Download Diapositiva 1 - Maristas Inmaculada, Valladolid

CINEMÁTICA
Autores: Dpto. FyQ IES Clara Campoamor texto teórico básico
Adaptación, ejemplos y ejercicios  MxH Dpto. FyQ
IES San Diego de Alcalá
Física y química 1º Bachillerato
1
EL MOVIMIENTO
1
Movimiento y sistemas de referencia
Un cuerpo se mueve, si cambia su posición respecto a un punto de observación
El viajero se equivoca al pensar que se
mueve el vagón de enfrente.
Al mirar al andén, comprueba que es
su vagón el que se mueve
 Si dicho punto está en reposo, el movimiento es absoluto
El conductor está en reposo respecto
al pasajero que transporta, pero está
en movimiento respecto al peatón.
 Si está en movimiento, es relativo
Desde tierra el proyectil cae
describiendo una parábola. Desde el
avión cae en línea recta
2
La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento
sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con
respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA, que normalmente se considera fijo, y
decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia.
¿Qué es un sistema de referencia? realmente siempre que realizamos cualquier medida la
hacemos respecto a algo y decimos por ejemplo "desde donde yo estoy hasta la puerta
hay 2 m" al decir esto nos estamos tomando a nosotros mismos como referencia.
Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del
sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a
nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al Sol
estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en marcha
parece que se mueve respecto a nosotros.
PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA
INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN
REALIZADO LAS MEDIDAS.
3

Vector de posición y vector desplazamiento

El vector de posición r 1 de un móvil, es el
vector con origen en O y extremo en P1.


Se representa por OP = r
1
P1
s
Y


r
P2
r1

r2
1
Se denomina Trayectoria al camino seguido por el
móvil en su movimiento. Es escalar
El espacio (S) que recorre un cuerpo en su
movimiento se define como la longitud de la
trayectoria recorrida y es también un escalar. Se
mide en metros
X
y
desplazamiento
vectores
de
posición
trayectoria
Los vectores de posición determinan las
diferentes posiciones del movimiento
podemos llamarlos r1 y r2 si consideramos
las posiciones como posición 1 y posición 2.
Son vectores que van desde el origen del
sistema de referencia a la posición que se
mide.
x
4
  
El vector
r  r2  r1 (posición final menos posición inicial) se denomina vector
desplazamiento.
Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el
movimiento.
Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones
inicial y final del recorrido.
Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros
Es vectorial.
EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO
SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR
DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

En general, |  r |  s
Coinciden desplazamiento y trayectoria cuando el movimiento
es rectilíneo

dr  dS
También coinciden cuando
estudiamos desplazamientos
muy pequeñitos , infinitesimales
o diferenciales:
trayectoria
5
EJEMPLO
•



La ecuación del movimiento de un punto material P es rP  2t·i  4t· j
en unidades del SI. Calcula:
a) El vector desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.
b) El módulo del vector desplazamiento.
SOLUCIÓN:





a) El vector de posición a t = 1s  r1  2·1·i  4·1· j m  2·i  4· j m

 






r   2·3·i  4·3· j m  6·i 12· j m
b) El vector de posición a t = 3s  3
El vector desplazamiento vale entre esos instantes




  
r  r3  r1  4·i  8· j m
El módulo del vector desplazamiento es :

r  42  82  16  64  80m
6
VELOCIDAD
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en
función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto
son: m/s cm/s o Km / h etc...
Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han
viajado juntos. Tienen en común su velocidad media


v m  s
Magnitud velocidad media escalar:
Vector velocidad media:

vm
Rapidez: espacio recorrido
por intervalo de tiempo
S S 2  S1
Vm 

t
t 2  t1
t
Se define velocidad media
como el cambio de posición de
un cuerpo en un intervalo de
  

tiempo:
r
r r

 r
t
Vm 




 r  x i  y j 

vm



y
x 
i 
j v i v

t
t
xm
t

2
1
t2  t1

ym
j
7
EJEMPLO
1.
La posición de una partícula viene dada en el SI por.



2
3
rP  2t  t ·i  3t  2t · j
Calcular:
a) El vector desplazamiento entre t = 2s y t = 5s.
b) La velocidad media entre los instantes t = 2s y t = 5s.


 
SOLUCIÓN:

2
3
r  2·1  1 ·i  3·1  2·1 · j  3·i  j _ m
El vector de posición a t = 1s  1





2
3
El vector de posición a t = 3s  r2   2·5  1 ·i  3·5  2·5 · j  51·i  365 j _ m


 

El vector desplazamiento vale
r  r  r  48·i  364· j m



 
 
5 
•
1
 





La velocidad media se obtiene dividiendo el vector desplazamiento por el
tiempo transcurrido








r 48·i  364· j  48·i 364· j
vm 



 12·i  91· j m / s
t
5 1
4
4
8
CUESTIONES
1.



La ecuación del movimiento de un punto material P es rP  3t ·i  3t · j
en unidades del SI.
a) vector desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.
b) El módulo del vector desplazamiento.
2. ¿Puede ocurrir que en un movimiento el módulo del vector
desplazamiento sea cero y el espacio recorrido sea distinto de cero?


