Download unidad ii: conjuntos numéricos

UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Presentación
En esta unidad se aborda el estudio de los conjuntos numéricos, la operatoria y propiedades en
ellos, dando énfasis al trabajo de operatoria básica en IR, potencias, raíces y logaritmos.
En el estudio de esta unidad es importante aprender las propiedades de potencias, raíces y
logaritmos, ya que éstas son la base de la operatoria, de la resolución de ejercicios, ecuaciones y
problemas que se abordarán más adelante.
Se encuentra en esta sección una revisión de los conceptos principales de la unidad, con ejemplos
y ejercicios desarrollados. Además se proponen ejercicios, problemas y una autoevaluación de
modo que puedan ser medidos los aprendizajes esperados.
Objetivos Específicos
Al término de esta unidad, el estudiante será capaz de:







Reconocer los distintos conjuntos numéricos y su operatoria.
Establecer las propiedades y operatoria de las potencias.
Explicar las propiedades y operatoria de las raíces.
Explicar las propiedades y operatoria de los logaritmos.
Resolver operatoria combinada de números reales aplicando las propiedades.
Utilizar calculadora científica para resolver operatoria combinada de números reales.
Valorar el uso de la operatoria aritmética y algebraica para cuantificar los problemas de su
actividad profesional.
Los contenidos de esta unidad son los siguientes:
Unidad
Temas
Tema 1: Conjunto de los Números Naturales (IN).
Tema 2: Conjunto de los Números Cardinales (IN0).
Tema 3: Conjunto de los Números Enteros (Z).
Unidad II: “Conjuntos Numéricos”.
Tema 4: Conjunto de los Números Racionales (Q).
Tema 5: Conjunto de los Números Irracionales (Q* o I).
Tema 6: Conjunto de los Números Reales (IR).
Tema 7: Potencias.
Tema 8: Raíces.
Tema 9: Logaritmos.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tema 1: Conjunto de los Números Naturales (IN)
El conjunto de los números naturales se representa, como todo conjunto, por una letra mayúscula
que este caso es una IN y corresponde al siguiente conjunto numérico: IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.....},
estos números son los que se utilizan principalmente para contar objetos existentes.
Las operaciones que se definen matemáticamente para este y los otros conjuntos son la adición y
la multiplicación. La sustracción y la división no son operaciones definidas independientemente de
las anteriores.
Sumar, restar, dividir y multiplicar es algo que se aprende desde muy niños, pero cabe ahora
estudiar más detalladamente las operaciones y algunas consideraciones con respecto a los números
naturales. Estos aspectos relevantes se abordan a continuación:

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la
multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un
número perteneciente a N.
Ejemplo 1: (5 + 6) = 11, el 11 pertenece a N y (5 · 7) = 35, el 35 también pertenece a N.

Sólo están definidas en IN la sustracción cuando el sustraendo en mayor que el minuendo y
la división en la que el divisor cabe un número exacto de veces en el divisor.
Ejemplo 2: (3 – 5) = -2, y -2 no es un elemento de IN (-2  N) y (1: 4) = 0,25; y 0,25 no es un
elemento de N (0,25  N).

Todo número natural tiene un sucesor, que corresponde al número natural aumentado en
una unidad.
Por ejemplo: El sucesor de 45 es 46, el de 1.222 es 1.223, etc.

Todo número natural, exceptuando el “1”, tiene un antecesor (el antecesor de un número
natural es el número disminuido en una unidad).
Por ejemplo, el antecesor de 66 es 65, el de 456 es 455, etc.

El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último número
natural.

Además, este conjunto se puede separar en dos subconjuntos:
a) El de los números pares: {2,4,6,8,10,12,14,16,18………………2n; con n  N}
b) El de los impares: {1, 3, 5, 7, 9,11,…………..2n-1}

Los conceptos de sucesor y antecesor, se pueden también generalizar para los números
pares e impares, obteniendo de esta forma los conceptos de “par sucesor” y “par
antecesor”, “impar sucesor” e “impar antecesor”. Por ejemplo, el impar sucesor de 11 es
13 y el par antecesor de 88 es 86.

