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Congruencias y semejanzas
de figuras planas
¿Cómo son las figuras
mostradas?
Son idénticas
2
Ejemplos de Congruencia

.
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia

Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamaño, es decir,
si al colocarlas una sobre otra son
coincidentes en toda su extensión.
Criterios de congruencia
Triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes si y sólo
si sus partes correspondientes son
congruentes.
D
A
B
C
ABC 
DEF
E
F
Definición: Dos triángulos ABC y DEF
son correspondientes si:
Sus lados correspondientes son iguales
 Sus ángulos correspondiente son iguales.
 En la figura

AB  ED;BC  DF ; AC  EF
C
F


A

B



E
D
Postulado LLL

Si los lados de un triángulo son congruentes
con los lados de un segundo triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
A
D
C
B
ABC 
E
DEF
F
Postulado AAL

Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo
son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido
de otro triángulo, los triángulos son congruentes.
A
D
F
C
B
E
ABC 
EFD
Ejercicio 1
En la figura, se tiene un triángulo
ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido
su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles
triángulos son congruentes?
Ejercicio 2
Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han
construido las figuras que están a sus lados copiándolo
varias veces y colocándolo en diferentes posiciones.
 Analiza los ángulos que son congruentes en las
distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el
cuadrado que se forma es congruente en ambas
figuras?
Ejercicio 3
PROPORCIONALIDAD DE
SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
PROPIEDAD
BASE MEDIA
B
AC
MN 
2
N
M
A
C
MN // AC
19
FIGURAS SEMEJANTES
¿Cómo son las figuras mostradas?
Son proporcionales
Son semejantes
21
Semejanza
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales y
sus lados correspondientes
proporcionales.
• Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.
Dos figuras del
plano son
semejantes si los
cocientes de de los
segmentos
determinados por
pares cualesquiera
de puntos
correspondientes
son iguales.

ML
M 'L '
es la razón de semejanza
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y
los ángulos iguales.
a b c
El cociente    k
a ' b' c'
se llama razón de semejanza.
SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS
26
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
A
6m
C
5m
4m
B
Multiplica cada uno de los lados por 3.
P
18m
15m
R
Los lados del triángulo se han triplicado.
12m
Q
29
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA :
3
LADOS HOMÓLOGOS
AB
BC
AC
:
PQ
QR
PR
Además:
Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos
afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide
3a.
Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo
ABC se triplica en el triángulo PQR.
30

¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar
la semejanza de dos triángulos?
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
solo ojo queden
alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.
Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas
habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y
distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos.

En este caso, es necesario que la persona pueda observar
el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.
CASOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
34
Criterios de semejanza de triángulos

existen algunos principios que nos
permiten determinar si dos triángulos
son semejantes sin necesidad de medir
y comparar todos sus lados y todos sus
ángulos. Estos principios se conocen
con el nombre de criterios
de
semejanza de triángulos
Existen tres criterios de
semejanza de triángulos
1.
2.
3.
AA ( ángulo-ángulo)
LLL (lado-lado-lado)
LAL (lado-ángulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes
congruentes, entonces el tercero también será congruente y los
triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
I.
Primer criterio AA

Dos triángulos que tienen los dos
ángulos congruentes son semejantes
entre sí.
A´
A
´


C

B
´
C’
´
Es decir: Si   ´ ,   ´ de lo anterior se deduce que
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´
B´
  ´
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65
65
25
¡SI!
Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA
II. Segundo criterio LLL

Dos triángulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre sí.
A´
A
b
a
C
Es decir:
c
B
b´
a´
C’
B´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
recibe el nombre de
razón de semejanza.
c´
a
b
c
a´ = b´ = c´ =K
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´
Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
P
1,5
B
C
3,5
1,5
3,5
=
3
7
=
5
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
7
5
A
10
Q
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por
criterio LLL
3
R
III. Tercer criterio LAL

Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales
y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son
semejantes entre sí.
A´
A
a
C
a´

c
B
´
C’
Es decir:
a = c
a´
c´
y
c´
 = ´
Entonces D ABC semejante a D A´B´C´
B´
Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
D
A
9
3
9
= 4
12
E
3
C
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL
B
4
12
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos
F
Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Ejercicio


Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y
halla la razón de semejanza.
a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Efectivamente, al calcular
Representemos el ejercicio
los productos “cruzados”,
65
podemos ver la
12
proporcionalidad entre las
8
medidas de los lados
78
respectivos
10
52
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales
52 = 65 = 78 =
8
10
12
6,5
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
65 : 10 = 6,5
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
Ejercicio

Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
3
5
x=9
Representamos la situación
12 = y
4
z =15
Luego, debe ocurrir:
X
Y
Z
3
=
= 5 =
=3
3
4
1
Escala de
ampliación
Entonces:
La razón de
semejanza es 3
X=3
3
Y
4 =3
Z =3
5
X= 3· 3 = 9
Y = 4 · 3 =12
Z = 5 · 3 = 15
Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados
de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso
afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.
50
20
30
12
16
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
“cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
además
40x20=800 y 16x50=800
40
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales
30 = 40 = 50
12
16
20
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
50 : 20 = 2,5
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué
altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5
metros?(Haz un dibujo del problema).
p
o
s
t
e
3m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA, tienen
iguales el ángulo
recto y el ángulo
de elevación que
forman los rayos
solares con el
suelo
x
2m sombra
4,5m
Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra
son semejantes, por lo tanto
Formamos la proporción
3
x
=
2
4,5
De donde
X=
3 • 4,5
2
= 6,75m
Para terminar una pequeña
demostración
Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC
B
C
A
D
E
Demostración
Afirmaciones
ABC  CDE
BAC  CDE
Razones
Por ser ángulos alternos internos entre //
Por ser Ángulos alternos internos entre //
Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al
criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son
semejantes