x)  QA1 ( x) , X t A X  X t A1 X
DEMOSTRACION
Sea la matriz
ÁLGEBRA LINEAL
258
VALORES Y VECTORES PROPIOS
A1 
t 
1
A A 
2

A1t 
t
1
A A
2
A1t 
1 t 1
1
A  A  A  At  A1 , entonces
2
2
2



t


A1 es matriz simétrica.
Sean
t 
1
A A 
2

(1)
X t A1 X  X t A1 X
(2)
A1 
Sustituyendo (1) en (2)
X t A1 X  X t .
X t A1 X 



1
A  At X
2
1 t
1
X A X  X t At X
2
2

X t AX  X t AX t
(3)
(4)
pues es matriz 1x1
Sustituyendo (4) en (3)
X t A1 X 
1 t
1

X A X   X t At X  t
2
2

X t A1 X 
1 t
1
X AX  X t AX
2
2
X t A X  X t A1 X
//.
TEOREMA 13
Sea A  M nxn una matriz simétrica y Q A ( x )  X t A X su forma
cuadrática asociada. Existe un cambio de variable lineal Y  BX , donde
B  M nxn , y una matriz diagonal D , tal que Q A ( x )  Q D ( y ) , es
decir, X t A X  Y t DY .
ÁLGEBRA LINEAL
259
VALORES Y VECTORES PROPIOS
DEMOSTRACION
Si A es matriz simétrica, existe una matriz P invertible tal que:
A  PDP 1  PDP t
(1)
Q A ( x)  X t A X
(2)
Sustituyendo (1) en (2)

 
Q A ( x)  X t P D P t X

(3)
Sea P t X  Y , entonces
Y t  X tP
(4)
Sustituyendo (4) en (3)
Q A ( x )  Y t DY , es decir,
Q A ( x )  Q D ( y ) //
Observación
D es matriz de los valores propios de A , y los vectores propios de P son ortonormales.
TEOREMA 14
Teorema de los ejes principales
Sea ax12  bx1 x2  cx22  d , !  0,2  , tal que la ecuación anterior
puede escribirse de la forma 1 y12  2 y 22  D . Donde y1 y y 2 son los
ejes principales de la gráfica de la ecuación cuadrática anterior,
obtenidos al rotar x1 y x 2 un ángulo en sentido antihorario, y, 1 y  2
a b 
son los valores propios de la matriz asociada A   b 2  .
 2 c
MATRIZ DE ROTACIÓN
Sea P una matriz real y ortogonal, entonces
P.P 1  P.Pt  1

P . Pt  1

P.P 1
Si P  1 , entonces P se denomina matriz de rotación
ÁLGEBRA LINEAL

2
P 1

P  1
260
VALORES Y VECTORES PROPIOS
 cos 
P  
  sen
 sen 
,
cos  
donde 0    2 .
Observación. Si P  1 se intercambian columnas.
DEFINICIÓN
Se llaman invariantes de una curva, a todas las expresiones formadas
por los coeficientes de su ecuación, que no varían al realizar rotaciones
y traslaciones paralelas de los ejes coordenados.
SECCIONES CÓNICAS
Sea la curva
f  x1, x2   a11x12  a12 x1x2  a22 x22  2a1x1  2a2 x2  a  0
Esta ecuación puede escribirse en forma matricial como
X t AX  BX  a  0
Como A es matriz simétrica es ortogonalmente diagonalizable, por lo tanto
0


P t AP   1
 0 2 
y 
Si X  PY , donde Y   1 
 y2 
PY  t APY   BPY   a  0


Y t P t AP Y  BPY  a  0
1 y12  2 y22  b1 y2  b2 y2  a  0
La ecuación anterior no tiene término de producto cruzado.
Los invariantes de una curva de segundo grado son:
1.
La suma de los coeficientes de los cuadrados de las coordenadas
s  a11  a 22
ÁLGEBRA LINEAL
261
VALORES Y VECTORES PROPIOS
2.
3.
El determinante formado por los coeficientes de los términos principales
a
  11
a21
a12
a22
a11
a12
a1
  a12
a22
a2
a1
a2
a
 A
El determinante dado por
Las invariancias de s,  y  facilitan la reducción de la ecuación de la ecuación de la
curva a la forma canónica. Así, si 1z12  2 z22  c  0    0 . Entonces
1
0
0
 2 0  12 c
0 c
 0
0