Otro subconjunto importante de IN, que se debe estudiar es el de los Numero Primos, que
son aquellos que son divisibles por 1 y por si mismo a excepción del número “1”. Los
primeros números primos son: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23,...} (no existe una regla de
formación para ellos.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números primos son de mucha importancia, porque permiten afirmar que todo número
natural se puedan expresar, de manera única, como producto de números primos. Por
ejemplo, el número 15, se puede expresar como el producto de 3 5 . Esta
descomposición se llama factorización prima y tiene importancia para el cálculo del
Mínimo Común Múltiplo y el Máximo común divisor.
Propiedades de la Adición en los Números Naturales:
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
a) Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a N, esto se puede apreciar
claramente, ya que 2 + 5 = 7, es lo mismo que 5 + 2 =7.
b) Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a N. lo anterior se
verifica mediante el siguiente ejemplo: (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolviendo los paréntesis
resulta que 7 + 6 = 5 + 8 → 13 = 13
c) Propiedad de Clausura: Para todo número a y b perteneciente al conjunto de los números
naturales se cumple que (a + b)  a N.
-
Observe que no existe la propiedad de neutro aditivo ya que el cero (0) no pertenece a este
conjunto para que se cumpla que a +0 = a
-
No existe tampoco el inverso aditivo tal que se cumpla que a - a= 0, ya que los números
negativos tampoco pertenecen a este conjunto y además el 0 no es un número natural.
Propiedades de la Multiplicación en los Números Naturales:
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:
a) Conmutatividad: Para todo número que representaremos con las letras a y b, ambos
pertenecientes al conjunto de los números naturales se cumple que (a · b) = (b · a), esto se
puede apreciar claramente, ya que 2 · 5 = 10, es lo mismo que 5 · 2 = 10.
b) Asociatividad: Para todo (  ) número a, b y c
 al conjunto de los números naturales (IN)
se cumple (a  b)  c  a  (b  c) , lo anterior se puede verificar mediante el siguiente ejemplo
(5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolviendo los paréntesis se tiene (10 · 6) = (5 · 12)
c) Elemento Neutro:  (para todo) número natural que denominaremos con la letra a, existe
un numero tal que se cumple que a · 1 = a, por lo tanto el 1 es el neutro multiplicativo. Es
decir que todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento.
Ejemplos: 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9
d) Distributividad: a· (b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN, lo anterior se verifica
mediante el siguiente ejemplo: 5· (3 + 6) = 5·3 + 5·6 → 5·9 = 15 + 30 → 45 = 45
e) Propiedad de Clausura: Para todo número a y b perteneciente al conjunto de los números
naturales se cumple que (a  b)  a IN,  a, b  N.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tema 2: Conjunto de los Números Cardinales (IN0)
Los números cardinales se representan por IN y corresponde al conjunto numérico compuesto por
0
los siguientes números: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}.
0
También podemos definir a los números cardinales como IN U {0}. La aparición del cero solucionó
muchos de los problemas de notación numérica existentes, pero también trajo algunas dificultades,
como el de las indeterminaciones en algunas operaciones.
Nota que la división por 0 no existe ya que, al tratar de dividir por ejemplo, 5 : 0, no se encontrará
ningún número que multiplicado por 0 de por resultado 5.
Básicamente la operatoria en los números cardinales es la misma que en los números naturales, sin
embargo, existen diferencias fundamentales cuando analizamos las propiedades de la adición y la
multiplicación.
Propiedades de la Adición en los Números Cardinales:
En los números cardinales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
a) Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN0, esto se puede apreciar
claramente, ya que 3 + 7 = 10, es lo mismo que 7 + 3 =10.
b) Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN0. Lo anterior se
verifica mediante el siguiente ejemplo: (3 + 2) + 9 = 3 + (2 + 9). Resolviendo los paréntesis
resulta que 5 + 9 = 3 + 11 → 14 = 14
c) Propiedad de Clausura: Para todo número a y b perteneciente al conjunto de los números
cardinales se cumple que (a + b)  a IN0.
d) Propiedad del elemento neutro aditivo: Para todo cardinal que denotaremos por a, existe
un elemento neutro aditivo, que es “0”, talque a +0 = a.
Propiedades de la multiplicación en los Números Cardinales:
En los números cardinales se cumplen exactamente las mismas propiedades de la multiplicación
que los números naturales, es decir la propiedad de clausura, conmutativa, asociativa, del
elemento neutro, distributiva y de clausura.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tema 3: Conjunto de los Números Enteros (Z)
Los números surgen de la necesidad de representar matemáticamente la realidad. Así como los
números naturales (IN) surgen de la necesidad del hombre de contar, los números enteros surgen
de la necesidad del hombre de expresar numéricamente ideas como la distancia que se ha
sumergido un submarino, la cantidad de dinero que se debe, etc.
Los números enteros vienen también a dar solución a problemas como 34 – 67, que hasta el
momento (en IN y en los números cardinales) no tenían solución.
Si tomamos una recta y en ella señalamos con un punto al 0 y la dividimos a derecha e izquierda
en longitudes iguales, tendremos la recta numérica:
Convencionalmente a la izquierda se representan los números negativos y a la derecha los positivos.
Algunos conceptos asociados al conjunto de números enteros y a sus elementos son las siguientes:

Valor absoluto: Es la distancia entre el número y el cero en la Recta Numérica. Se
representa entre barras. Nota que, por ser una distancia, el valor absoluto de un número
es siempre positivo.
Ejemplo 3:

2) 8  8
Orden en Z: Diremos que Z es un conjunto ordenado porque se puede establecer una
relación de orden (>, <, =) entre sus elementos. Se dice que un número entero es mayor
que otro si en la recta numérica el primero se halla más a la derecha que el segundo
(ejemplo: el 5 es mayor que 2; el - 4 es mayor que - 5).
Ejemplos 4:

1) 5  5
1) – 3 > - 5
2) 8 < 17
3) 61 = 61
Opuesto de un número entero: El opuesto de un número “a”, es el simétrico de a con
respecto al 0 en la recta numérica.
Ejemplo 5: El opuesto de 5 es – 5 o el opuesto de – 5 es 5.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Operatoria en el Conjunto de los Números Enteros:
A) Adición en Z:
Debemos distinguir 2 casos:
a) Si tienen igual signo: Se suma y se conserva el signo de los sumandos.
Ejemplo 6:
1) 18 + 6
= 24
2) – 32 + – 5 = – 37
b) Si tienen distinto signo: Se resta y se conserva el signo del número de mayor valor
absoluto.
Ejemplo 7:
1) – 18 + 6 = – 12
2) 18 + – 4 = 14
B) Sustracción en Z:
Se define la resta de dos números enteros como la suma del opuesto del sustraendo.
Ejemplo 8:
1)
-
   
2)
    
En general, a  b   b  a . Por ejemplo:    y      
Nota que, si bien ahora la sustracción está definida siempre (esto es que siempre se puede
realizar), la división aún sigue estando definida de la misma manera que en IN.
C) Multiplicación o división en Z:
Se multiplican o dividen los números sin tomar en cuenta los signos. El signo del resultado
será positivo si ambos números son del mismo signo y negativo si los números son de distinto
signo. Una buena manera de representar la ley de los signos en este caso es:
  
  
  
  
Ejemplo 9:
1)
3)
 
 
2)

 
4)