3. La posición de una partícula varía con el tiempo según rP  4t  2·i
expresada en SI. Calcular el vector desplazamiento y la velocidad
media en los intervalos 1s y 3s, y 2s y 4s. ¿Qué tipo de movimiento
es?.



2
2
4. La posición de una partícula viene dada por rP  3t  1 ·i  2t  t · j
en el SI. Calcular:
a) El vector desplazamiento entre t = 2s y t = 5s.
b) La velocidad media entre los instantes t = 3s y t = 6s.

 

9
Y
VECTOR VELOCIDAD
INSTANTÁNEA

4
r

r

r
1

r

r
2

r
3
Cuando t  0 el vector desplazamiento
se sitúa tangente a la trayectoria

r
4
La velocidad instantánea es la que posee
un móvil en un punto de su trayectoria
X
La velocidad instantánea es el cambio de
posición de un cuerpo en movimiento en
cada instante.



r dr
v

t  0 t dt
lim

v = r
t

cuando  t  0
Cuando el cambio es diferencial el
módulo (valor numérico) de dr es igual
que dS

v 

dr
dt

dS
dt
Se representa por un vector tangente a la trayectoria, cuyo origen es el punto
considerado, y cuyo sentido es el de avance del móvil
10
EJEMPLO
•



2
3
La ecuación del movimiento de un punto material P es rP  5t ·i  2t · j en
unidades del SI. Calcula:
a) La velocidad instantánea en función del tiempo
b) La velocidad instantánea para t = 3s.
c)
El módulo del vector velocidad instantánea .
SOLUCIÓN:

v
La vel. Inst. se obtiene derivando respecto a t 
El vector vel. Inst a t = 3s 



dr
2

 10t ·i  6t · j m / s
dt





2
v  10·3·i  6·3 · j  30·i  54· j m / s
El módulo del vector vel. Inst es :

v  302  542  900  2916  3816  61,77m / s
11
ACELERACIÓN
Física y Química
1º BACHILLERATO
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por
tanto serán m/s2 o Km/h2 etc...
Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.
A

Y

v
1

A

Y
v
1

B

r
v
2

v

1
v
2

r
2
X
X
La aceleración instantánea
La aceleración media

a =

am

v
t

cuando  t  0


v -v
v
=
= t -t
t
2
1
2

 dV
a
dt
1
12

V
La aceleración media estudia el cambio de
velocidad en un intervalo de tiempo.
Es un vector con la misma dirección y sentido que el
vector resultante de restar la velocidad inicial y final
vectorialmente ,en cierto t se define como :




V V2  V1
am 

t
t 2  t1

V
1

V
-
  
VV V
 = 2 – 1 y en esa misma
dirección y sentido sale 
am
2
Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la
dirección y sentido de V .

V
1
V
2
Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo dt
cada vez mas pequeños.
La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un
instante determinado del movimiento:


lim v dv

a

t  0 t dt
es también una magnitud vectorial
13
EJEMPLO
3. El vector posición
de una
 partícula, expresado en unidades del SI, es:
 2
Calcula:
r  t ·i  2t· j
a)
b)
c)
d)
El vector velocidad instantánea en función del tiempo
La velocidad instantánea para t = 2 y t = 4 s.
El vector aceleración media entre los instantes t = 2 y t = 4 s
El vector aceleración instantánea.



 dr
SOLUCIÓN:
v
 2t ·i  2· j m / s
dt
El vector velocidad instantánea:





La velocidad instantánea 
para t = 2 v  2·2
·i  2· j  4·i  2· j m / s

Y para t = 4 s v  2·4·i  2· j  8·i  2· j m / s





 
El vector acel. Media: a  v  v0  8i  2 j   4i  2 j   4i  2im / s 2
m
t  t0
42
2
Y el vector aceleración instantánea:


 dV
a
 2i m / s 2
dt
14
CUESTIONES
1.



La posición de una partícula varía con el tiempo según rP  2t ·i  5t · j
expresada en SI. Calcular la velocidad para t = 1s, 2s y 4s. ¿Qué tipo de
movimiento es?.


2
2.
La posición de una partícula viene dada por r  4t  2t j en el SI. Calcular:
a) La velocidad en cualquier instante.
b) La velocidad en los instantes t=2s y t=5s.
3. El vector posición de un móvil, expresado en unidades del SI, es:



2
r  4t ·i  (t  2) j. Calcula:
a) El vector desplazamiento entre los instantes t = 2 y t = 4 s.
b) La velocidad media entre los instantes t = 2 s y t = 4s.
c) La velocidad, indicando módulo y dirección, para los instantes anteriores.
d) El vector aceleración.
 
 
 






•
R: a) r  48·i  2· j m ; b) vm  24·i  j m / s ;c) v  8t·i  j m / s ; v  16·i  j m / s
 


;

=
3,57º;
v  32·i  j m / s ; V = 32,01 m/s; = 1,78º;
v  16,03m / s
d) a  8·i m / s 2


 








15
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto,
cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario
tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento.

