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UNEFA
GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
UNEFA
NÚCLEO CARABOBO-SEDE GUACARA
ASIGNATURA:
Física Moderna
ELABORADO POR:
Ing. Alexander Zavala
GUÍA INSTRUCCIONAL N° 1.
Unidad N° 1. Interpretar el M.A.S., la ecuación de las ondas y las
ecuaciones de Maxwell
ONDAS
CONTENIDO:
1.0. Introducción
1.1. Movimiento Armónico Simple.
1.2. Definición de Ondas.
1.3. Onda Viajera.
1.4. Onda Viajera Armónica.
1.5. Fase y Constante de Fase.
1.6. La Ecuación de la Onda.
1.7. Velocidad de las Ondas.
1.8. Reflexión y Transmisión de las Ondas.
1.9. Principio de Superposición.
1.10. Interferencia de Ondas.
1.11. Ondas Estacionarias.
1.12. Modos Normales de una Cuerda.
1.13. Resonancia.
Ejercicios y problemas
1.0. Introducción
En la naturaleza se nos presenta una inmensa diversidad de fenómenos ondulatorios.
Péndulo oscilante, ondas sonoras, olas del mar, vibraciones de las cuerdas de un violín, el
sube y baja del agua en un vaso, vibraciones de los electrones de un átomo, la reflexión de
un haz de luz entre espejos, ondas generadas por un sismo, la luz de las estrellas, el latido
del corazón, la oscilación de los pulmones, vibración de las cuerdas vocales y el sistema
auditivo, ondas electromagnéticas. La luz, la radio y el sonido, nos proveen de un
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mecanismo eficiente de transmitir y recibir información de nuestros ojos y oídos. Todas
las ondas, aunque sean de distinta naturaleza, comparten ciertas características comunes
y las matemáticas utilizadas para describirlas son las mismas. El movimiento ondulatorio
puede considerarse como la propagación de energía desde un punto del espacio a otro sin
que ocurra transporte de materia. Cualquier tipo de onda es el resultado de una
perturbación. Por ejemplo, la velocidad de una onda depende de la densidad del medio y
de sus propiedades elásticas. Es independiente del movimiento de la fuente de las ondas.
1.1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. (MAS)
El MAS es el movimiento vibratorio que experimenta un sistema que obedece la ley de
Hooke. Debido a la semejanza de su gráfica con las curvas de las funciones seno y coseno, el
MAS se llama con frecuencia movimiento sinusoidal o movimiento armónico. Una característica
central del MAS es que el sistema oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que lo hace
armónico simple.
Desplazamiento (y)
Amplitud=yo
y=yo
y=0
Tiempo (t)
b
a
c
T
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d
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SISTEMA HOOKEANO: (es decir, que obedece la ley de Hooke, como un resorte, un
alambre, una varilla, etc.), es aquel que regresa a su configuración original después de haberse
deformado y luego liberado. Cuando dicho sistema se estira una distancia x (para compresión, x
es negativa), la fuerza restauradora ejercida por el resorte está dada por la ley de Hooke.
LEY DE HOOKE
F  kx
El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene dirección opuesta al
desplazamiento. La constante del resorte (o elástica) k tiene unidades de N/m y es una medida
de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoría de los resortes obedecen la ley de Hooke si las
deformaciones son pequeñas.
En algunas ocasiones es útil expresar la ley de Hooke en términos de la fuerza externa Fext
necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad x. Esta fuerza es el negativo de la fuerza
restauradora, y por lo tanto
Fext  kx
FUERZA RESTAURADORA: es aquella que se opone al desplazamiento del sistema; es
necesaria para que ocurra una vibración. Es una fuerza cuya dirección siempre es tal que
empuja o jala al sistema a su posición de equilibrio (reposo). En el caso de una masa en el
extremo de un resorte, el resorte estirado jala a la masa de vuelta a su posición de equilibrio,
mientras que el resorte comprimido la empuja de vuelta a la posición de equilibrio.
DESPLAZAMIENTO: (x o y) es la distancia del objeto que vibra desde su posición de
equilibrio, es decir, desde el centro de su trayectoria de vibración. Al desplazamiento máximo se
le llama amplitud.
PERIODO (T): es el tiempo que requiere el sistema para completar un ciclo. En el caso de
la vibración, es el tiempo total para el movimiento combinado, atrás y adelante, del sistema. El
periodo es el número de segundos por ciclo.
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FRECUENCIA (f): es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el
número de ciclos por segundo. Como T es el tiempo para un ciclo, f  1 . La unidad de
T
frecuencia es el hertz, donde un ciclo/s es un hertz (Hz).
ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (EPe): es la energía almacenada en un resorte de Hooke
que se deforma una distancia es
1 2
kx . Si la amplitud del movimiento es xo para una masa
2
sujeta en el extremo de un resorte, entonces la energía del sistema en vibración es
1 2
kxo en
2
todo momento. Esta energía se almacena por completo en el resorte sólo cuando x   x o , esto
es, cuando la masa tiene su máximo desplazamiento.
INTERCABIO DE ENERGÍA: El intercambio de energía cinética y potencial ocurre
constantemente en un sistema que vibra. Cuando el sistema pasa por su posición de equilibrio,
EC= máxima y EPe= 0. Cuando el sistema tiene su máximo desplazamiento, entonces EC=0 y
EPe= máxima. De la ley de conservación de energía, en ausencia de fricción
EC + EPe = constante.
Para una masa m que se encuentra en el extremo de un resorte, esto se convierte en
1
1
1
mv 2  kx 2  kxo
2
2
2
Donde xo es la amplitud del movimiento.
RAPIDEZ EN UN MAS: está dada por
v
x
2
o