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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Propiedades de la Adición en Z:
a) Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a Z, esto se puede apreciar
claramente, ya que -3 + 7 = 4, es lo mismo que 7 - 3 =4.
b) Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a Z. Lo anterior se
verifica mediante el siguiente ejemplo: (-3 + 2) + 5 = -3 + (2 + 5). Resolviendo los paréntesis
resulta que -1 + 5 = -3 + 7 → 4 = 4
c) Propiedad de Clausura: Para todo número a y b perteneciente al conjunto de los números
enteros se cumple que (a + b)  a Z.
d) Propiedad del elemento neutro aditivo: Para todo entero que denotaremos por a, existe un
elemento neutro aditivo, que es “0”, talque a +0 = a.
e) Propiedad del inverso aditivo: Para todo entero que denotaremos por a, existe un elemento
que llamaremos inverso aditivo y que denotaremos por –a, tal que se cumpla que a+(-a)=0.
Por ejemplo el inverso aditivo del entero (-8) es el 8, ya que (-8)+8=0
Propiedades de la multiplicación en Z:
En los números enteros se cumplen exactamente las mismas propiedades de la multiplicación que
los números naturales y cardinales, es decir la propiedad de clausura, conmutativa, asociativa, del
elemento neutro, distributiva y de clausura.
Prioridad operatoria en Z:
Llamamos prioridad operatoria al orden que debe ser seguido al resolver ejercicios de operatoria
de números cuando intervienen en él más de una operación y, también paréntesis, potencias, etc.
Este es:
1)
2)
3)
4)
Potencias
Paréntesis (desde dentro hacia fuera)
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas (de izquierda a derecha)
Ejemplo 10:
1)
 
 



2)
 
  
 

    
 


 
 



3) Un obrero gana $ 5.600 por día y gasta $ 3.100. ¿Cuánto ahorra en seis meses si trabaja
26 días por mes?







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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tema 4: Conjunto de los Números Racionales (Q)
Los números racionales surgen de la necesidad de expresar a través de números partes de un
entero. Por ejemplo, si una persona se come un trozo de torta, no se puede decir que comió 0 ó 1,
sin embargo, como el trozo de torta es cuantificable, debiera existir un número que represente
esta situación.
Por otro lado, los números racionales vienen a dar solución a problemas de división como el
siguiente, 4: 5 o 7: 8.
Algunos conceptos asociados al conjunto de los racionales y a sus elementos son:

El conjunto de los números racionales es aquel que contiene a todos los números que se
pueden escribir como fracción. Matemáticamente se anota como:
a


Q   x / x  , a  b  Z , b  0
b



Los números enteros son racionales pues se pueden expresar como cocientes de ellos
mismos por la unidad
a
a
1

En una fracción se distinguen:

Se pueden representar gráficamente las fracciones de la siguiente manera:

Fracciones equivalentes: Se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan el
mismo número. Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar.
Observa:
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS

Amplificación y simplificación

Amplificar es multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número.
Ejemplo 11:


Simplificar es dividir el numerador y el denominador por un mismo número. A la fracción
que ya no se puede simplificar más se le llama fracción irreductible.
Ejemplo 12:



Fracción
Irreducible

Números mixtos: Se pueden escribir como números mixtos todas aquellas fracciones en las
que el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo 13:
1)


 

2)

 

Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el
menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Se utilizará para suma y resta de
fracciones.
Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se utilizará una tabla,
donde los divisores serán números primos (que son divisibles sólo por 1 y por sí mismos),
hasta terminar con todas las columnas en 1, luego el M.C.M. será el producto de todos los
divisores. Observa los siguientes ejemplos:
Ejemplo 14:
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
- Nota que en la definición dada del conjunto Q, se pide que el denominador sea distinto de cero.
Piensa en lo siguiente:
a)
c)


 

  (no existe un número que multiplicado por 0 de 7)
b)


 
- Un método para comprobar si dos fracciones son equivalentes es “multiplicar cruzado”. Observa:

 
 
- Cada vez que se trabaja con números racionales es deber simplificar las fracciones resultantes
hasta la fracción irreductible.
Operatoria en el Conjunto de los Racionales:
A) Adición y sustracción:
Se deben distinguir dos casos:
a) Igual denominador: se conserva el denominador y se suman o restan (dependiendo de
la operación pedida) los numeradores.
Ejemplo 15:
1)
 
2)




b) Distinto denominador: se deben igualar los denominadores al M.C.M. entre ellos y
luego amplificar cada fracción de modo que se tengan fracciones de igual
denominador para operar como se hizo anteriormente (en (a)).
Ejemplo 16:
2)