V
uT  
V


V .uT  V
trayectoria
aN
eje tangente al
movimiento
Si usamos el sistema de referencia
en función de la trayectoria podemos
descomponer la aceleración en dos
componentes:
eje
perpendicular al
movimiento
uN
uT
a
aT
 


 duT
 dV d ( V .uT ) d V 
a


.uT  V .
dt
dt
dt
dt



a  aT .uT  a N .u N

a  aT2  a N2
16
LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN
INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA VELOCIDAD
RESPECTO AL TIEMPO. Es la responsable del cambio de la magnitud velocidad, es decir,
del módulo de la velocidad. Si aT = 0 el módulo de la velocidad es constante; es decir el
movimiento es uniforme.
En movimientos Uniformes donde la velocidad es constante en módulo no existe la
aceleración tangencial.
LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA
EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO.
Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es la responsable del cambio de dirección de la
velocidad. Si el movimiento es rectilíneo esta componente se hace cero. O lo que es lo mismo
si aN =0 la dirección del vector velocidad es constante, es decir, el movimiento es rectilíneo.


lim v dv (m /s2)

a

t  0 t dt
Se obtiene derivando el
módulo de la velocidad
aN 
2
v
(m/s2)
R
Se obtiene con la velocidad, en un instante
dado, al cuadrado entre el radio de giro
17
EJEMPLO
3. El vector posición de unapartícula, expresado en unidades del SI, es:
Calcula:
r  2t 2 ·i  3t· j
a) El vector velocidad instantánea en función del tiempo
b) El vector aceleración instantánea.
c) El módulo de la aceleración tangencial en cualquier instante
d) El módulo de la aceleración normal en cualquier instante si el radio de curvatura
de la trayectoria es R = 1 m

SOLUCIÓN:

 dr aT  
v
 4t ·i  3· j m / s
El vector velocidad instantánea:

dt

 dV
a
 4i m / s 2
dt
El vector aceleración instantánea.
•
El módulo de la aceleración tangencial se obtiene derivando el módulo del vector

2
velocidad: 
que vale 
2
2
dv
aT 
por lo que
v 
dt
at 
32t
m / s2
16t  9
4t 
2
v
a 

El módulo de la aceleración normal n
R
 3  16t  9m / s
 16t  9   16t
2
1
2
2
 9 _ m / s2
18
CUESTIONES
1.
•
•
2.
•
•
Se sabe que un móvil se mueve con una velocidad
  que viene dada por la

siguiente expresión:
v  2t·i  5 j m / s
Hallar la aceleración tangencial a los 2 s de iniciado el movimiento
sabiendo que su aceleración normal es, en ese instante, 1,56 m/s2.
R: at = 1,25 m/s
La trayectoria de una partícula, que se mueve en el plano x-y, responde a
las ecuaciones paramétricas siguientes:
x = 2t2, e y = 2t2 - 1.
Determina los vectores posición, velocidad, aceleración así como la
aceleración tangencial y la normal si el radio de curvatura es R = 2 m.






2
2
R: r  2t ·i  2t  1 · j (m); v  4t·i  4t· j (m/s); a  4·i  4· j (m / s 2 )


at 
64t
32t 2
(m / s 2 )


an  16t 2 (m / s 2 )
19
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)
6
Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no
hay aceleración normal.
Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que
tampoco existe aceleración tangencial.
Luego este movimiento no tiene aceleración.
Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento
Tiempo
50 100 150 200 250 ( r ) y la trayectoria (S) coinciden.
(s)
Como la velocidad es constante la velocidad
Posición
A
B
C
D
E
media y la instantánea coinciden.
Distancia al
200 400 600 800 1000
hangar (m)
x (m)
1000
600
200
Velocidad pendiente de
la gráfica



x = V.t


50 100 150 200 250
t (s)
Gráfica x-t



r
r -r
v
= t-t
t
0

0
v (m/s)
4





50 100 150 200 250
t (s)
Gráfica v-t

 r  
r + v (t - t0)
0
En forma escalar: x = x0 + v (t - t0)
20
CUESTIONES
1. Un coche se dirige, con una velocidad de 54 km/h, hacia un semáforo
situado a 400 m. ¿Cuál es la distancia del coche al semáforo 5 segundos
después si su velocidad es constante? ¿Qué velocidad tendrá en ese
instante?, razona tu respuesta. R: 325 m.
2. Un coche circula en línea recta con velocidad constante de 80 km/h calcula:
a) la posición del coche cuando transcurran 10 s. b) El tiempo que tarda en
recorrer 50000 m y c) Dibujar los gráficos s-t y v-t.
R: a) 222,2 m, 225 s.
3. Un coche circula a 90 km/h por un tramo de carretera donde está prohibido
circular a más de 70 km/h. Un radar de policía lo detecta y un coche de
policía sale 3 segundos después, desde una distancia de 2000m por
delante del coche, para encontrarlo con una velocidad constante de
70km/h. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará? R: t = 46,31 s; x = 1157,9 m de
donde partió el coche infractor.
4. Dos automóviles se mueven siguiendo una trayectoria rectilínea entre dos
puntos A y B situados a 3200 m uno de otro. El primero, partiendo del
reposo, sale de A y se dirige a B con una velocidad constante de 30 m/s. El
segundo sale de B dos segundos más tarde y se dirige hacia A con una
velocidad constante de 25 m/s. Calcula en qué punto se encontrarán.
Dibuja la gráfica espacio-tiempo de ambos móviles. R: a 1477,27 m de A.
21
Física y Química
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
1º BACHILLERATO
7
ACELERADO (MRUA)
2
Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración
normal, pero la velocidad va cambiando en módulo
(aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración
tangencial.
v (m/s)
v
tg  = a