 x2 k m
Cuando x=0, la rapidez es máxima, entonces
v  xo k m
PERIODO EN EL MAS: el periodo T en un MAS es el tiempo que emplea un punto P en dar
una vuelta completa, es decir, un ciclo.
T  2 m k
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ACELERACIÓN EN UN MAS: está dada por la ley de Hooke, F  kx y F  m  a ; una vez
desplazado y liberado, la fuerza restauradora impulsa al sistema. Al igualara estas dos
ecuaciones para F, se obtiene
a
k
x
m
O en términos del periodo
a
4 2
x
T2
EL PÉNDULO SIMPLE: describe de manera aproximada un MAS si el ángulo de oscilación
no es muy grande. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud L en un lugar donde la
aceleración de la gravedad es g, está dada por
T  2 L g
EL MAS se puede expresar analíticamente el desplazamiento horizontal de un punto P que
gira alrededor de un círculo como x  x0 .Cos.t (elongación), donde   2f , que es la
frecuencia angular. En forma similar, la componente vertical del movimiento del punto P está
dada por
y  x0 .Sen2ft  x0 .Sen.t
La velocidad y la aceleración, podemos expresarlas de la siguiente manera:
v  .x0 .Sen2ft  .x0 .Sen.t
a   2 .x 0 .Cos2ft   2 .x 0 .Cos.t
1.2. DEFINICIÓN DE ONDAS
Es una perturbación de un medio que viaja de un punto a otro, llevando (transportando)
energía y cantidad de movimiento sin que haya transporte de materia.
LAS ONDAS SEGÚN SU NATURALEZA:

Ondas Mecánicas: son aquellas que se producen en medios deformables (un
resorte, un gas, una cuerda). Se originan por la alteración del equilibrio normal del
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medio y debido a sus propiedades elásticas, la perturbación se propaga entre sus
diferentes porciones sin que el medio se desplace en su conjunto.
v
y
x
Ondas mecánicas

Ondas Electromagnéticas: las ondas EM, como la luz visible, las ondas de radio, de
TV o los rayos X, son producidas por cargas eléctricas oscilantes en átomos o
moléculas o en una antena transmisora. La perturbación se propaga mediante
campos eléctricos y magnéticos por todo el espacio sin requerir de ningún medio
material.
y
Ondas electromagnéticas
E
x
B

Ondas de Materia: la materia, |bajo ciertas circunstancias puede exhibir un
comportamiento ondulatorio. Según la mecánica cuántica, la onda que está
asociada a un material contiene información estadística acerca de su localización
espacial y su evolución en el tiempo.
Onda de Materia
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TIPOS DE ONDAS:

Onda Transversal: en una onda transversal, las partículas del medio se mueven en
dirección perpendicular respecto a la dirección del movimiento ondulatorio. Son
ondas transversales las que se generan cuando damos una sacudida vertical a una
cuerda o un resorte horizontal.