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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
B) Multiplicación:
Se deben multiplicar los numeradores y los denominadores (por separado). Si es posible
simplificar (cruzado o vertical) es conveniente hacerlo.
Ejemplo 17:
 
1)

2)



C) División:
La división es la multiplicación del inverso del divisor. Por lo tanto, para dividir se cambia
la división por multiplicación y el divisor se invierte.
Ejemplo 18:
Propiedades de la Adición en Q:
a) Propiedad Conmutativa: “El orden de los sumandos no altera la suma” esta propiedad se
cumple para cualquiera que sea los números racionales que se sumen, y recibe el nombre
de propiedad conmutativa de la adición. Por ejemplo:
1)
2)
6
7
+
−3
5
−3
5
=
30+(−21)
35
6
(−21)+30
7
35
+ =
=
=
9
35
9
35
b) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta
propiedad se verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen,
y recibe el nombre de propiedad asociativa de la adición. Por ejemplo:
1)(
5
3
+
(−3)
7
8
12
)+
=(
40+(−9)
24
=
+
7
12
)
31 7
31 + 14 45
+
=
=
24 12
24
24
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
5
2)
3
(−3)
+(
8
+
7
12
5
(−9)+14
3
24
)= +(
=
)
5 5
40 + 5 45
+
=
=
3 24
24
24
c) Elemento Neutro: Cualquier número racional
a
a
, sumando con cero (0) es igual a . El
b
b
cero (0) se llama elemento neutro de la adición. Por ejemplo:
5
5 0 5+0 5
+0= + =
=
9
9 9
9
9
d) Inverso Aditivo: en general si
a
a
a
es un número racional, entonces:
+= 0, ya que
b
b
b
todo número racional tiene un opuesto con respecto a la adición. Por lo tanto, el inverso
aditivo de
a
a
es  . Por ejemplo:
b
b
3
−3
3 + (−3) 0
+( )=
= =0
5
5
5
5
e) Clausura: Siempre al sumar dos números racionales se obtendrá por resultado un número
racional.
Propiedades de la multiplicación en Q:
Además de las propiedades nombradas para los conjuntos anteriores, la multiplicación en Q tiene
inverso multiplicativo.
a) Propiedad Conmutativa: En la multiplicación de números racionales del orden de los
factores no altera el producto. Es decir:
a c c a
  
b d d b
. Por ejemplo:
 3 5 5  3  15
  

4 9 9 4
36
b) Propiedad Asociativa: En la multiplicación de los números racionales la forma de agrupar
los factores no altera el producto. Es decir:
1)(
4 (−1) −8

5
3

7
4(−1)
=(
4
(−1) −8
2)  (
 7)
5
3
5 3
)
(−8)
7
)=
4
(−1)(−8)
5
3 7
= (
a c e
c a e
(  )  (  )
b d f
d b f
(−4) (−8)

15
4
)= 
8
5 21
7
=
=
48
521
. Por ejemplo:
(−4)(−8)
157
=
=
32
105
32
105
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
c) Elemento Neutro: 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números racionales.
Es decir:
a
a 1 a
1   
b
b 1 b
. Por ejemplo:
3
3 1 3
1   
7
7 1 7
d) Inverso Multiplicativo: cada número racional, distinto de cero, tiene un inverso
multiplicativo. Es decir:
a b a b
2 3 6
 
 1. Por ejemplo:    1
b a ba
3 2 6
Entonces, el inverso multiplicativo de
a
b
es
b
a
e) Propiedad Distributiva: Al multiplicar un número racional por una suma indicada se
obtiene el mismo resultado que si multiplicamos este número por cada sumando, luego
sumamos. Es decir:
a  c e   ac ae 
 . Por ejemplo:
    

b  d f   b  d b  f 
1)
3  2 5  3 19 57 19


 


7  5 3  7 15 105 35
2)
3 2 3 5 6 15 19

  


7 5 7 3 35 21 35
Operatoria combinada en Q:
Para realizar ejercicios de operatoria combinada se debe respetar el orden operatorio antes
mencionado.
Ejemplo 19:
1)