v0

La aceleración media coincide con la
aceleración instantánea ya que la
aceleración es constante

 La ecuación a =  v se transforma en:
t
v v  v
a
 v = v0 + a (t - t0)

tt
t

t0
t
t (s)
Gráfica v-t
0
0
v (m/s)
 El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es
v
el espacio recorrido
v0
v  v0
A  v0 ·(t  t0 ) 
·(t  t0 )
2
Sustituyendo A y v por su valor resulta:
t0
t
Gráfica v-t
t (s)
x  x0  v0 ·(t  t0 ) 
v0  a·(t  t0 )  v0
·(t  t0 )
2
1
2
x  x0  v0 ·t  t0   ·a·t  t0 
2
22
Ecuación del movimiento uniformemente acelerado:
Ecuación de la velocidad: v  v  a t  t
0

0

x  x0  v0 ·t  t0   1 ·a·t  t0 2
2
Ecuación de la posición
Eliminando el tiempo de las dos anteriores:
ACELERACIÓN A FAVOR DEL MOVIMIENTO
(acelerar)
S
(m)
V
(m/s)
S0
ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOVIMIENTO.
(frenar)
S
(m)
V0
t (s)
v 2  v02  2·a·x  x0 
V
(m/s)
V0
S0
t (s)
t (s)
t (s)
La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.
El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no
de que el cuerpo acelere o frene.
Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en
contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo
una aceleración positiva lo frenaría.
Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van
en el mismo sentido.
23
CUESTIONES
1. Un coche se dirige, con una velocidad de 54 km/h, hacia un semáforo
situado a 400 m. ¿Cuál es la distancia del coche al semáforo 50 segundos
después de frenar con una aceleración de -0,3 m/s2 ¿Qué velocidad tendrá
en ese instante. R: 25 m - 0 m/s
2. Un coche parte del reposo y circula en línea recta con aceleración
constante, hasta alcanzar una velocidad de 80 km/h en 15 segundos.
Mantiene constante la velocidad durante 30 segundos y a continuación se
para en 10 s:
Calcular la distancia recorrida en cada etapa y la distancia total.
Dibujar los gráficos a-t y v-t.
R: a) 166,7 m, 666,7 m; 111,1 m, total: 945,5 m.
3. Un coche circula a 100 km/h por un tramo de carretera donde está
prohibido circular a más de 70 km/h. Un coche de policía arranca al verlo
pasar. Lo persigue con una aceleración constante de 1,5 m/s2. ¿Cuándo y
dónde lo alcanzará? R: t = 37,07 s; x = 1,03 km.
4. Dos móviles se mueven siguiendo una trayectoria rectilínea entre dos
puntos A y B situados a 1100 m uno de otro. El primero, partiendo del
reposo, sale de A y se dirige a B con una aceleración constante de 1 m/s2
El segundo sale de B dos segundos más tarde y se dirige hacia A con una
velocidad constante de 25 m/s. Calcula en qué punto se encontrarán.
Dibuja la gráfica espacio-tiempo de ambos móviles. R: a 422,82 m de A.
24
TIRO VERTICAL
Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia
abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores
de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:
Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: a = - g = - 9,8 j m/s2
con el sistema de referencia que hemos tomado.
Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre que
acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo momento la
gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido
(primero sube y luego baja).
Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con un
movimiento uniformemente acelerado y sus ecuaciones del movimiento son
:

Y
V final = 0
h
V0
máxima
-g
h0
X
v  v0  g ·t  t0  j m / s

2
1
y  y0  v0 ·t  t0   ·g ·t  t0  _ j _ m
2
v 2  v02  2·g · y  y0 
En donde nos interesan sobre todo el cálculo de la altura máxima, el
tiempo que tarda el móvil en llegar a un punto y la velocidad cuando cae
hasta un punto o hasta el origen
25
EJEMPLO
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Se lanzan verticalmente de abajo arriba dos objetos con dos segundos de intervalo. El
primer objeto tiene una velocidad inicial de 50 m/s, y el segundo, una velocidad inicial de
80 m/s. Calcula:
A) El tiempo transcurrido hasta que los dos objetos están a la misma altura
La altura a la que se encuentran los dos objetos.
La Velocidad de cada objeto en el momento del encuentro.
SOLUCIÓN:
Se trata de dos MRUA verticales; que parten del origen y afectados por al misma
aceleración; g; con lo que las ecuaciones de la posición para ambos vienen dadas por :