0
  1
 1 2
0 2
Sustituyendo (2) en (1)


1z12  2 z22 
  0 Curva de tipo
elíptico
(2)
 c
c
Por lo tanto
(1)
0

0

s  0 Elipse
s  0 Elipse imaginaria
  0 Un punto o dos rectas imaginarias
que se cortan en dicho punto.
 0
 0
Curva de tipo
  0 Hipérbola
hiperbólico
  0 Dos rectas que se cortan.
Curva de tipo
  0 Parábola
parabólico
  0 Dos rectas paralelas
(Confundidas, distintas o imaginarias.
ÁLGEBRA LINEAL
262
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Sus graficas se presentan a continuación.
Elipse
Hipérbola
Parábola
ÁLGEBRA LINEAL
263
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Ejemplo
Dada la forma cuadrática
2 x1  2 x1 x2  2 x22  9  0
Identificar y expresar en la forma canónica
Solución:
s4
  A
2 1
1 2
2 1
 3  0 es curva de tipo elíptico,   1 2 0  27  0
0 0 9
s  (4)(27)  108  0 es una elipse
p ( )  2  4  3  (  3)(  1)  0
Los valores propios de A son
1  3   2  1
Con vectores propios asociados
1
1
v1    y v2   
  1
1
 1  1 
B   ,    base ortogonal, entonces
  1 1 
 1  1  1  1 
 ,
  base ortonormal
T*  
 2   1 2  1 
P
1  1 1


2   1 1
 3 0

D  
0 1
P  1  P es matriz de rotación
Y t DY  f  0
 y1
0
 3 0  y1 
   9
y 2 
 0 1  y 2 
3 y12  y22  9
La ecuación canónica de la elipse es
y12 y22

1
3
9
ÁLGEBRA LINEAL
264
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Resumen
Una de las diferentes propiedades de las transformaciones lineales es la de proteger la
estructura de espacio vectorial. En concreto, si f es una transformación lineal definida
en el espacio vectorial V de dimensión n en sí mismo y W es un subespacio vectorial
de V , se verifica que su transformado es de nuevo subespacio vectorial de V . En
ocasiones, se tiene además que f (W )  W , por lo que en este caso W permanece
invariante por f . Las nociones que permiten determinar los subespacios invariantes por
una transformación lineal f son los de valores y vectores propios de f o, exactamente,
dada la correspondencia uno a uno existente entre el conjunto M n y el de las
trasformaciones lineales L (V , V ) , de su matriz asociada A .
Una vez mostrados los métodos analíticos de cálculo de valores y vectores propios de
una matriz A (o de la transformación lineal f que representa) se ilustran diversas
propiedades de ambos conceptos, que son de gran utilidad en el estudio de la
diagonalización de una matriz A  M n . El indicado problema consiste en determinar
una base de V respecto de la cual la matriz asociada a la transformación lineal f sea
diagonal. Esta base, que se construye a partir de los vectores propios de A , no siempre
existe, tal como se analiza en este capítulo, y por ello no todas las matrices cuadradas
son diagonalizables.
La diagonalización de una matriz A permite realizar ciertas operaciones matriciales de
una manera más sencilla, como sucede con el cálculo de la potencia o de la exponencial
de A .
Las formas cuadráticas constituyen un instrumento del Álgebra Lineal de gran utilidad y
aplicación en Estadística, Econometría, Teoría de la Optimización, etc. Lo que justifica
su estudio en el ámbito de la ingeniería y ciencias.
Una forma cuadrática, tal como se aprendió, es una función con valores propios reales
definida por un polinomio cuadrático.
Todos estos aspectos se desarrollaron en los conceptos:
Valores y vectores propios.
Propiedades de los valores y vectores propios.
Diagonalización de una matriz.
Formas cuadráticas y canónicas.
Aplicaciones.
ÁLGEBRA LINEAL
265
VALORES Y VECTORES PROPIOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Sea u un vector propio de las transformaciones lineales f y g . Mostrar que u es
también vector propio de la transformación lineal a f  b g , donde a y b son
escalares arbitrarios.
2.
Sean A, B  M nxn . Probar AB y BA tienen los mismos valores propios.
3.
1 a
 . Calcular los valores de los parámetros a y b para
Dada la matriz A  
2 b
que el vector  2,1 sea un vector propio asociado al valor propio 1  5 en la
matriz A . ¿Cuál es el otro valor propio en este caso?
4.
Sea L : V  V una transformación lineal invertible. ¿Si  es valor propio de
L , cuál es el valor propio de L1 ?
ÁLGEBRA LINEAL
266
VALORES Y VECTORES PROPIOS
5.
Dada la transformación lineal
f : R2  R2
 x, y  
f  x, y    x  2 y ,2 x  y 
Calcular los valores y vectores propios, una base para cada espacio propio, du
dimensión y una base de vectores propios S tal que f esté representada con
respecto a S por una matriz diagonal.
ÁLGEBRA LINEAL
267
VALORES Y VECTORES PROPIOS
6.
Probar que si  es un valor propio de una matriz A con vector propio asociado
v y n  N es un entero positivo, entonces 
n
es un valor propio de la matriz
An con vector propio asociado v .
7.
 1 4
 . Hallar los valores y vectores propios de A y A 2 .
Sea la matriz A  
2
3