Onda Longitudinal: en una onda longitudinal, las partículas del medio oscilan hacia
uno y otro lado en la misma dirección que el movimiento ondulatorio. Son ondas
longitudinales, las ondas sonoras en fluidos o las que se producen en un resorte
cuando es comprimido o alargado repentinamente.
Las ondas superficiales en el agua no son transversales ni longitudinales, sino una
combinación de ambas.
LONGITUD DE ONDA: La longitud de onda ( λ ) es la distancia a lo largo de la dirección de
propagación entre puntos correspondientes de la onda. En un tiempo t, una cresta que se
mueve con rapidez v recorrerá una distancia λ hacia la derecha. Por consiguiente,   v.t
produce
  v.t 
v
f
y
v  . f
Esta relación es válida para todas las ondas, no sólo para las ondas en una cuerda.
1.3. ONDA VIAJERA
Sea un pulso que viaja en una cuerda de forma tal que, en el instante t=0 podemos
representar el desplazamiento vertical de la cuerda por cierta función y  f x . ¿Qué requisito
debe cumplir esta función para que represente al pulso que viaja sin distorsión con velocidad v?
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y
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y´
v.t
v
x
Tiempo t=0
x´
Tiempo t
En un marco de referencia que se mueve con el pulso a velocidad v, el desplazamiento
vertical de la cuerda, en cualquier instante de tiempo será y x  . Las coordenadas de un punto
cualquiera de la cuerda en estos dos marcos de referencia están relacionados por la
transformación Galileana:
x  x  vt
y
 y  y
Por lo tanto, la función debe ser del tipo
yx, t   f x  vt
En el caso en que la onda viaja hacia la izquierda, la función será:
yx, t   f x  vt
El argumento x  vt representa la fase de la onda. Si nos fijamos en una determinada
parte de la onda que tenga un valor fijo x  en el transcurso del tiempo:
x  x  vt  cons tan te
Al derivar respecto al tiempo, se obtiene la velocidad de fase o velocidad de onda.
dx
dt
 vt  0  dx
dt
 v
ó
v
x
t
La velocidad v de la onda no debe confundirse con la velocidad vY  dy dx , de las
partículas de la cuerda. En resumen, hay tres velocidades asociadas con el movimiento
ondulatorio y que están conectadas matemáticamente. Ellas son:
 Velocidad de Partícula: Es la velocidad del oscilador armónico simple donde la
masa pasa alrededor de su posición de equilibrio.
 Velocidad de Fase o de Onda: Es la velocidad con que los planos de igual fase
(crestas o valles), se mueven a través del medio.
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 Velocidad de Grupo: Al superponer un número de ondas de diferentes
frecuencias, longitudes de ondas y velocidades de fases se forma un grupo. La
velocidad con que se movería esa onda, se denomina velocidad de grupo.
1.4.ONDA VIAJERA ARMÓNICA
Un caso de especial interés se presenta cuando se sacude el extremo de una cuerda con
movimiento armónico simple. El tren de ondas que se genera es del tipo sinusoidal:
yx, t   A  Senk x  vt
y
λ
v
A
*
X1
*
X2
x
0
λ
Siendo A la amplitud de la onda o el máximo desplazamiento de las partículas desde el
equilibrio. La cantidad k se denomina número de onda.
k
2.


t
T
La longitud de onda λ es la distancia entre dos crestas sucesivas, o entre dos puntos que
tengan igual fase
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
2.
k
En una onda armónica se presentan dos periodicidades: una espacial dada por la longitud
de onda λ y otra temporal dada por el periodo T. Si nos fijamos en un punto x de la cuerda y
consideramos dos instantes de tiempo separa dos por un periodo: T= t 1 – t2, tal que el
argumento del seno varíe en 2 , su desplazamiento vertical será:
2  k x  vt1   k x  vt2   kv 
2
T
Encontramos así una expresión equivalente para la función de onda:

yx, t   A  Sen2 x  t
T

El periodo T del movimiento armónico de cada punto es el inverso de la frecuencia
f 
1
1
. Durante un periodo T  , la onda viaja una distancia λ, de modo que la velocidad
T
f
viene dada por v 

T
 f .
La velocidad de la onda está determinada por las propiedades del medio elástico (la
cuerda, el aire, …), mientras que la frecuencia de la onda está determinada por la frecuencia de
vibración de la fuente.
Si llamamos   2f  2 T la frecuencia angular, podemos escribir la función de onda
de la forma:
yx, t   A  Sen2 kx  t 
v