y son: y  0  50·t  0  1 ·9,8·t  02 _ j _ m
y  y0  v0 ·t  t0   1 ·g ·t  t0 2 _ j _ m
1
2
2
2
y2  0  80·t  2  1 ·9,8·t  2  80·t  2  1 ·9,8·t 2 4  4t 
2
2
Cuando se encuentran los dos y1= y2. De donde
t  3,6 s
50·t  4,9·t 2  80·t  2  4,9·t 2 4  4t  realizando operaciones:
y1  50·3,6  4,9·3,62  116,5m
La altura se obtiene con t y una de las ecuaciones:

v  v0  g ·t  t0  j m / s
Las velocidades al encontrarsen vienen dadas por la ecuación
v1  v01  g·t  50  9,8·3,6  14m / s v2  v02  g·t  2  80  9,8·1,6  64m / s
26
CUESTIONES
1.
2.
3.
4.
Una piedra se lanza verticalmente hacia abajo desde un puente con una
velocidad inicial de 10 m/s y tarda 3 s en llegar al agua,
a) ¿Con qué velocidad llega la piedra al agua? Solución: 39,4 m/s
b) ¿Cuál es la altura de¡ puente?
Solución. 74,1 m
Una piedra que se deja caer desde lo alto de un edificio tarda 4 s en
llegar al suelo. Calcula: a) La velocidad de la piedra justo antes de llegar
al suelo. b) La altura del edificio. Solución: a) - 39,2 m/s; b) 78,4m.
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial
de 400 m/s. Calcula la altura máxima alcanzada y la velocidad que tiene
el cuerpo a la mitad de dicha altura.Sol:Yma= 8156,8 m;vmitad= 282,7 m
Desde cierta altura se lanza un cuerpo horizontalmente. Demuestra que
el tiempo que tarda en alcanzar el suelo es el mismo que si ese cuerpo
se deja caer desde la misma altura.
27
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu
Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo
Al ser un movimiento uniforme el módulo de la velocidad es constante luego no hay aceleración
tangencial.
Su trayectoria es una circunferencia por lo que el desplazamiento y la trayectoria no coinciden.
La velocidad va cambiando constantemente de dirección por lo que existe aceleración normal.
Si la única aceleración que existe es la normal y la aceleración es constante, la aceleración
media es igual que la instantánea en su única componente en este caso que es la aceleración
normal.
Ecuación del movimiento uniforme :
Aceleración normal o centrípeta
x V
 2·t
aN 
Si hay espacio inicial queda
x  x0  V ·t
v
R
Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento
uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS X/t Y V / t NO ES POSIBLE
DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR
UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO
INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS
DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER
LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN
DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA
X,Y.
28
 Su trayectoria es una circunferencia de
radio R 11
 El vector de posición

r cambia de
dirección. Cumple que | r | = R


v
P2 s


r
2


r

 El vector velocidad v es siempre tangente

a la trayectoria y normal al vector r
 P1
Magnitudes angulares
1
 Si s = R, se dice que el ángulo   mide

un radián.
ri


v
 Una circunferencia completa 360° 2 rad
 Por definición
R

R
 
s
R
Se mide en rad

(rad/s) ó bien 1 rpm = 2 rad/s
60
t
VELOCIDAD ANGULAR ω es el ángulo recorrido
por unidad de tiempo.
Como es lógico puede estudiar este cambio en un
intervalo, velocidad angular media, o en un instante,
velocidad angular instantánea.
29
Relación entre las magnitudes angulares y lineales
v
s  R

  R  cte
t
t
V = ω·R
 = cte (por ser R cte)
 La ecuación del movimiento es:
   t      (t  t )
0
0
 Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta
completa y se mide en segundos
 Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil por
unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg-1 que también se
llaman Herzios (Hz)
El período y la frecuencia son inversos:
Tiempo (s)
número de vueltas
T (periodo)
1 vuelta
1 segundo
f (frecuencia)
Despejando T  1
f
La relación de estas dos magnitudes con la
velocidad angular se puede determinar
pensando que si el móvil da una vuelta
completa recorre un ángulo de 2пrad y el
tiempo que tardó en recorrerlo es el período T
luego como la velocidad angular relaciona el
ángulo recorrido con el tiempo empleado en
recorrerlo :
  2· T
30
EJEMPLO
•
Un punto describe una trayectoria
circular de 30 cm de radio tardando
3,52 s en dar cinco vueltas. Calcular:
La velocidad angular en r.p.m y en
rad/s
El periodo y la frecuencia del
movimiento
El ángulo girado al cabo de 0,85 s de
iniciado el movimiento.
Su aceleración centrípeta
Solución:
a) Se trata de hacer un cambio de
unidades:
•
•
•
•
•
•