2)








 









 







 





 

3)




 










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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Decimales:
Algunos de los decimales son números racionales. Miremos el siguiente diagrama:
Entonces, si los decimales finitos, periódicos y semi periódicos son números racionales, se pueden
escribir como fracciones y viceversa. Estudiemos como:

Transformación de fracción a decimal.
Para transformar una fracción a decimal se debe dividir el numerador por el denominador. Se
obtendrá un decimal finito o periódico o semi periódico.
Ejemplo 20:
1)

2)

3)



(decimal finito)



(decimal periódico)

(decimal semi periódico)
Transformación de decimal a fracción.
Sólo se pueden transformar los decimales finitos, periódicos y semi periódicos a fracción ya
que sólo estos son números racionales.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
a) Decimales finitos.
En el numerador, se anotan las cifras significativas del decimal y en el denominador, una
potencia de 10, con tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si es posible se
debe simplificar.
Ejemplo 21:
1)

2)


b) Decimales periódicos.
En el numerador, se anotan las cifras significativas del decimal y en el denominador, tantos
9 como cifras decimales tenga el número. Si es posible se debe simplificar.
Ejemplo 22:
1)

2)

c) Decimales semi periódicos.
En el numerador, se anota la diferencia entre todas las cifras significativas del decimal y
las que no tiene periodo y en el denominador, tantos 9 como cifras decimales tenga el
periodo y tantos ceros como cifras tenga el ante periodo. Si es posible se debe simplificar.
Ejemplo 23:
1)




2)



Para resolver ejercicios que contengan operatoria de decimales periódicos y semi periódicos, éstos
se deben transformar a fracción primero y luego resolver el ejercicio. NO se pueden operar
decimales periódicos y semi periódicos sin haberlos transformados a fracción primero.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tema 5: Conjunto de los Números Irracionales (Q* o I)
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos
anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número  (Pi), e, etc.
A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no
pueden transformarse en una fracción. Sólo se puede dar una aproximación de su valor real.
Ejemplo 24:
1)  = 3,141592…
2) e = 2,7182...
3)
2 =1,4142…
Tema 6: Conjunto de los Números Reales (IR)
El conjunto de los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto
a los números naturales, cardinales, enteros, racionales e irracionales, que como ya señalamos son
aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no
periódicas.
Nota que se cumple que: IN
 INo, IN0  Z, además Z  Q y IR = Q  Q *
La adición y multiplicación en IR cumplen con la totalidad de las propiedades ya vistas para estas
operaciones en Z.
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tema 7: Potencias
Las potencias nos permiten representar de manera abreviada una multiplicación de factores
iguales. Son la base de conceptos fundamentales del álgebra y se aplican en variados problemas.
Definición.
Definiremos una potencia como:
En una potencia se distinguen los siguientes componentes:
Nota que el exponente siempre es un número entero.
Ejemplo 25:
1)
3) (
     
6 0
) =1
13
2) (
4)
3 3
3 3 3
27
) = 5  5  5 = 125
5



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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Algunas Consideraciones con Respecto a las Potencias.
a) Signo del resultado de una potencia de base negativa.
Ejemplo 26:
1)  

   
2) (−
1 3
1 1
1
1
) = 22 − 2 = 8
2
b) Correcto uso de paréntesis.
El correcto uso de paréntesis en las potencias es muy importante. En general:
 

Ejemplo 27:
1)  

     
2) 
    
c) Potencia de base fraccionaria y exponente negativo.
En general,
𝑎 −𝑛
( )
𝑏
𝑏 𝑛
=( )
𝑎
Ejemplo 28:
1)
4 −5
( )
5
5 5
3.125
4
1.024
=( ) =
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Propiedades de las Potencias.
Las propiedades de las potencias son reglas que se cumplen en cualquier potencia, no importando
en tipo de exponente que tenga. Las propiedades se pueden demostrar y dicen cómo se pueden
operar las potencias.
a) Multiplicación de potencias de igual base.
Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.