T
 f 

k
1.5. FASE Y CONSTANTE DE FASE
En la expresión yx, t  hemos supuesto que en el instante inicial el desplazamiento
vertical de la cuerda es cero en x=0. En general, si y0,0 es distinto de cero, podemos escribir:
yx, t   A  Senkx  t   
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Donde  es una constante de fase (en radianes), que está determinada por las
condiciones iniciales. La constante  puede ser positiva o negativa y su efecto es un
corrimiento de la onda hacia adelante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo.
  2 x   t T  ; Fase de la onda
 
2
 

x1  x 2   2 x ;

Diferencia de fase para t fijo.
2
t1  t 2   2 t ; Diferencia de fase para x fijo.
T
T
1.6. LA ECUACIÓN DE ONDA
Cualquier onda unidimensional de la forma y  f x  vt satisface la ecuación que
relaciona las derivadas espaciales de yx, t  con las derivadas temporales:
2 y 1 2 y

x 2 v 2 t 2
Esta ecuación de onda se deduce de la segunda ley de Newton aplicada a un segmento de
cuerda.
1.7. VELOCIDAD DE LAS ONDAS
La velocidad de las ondas mecánicas es una propiedad del medio que la transmite. Para el
caso de una cuerda tensa, la velocidad de la onda es:
v 

Donde  es la tensión de la cuerda y  la masa por unidad de longitud de la cuerda.
1.8. REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE LAS ONDAS
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Cuando una onda se encuentra con un obstáculo, o con la frontera del medio donde se
propaga, sucede que al menos parte de ella se refleja. Suponga un pulso que viaja por una
cuerda y consideremos dos casos extremos:
a) Extremo fijo: Si el extremo de la cuerda está fijo, el pulso regresa invertido (cambio
de fase de 180°). Esto se debe a que allí el pulso causa que la cuerda jale la
conexión hacia arriba y debido a la tercera ley de Newton, la conexión jala a la
cuerda con una fuerza igual y opuesta hacia abajo. Esta fuerza hacia abajo provoca
que el pulso se invierta en la reflexión.
b) Extremo libre: Si el extremo de la cuerda está suelto, por ejemplo, conectado a un
anillo liviano que pueda deslizar sin rozamiento verticalmente sobre un poste;
entonces cuando llega el pulso, ejerce una fuerza hacia arriba sobre el anillo, la
cuerda se estira al máximo sobrepasando la altura inicial del pulso, originando que
el pulso se devuelva sin sufrir ninguna inversión.
1.9. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Según el principio de la superposición, cuando dos o más ondas pasan simultáneamente
por una misma región, el desplazamiento resultante es la suma algebraica de los
desplazamientos que produciría cada una de las ondas que actúe en forma individual:
yx, t   y1 x, t   y 2 x, t 
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Como consecuencia del principio de superposición, dos ondas que viajen en direcciones
opuestas pueden cruzarse en el espacio sin sufrir alteración alguna.
El principio de superposición en medios elásticos se cumple cuando la fuerza de
restitución sobre una partícula sea proporcional al desplazamiento (para ondas lineales).
Podrían ocurrir situaciones en que no se cumple este principio porque la amplitud de la onda
sea tan grande que se llegue a superar el límite elástico (ondas no lineales).
y1
y2
y1+y2
y1+y2
y1
y2
Dos pulsos que se cruzan
1.10. INTERFERENCIA DE ONDAS
Se denomina interferencia al fenómeno resultante de combinar ondas independientes en
la misma región del espacio.
Sean dos ondas sinusoidales de igual amplitud A y frecuencia  y con una diferencia de
fase  , que se propagan en la misma dirección en una cuerda tensa.
y1  A  Senkx  t 
y 2  A  Senkx  t   
Para hallar la onda resultante, aplicamos el principio de superposición y usamos la
identidad trigonométrica para la suma de los senos { Sen  Sen  2Sen
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
2
Cos
 
2
}. Se
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obtiene así una onda sinusoidal de la misma frecuencia y longitud de onda que viaja en la misma
dirección:
 


y R  y1  y 2  2 ACos  Sen kx  t  
2
2


Vemos que la onda resultante tiene una diferencia de fase de  2 de ambas ondas
originales y su amplitud 2 ACos 2 , depende de esta diferencia de fase.