5 _ vueltas 60S
·
 85,23 vueltas
 85,23rpm
min
3,2s
1 min

5 _ vueltas 2·
·
 2,84· rad
s
3,2s
1vuelta
•
b) Para calcularlos hay que tener en cuenta
que el periodo es el tiempo que tarda el
móvil en dar una vuelta completa y la
frecuencia es su invesa:

f 
•
•
2·
T
T
2·


2·
 0,704s
2,84·
1
1

 1,420 _ Hz
T 0,704s
 =  . t = 2,84  s – 1 . 0,85 s = 2,41  rad
 7,58 rad
La aceleración centrípeta o normal:
an 
v
2
  2 ·R;
R
2
 an   2 ·R  2,84·  ·0,3  23,87m / s 2
31
EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)
13
 = 2 rad/s2
t=1s
1 = 2 rad/s
 = 2 rad/s2
t=0s
0 = 0 rad/s
t=2s
2 = 4 rad/s
 = 2 rad/s2
t=4s
4 = 8 rad/s
t=3s
3 = 6 rad/s
 = 2 rad/s2
 Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y
angular, que varían de forma constante con el tiempo
 La ecuación del movimiento es:  
   ·t  12  ·t
2
0
0
  t
0
32
LA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS
14
Z
P


a

v


r

a

a

a
X
Y

 Un móvil tiene aceleración a si varía al menos algún factor (módulo o dirección) del

vector velocidad v



 Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, a = a  + a 

v

a =
cuando  t  0 está relacionada con la variación del módulo | v |
t
a  = v está relacionada con la variación de la dirección de la velocidad
R
2
33
Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado:
Movimientos
rectilíneos
Movimientos
circulares
aN= 0
aN 0 y R = cte
Movimiento
rectilíneo
uniforme
Movimiento
circular
uniforme
a = 0
a = 0
Movimiento
rectilíneo
uniformemente
acelerado
Movimiento
circular
uniformemente
acelerado
aT 0
Movimiento
rectilíneo
acelerado
a = cte
Movimiento
circular
acelerado
a cte
a  cte
1
x  x0  v0 ·(t  t0 )  ·at ·(t  t0 ) 2
2
Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado:
1
   0  0 ·(t  t0 )  · ·(t  t0 ) 2
2
Derivando se obtiene la velocidad
dx
v
 v0  at ·t
dt
d
Derivando se obtiene la velocidad  
 0   ·t
dt
R = aT
magnitud lineal= magnitud angular por radio
S(espacio en metros)= ( ángulo en rad ) .R
V(velocidad)= (velocidad angular ).R
aT (aceleración tangencial) = (aceleración angula). R
34
EJEMPLO
•
•
•
•
•
Dos niños están montados en los caballitos de un «Tío Vivo». Determina la
aceleración a la que están sometidos, cuando el «Tío Vivo» gira con una
velocidad angular de 32 rpm, sabiendo que la distancia de los niños al eje
de giro es de 2,5 m. R: a = 28,07 m/s2.
SOLUCIÓN:
Primero calculamos la velocidad angular en rad/s
v2
y después aplicando la ecuación
an    2 ·R
R
Obtenemos la aceleración:
  32rpm 
32 _ vueltas 1 min 2· _ rad
·
·
 1,07· _ rad / s
min
60s 1 _ vuelta
v2
2
an    2 ·R  1,07·  ·2,5  28,25 _ m / s 2
R
35
CUESTIONES
Una rueda gira a razón de 600 radianes/minuto. Calcula: a) La velocidad
lineal de un punto situado a 5 cm del eje y de otro situado a 25 cm del eje.
b) La aceleración en cada uno de los puntos. R: a) 0,5 y 2,5 m/s; b) 5 y 25
m/s2.
2. Un ventilador gira con una velocidad angular constante de 22 revoluciones
por segundo. Calcula: a) La velocidad lineal del extremo de una de sus
aspas, que describe una circunferencia de radio 15 cm. b) ¿Qué longitud
habrá recorrido ese punto en 3 horas de funcionamiento? R: a) 20,73 m/s;
b) 2,24·105 m.
1.
3. Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 60 cm de radio con
una velocidad constante de 12 cm/s. Calcula: a) La velocidad angular. b) La
aceleración normal. c) El período y la frecuencia. d) El número de vueltas
que da en 12 segundos. R: a) 0,2 rad/s; b) 0,024 m/s2; c) T = 31,4 s; f =
0,032 s-1; d) 0,38 vueltas.
4. Un piloto de avión se lanza hacia abajo para describir un rizo siguiendo un
arco de circunferencia cuyo radio es 300 m. En la parte inferior de la
trayectoria, donde su velocidad es de 180 km/h, ¿cuáles son la dirección y
el módulo de su aceleración? R: a = 8,33 m/s2.
36
2
COMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓN
18
 La velocidad del niño al correr sobre la cinta,
crece o decrece según el sentido elegido
 El principio de superposición dice que si un
objeto está sometido a la vez a dos o más
movimientos, se cumple que:
 En este caso, su composición será:
O
O