Ejemplo 29:

1)
1 −7
1 4
1 −3
2) ( )

( ) ( )
5
5
5

b) División de potencias de igual base.
Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.


Ejemplo 30:

1)

2)


c) Multiplicación de potencias de igual exponente.
Para multiplicar potencias de igual exponente, se conserva el exponente y se multiplican las
bases.

 

Ejemplo 31:
1)

 



  
2)    
  



  






 
  

 

Nota que esta propiedad también puede ser vista como la potencia de un producto. Si en una
potencia la base es un producto, entonces será lo mismo que calcular el producto de las
potencias.
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19
UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ejemplo 32:
1)








d) División de potencias de igual exponente.
Para dividir potencias de igual exponente, se conserva el exponente y se dividen las bases.

 
 
 

Ejemplo 33:
1) 52 : 254
5 4
1 4
1
=( ) =( ) =
25
5
625
2)









e) Potencia de una potencia.
Para elevar una potencia a un número entero se debe conservar la base y multiplicar los
exponentes.
 


Ejemplo 34:
1)
 
−3
5 −2

2) ((
) )
9
5 6
=( )
9
Nuevamente hay que cuidar el correcto uso de paréntesis. Observa:
 




Nota que las propiedades de las potencias hacen referencia a multiplicaciones y divisiones.
Cuando hay sumas y restas involucradas se debe calcular el valor de las potencias y luego
operar.
Operatoria Combinada con Potencias.
Revisemos unos ejemplos de operatoria combinada de potencias y como se aplican a problemas.
Ejemplo 35:
Calcule el valor de las siguientes potencias y luego resuelva los ejercicios:
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UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
1 2
1 1
5
4
9
( ) + 5−1 = + =
+
=
2
4 5 20 20 20
Tema 8: Raíces
Las raíces están íntimamente relacionadas con las potencias. Por un lado, permiten calcular la base
de una potencia cuando se conoce su valor y, por otro, dan respuesta al problema del cálculo de
una potencia cuando el exponente es una fracción.
Definición.
Definiremos una raíz como:
𝑛
√𝑎 = 𝑏 , 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖: 𝑏 𝑛 = 𝑎
En esta notación distinguiremos:
También definiremos una raíz como una potencia de exponente fraccionario, de la siguiente
manera:
𝑎
𝑚⁄
𝑛
𝑛
= √ 𝑎𝑚
Ejemplo 36:
1)