ÁLGEBRA LINEAL
268
VALORES Y VECTORES PROPIOS
8.
 1 1 1


Sea la matriz A   a b c  con vectores propios
 p q r


 1  1 
   
 1 ,  0 
 1   1
   
1
 
,   1
0
 
Encontrar los valores de a, b, c, p, q, r .
9.
Hallar una matriz A  M 3x 3 tal que sus valores propios son 1, 2  2 con
vectores propios asociados v1  1,1,1,  y v 2  2,1,1 , y 3  3 con vector
propio asociado v3  1,1,2, 
ÁLGEBRA LINEAL
269
VALORES Y VECTORES PROPIOS
10.
Demostrar que sí D  P 1 AP , entonces D n  P 1 A n P . Usando el resultado
anterior hallar una expresión para A n .
11.
Dada una matriz simétrica A  M n
con elementos reales, comprobar que si
todos sus valores propios son iguales a cero entonces A es una matriz nula.
ÁLGEBRA LINEAL
270
VALORES Y VECTORES PROPIOS
12.
Determinar una matriz de orden tres simétrica tal que



rango  A  3I 3   1 .


W  x, y, x   R 3 : 4 x  3 y  0 es un espacio propio de A .
tr ( A)  7 .
ÁLGEBRA LINEAL
271
VALORES Y VECTORES PROPIOS
13.
Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagonalizar la matriz dada y
hallar las matrices D y P , tales que, D  P 1 AP .
a)
1  3 3


 3  5 3
6  6 4


b)
  3 1 1


 7 5 1
  6 6  2


ÁLGEBRA LINEAL
272
VALORES Y VECTORES PROPIOS
c)
 3 1  1


 2 2  1
2 2 0 


d)
3  2 1


0 2 0
0 0 0


ÁLGEBRA LINEAL
273
VALORES Y VECTORES PROPIOS
14.
Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagonalizar la matriz dada y
hallar las matrices D y P (ortogonal), tales que, D  P t AP .
a)
  1 0  3