x
1
2

x1 = x01 + v1x t
x2 = x02 + v2x t

x



r  r1  r 2  r3  ...  ri

   
v  v1  v2  v3  ...  vi

   
a  a1  a 2  a3  ...  ai

Trayectoria
x1 + x2 = (x01 + x02) + (v1x + v2x) t
La suma es un MRU en la misma dirección
37
COMPOSICIÓN DE MRU PERPENDICULARES
19
Y
 Sean
y

dos movimientos rectilíneos
uniformes en las direcciones de los
ejes X e Y con velocidades respectivas

xy

y
y0

vy
O


y
vx vy

vt

x

vx
x0
x
X
 Si un móvil experimenta solo el primer movimiento:

x

x0




vx
t

 Si un móvil experimenta solo el segundo movimiento: y  y0  v y t





 Cuando experimenta la superposición de ambos: 
x  y  (x0  y0)  (vx  vy)·(t  t )
0
 El resultado es un MRU en la dirección determinada por:

vt


 vx  v y
38
EJEMPLO
•
Un barquero impulsa a su barca con una velocidad de 0, 6 m/s para
pasar a la otra orilla de un río de 50 m de ancho. La corriente arrastra a
la barca con una velocidad de 0,4 m/s. Representa y halla la velocidad
resultante y calcula la posición de la barca a los 70 segundos.

•

V
Sea ,Vx la velocidad con que impulsa el barquero a su barca, y y, la
velocidad de arrastre por la corriente (Fig. ) La velocidad resultante,



  v
tg
es:   
•
•
•
•
•
V  Vx  Vy  Vx ·i  Vy · j  0,6·i  0,4· j m / s

V  Vx2  V y2  0,6 2  0,4 2  0,721 _ m / s

V
Y el módulo de :


El ángulo φ que formaV con Vx (eje de las X) es tal que
tg 
Vy
Vx

0,4 2
 ;    33º 41'24"
0,6 3
Posición de la barca a los 10 s:





   
r  x  y  Vx ·t  Vy ·t  0,6·10·i  0,4·10· j  6·i  4· j m

 


r  62  42  7,21 _ m
39
DIFERENTES DE MOVIMIENTOS COMPUESTOS ACELERADOS
Cuándo una partícula se encuentra sometida a dos movimientos simultáneos e independientes,
el movimiento que realiza es un movimiento compuesto. Dicho de otro modo, hay movimientos
en apariencia complejos que se pueden estudiar de forma mucho más simple como
superposición de dos movimientos más sencillos. Entonces se habla de Composición de
movimientos.
El caso más corriente de composición de movimientos es el lanzamiento de proyectiles,
ya sea vertical, horizontal u oblicuo.
En primer lugar es necesario tener claro que al lanzar un proyectil lo que hacemos es
dispararlo con una cierta velocidad inicial, desentendiéndonos inmediatamente de él y
dejándolo a merced de la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra y le hace caer sometido
a la aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2, que es vertical y hacia abajo.
En todos los casos vamos a considerar despreciable la resistencia del aire.
Debemos establecer en primer lugar un sistema de referencia que mantendremos siempre
igual en todos los movimientos, el sistema de referencia más sencillo es aquel que sitúa EL
EJE Y EN LA VERTICAL DEL PUNTO DE LANZAMIENTO Y EL EJE X EN EL SUELO.
Los lanzamientos los vamos a clasificar según la dirección en que
lanzamos (la dirección del vector velocidad inicial) en tiros:,
horizontales y oblicuos:
40
ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL
21
Trayectorias descritas por la pelota según el sistema de referencia
Para un observador en tierra, la trayectoria es
parabólica
Para un pasajero del avión, el movimiento es
vertical y en caída libre
Para el observador en caída libre, el móvil posee un
MRU horizontal
41
La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos
simultáneos:
SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la
velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el
MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este
seguiría indefinidamente en línea recta).
SOBRE EL EJE Y: (mrua) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad
inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado
(aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo
haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.
Y
El vector de posición tiene:
1) componente x (MRU) S = V· t avance del proyectil)
2) componente y donde se mide la caida y por lo tanto las
alturas (MRUA) sin velocidad inicial
V0
y  y  v
r
y la velocidad se saca derivando:
X
alcance


2
1
0
0 y ·t  t0   2·g ·t  t0  _ j _ m



r  v0 x ·t  t0 ·i  y0  1 ·g ·t  t0 2 _ j _ m
2
h0



v  v0 x i  g ·t  t0  j m / s
42
ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo.
En el suelo la altura es cero luego y = 0 entonces: 0  0  1 ·g ·t  t 2 _ j _ m
2
0
Y sacando el valor de t con la anterior ecuaciónes posible obtener el alcance
x  v0 x ·t
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES
UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA.
x  v0 x ·t



2
1
y  y0  ·g ·t  t0  _ j _ m
2
x  v0 x ·t
sustituyendo en y
queda
g 2
y  y0  2 ·x
2·v0
Ecuación de la trayectoria
43
ESTUDIO DEL LANZAMIENTO OBLICUO
1º BACHILLERATO
24
O TIRO PARABÓLICO
Física y Química
Unas trayectorias muy comunes
1,4

1,2

a g j
1
0,8

v01
0,6
0,4
0,2

v02 
v03
i
0
0
1
2
3
4
5
6
 Son las descritas, por ejemplo, por el lanzamiento de distintos proyectiles
disparados desde el suelo.