Nota que en este caso     . Para las raíces de índice par los resultados pueden ser positivos
o negativos. A los positivos se les llama raíz principal y, a los negativos, raíz secundaria. Esta última
sólo se considera cuando se resuelven ecuaciones. Para los ejercicios de cálculo de raíces y
operatoria con raíces solo se considerará la raíz principal.
2)
4
√1.296 = 6 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 64 = 1.296
3
3) √−125 = −5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−5)3 = −125
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21
UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
R
4) √−9 no existe en
, ya que no hay un número real que, al elevarlo al cuadrado, de por
resultado un número negativo.
En general, las raíces de índice par y cantidad subradical negativa, no son números reales. Por lo
tanto diremos que aquellas raíces no existen en
5) (
1
1⁄
3
)
729
=
3
1
1
√729 = 9
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
1
R.
3
(2)
=
1
729
Propiedades de las Raíces.
Al igual que para las potencias, las propiedades de las raíces indicarán la forma en que se pueden
operar raíces.
a) Multiplicación de raíces de igual índice.
Para multiplicar raíces de igual índice se conserva la raíz y se multiplican las cantidades
subradicales.
Ejemplo 37:
1)
√2 √8 = √16 = 4
2)
√3 √7 = √21
3
3
3
b) División de raíces de igual índice
Para dividir raíces de igual índice se conserva la raíz y se dividen las cantidades
subradicales.
Ejemplo 38:
1)
√45: √5 = √9 = 3
2)
5
5
5
5
5
√ 512 : √ 59 = √ 512 : 59 = √ 53 = √125
c) Multiplicación y división de raíces de distinto índice.
Para multiplicar o dividir raíces de distinto índice se deben igualar éstos primero. Para ello,
se escribirá cada raíz como una potencia de exponente fraccionario y se amplificarán los
exponentes de modo que queden con igual denominador (M.C.M.), para después operarla
como potencias o como raíces de igual índice.
Ejemplo 39:
1)
3
1
1
2
3
√ 7  √ 5 = 7 ⁄3 5 ⁄2 = 7 ⁄6 5 ⁄6 = 6√ 72  6√ 53 = 6√6.125
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22
UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
d) Descomposición de una raíz.
Se utiliza cuando el valor de las raíces no son números racionales, pero la cantidad
subradical se puede descomponer en un producto donde al menos uno de sus factores tiene
raíz exacta.
Ejemplo 40:
√28 = √47 = √4 √7 = 2 √7
Esta propiedad permite sumar o restar raíces, si se logra reducir todo a raíces que tengan
la misma cantidad subradical y el mismo índice.
Ejemplo 41:
√12 + √27 − √108 = √34 + √39 − √336 = 2 √3 + 3 √3 − 6 √3 = − √3
e) Raíz de una raíz.
Para extraer raíz de una raíz se conserva la cantidad subradical y se multiplican los índices.
𝑛 𝑚
√ √𝑎 =
𝑛𝑚
√𝑎
Ejemplo 42:
4
√ √2 = 8√2
Nota que, para utilizar esta propiedad no debe haber números entre las raíces. Si eso sucede,
se deben introducir los números en la raíz. Para esto, se hará elevando el número al índice de
la raíz.
Ejemplo 43:
3
√5 3√2 = √ √ 53 2 = 6√250
f) Potencia de una raíz.
Para elevar una raíz a un número racional, se debe elevar la cantidad subradical a dicho
número y conservar la raíz.
Ejemplo 44:
2
3
2
3
( √2) = √ 2
=
3
√4
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23
UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Algunas generalizaciones que se desprenden de las propiedades de las potencias son las
siguientes:
𝑛
𝑛
𝑛
1) ( √𝑎) = √ 𝑎𝑛
=𝑎
2) Se pueden simplificar el exponente de la cantidad subradical y el índice de la raíz, esto es:
2
1
√ 25 = 4√ 52 = 5 ⁄4 = 5 ⁄2 = √ 5
4
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24
UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tema 9: Logaritmos
Los logaritmos están relacionados también con las potencias y las raíces. Mientras con las raíces se
calcula la base de una potencia, con los logaritmos se da respuesta a la búsqueda del exponente
de una potencia.
Definición.
Definiremos un logaritmo de la siguiente manera:


Ejemplo 45:

1)

2)








En un logaritmo distinguiremos:
Para no olvidar...
1)
2)
no existe ya que ninguna potencia de base distinta de cero (a) dará como resultado 0.

cualquiera sea la base, para que una potencia de base a de por resultado 0, el
exponente debe ser 0.
3)

4)

cuando la base de un logaritmo es 10, ésta no se anota explícitamente.
cuando la base del logaritmo es “e” (número irracional), entonces se anotará ln
(logaritmo natural)
5)
 
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25
UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Propiedades de los logaritmos.
a) Logaritmo de un producto.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada factor.




Ejemplo 46:

1) Si
, calcule el valor de los siguientes logaritmos, sin hacer uso de la
calculadora:


a)

b)






  



 



 
b) Logaritmo de un cuociente.
El logaritmo de un cuociente (división) es igual a la diferencia entre el logaritmo del
dividendo y el logaritmo del divisor.
𝑏
b – log a c
(𝑐 ) =
Ejemplo 47:
1) Si

y

, calcule el valor del siguiente logaritmo, sin hacer uso
de la calculadora:
30
(2) =
310
(
2
)=

c) Logaritmo de una potencia.
El logaritmo de una potencia
es igual a n veces el logaritmo de la base.

b
Ejemplo 48:
1) Si

, calcule sin hacer uso de la calculadora, el siguiente logaritmo:
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26
UNIDAD II: CONJUNTOS NUMÉRICOS








 
 
  
 
 
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27