 0 2 0 
  3 0  1


b)
1 2 1


 2 0 2
1 2 1


ÁLGEBRA LINEAL
274
VALORES Y VECTORES PROPIOS
c)
 3 1 1 


  1 5  1
 1 1 3 


d)
 0  1  1


  1 0  1
1 1 0 


ÁLGEBRA LINEAL
275
VALORES Y VECTORES PROPIOS
15.
Identificar las siguientes curvas y reducir la ecuación de estas a la forma
canónica
a)
3 x12  2 x1x2  3 x22  2 x1  4 x2  1  0
b)
3 x12  2 x1x2  3 x22  2 x1  4 x2  2  0
c)
x12  x22  2 x1  1  0
d)
x12  2 x1x2  x22  6 x1  4 x2  3  0
ÁLGEBRA LINEAL
276
VALORES Y VECTORES PROPIOS
e)
x12  3 x1x2  2 x22  2 x1  5 x2  3  0
f)
x12  2 x1x2  x22  4 x1  6 x2  1  0
g)
x12  4 x1x2  4 x22  2 x1  4 x2  3  0
h)
x12  4 x1x2  4 x22  2 x1  4 x2  1  0
i)
x12  4 x1x2  4 x22  2 x1  4 x2  2  0
ÁLGEBRA LINEAL
277
VALORES Y VECTORES PROPIOS
16)
Del ejercicio anterior graficar las curvas:
a)
d)
ÁLGEBRA LINEAL
278
VALORES Y VECTORES PROPIOS
f)
17)
¿Para qué valores de k se obtiene elipse, hipérbola y parábola de la ecuación
x12  2kx1x2  x22  4 x1  4 x2  9  0 ?
ÁLGEBRA LINEAL
SIN INGENIEROS
Se murió un Ingeniero y se fue a las puertas del Cielo. Sabido es que los Ingenieros por
su honestidad siempre van al cielo. San Pedro buscó en su archivo, pero últimamente
andaba un poco desorganizado y no lo encontró en el montón de papeles, así que le dijo:
"Lo lamento, no estás en listas...". De modo que el Ingeniero se fue a la puerta del
infierno y le dieron albergue y alojamiento inmediatamente.
Poco tiempo pasó y el Ingeniero se cansó de padecer las miserias del infierno, y se puso
a diseñar y construir mejoras. Con el paso del tiempo, ya tenían ISO 9001, sistema de
monitoreo de cenizas, aire acondicionado, inodoros con drenaje, escaleras eléctricas,
equipos electrónicos, redes de telecomunicaciones, programas de mantenimiento
predictivo, sistemas de control visual, sistemas de detección de incendios, termostatos
digitales, etc. Y el Ingeniero se hizo de muy buena reputación.
Un día Dios llamo al Diablo por teléfono y con tono de sospecha le preguntó. “¿Y
qué…cómo están por allí en el infierno?”.
El diablo contestó:"¡¡Estamos REBIEN!! Tenemos ISO 9001, sistema de monitoreo de
cenizas, aire acondicionado, inodoros con drenaje, escaleras eléctricas, equipos
electrónicos, Internet, etc. Oye, apúntate mi dirección de e-mail, es:
[email protected]. Y no sé cuál será la próxima sorpresa del Ingeniero!".
"¿QUÉ?, ¡¿QUÉ?! ¿¿TIENEN un Ingeniero allí?? ¡Eso es un error! Nunca debió haber
llegado ahí un Ingeniero. Los ingenieros siempre van al cielo, eso está escrito y resuelto
ya. ¡Me lo mandas inmediatamente!”.
“¡Ni loco!. Me gusta tener un ingeniero de planta en la organización y me voy a quedar
con él eternamente”.
“Mándamelo o … ¡¡TE DEMANDARÉ!!...”:
Y el Diablo, con la vista nublada por la tremenda carcajada que soltó, le contestó a
Dios: "¿¿Ah Sí?? ......y por curiosidad... ¡¿DE DÓNDE VAS A SACAR UN
ABOGADO?!" si todos están aquí.
Ofrece este mensaje a tus amigos y amigas para que tengan una idea de lo que es un
ingeniero