Interferencia Constructiva: Cuando las dos ondas están en fase   0 , tanto
crestas como valles se encuentran alineados, y la amplitud resultante es el doble
de la de las ondas individuales, y R  2 A .
y1
x
y2
x
y1+y2
x
  0 : Interferencia Constructiva

Interferencia Destructiva: Cuando las dos ondas están fuera de fase     , las
crestas de una onda se encuentran con los valles de la otra, y la amplitud
resultante es cero.
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y1
x
y2
x
y1+y2
x
   : Interferencia Destructiva
1.11. ONDAS ESTACIONARIAS
Ahora consideremos lo que sucede cuando dos ondas sinusoidales de igual amplitud A y
frecuencia  , se propagan en una cuerda en sentidos opuestos:
y1  A  Senkx  t 
y 2  A  Senkx  t 
Utilizando la identidad trigonométrica para la suma de los senos, da como resultado:
y R  y1  y 2  2 ASenkxCost
La onda resultante yR no se propaga como lo hacen las ondas componentes: es una onda
estacionaria. En cualquier lugar las partículas vibran con MAS con la frecuencia angular  , y la
amplitud 2Senk.x , depende de la posición de x.
Hay puntos donde Senk.x  0 y no hay vibración. Estos lugares donde la cuerda no se
mueve son llamados Nodos.
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y1
x
y2
x
Vientres
Vientres
x
Nodos
Nodos
Entre dos nodos consecutivos quedan los antinodos o vientres, y son donde ocurre
interferencia constructiva, Senk.x  1 y la amplitud es máxima, 2A.
Nodos: kx   ,2 ,3 ,...
Vientres: kx 

2
,3

2
,5
x

2
,...

2
x
,  ,3

4
,3

2

4
,...
,5

4
,...
1.12. MODOS NORMALES EN UNA CUERDA
Cuando se rasga una cuerda que está fija en ambos extremos, las ondas que reflejan en un
extremo interfieren con las que viajan en dirección contraria. Como resultado, una cuerda de
longitud fija L no puede vibrar con cualquier frecuencia arbitraria.
Las condiciones de frontera exigen que haya un nodo en cada extremo, de modo que para
ciertas longitudes de onda pueden producirse ondas estacionarias. Como la separación entre
nodos adyacentes de una onda estacionaria es  2 , debe caber un número entero de  2 en
toda la longitud L de la cuerda:
fn 
nv
v
2L
 n 
; Ln
2L
n
n
n  1,2,3,...
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Donde el número n se refiere al n-simo modo de vibración. Si la velocidad de la onda en la
cuerda es v, entonces las ondas estacionarias posibles corresponden a las frecuencias:
fn 
v
n

nv
n

2L 2L

n  1,2,3,...

Es decir, la cuerda tiene un número infinito de frecuencias naturales que constituyen una
serie de armónicos. Comenzando por la frecuencia fundamental  f 0  v 2L  y los demás modos
son múltiplos enteros de la fundamental f 0 . Para una cuerda de longitud fija L, estas
frecuencias naturales se puede incrementar si se aumenta la tensión o se disminuye la masa de
la cuerda.
1.13. RESONANCIA
Las frecuencias naturales f n a las que se producen las ondas estacionarias son también
llamadas frecuencias resonantes de la cuerda.
fn 
n
2L


Si se sacude una cuerda tensa a un ritmo que difiera de una de las frecuencias resonantes,
no se produce un patrón fijo de onda estacionaria. En cambio, si la frecuencia de la fuerza
impulsora se acerca a cualquiera de las frecuencias resonantes, la cuerda aprovecha la mayor
cantidad de energía, compensando las pérdidas por amortiguamiento y produciendo así una
onda estacionaria de amplitud relativamente grande.
Todos los instrumentos musicales, tanto los de cuerda como los de viento, dependen de
estos modos de vibración resonantes para producir sus sonidos. El ejecutante de una guitarra
selecciona las frecuencias controlando la longitud L, densidad de masa  tensión  de la
cuerda. Cuando se puntea una cuerda, se establece un conjunto de ondas estacionarias y el
lugar y la forma en que se puntea determina la amplitud de cada onda armónica y por lo tanto,
la calidad del sonido. Las vibraciones de la caja contribuyen a reforzar la intensidad de las ondas
sonoras.
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EJERCICIO N° 1. Cuando una masa de 400 gr cuelga en el extremo de un resorte vertical, el
resorte se estira 35 cm. ¿Cuál es la constante del resorte, y cuánto más se estirará si de él se
cuelga una masa adicional de 400gr?
Solución:
Como Fext  k. y , y también Fext  m.g , entonces Fext  0,4 Kg  9,81m / s 2  3,92 N
Despejando k de la primera fórmula: k 
Fext 3,92 N