 Dependen de la velocidad inicial de salida v0 i y del ángulo de lanzamiento 
i
44
Si el tiro es oblicuo hacia arriba el vector de posición entonces es:
Y
V0y
h
El vector de posición tiene:
1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )
2
r = (V0X . t ) i + ( h0 + V0Y . t - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando:
V = (V0X ) i + ( VoY - g.t ) j m/s
V
V0
máxima
V0x
h0
r
X
alcance
VoX = V0. cos 
V0Y = V0. sen 
V0Y

V0X
ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal
que recorre hasta llegar al suelo. Al llegar al suelo la
altura es cero luego Y =0.
h0+V0Yt-1gt2=0
2
Resolviendo la ecuación de segundo grado se saca el
tiempo. El recorrido en horizontal es X y por tanto con el
valor de tiempo obtenido se saca X que es el alcance:
X= V0X . t
45
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo, ES UNA TRAYECTORIA
PARABÓLICA
X = V0X. t
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2
2
X= t
V0X
Y = h0 + V0Y . X - g . X 2
V0X
2 V0 2
Ecuación de la trayectoria
La ALTURA MÁXIMA se obtiene teniendo en cuenta que en ese punto el vector
velocidad resulta horizontal luego la componente Vy de la velocidad es cero.
VoY - g.t = 0 de aquí sacamos el tiempo y para determinar la altura vamos a la
componente Y del vector de posición que mide las diferentes alturas e
introducimos el valor de tiempo obtenido :
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2
2
46
Para un tiro oblicuo hacia abajo:
V0X

V0Y
Y
V0y
h0
V0
V0x
V0
El vector de posición tiene
1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las
alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )
2
r
r = (V0X . t ) i + ( h0
alcance
- V0Y . t -
1. g.t2 ) j (m)
2
la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( -VoY - g.t ) j m/s
Y = h0 - V0Y . X - g . X 2
V0X
2 V0 2
Ecuación de la trayectoria
47
EJEMPLO
•
•
Un arma dispara un proyectil cuya velocidad de salida es de 400 m/s y forma con la
horizontal un ángulo de 30º. Calcula: a) El alcance máximo medido horizontalmente.
b) La altura máxima alcanzada. c) La velocidad a los 4 s del lanzamiento.
a) El alcance máximo se obtiene teniendo en cuenta que al salir y al llegar su
posición en y es: y0 = 0 e y = 0; de modo que con la ecuación del MRUA vertical para
1
la posición y  y0  V0 y ·t  g ·t 2 y sustituyendo calculamos el tiempo y
1 22
0  0  400·sen30·t  9,8·t
2
t
400·sen30
 40,8 _ s
4,9
x  x0  V0 x ·t
•
•
con éste y la ecuación de la posición para el MRU horizontal
•
b) Cuando se consigue la altura máxima, vy = 0. Por tanto:
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V =V0·sen30 – gt = 0  t= (V0·sen30)/g = (400·0,5)/9,8 = 20,41s
y sustituyendo en la ecuación [Y]:
1
y  400·05·20,41  9,8·20,412  2041,2 _ m
c) Velocidad a los 4 s:
2



Vx  V ·cos 30  346,41i _ m / s Vy  V ·sen30  g·t  (200  9,8·4) j  160,8 j _ m / s
x  0  400·cos 30·40,8  14139,2 _ m

V  346,412  160,82  381,9 _ m / s
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CUESTIONES
1. un pastor lanza una piedra con una honda alcanzando un objetivo que está a 200 m
en la horizontal del tiro de lanzamiento. Si el ángulo de salida fue de 45º, calcula la
velocidad de lanzamiento. Calcula también la altura máxima alcanzada y el tiempo
de vuelo (g = 10 m/s2). Soluc.: V0 = 44,72 m/s; y = 50 m; t = 6,32 s.
2. Si el lanzamiento del problema anterior se hubiese efectuado en la Luna, halla la
distancia alcanzada y el tiempo tardado (gL = 1,63 m/s2). SOLUC.: x = 1 227 m; t =
38,8 s.
3. En un salto, una pulga ha cubierto una distancia horizontal de 40 cm. Suponiendo
que haya efectuado el salto con la inclinación óptima para lograr la distancia máxima,
¿con qué velocidad impulsó su salto? (g = 10 m/s2). Soluc.: V0 = 2 m/s.
4. En una competición universitaria un lanzador de martillo ha alcanzado la distancia de
64,20 m. Suponiendo que la bola sale con un ángulo de 45º, calcula la velocidad de
lanzamiento y la aceleración centrípeta a que estaba sometida la bola en el momento
de ser lanzada, si el radio de la circunferencia descrita medía 1,20 m (g = 10 m/s2).
Soluc.: V0 = 25,34 mls, an = 535 m/s2.
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