 11,2 N / m
y
0,35m
Con la carga adicional de 400 gr, la fuerza total que estira el resorte es 2(3,92 N) = 7,84 N.
Entonces, y 
Fext
7,84 N

 0,7m
k
11,2 N / m
EJERCICIO N° 2. Una masa de 50 gr sujeta al extremo de un resorte oscila con MAS. La
amplitud del movimiento es de 12 cm y el periodo es de 1,7s. Calcule: a) La frecuencia; b) la
constante de Hooke, c) la máxima rapidez de la masa; d) la aceleración máxima de la masa; e) la
rapidez cuando el desplazamiento es de 6 cm y f) la aceleración cuando x=6cm.
Solución:
Datos: m=0,05Kg; A=12cm=0,12m; T=1,7s
a)
f  ?; f 
1
1

 0,588Hz
T 1,7 s
4 2 m 4 2 0,05Kg

b) k  ? ; T  2 m ; entonces, despejando a k, tenemos: k 
k
T2
1,7 s 2
k  0,68 N / m
c) La
máxima
v o  x0
d) a  
rapidez
es
cuando
x=0,
entonces:
k
 0,12m 0,68N / m
 0,44m / s
0,05Kg
m
k
x : a tiene magnitud máxima cuando x tiene magnitud máxima; es decir, en los
m
puntos extremos x   x 0 . De este modo,
a0 
k
0,68 N / m
0,12m  1,6m / s 2
x0 
m
0,05Kg
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x
e) v 
2
0
a
f)
 x2
 mk  0,12m  0,06  00,68,05NKg/ m   0,38m / s
2
2


k
0,68 N / m
0,06m  0,82m / s 2
x
m
0,05Kg
EJERCICIO N° 3. Experimentalmente se encuentra que la longitud de onda de una onda
sonora en cierto material es de 18cm. la frecuencia de la onda es de 1900Hz. ¿Cuál es la rapidez
de la onda?
Solución:
Datos:   18cm ; f  1900 Hz . Fórmulas:   vT 
v
 v  f
f
v  0,18m  1900  342m / s
EJERCICIO N° 4. Suponga que se muestran ondas estacionarias sobre una cuerda metálica
tensada con 88,2N. Su longitud es de 50cm y su masa de 0,5gr. a) Calcule v para las ondas
transversales sobre la cuerda. b) Determine las frecuencias de su fundamental, primer
sobretono y segundo sobretono.
Solución:
Datos:   88,2 N ; L  50cm  0,5m ; m  0,5gr  0,5  10 3 Kg
a) v 

v


 ?;
;

m
,
L
sustituyendo
los
datos
y
calculando,
tenemos:
0,5  10 3 Kg
 0,001Kg / m
0,5m



88,2 N
 297m / s
0,001Kg / m
b) Para el fundamental, n=1: f 0 
v
297m / s

 297 Hz
2 L 20,5m
Para el 1° sobretono, n=2: f 2 
nv 2297m / s

 594 Hz
2L
20,5m 
Para el 2° sobretono, n=3: f 3 
nv 3297m / s

 891Hz
2L
20,5m 
Física Moderna. 5° Semestre. Ingeniería en Telecomunicaciones
19
UNEFA
PROBLEMA N° 1. Dada la función para la onda armónica viajera:
yx, t   0,5Sen20 x  t .
Donde x e y están en m. Determine:
a) La amplitud, longitud de onda, periodo y velocidad.
b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre los movimientos de dos puntos separados por
5 cm?
c) ¿Cuál es la distancia x más corta entre dos puntos que tienen una diferencia de
fase de 30°?
d) ¿Qué cambio de fase hay en un punto dado en 0,2s?
e) ¿Cuántas ondas han pasado por allí en ese tiempo?
PROBLEMA N° 2. Una cuerda de 2 m de largo está accionada por un vibrador de 240 Hz
colocado en uno de sus extremos. La cuerda resuena en 4 bucles (segmentos) formando un
patrón de onda estacionaria. ¿Cuál es la rapidez de una onda transversal sobre tal cuerda?
Física Moderna. 5° Semestre. Ingeniería en Telecomunicaciones
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